數(shù)學研究性作業(yè)

1、 數(shù)學研究性作業(yè)HOMEWOYK OF MATHS RESEARCH 制作人： 目 錄歐幾里德4高斯5劉徽6笛卡兒7畢達哥斯拉8希爾伯特9祖沖之10楊輝11帕斯卡12華羅庚13-14歌德巴赫猜想15-17歐幾里德歐幾里得（約公元前330公元前275），古希臘數(shù)學家，以其所著的幾何原本（簡稱原本）聞名于世，歐幾里得將公元前7世紀以來希臘幾何積累起來的既豐富又紛紜龐雜的結(jié)果整理在一個嚴密統(tǒng)一的體系中，從最原始的定義開始，列出5條公理和5條公設(shè)為基礎(chǔ)。通過邏輯推理，演繹出一系列定理和推論，從而建立了被稱為歐幾里得幾何的第一個公理化的數(shù)學體系。據(jù)記載，亞歷山大里亞的統(tǒng)治者托勒密一世曾問他學習幾何有無簡

2、捷的方法，歐幾里得回答：“在幾何里，沒有專為國王鋪設(shè)的大道”這句話后來成為傳誦千古的學習箴言他的著作除幾何原本之外，還有不少，可惜大都失傳，已知數(shù)和圖形的分割是保存下來的著作。歐幾里得幾何，簡稱歐氏幾何，是幾何的一門分科，主要是以歐幾里得平行公理為基礎(chǔ)的幾何學。以公元前7世紀以后幾百年中古希臘人積累的幾何知識，同邏輯思想相結(jié)合使幾何的系統(tǒng)化、公理化有了基礎(chǔ)。由歐幾里得按照邏輯系統(tǒng)把幾何命題整理起來，完成了數(shù)學史上的光輝著作幾何原本這本書問世后兩千年中，一直被用作教科書，世界上大多數(shù)國家有譯本，中國最古的譯本是明代徐光啟譯出的。歐氏幾何主要研究平面和空間中圖的形狀、大小和相關(guān)位置。歐幾里得從一些

3、定義、公理和公設(shè)出發(fā)，運用演繹推理的方法，從已得的命題邏輯地推出后面的命題，從而展開幾何原本的全部幾何內(nèi)容。19世紀末期，德國數(shù)學家D·希爾伯特于1899年發(fā)表了著名的著作幾何基礎(chǔ)，書中成功地建立了歐幾里得幾何的完整的公理體系。這一公理體系的完成使數(shù)學公理法基本形成，促使20世紀整個數(shù)學有了較大發(fā)展，甚至這種影響也擴大到其他科學領(lǐng)域。高 斯高斯（17771855年）德國數(shù)學家、物理學家和天文學家。高斯在童年時代就表現(xiàn)出非凡的數(shù)學天才。年僅三歲，就學會了算術(shù)，八歲因發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式而深得老師和同學的欽佩。大學二年級時得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件。

4、解決了兩千年來懸而未決的難題，1799年以代數(shù)基本定理的四個漂亮證明獲博士學位。高斯的數(shù)學成就遍及各個領(lǐng)域，在數(shù)學許多方面的貢獻都有著劃時代的意義。并在天文學，大地測量學和磁學的研究中都有杰出的貢獻。1801年發(fā)表的算術(shù)研究是數(shù)學史上為數(shù)不多的經(jīng)典著作之一，它開辟了數(shù)論研究的全新時代。非歐幾里得幾何是高斯的又一重大發(fā)現(xiàn)，他的遺稿表明，他是非歐幾何的創(chuàng)立者之一。高斯致力于天文學研究前后約20年，在這領(lǐng)域內(nèi)的偉大著作之一是1809年發(fā)表的天體運動理論。高斯對物理學也有杰出貢獻，麥克斯韋稱高斯的磁學研究改造了整個科學。高斯的一生中，還培養(yǎng)了不少杰出的數(shù)學家劉 徽劉徽，中國魏晉間偉大的數(shù)學家，中國古典

5、數(shù)學理論的奠基者之一。劉徽公元263年注九章算術(shù)他全面證明了九章算術(shù)的方法和公式，指出并糾正了其中的錯誤，在數(shù)學方法和數(shù)學理論上作出了杰出的貢獻。劉徽創(chuàng)造性的運用極限思想證明了圓面積公式及提出了計算圓周率的方法。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼嬎懔?072邊形面積并驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學方法，奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先地位。劉徽在數(shù)學上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思

