高等代數(shù)、線性代數(shù)61集合映射線性空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)

1、第1頁 共32頁2 2 線性空間的定義線性空間的定義 與簡(jiǎn)單性質(zhì)與簡(jiǎn)單性質(zhì)3 3 維數(shù)維數(shù)基與坐標(biāo)基與坐標(biāo)4 4 基變換與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換1 1 集合集合映射映射5 5 線性子空間線性子空間7 7 子空間的直和子空間的直和8 8 線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu)6 6 子空間的交與和子空間的交與和第2頁 共32頁第3頁 共32頁把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做集合集合；常用大寫字母常用大寫字母A A、B B、C C 等表示集合；等表示集合；當(dāng)當(dāng)a a是集合是集合A A的元素時(shí)，就說的元素時(shí)，就說a a 屬于屬于A A，記作：記作： ;aA 當(dāng)

2、當(dāng)a a不是集合不是集合A A的元素時(shí)，就說的元素時(shí)，就說a a不屬于不屬于A A， 記作：記作： .aA 組成集合的這些事物稱為集合的組成集合的這些事物稱為集合的元素元素 用小寫字母用小寫字母a a、b b、c c 等表示集合的元素等表示集合的元素 aA或者第4頁 共32頁集合的表示方法一般有兩種：集合的表示方法一般有兩種：描述法描述法、列舉法列舉法 描述法描述法：給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì)：給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來.例例122( , )4, ,Mx y xyx yR 例例2 N ，0,1,2

3、,3,0, 2, 4, 6, 2Z 例例3210, 1,1Mx xxR Mx | x具有性質(zhì)具有性質(zhì)P Ma1，a2，an第5頁 共32頁 如果如果B中的每一個(gè)元素都是中的每一個(gè)元素都是A中的元素，則稱中的元素，則稱B是是A的的子集子集，記作，記作 ，（讀作，（讀作B包含于包含于A）BABA當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) xBxA 空集空集：不含任何元素的集合，記為：不含任何元素的集合，記為注意注意： 如果如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與與 B相等相等，記作，記作AB .AB當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 且且 ABBA約定：約定： 空集是任意集合空集是任意集合的子集合的子集合

4、.第6頁 共32頁交交： ； ABx xAxB 且且并并： ABx xAxB 或或顯然有，顯然有，;ABAAAB 第7頁 共32頁設(shè)設(shè)M、M 是給定的兩個(gè)非空集合，如果有是給定的兩個(gè)非空集合，如果有 一個(gè)對(duì)一個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)法則，通過這個(gè)法則，通過這個(gè)法則對(duì)于對(duì)于M中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素a，都有都有M 中一個(gè)唯一確定的元素中一個(gè)唯一確定的元素a 與它對(duì)應(yīng)與它對(duì)應(yīng), 則稱則稱 為為稱稱 a 為為 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a 稱為稱為 a 在映射在映射下的下的M到到M的一個(gè)的一個(gè)映射映射，記作，記作 : :MM MM 原象原象，記作，記作(a)a 第8頁 共32頁 設(shè)映射設(shè)映射 ,

5、 集合集合:MM 稱之為稱之為M在映射在映射下的下的象象，通常記作，通常記作 Im 集合集合M 到到M 自身的映射稱為自身的映射稱為M 的一個(gè)的一個(gè)變換變換 ImM 顯然，顯然， () ( )Ma aM 第9頁 共32頁例例1判斷下列判斷下列M 到到M 對(duì)應(yīng)法則是否為映射對(duì)應(yīng)法則是否為映射 1）Ma，b，c、M 1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4：(b)2，(c)4 2）MZ，M Z，：(n)|n|, nZ ：(n)|n|1,nZ （不是不是） （是是） （不是不是） （不是不是） （是是） 第10頁 共32頁：(a)a0，aM 4）MP，M

6、 ，（，（P為數(shù)域）為數(shù)域）n nP ：(a)aE， （E為為n級(jí)單位矩陣）級(jí)單位矩陣）aP 5）M、M 為任意兩個(gè)非空集合，為任意兩個(gè)非空集合，a0是是M 中的一個(gè)中的一個(gè)固定元素固定元素. （是是）（是是）6）MM Px（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(f (x)f (x)， ( ) f xP x （是是）3）M ，M P，（P為數(shù)域）為數(shù)域） n nP：(A)|A|，n nAP （是是） 第11頁 共32頁例例2M是一個(gè)集合，定義是一個(gè)集合，定義I： I(a)a ，aM 即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一個(gè)映射，是一個(gè)映射，例例3 任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集任意一個(gè)在實(shí)數(shù)

