量子力學(xué)薛定諤方程PPT課件

1、常數(shù)相位常數(shù)相位 絕對(duì)絕對(duì)常數(shù)常數(shù)相位沒有意義相位沒有意義 相對(duì)相對(duì)常數(shù)常數(shù)相位才是有意義的相位才是有意義的2211 c cc c依賴于依賴于121122|iiccecce 21 2| 能夠在測(cè)量結(jié)果中反映能夠在測(cè)量結(jié)果中反映第1頁(yè)/共50頁(yè)變化的相位是有意義的（能夠在測(cè)量中反映出來(lái)） ( , )|( , ),)()|,ir ter tr tr t 雖雖然然在在空空間間幾幾率率密密度度上上無(wú)無(wú)法法反反映映，但但在在動(dòng)動(dòng)量量幾幾率率分分布布上上能能夠夠反反映映出出來(lái)來(lái)。理理由由如如下下：第2頁(yè)/共50頁(yè)/331( , )(, )e,(2)ip rr tc p tdp ( , )/3321( ,

2、)e(|( ,( , )2),)|()|ir tip rc p td rc p tretr t 在在動(dòng)動(dòng)量量分分布布| |上上得得以以體體現(xiàn)現(xiàn)！ 波函數(shù)所包含的物理內(nèi)容不僅僅是幾率密度，還有相位！22( , )( , )( , )|( , )|r tc p tr tc p t 和和可可以以通通過過以以上上傅傅里里葉葉變變換換互互求求，但但僅僅僅僅從從空空間間幾幾率率密密度度| |不不能能得得到到動(dòng)動(dòng)量量幾幾率率密密度度| |！第3頁(yè)/共50頁(yè) 2.2 2.2 薛定諤方程薛定諤方程1.薛定諤方程薛定諤方程 量子力學(xué)的基本定律是波函數(shù)所滿量子力學(xué)的基本定律是波函數(shù)所滿足的偏微分方程。足的偏微分方程

3、。這個(gè)基本定律在本這個(gè)基本定律在本質(zhì)上是一個(gè)假說(shuō)。質(zhì)上是一個(gè)假說(shuō)。 第4頁(yè)/共50頁(yè) 德布羅意物質(zhì)波概念德布羅意物質(zhì)波概念.)(222 r rU Ut ti i 第5頁(yè)/共50頁(yè)薛定諤方程的“建立”尋找尋找de Brogliede Broglie波滿足的波滿足的方程，并加以推廣方程，并加以推廣這不是嚴(yán)格推導(dǎo)（薛定諤方程不能由舊理論嚴(yán)格導(dǎo)出）第6頁(yè)/共50頁(yè) 由de Broglie波 / )(),(r rp pE Et ti ie et tr r it 222ipp 2/2Ep 22.2it 尋找尋找de Brogliede Broglie波滿足的方程波滿足的方程所以又因有E Eit pi 第7

4、頁(yè)/共50頁(yè)Eitpi 22().2iU rt 再推廣到含有勢(shì)能再推廣到含有勢(shì)能U的情況的情況2/2 +UrEp （ ）兩邊作用于波函數(shù) 第8頁(yè)/共50頁(yè)iHt 2/ 2 +Ur()Hppi （ ）22( )2HU r 記住便于記憶的形式第9頁(yè)/共50頁(yè)Eitpi 補(bǔ)補(bǔ)充充說(shuō)說(shuō)明明：只只在在“建建立立”薛薛定定諤諤方方程程時(shí)時(shí)才才有有用用，以以后后就就不不用用了了，動(dòng)動(dòng)量量算算符符則則繼繼續(xù)續(xù)使使用用. .2/ 2 +Ur()Hppi （ ）第10頁(yè)/共50頁(yè)單粒子情況單粒子情況t=0t=T 原則上，可以由薛定諤方程給出所有可能的狀態(tài)，原則上，可以由薛定諤方程給出所有可能的狀態(tài)，U U（r r