6、想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國數(shù)學史上第一次提出了“不定方程問題”。他還建立了等差級數(shù)前n項和公式；提出并定義了許多數(shù)學概念：如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負數(shù)等等劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提。他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把九章算術(shù)及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注九章算術(shù)所運用的數(shù)學知識實際上已經(jīng)形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學證明為

7、其聯(lián)系紐帶的理論體系。笛 卡 兒笛卡兒（1596-1650年），法國哲學家、數(shù)學家、物理學家，解析幾何學奠基人之一他認為數(shù)學是其他一切科學的理論和模型，提出了以數(shù)學為基礎(chǔ)，以演繹為核心的方法論，對后世的哲學、數(shù)學和自然科學的發(fā)展起了巨大作用。笛卡兒分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，表示要尋求一種包含這兩門科學的優(yōu)點而沒有它們的缺點的方法，這種方法就是用代數(shù)方法來研究幾何問題解析幾何，幾何學確定了笛卡兒在數(shù)學史上的地位幾何學提出了解析幾何學的主要思想和方法，標志著解析幾何學的誕生，恩格斯說“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就成

8、為可能的了，而它們也就立刻出現(xiàn)?！贝撕笕祟愡M入變量數(shù)學階段。笛卡兒還改進了韋達的符號記法，他用a，b，c等表示已知數(shù)，用x，y，z等表示未知數(shù)。笛卡兒在物理學、生理學和天文學方面也有許多創(chuàng)見。畢達哥拉斯畢達哥拉斯（約公元前580-約公元前500）古希臘哲學家、數(shù)學家、天文學家。他在意大利南部的克羅托內(nèi)建立了一個政治、宗教、數(shù)學合一的秘密團體畢達哥拉斯學派，他們很重視數(shù)學，企圖用數(shù)學來解釋一切畢達哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方稱畢達哥拉斯定理）而著名，這一定理早已為巴比倫人和中國人所知，不過最早的證明可歸功于畢達哥拉斯學派。在幾何原本中記載了勾股定理證明。今天人們把構(gòu)成直角三角形三邊的三個整數(shù)稱

9、為畢達哥拉斯數(shù)組（我國稱為勾股數(shù)組）。該學派將自然數(shù)分為若干類：奇數(shù)、偶數(shù)、完全數(shù)（即等于它的包括1而不包括它本身的所有因數(shù)之和的數(shù)），親和數(shù)、三角數(shù)（1，3，6，10），平方數(shù)（1，4，9，16），五角數(shù)（1，5，12，22）等等，又發(fā)現(xiàn)從1起連續(xù)奇數(shù)的和必為平方數(shù)，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體，在天文學和音樂理論上也有不少貢獻，他的思想和學說，對希臘文化有巨大影響。希 爾 伯 特希爾伯特（1862-1943年），德國數(shù)學家。希爾伯特是對二十世紀數(shù)學有深刻影響的數(shù)學家之一，他的數(shù)學貢獻是巨大的和多方面的。希爾伯特的數(shù)學工作可以劃分為幾個不同時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。在他研究的許多

10、領(lǐng)域中都作出了重大的或開創(chuàng)性的貢獻。在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為數(shù)學問題的著名講演，他根據(jù)過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學問題，這23個問題通稱希爾伯特問題，對現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，有些問題已得到圓滿解決，有些至今未解決。希爾伯特的幾何基礎(chǔ)（1899年）是公理化思想的代表作。希爾伯特的著作有希爾伯特全集幾何基礎(chǔ)線性積分方程一般理論基礎(chǔ)等，與其他人合著有數(shù)學物理方法理論邏輯基礎(chǔ)直觀幾何學數(shù)學基礎(chǔ)希爾伯特同時是一位出色的教師。他還以一位正直的學者而受到普遍的尊敬，他曾拒絕在德國政府為發(fā)動第一次世界大戰(zhàn)辯護的宣言上簽名，

11、后來又對希特勒的排猶暴行表示極大憤概。希爾伯特生前享有很高的國際聲譽。1910年榮獲匈牙利科學院的波爾約數(shù)學獎。并且是許多國家科學院的榮譽院士。祖 沖 之祖沖之生于公元429年，卒于公元500年，祖籍是現(xiàn)在的河北省淶源縣，他是南北朝時代南朝宋齊之間的一位杰出的科學家，他不僅是一位數(shù)學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂，并且是一位文學家。祖沖之在數(shù)學方面的主要貢獻是關(guān)于圓周率的計算，他算出圓周率3.14159263.1415927，這一結(jié)果的重要意義在于指出誤差的范圍，準確到小數(shù)第七位，是當時世界上最先進的成就。祖沖之還和兒子祖暅圓滿解決了球體積的計算問題，得到正確的球體積公式。楊 輝楊輝是

