數(shù)學(xué)實驗——第五章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、第五章第五章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗 本章介紹本章介紹MatLab中常用分布的有關(guān)函數(shù)中常用分布的有關(guān)函數(shù), 大數(shù)定理大數(shù)定理與中心極限定理中的問題與中心極限定理中的問題, 數(shù)據(jù)的描述與直方圖數(shù)據(jù)的描述與直方圖, 參數(shù)參數(shù)估計中的計算估計中的計算, 假設(shè)檢驗中的計算假設(shè)檢驗中的計算, 回歸中的計算及隨回歸中的計算及隨機模擬等機模擬等. 問題的提出問題的提出 經(jīng)濟的發(fā)展會影響居民的生活經(jīng)濟的發(fā)展會影響居民的生活. 在某個地區(qū)中學(xué)生收在某個地區(qū)中學(xué)生收收集了收集了 個個 歲學(xué)生的身高數(shù)據(jù)歲學(xué)生的身高數(shù)據(jù):50170.1 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2

2、170.3 176.2163.7 175.4 163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4176.3 179.0 173.9 173.7 173.2 172.3 169.3 172.8176.4 163.7 177.0 165.9 166.6 167.4 174.0 174.3184.5 171.9 181.4 164.6 176.4 172.4 180.3 160.5166.2 173.5 171.7167.9 168.7 175.6 179.6 171.617168.1 172.2. 查到查到 年前該學(xué)校同齡學(xué)生的平均身高為為年前該學(xué)校同齡學(xué)生的平均身高為為201

3、68cm,近期還調(diào)查了附近近期還調(diào)查了附近 農(nóng)村同齡男生的身高農(nóng)村同齡男生的身高, 計算處均計算處均100值和方差分別為值和方差分別為 和和168.95.4cm, 如何判定當(dāng)前男生的身高是否發(fā)生明顯變化如何判定當(dāng)前男生的身高是否發(fā)生明顯變化?一、一、MatLab中常用分布的有關(guān)函數(shù)中常用分布的有關(guān)函數(shù)常見分布常見分布 二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 指數(shù)分布指數(shù)分布命令字符命令字符binoPoissunifexp常見分布常見分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 分布分布 分布分布 分布分布命令字符命令字符normchi2tF2tF幾種常見分布及其相應(yīng)函數(shù)表達幾種常見分布及其相應(yīng)函數(shù)表達

4、函數(shù)函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 分布函數(shù)分布函數(shù)分位數(shù)分位數(shù)均值與方差均值與方差隨機生成數(shù)隨機生成數(shù)字符字符pdfcdfinvstatrnd每種分布提供的五類函數(shù)及其相應(yīng)函數(shù)表達每種分布提供的五類函數(shù)及其相應(yīng)函數(shù)表達 1.概率密度函數(shù)（分布律）及調(diào)用格式概率密度函數(shù)（分布律）及調(diào)用格式 MatLab自帶了一些常見分布的概率密度函數(shù)（分布自帶了一些常見分布的概率密度函數(shù)（分布律）律）. 函數(shù)名稱及調(diào)用格式見下表函數(shù)名稱及調(diào)用格式見下表:函數(shù)名稱及調(diào)用格式函數(shù)名稱及調(diào)用格式常見分布常見分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布 分布分布分布分布分布分布b

5、inopdf x,n,p2tFpoisspdf x,lambdaunipdf x,a,bexppdf x,thetanormpdf x,mu,signachi2pdf x,ntpdf x,nfpdf x,n,m例例 設(shè)設(shè)200,0.025 ,XB畫出該分布的圖形畫出該分布的圖形.輸入語句輸入語句圖形為圖形為 的分布律圖形的分布律圖形200,0.025B 我們知道我們知道, 當(dāng)當(dāng) 較大而較大而 適中時適中時, 二項分布可用二項分布可用nnp泊松分布來近似計算泊松分布來近似計算, 即有公式即有公式e.!kP Xkk我們對上例進行對比我們對上例進行對比.例例 設(shè)設(shè) ,XE當(dāng)當(dāng) 時時, 畫出指數(shù)函數(shù)畫

6、出指數(shù)函數(shù)1,1,22的密度函數(shù)圖形的密度函數(shù)圖形.程序如下程序如下: 相應(yīng)的圖形為相應(yīng)的圖形為例例 設(shè)設(shè) 220,0.5,0,1 ,0,2XNXNXN畫出相應(yīng)的的密度函數(shù)圖形畫出相應(yīng)的的密度函數(shù)圖形.程序如下程序如下: 相應(yīng)的圖形為相應(yīng)的圖形為 2.分布函數(shù)的調(diào)用格式分布函數(shù)的調(diào)用格式 我們知道我們知道, 若隨機變量若隨機變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 即即X ,F x .P aXbF bF a ,F xP Xx則則由此由此, 當(dāng)分布函數(shù)已知時當(dāng)分布函數(shù)已知時, 可以求出所需的概率可以求出所需的概率.例例 設(shè)設(shè)0,1 ,XN求求22.5 .PX 標準正態(tài)分布的分布函數(shù)的調(diào)用函數(shù)為標準正態(tài)分布