5、）決定態(tài)的演化規(guī)律。）決定態(tài)的演化規(guī)律。 初始狀態(tài)（依賴于實(shí)驗(yàn)制備）決定任意初始狀態(tài)（依賴于實(shí)驗(yàn)制備）決定任意 T T 時(shí)刻的狀態(tài)，即時(shí)刻的狀態(tài)，即“態(tài)的演化過程態(tài)的演化過程”是確是確定的定的（但位置（但位置x x有不確定性，幾率分布由波函數(shù)給出）有不確定性，幾率分布由波函數(shù)給出）。x第11頁(yè)/共50頁(yè)多粒子（多粒子（N個(gè)粒子）情況個(gè)粒子）情況212( , ,. .)2ijiiiiiHtpHU r rrpi ).,.,(21t tr rr rr rj j 第12頁(yè)/共50頁(yè)2. 2. 幾率守恒定律與幾率流密度幾率守恒定律與幾率流密度 由薛定諤方程導(dǎo)出一個(gè)反映幾率守恒的定律，從而引入由薛定諤方程

6、導(dǎo)出一個(gè)反映幾率守恒的定律，從而引入幾率流密度概念。幾率流密度概念。 2( , )( , )w r tr t 幾率密度幾率密度J 幾幾率率流流密密度度：根據(jù)薛定諤方程第13頁(yè)/共50頁(yè)幾率流密度的推導(dǎo)（單粒子）幾率流密度的推導(dǎo)（單粒子） 幾率密度的時(shí)間演化：幾率密度的時(shí)間演化：),(),(),(),(2t tr rt tr rt tr rt tr rw w . t tt tt tw w 212iUti 212iUti 22()2wit ().2i 薛定諤方程薛定諤方程()2iJ 0wJt 第14頁(yè)/共50頁(yè)定義流密度定義流密度 記),(2 i iJ J則,0 J Jt tw w 第15頁(yè)/共5

7、0頁(yè)理解（推導(dǎo)積分形式）理解（推導(dǎo)積分形式） 對(duì)任何體積對(duì)任何體積V V，對(duì)上式積分，對(duì)上式積分, d dJ Jd dt tw wV VV V 等式右方用等式右方用GaussGauss定定理，得理，得,SdJWdtdSV VSV內(nèi)部幾率變化由邊界流入或流出的量。第16頁(yè)/共50頁(yè)薛定諤方程能夠滿足全空間幾率守薛定諤方程能夠滿足全空間幾率守恒恒r 物物理理上上應(yīng)應(yīng)該該滿滿足足隨隨 趨趨向向無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)而而迅迅速速趨趨于于零零，于于是是相對(duì)論情況薛定諤方程不成立，以上結(jié)果也相對(duì)論情況薛定諤方程不成立，以上結(jié)果也不成立；實(shí)際上相對(duì)論情況不成立；實(shí)際上相對(duì)論情況，vW02dJ dSdtidS （）第1

8、7頁(yè)/共50頁(yè)電流密度),(2 i iJ J幾率流密度電流密度電流密度(),2eiJeJe 可以應(yīng)用于原子內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)的電流的計(jì)算可以應(yīng)用于原子內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)的電流的計(jì)算可以應(yīng)用于超導(dǎo)體等量子系統(tǒng)電流的計(jì)算可以應(yīng)用于超導(dǎo)體等量子系統(tǒng)電流的計(jì)算第18頁(yè)/共50頁(yè)幾率流密度表達(dá)式的另一種形式幾率流密度表達(dá)式的另一種形式*()2()c.c21c.c2 pReRe p v=p viJi 稱稱為為速速度度算算符符pi c.c.代表前面一項(xiàng)的復(fù)共軛。第19頁(yè)/共50頁(yè)例題 對(duì)平面波情況對(duì)平面波情況 求幾率流密度求幾率流密度i(k r- t)222(r,t)Aew |A|()2kwp|A|wvmmiJ 解解：

9、 對(duì)對(duì)， i(k r- t)(r,t)Ae 第20頁(yè)/共50頁(yè)3.3.薛定諤方程的求解薛定諤方程的求解定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 方程求解方程求解-分離變量法：分離變量法：設(shè)設(shè)),()(),(r rt tf ft tr r 代入薛定諤方程代入薛定諤方程先尋找特解先尋找特解（一系列基（一系列基本函數(shù)），本函數(shù)），再疊加生成再疊加生成通解通解)()(r rt tf f 22;( ).2iHHU rt ( )( )( ) ( )df tirHrf tdt 兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以第21頁(yè)/共50頁(yè)（空空間間部部分分）時(shí)時(shí)間間部部分分E Er rU Ur rE Ed dt td df ft tf f