12、中國南宋末年數(shù)學家，數(shù)學教育家，大約在13世紀中葉活動于蘇杭一帶。楊輝的數(shù)學著作甚多，他編著的數(shù)學書共五種二十一卷，著有詳解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷（1262年）、乘除通變本末三卷（1274年）、田畝比類乘除算法二卷（1275年）、續(xù)古摘奇算法二卷（1275年）。在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學著作中的算題和算法。楊輝的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術(shù)方面。楊輝對籌算乘除捷算法進行了總結(jié)和發(fā)展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。楊輝創(chuàng)“縱橫圖”之名，在續(xù)古摘奇算法中介紹了各種形式的縱橫圖及有關(guān)的構(gòu)造方法。垛積術(shù)，是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)的研究。楊輝

13、的“纂類”中，是將九章算術(shù)246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。楊輝是一位杰出的數(shù)學教育家，重視數(shù)學的普及，在算法通變本末中，楊輝為初學者制訂的“習算綱目”是中國數(shù)學教育史上的一項重要文獻。帕 斯 卡帕斯卡（16231662年）是法國數(shù)學家、物理學家和哲學家16歲的時候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻。19歲時，發(fā)明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機。他對連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立

14、起到了積極的作用。帕斯卡對數(shù)學的最大貢獻是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應(yīng)用了算術(shù)三角形（即二項式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數(shù)規(guī)律以及這個三角形的構(gòu)造及其許多有趣的性質(zhì)。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著思想錄和致鄉(xiāng)人書對法國散文的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。華 羅 庚華羅庚，中國現(xiàn)代數(shù)學家1910年11月12日生于江蘇省金壇縣，1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業(yè)后，在上海中華職業(yè)學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數(shù)學，1930年在科學上發(fā)表了關(guān)于代數(shù)方程式解法的文

15、章，受到了數(shù)學家熊慶來的重視，被邀到清華大學工作，開始了數(shù)論的研究。1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯(lián)合大學教授。1946年應(yīng)蘇聯(lián)科學院邀請去蘇聯(lián)訪問同年，應(yīng)美國普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執(zhí)教。1948年開始，他為伊利諾伊大學教授。1950年回國，先后任清華大學教授，中國科技大學數(shù)學系主任、副校長，中國科學院數(shù)學研究所所長，中國科學院應(yīng)用數(shù)學研究所所長，中國科學院副院長等。華羅庚還是第一、二、三、四、五屆全國人民代表大會常務(wù)委員會委員和政協(xié)第六屆全國委員會副主席。華羅庚是在國際上享有盛譽的數(shù)學家。

16、他在解析數(shù)論、矩陣幾何學、多復(fù)變函數(shù)論、偏微分方程等廣泛數(shù)學領(lǐng)域中都作出卓越貢獻。由于他的貢獻，有許多定理、引理、不等式與方法等都用他的名字命名。為了推廣優(yōu)選法，華羅庚親自帶領(lǐng)小分隊去二十七個省市普及應(yīng)用數(shù)學方法達二十年之久，取得了明顯的經(jīng)濟效益和社會效益，為我國經(jīng)濟建設(shè)作出了重大貢獻。華羅庚的退步解題方法少年時期的華羅庚就特別愛好數(shù)學，但數(shù)學成績并不突出。19歲那年，一篇出色的文章驚動了當時著名的數(shù)學家熊慶來。從此在熊慶來先生的引導(dǎo)下，走上了研究數(shù)學的道路。晚年為了國家經(jīng)濟建設(shè)，把純粹數(shù)學推廣應(yīng)用到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，為祖國建設(shè)事業(yè)奮斗終生！華羅庚悉心栽培年輕一代，讓青年數(shù)學家茁壯成兒使他們脫穎而