7、集R上的函數(shù)上的函數(shù) yf(x) 都是都是實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R到自身的映射到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是，即，函數(shù)可以看成是稱稱 I 為為 M 上的上的恒等映射恒等映射或或單位映射單位映射 映射的一個(gè)特殊情形映射的一個(gè)特殊情形 第12頁 共32頁設(shè)映射設(shè)映射 ， :,:MMMM 乘積乘積 定義為：定義為： (a)(a) aM 即相繼施行即相繼施行和和的結(jié)果，的結(jié)果， 是是 M 到到 M 的一個(gè)的一個(gè) 映射映射 對(duì)于任意映射對(duì)于任意映射 ，有，有 :MM MMII 設(shè)映射設(shè)映射:,:,:MMMMMM ， 有有()(). 第13頁 共32頁設(shè)映射設(shè)映射:MM 1）若）若ImM，即對(duì)于任意，即對(duì)于任意y

8、M ，均存在，均存在（或稱（或稱 為為映上的映上的）；）； 2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 121212,()()a aMaaaa 若若則則（或（或121212,()(),a aMaaaa 若若），）， 則稱則稱是是M到到M 的一個(gè)的一個(gè)單射單射（或稱（或稱為為11的的）；）； 3）若）若既是單射，又是滿射，則稱既是單射，又是滿射，則稱為為雙射雙射,xM ，使，使 ，則稱，則稱是是M到到M 的一個(gè)的一個(gè)滿射滿射( )yx （或稱（或稱為為 11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)） 第14頁 共32頁例例4判斷下列映射的性質(zhì)判斷下列映射的性質(zhì)1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)1，(b)

9、1，(c)2 （既不單射，既不單射，也不是滿射也不是滿射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 3）Mn nP，M P，（，（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(A)|A|，n nAP （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） （雙射雙射）第15頁 共32頁4）MP，M ,n nP P為數(shù)域?yàn)閿?shù)域, E為為n級(jí)單位矩陣級(jí)單位矩陣：(a)aE，aP （是單射，但不是滿射是單射，但不是滿射） ：(a)a0，aM （既不單射，也不是滿射既不單射，也不是滿射） 6）MM Px，P為數(shù)域?yàn)閿?shù)域：(f (x)f (x)，( ) f xP

10、x （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 7）M是一個(gè)集合，定義是一個(gè)集合，定義I：I(a)a，aM 8）M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ （雙射雙射） （雙射雙射） 5）M、M 為任意非空集合，為任意非空集合， 為固定元素為固定元素 0aM 第16頁 共32頁對(duì)于有限集來說，兩集合之間存在對(duì)于有限集來說，兩集合之間存在11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的充要條的充要條 件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同；件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同； 對(duì)于有限集對(duì)于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B為為A的真子集），則的真子集），則 A、B之間不可能存在之間不可能存在11對(duì)應(yīng)；對(duì)應(yīng)；但是對(duì)于無限集未必如此但是對(duì)于無限

11、集未必如此.如例如例4中的中的8），），是是11對(duì)應(yīng)，但對(duì)應(yīng)，但2Z是是Z的真子的真子集集 M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ 第17頁 共32頁：設(shè)映射：設(shè)映射:,MM 若有映射若有映射:,MM 使得使得,MMII 則稱則稱為為可逆映射可逆映射，為為的的逆映射逆映射， 若若為可逆映射，則為可逆映射，則1也為可逆映射，且也為可逆映射，且 （1）11().aa 則則有有:MM 為可逆映射，為可逆映射，aM ，若，若( ),aa 的逆映射是由的逆映射是由唯一確定的唯一確定的記作記作1第18頁 共32頁 為可逆映射的充要條件是為可逆映射的充要條件是為為11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)證：證：若映射若映射:MM為為11

12、對(duì)應(yīng)，則對(duì)對(duì)應(yīng)，則對(duì)yM 均存在唯一的均存在唯一的xM，使，使(x)y，作對(duì)應(yīng)作對(duì)應(yīng) :MM( ),( )yxxy這里( )( ( )( )( ),MxxyxIx 則即即MI ； ( )( ( )( )( ),MyyxyIy 則即即MI 為可逆映射為可逆映射 則則是一個(gè)是一個(gè)M 到到M的映射的映射, 且對(duì)且對(duì) ,( ),xMxy 若,( ),yMxx 若若y y= =有有 ( (y y) )= =第19頁 共32頁11,( )( )yMyyy 對(duì)對(duì)有有即即, 1( ),( ).xyMyx 使使所以所以為滿射為滿射. 其次，對(duì)其次，對(duì)1212,()()x xMxx若，則，則 11111112(