10、i i )(2)(1)()(22左邊（左邊（t t）= =右邊（右邊（r r）任意任意t t，r r均成立，而左邊與均成立，而左邊與r r無(wú)關(guān)，所以右邊與無(wú)關(guān)，所以右邊與r r也應(yīng)該也應(yīng)該無(wú)關(guān)，右邊與無(wú)關(guān)，右邊與t t無(wú)關(guān)，所以左邊也應(yīng)該與無(wú)關(guān)，所以左邊也應(yīng)該與t t無(wú)關(guān)。所以兩無(wú)關(guān)。所以兩邊都等于一個(gè)與邊都等于一個(gè)與t t，r r都無(wú)關(guān)的常數(shù)都無(wú)關(guān)的常數(shù)E E221( )( )( )2idfU rf tdtr第22頁(yè)/共50頁(yè)時(shí)間部分時(shí)間部分 E Edtdtdfdft tf fi i)( )(t tE Ef fd dt td df fi if tiEt( )e.第23頁(yè)/共50頁(yè)空間部分（定

11、態(tài)薛定諤方程）空間部分（定態(tài)薛定諤方程） E Er rU Ur r )(2)(122).()(222r rE Er rU U 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程( )( )HrEr 第24頁(yè)/共50頁(yè)定態(tài)概念定態(tài)概念 完整的定態(tài)波函數(shù)（定態(tài)薛定諤方程的解乘以時(shí)間因子）完整的定態(tài)波函數(shù)（定態(tài)薛定諤方程的解乘以時(shí)間因子）( , )e( ),iEtr tr 對(duì)比de Broglie波，我們發(fā)現(xiàn)常數(shù)E 的物理意義正是粒子的能量。定態(tài)就是能量E確定的狀態(tài)。第25頁(yè)/共50頁(yè)( , )e( )iEtr tr 第26頁(yè)/共50頁(yè)定態(tài)薛定諤方程就是能量本征方程定態(tài)薛定諤方程就是能量本征方程 ( )( )H( )E(

12、 )EHHrErrr 算算符符 作作用用于于= =常常數(shù)數(shù) 乘乘以以。叫叫做做 的的本本征征值值。第27頁(yè)/共50頁(yè)思考題思考題兩個(gè)不同的定態(tài)疊加生成的態(tài)是否是定態(tài)？?jī)蓚€(gè)不同的定態(tài)疊加生成的態(tài)是否是定態(tài)？)(e),(),(e),(221121r rt tr rr rt tr rt tE Ei it tE Ei i 第28頁(yè)/共50頁(yè)4. 4. 波函數(shù)應(yīng)滿足的條件波函數(shù)應(yīng)滿足的條件 從波函數(shù)的幾率解釋以及波函數(shù)滿足二階微分方程這一要求，一般地說(shuō)，波函數(shù)應(yīng)該滿足以下三個(gè)條件：從波函數(shù)的幾率解釋以及波函數(shù)滿足二階微分方程這一要求，一般地說(shuō)，波函數(shù)應(yīng)該滿足以下三個(gè)條件： (1)(1)單值性；單值性；

13、(2)(2)有限性；有限性； (3)(3)連續(xù)性。連續(xù)性。 連續(xù)性通常意味著連續(xù)性通常意味著 和和 都連續(xù)，但在勢(shì)能有無(wú)窮大跳躍的地方，都連續(xù)，但在勢(shì)能有無(wú)窮大跳躍的地方， 允許不連續(xù)。允許不連續(xù)。 第29頁(yè)/共50頁(yè)作業(yè)作業(yè) 作業(yè)：作業(yè)：p.52, #2.2p.52, #2.2，注意：在球坐標(biāo)中，注意：在球坐標(biāo)中, ,.sin11 r re er re er re er r 第30頁(yè)/共50頁(yè)2.3 2.3 一維運(yùn)動(dòng)問題的一般分析一維運(yùn)動(dòng)問題的一般分析1. 一維定態(tài)薛定諤方程的解的一般性質(zhì)一維定態(tài)薛定諤方程的解的一般性質(zhì) 一維定態(tài)薛定諤方程是一維定態(tài)薛定諤方程是. 0)(2222 x xU