17、出，工作之余還不忘給青多年朋友寫一些科普讀物。下面就是華羅庚曾經(jīng)介紹給同學們的一個有趣的數(shù)學游戲：有位老師，想辨別他的3個學生誰更聰明。他采用如下的方法：事先準備好3頂白帽子，2頂黑帽子，讓他們看到，然后，叫他們閉上眼睛，分別給戴上帽子，藏起剩下的2頂帽子，最后，叫他們睜開眼，看著別人的帽子，說出自己所戴帽子的顏色。3個學生互相看了看，都躊躇了一會，并異口同聲地說出自己戴的是白帽子。為了解決上面的伺題，我們先考慮“2人1頂黑帽，2頂白帽”問題。因為，黑帽只有1頂，我戴了，對方立刻會說自己戴的是白帽。但他躊躇了一會，可見我戴的是白帽。這樣，“3人2頂黑帽，3頂白帽”的問題也就容易解決了。假設(shè)我戴

18、的是黑帽子，則他們2人就變成“2人1頂黑帽，2頂白帽”問題，他們可以立刻回答出來，但他們都躊躇了一會，這就說明，我戴的是白帽子，3人經(jīng)過同樣的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子?？吹竭@里。同學們可能會拍手稱妙吧。后來，華羅庚還將原來的問題復(fù)雜化，“n個人，n-1頂黑帽子，若干（不少于n）頂白帽子”的問題怎樣解決呢？運用同樣的方法，便可迎刃而解。他并告誡我們：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竊。哥德巴赫猜想哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.181764.11.20）是德國數(shù)學家；出生于格奧尼格斯別爾格（現(xiàn)名加里寧城）；曾在

19、英國牛津大學學習；原學法學，由于在歐洲各國訪問期間結(jié)識了貝努利家族,所以對數(shù)學研究產(chǎn)生了興趣；曾擔任中學教師。1725年到俄國，同年被選為彼得堡科學院院士；1725年1740年擔任彼得堡科學院會議秘書；1742年移居莫斯科，并在俄國外交部任職。1729年1764年，哥德巴赫與歐拉保持了長達三十五年的書信往來。在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了一個命題。他寫道："我的問題是這樣的： 隨便取某一個奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個素數(shù)之和：77=53+17+7；再任取一個奇數(shù)，比如461，461=449+7+5，也是三個素數(shù)之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個

20、素數(shù)之和。這樣，我發(fā)現(xiàn)：任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和。但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結(jié)果，但是不可能把所有的奇數(shù)都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。歐拉回信說，這個命題看來是正確的，但是他也給不出嚴格的證明。同時歐拉又提出了另一個命題：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和。但是這個命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。事實上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)4.若歐拉的命題成立，則偶數(shù)2(N-1)可以寫成兩個素數(shù)之和，于是奇數(shù)2N+1可以寫成三個素數(shù)之和，從而，對于大于5的奇數(shù)，哥

21、德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高?，F(xiàn)在通常把這兩個命題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。二百多年來，盡管許許多多的數(shù)學家為解決這個猜想付出了艱辛的勞動，迄今為止它仍然是一個既沒有得到正面證明也沒有被推翻的命題。十九世紀數(shù)學家康托（Cantor G.F.L.P.,1845.3.31918.1.6）耐心地試驗了1000以內(nèi)所有的偶數(shù)，奧培利又試驗了10002000的全部偶數(shù)，他們都肯定了在所試驗的范圍內(nèi)猜想是正確的。1911年梅利指出，從4到9000000之間絕大多數(shù)偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，僅有14個數(shù)情況不明。后來甚至有人一直驗算到三億三千

22、萬這個數(shù)，都肯定了猜想是正確的。1900年，德國數(shù)學家希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.231943.2.14）在巴黎國際數(shù)學家大會上提出了二十三個最重要的問題供二十世紀的數(shù)學家來研究。其中第八問題為素數(shù)問題；在提到哥德巴赫猜想時，希爾伯特說這是以往遺留的最重要的問題之一。1921年，英國數(shù)學家哈代（Hardy G.H.,1877.2.71947.12.1）在哥本哈根召開的數(shù)學會議上說過，哥德巴赫猜想的困難程度可以和任何沒有解決的數(shù)學問題相比。近一百年來，哥德巴赫猜想吸引著世界上許多著名的數(shù)學家，并在證明上取得了很大的進展。在對一切偶數(shù)的研究方面，蘇聯(lián)人什尼列爾曼(19051938)第一個取得了成果，他指出任何整數(shù)都可以用一些素數(shù)的和來表示，而加數(shù)的個數(shù)不超過800000。1937年，蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉夫（1891.9.141983.3.20）取得了進一步的成果，他證明了任何一個相當大的奇數(shù)都可以用三個素數(shù)的和來表示。中國數(shù)學家陳景潤（1933 ）于1966年取得了更大的進展，他證明了每一