13、)( )( ( )( ( )MxIxxxx 即即為單射為單射.所以所以為為11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)1222()()MxIxx 反之，設(shè)反之，設(shè) 為可逆映射，則為可逆映射，則 : MM 第20頁 共32頁補(bǔ)充雙射（或者11對(duì)應(yīng)）的傳遞性第21頁 共32頁小結(jié)：n集合的概念我們并不陌生。這里重要的集合的表達(dá)和運(yùn)算。n另外一個(gè)重要的是映射。我們要了解映射其實(shí)就是一種法則，這種法則使得集合之間的元素產(chǎn)生聯(lián)系，我們可以說這種聯(lián)系使得某個(gè)集合中的每一個(gè)元素有了自己的老師（當(dāng)然也可以是其他關(guān)系）。請(qǐng)你們?cè)偃ニ伎迹簄單射、滿射和雙射吧。作業(yè)：復(fù)習(xí)集合映射，P268: 1, 2(選一個(gè))第22頁 共32頁第23頁 共32頁

14、12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且這兩種運(yùn)算滿足一些重要的規(guī)律而且這兩種運(yùn)算滿足一些重要的規(guī)律, ,如如 對(duì)對(duì) 空間空間Pn，定義了兩個(gè)向量的加法和數(shù)量乘法：，定義了兩個(gè)向量的加法和數(shù)量乘法： 在第三章在第三章2中，我們討論了數(shù)域中，我們討論了數(shù)域P上的上的n維向量維向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 第24頁 共32頁同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即對(duì)同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即對(duì) ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP

15、 ( )( )( )( )f xg xg xf x 數(shù)域數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)Px中，定義了兩個(gè)多中，定義了兩個(gè)多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，而且這兩種運(yùn)算項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，而且這兩種運(yùn)算( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x () ( )( )( )kl f xkf xlf x ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x 第25頁 共32頁設(shè)設(shè)V是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集

16、合，P是一個(gè)數(shù)域，在集合是一個(gè)數(shù)域，在集合V中中定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法加法：即：即對(duì)，對(duì)， ,V 在在V中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為 的的和和，記為，記為 ；在；在P與與V的元素之間還的元素之間還與 定義了一種運(yùn)算，叫做定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法數(shù)量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一個(gè)元素中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱與它們對(duì)應(yīng)，稱為為 的的數(shù)量乘積數(shù)量乘積，記為，記為 如果加法和數(shù)量乘如果加法和數(shù)量乘k與.k法還滿足下述規(guī)則，則稱法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的上的線性空間線性空間：第2

17、6頁 共32頁加法滿足下列四條規(guī)則：加法滿足下列四條規(guī)則： 1 ()()k lkl 數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則： ()klkl （具有這個(gè)性質(zhì)的元素（具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為稱為V的的零元素零元素） 數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則 : ()() ()kkk, ,.V k lP 對(duì)對(duì) 都有都有V中的一個(gè)元素中的一個(gè)元素，使得，使得 ,V ; ;（稱為稱為 的的負(fù)元素負(fù)元素） 0 在在V中有一個(gè)元素中有一個(gè)元素0，對(duì)，對(duì),0V 有有第27頁 共32頁3 線性空間的判定：線性空間的判定：1 凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也凡滿足以上八條規(guī)則的

18、加法及數(shù)量乘法也2線性空間的元素也稱為線性空間的元素也稱為向量向量，線性空間也稱，線性空間也稱向量空間向量空間但這里的向量不一定是有序數(shù)組但這里的向量不一定是有序數(shù)組稱為稱為線性運(yùn)算線性運(yùn)算就不能構(gòu)成線性空間就不能構(gòu)成線性空間 運(yùn)算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合運(yùn)算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者若集合對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者第28頁 共32頁例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px 均為數(shù)域均為數(shù)域 P上的線性空間上的線性空間的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域 P上的一個(gè)線性空間，上的一個(gè)線性空間，例例2數(shù)域數(shù)域 P上上 矩陣的全體作成的集合矩陣的全體作成的集合, ,按矩陣按矩陣m n 用用 表示表示m nP 例例3任一數(shù)域任一數(shù)域 P 按照本身的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)按照本身的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)數(shù)域數(shù)域P上的線性空間上的線性空間第29頁 共32頁1、零元素是唯一的零元素是唯一的. 2、 ，的負(fù)元素是唯一的，記為，的負(fù)元素是唯一的，記為- - V 利用負(fù)元素，我們定義利用負(fù)元素，我們定義減法減法： () 00,00, ( 1),()kkkk 3、4、如果如果k0，那么，那么k0或或 0. 第30頁 共32頁證明：數(shù)域證明：數(shù)域P上的線性空間上的線