14、UE Ed dx xd d第31頁(yè)/共50頁(yè)WronskianWronskian定理定理 若若 都是方程的解都是方程的解( (能量相同能量相同) )，則，則( ( c c 是與是與 x x 無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)) )， 稱為稱為WronskianWronskian定理。定理。與與)(1x x )(2x x 1221c() ddx第32頁(yè)/共50頁(yè)WronskianWronskian定理的證明定理的證明）（定理：（定理：c 1221 證明：定態(tài)方程的兩個(gè)解滿足證明：定態(tài)方程的兩個(gè)解滿足)2(0)(2)1(0)(2222121 x xU UE Ex xU UE E12122112211221(2)

15、(1)0)0,c 即即 ( (因因此此第33頁(yè)/共50頁(yè)另外兩個(gè)定理另外兩個(gè)定理 共軛定理：若共軛定理：若 是定態(tài)行薛定諤程的解，則是定態(tài)行薛定諤程的解，則 也是該方程的解也是該方程的解( (且能量相同且能量相同) )。 反射定理：對(duì)反射定理：對(duì) ( (原點(diǎn)對(duì)稱的勢(shì)原點(diǎn)對(duì)稱的勢(shì)) )，那么若，那么若 是該方程的解，則是該方程的解，則 也是該方程的解也是該方程的解( (且能量相同且能量相同) )。)(x x )(*x x ( )()U xUx ()x )(x x （由定態(tài)薛定諤方程可以直接證明，請(qǐng)自（由定態(tài)薛定諤方程可以直接證明，請(qǐng)自己完成）己完成）第34頁(yè)/共50頁(yè)2. 一維定態(tài)的分類：束縛態(tài)

16、與非束縛態(tài)一維定態(tài)的分類：束縛態(tài)與非束縛態(tài)若若 則則和和)( U UE E(),U x 0)(x x 束縛態(tài)束縛態(tài)相反的情況是非束縛態(tài)（或稱為散射相反的情況是非束縛態(tài)（或稱為散射態(tài)）態(tài)）22( )0EU x 第35頁(yè)/共50頁(yè) 束縛態(tài)：原子中的“束縛”電子 人工量子微結(jié)構(gòu) 束縛態(tài)幾率分布被限制在有限的空間范圍內(nèi)。 非束縛態(tài)：如自由電子；電離態(tài)原子第36頁(yè)/共50頁(yè)3. 3. 一維束縛態(tài)的一般性質(zhì)一維束縛態(tài)的一般性質(zhì) 先引入一個(gè)概念簡(jiǎn)并與非簡(jiǎn)并先引入一個(gè)概念簡(jiǎn)并與非簡(jiǎn)并 如果對(duì)一個(gè)給定的能量，只有一個(gè)線性獨(dú)立的波函數(shù)存在（如果對(duì)一個(gè)給定的能量，只有一個(gè)線性獨(dú)立的波函數(shù)存在（即只有一個(gè)狀態(tài)即只有一

17、個(gè)狀態(tài)），），則稱該能級(jí)是非簡(jiǎn)并的，否則稱它是簡(jiǎn)并的，其線性獨(dú)立的波函數(shù)的個(gè)數(shù)稱為則稱該能級(jí)是非簡(jiǎn)并的，否則稱它是簡(jiǎn)并的，其線性獨(dú)立的波函數(shù)的個(gè)數(shù)稱為它的簡(jiǎn)并度。它的簡(jiǎn)并度。線性獨(dú)立的定義：對(duì)常數(shù)線性獨(dú)立的定義：對(duì)常數(shù)c1，c2一一狀狀態(tài)態(tài)）為為線線性性相相關(guān)關(guān)（即即代代表表同同、，稱稱，使使、相相反反，若若存存在在非非零零的的狀狀態(tài)態(tài)）。線線性性獨(dú)獨(dú)立立（即即代代表表不不同同與與，則則稱稱時(shí)時(shí)才才有有若若僅僅當(dāng)當(dāng)12112122121221121C/*00 cccccccc第37頁(yè)/共50頁(yè)一維束縛態(tài)不簡(jiǎn)并定理一維束縛態(tài)不簡(jiǎn)并定理定理：一維束縛態(tài)必是非簡(jiǎn)并態(tài)定理：一維束縛態(tài)必是非簡(jiǎn)并態(tài)（ 可

18、以由Wronskian定理證明）。）。En( )nx 第38頁(yè)/共50頁(yè)不簡(jiǎn)并定理不簡(jiǎn)并定理的證明的證明WronskianWronskian定理與束縛態(tài)性質(zhì)，推導(dǎo)如下：定理與束縛態(tài)性質(zhì)，推導(dǎo)如下： 假設(shè)簡(jiǎn)并假設(shè)簡(jiǎn)并，則方程有兩個(gè)線性，則方程有兩個(gè)線性獨(dú)立的解，但是由獨(dú)立的解，但是由000 x211221 c cc c 、無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處處束束縛縛態(tài)態(tài)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)）（與與常常數(shù)數(shù)第39頁(yè)/共50頁(yè)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。為積分常數(shù)，與為積分常數(shù)，與積分積分xCxCx)()()(2122111221 兩個(gè)函數(shù)不是線性獨(dú)立的（對(duì)應(yīng)同一個(gè)狀態(tài)），兩個(gè)函數(shù)不是線性獨(dú)立的（對(duì)應(yīng)同一個(gè)狀態(tài)），因此因此不簡(jiǎn)并不簡(jiǎn)并。與題設(shè)矛盾

19、，故定理得證。與題設(shè)矛盾，故定理得證。*更嚴(yán)格的證明應(yīng)該考慮波函數(shù)有節(jié)點(diǎn)（為零的點(diǎn)）的情況，這時(shí)更嚴(yán)格的證明應(yīng)該考慮波函數(shù)有節(jié)點(diǎn)（為零的點(diǎn)）的情況，這時(shí)需要分段考慮每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的區(qū)域，再利用波函數(shù)連續(xù)性條件證需要分段考慮每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的區(qū)域，再利用波函數(shù)連續(xù)性條件證明以上常數(shù)明以上常數(shù)C對(duì)每一段是同一個(gè)常數(shù)（可參考曾謹(jǐn)言量子力學(xué)卷對(duì)每一段是同一個(gè)常數(shù)（可參考曾謹(jǐn)言量子力學(xué)卷1，83頁(yè)）頁(yè)）第40頁(yè)/共50頁(yè)對(duì)定理的補(bǔ)充說(shuō)明（1 1）此定理僅對(duì)一維情況成立此定理僅對(duì)一維情況成立；二維、三維束縛態(tài)的能量仍然可能簡(jiǎn)并（如氫原子、二維、三維諧振子等）；二維、三維束縛態(tài)的能量仍然可能簡(jiǎn)并（如氫原子、二維、

20、三維諧振子等）；（2 2）非束縛態(tài)的能量一般是簡(jiǎn)并的。）非束縛態(tài)的能量一般是簡(jiǎn)并的。第41頁(yè)/共50頁(yè)非束縛態(tài)的例子非束縛態(tài)的例子EpEp 2221 ，例如：一維自由粒子例如：一維自由粒子能量能量是是2 2度簡(jiǎn)并的：度簡(jiǎn)并的： 即即同一個(gè)能量同一個(gè)能量E E，有兩個(gè)線性獨(dú)立的波函數(shù)，有兩個(gè)線性獨(dú)立的波函數(shù)，可以取為：可以取為：/2/121eexipxip 112212EEcccc能量為 的狀態(tài)都可以寫成：（ 、 為任意常數(shù)）第42頁(yè)/共50頁(yè)兩個(gè)推論兩個(gè)推論 推論推論1 1：一維束縛態(tài)波函數(shù)的相位必是常數(shù)。：一維束縛態(tài)波函數(shù)的相位必是常數(shù)。 即即 因此波函數(shù)可以取為實(shí)函數(shù)因此波函數(shù)可以取為實(shí)函數(shù)()|() |ixxex與無(wú) 關(guān)第43頁(yè)/共50頁(yè)宇稱宇稱 宇稱是態(tài)的重要的量子力學(xué)性質(zhì)，它具有宇稱是態(tài)的重要的量子力學(xué)性質(zhì)，它具有“純量子力學(xué)純量子力學(xué)”的特征，在經(jīng)典力學(xué)中沒有對(duì)應(yīng)物。的特征，在經(jīng)典力學(xué)中沒有對(duì)應(yīng)物。( )()( ),xxx 若滿足則稱“ ”偶宇稱（或正宇稱）“ ”奇宇稱（或負(fù)宇稱）第44頁(yè)/共50頁(yè) 推論推論2(2(宇稱定理宇