7、的分布函數(shù)的調(diào)用函數(shù)為normcdf. 輸入語句輸入語句 返回值返回值注注 一般調(diào)用格式一般調(diào)用格式normcdf x,mu,sigma .例例 設(shè)設(shè) 求求1,4 ,XN04 .PX 因隨機變量并不服從標準正態(tài)分布因隨機變量并不服從標準正態(tài)分布, 由轉(zhuǎn)換公式由轉(zhuǎn)換公式P aXb.ba 此時此時 由計算公式由計算公式, 得得1,2,3104,22PX 再輸入命令再輸入命令返回值返回值 例例 設(shè)打一次電話所用的時間（單位設(shè)打一次電話所用的時間（單位min）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為解解 令令 表示電話間那人打電話所占用的時間表示電話間那人打電話所占用的時間, 則由題則由題X 0.20.2e 0, 0

8、0.xxf xx0.2的指數(shù)分布的指數(shù)分布, 如果有人剛好在你前面走進公用電話如果有人剛好在你前面走進公用電話間（假定電話間只有一部電話可供使用）間（假定電話間只有一部電話可供使用）, 試求你將等試求你將等待超過待超過5分鐘的概率分鐘的概率; 5分鐘到分鐘到10分鐘之間的概率分鐘之間的概率.0.2XE意知意知: 因此相應(yīng)的密度函數(shù)為因此相應(yīng)的密度函數(shù)為因而因而0.25p50.2ed ,xP Xxp510 ,PX 輸入命令輸入命令 返回值返回值 輸入命令輸入命令 返回值返回值 指數(shù)分布函數(shù)的一般調(diào)用格式指數(shù)分布函數(shù)的一般調(diào)用格式1mu1ped .muxmuxpexpcdf(x,mu)即即 輸入語

9、句輸入語句結(jié)果為結(jié)果為即即:1e d0.6321.xx例例 某人向空中拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣某人向空中拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣 次次, 求這求這100100次中正面向上的次數(shù)恰好為次中正面向上的次數(shù)恰好為 與小于與小于 次的概率次的概率.4040解解 記記 為為 次中正面向上的次數(shù)次中正面向上的次數(shù), 則則X100100,0.5 .XB所求概率為所求概率為:p40 .P X輸入語句輸入語句概率為概率為再執(zhí)行命令再執(zhí)行命令p40 .P X概率為概率為若還要計算介于若還要計算介于 到到 之間的概率之間的概率, 即計算即計算4020p2040 ,PX再執(zhí)行命令再執(zhí)行命令概率為概率為 以上數(shù)據(jù)你是否發(fā)現(xiàn)問題

10、以上數(shù)據(jù)你是否發(fā)現(xiàn)問題? 如何解釋該問題如何解釋該問題?例例 設(shè)設(shè)0,1 ,XN求求 33 ;PX 作出其分布函數(shù)的圖形作出其分布函數(shù)的圖形.解解 輸入命令輸入命令概率為概率為該概率即為正態(tài)分布中的該概率即為正態(tài)分布中的 準則準則!3輸入命令輸入命令圖形為圖形為從這個圖形中你能感覺到什么從這個圖形中你能感覺到什么? 3.分位數(shù)的調(diào)用分位數(shù)的調(diào)用 在統(tǒng)計學(xué)中在統(tǒng)計學(xué)中, 分位數(shù)是個極其重要的概念分位數(shù)是個極其重要的概念.分位數(shù)定義分位數(shù)定義:設(shè)設(shè) 是隨機變量是隨機變量,X01,滿足滿足 1P Xp 的的 稱為該隨機變量的稱為該隨機變量的上上 分位數(shù)分位數(shù); 滿足滿足p1P Xp 的的 稱為該隨機

11、變量的稱為該隨機變量的下下 分位數(shù)分位數(shù); 滿足滿足p1P Xp 的的 稱為該隨機變量的稱為該隨機變量的雙側(cè)雙側(cè) 分位數(shù)分位數(shù).p分布名稱分布名稱上上 分位數(shù)調(diào)用格式分位數(shù)調(diào)用格式上上 分位數(shù)分位數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布 分布分布 分布分布 分布分布2tFnorminv(1 alpha)zchi2inv(1 alpha,n) 2n tn,Fn mtinv(1 alpha,n)finv(1 alpha,n,m)幾種常見分布的上幾種常見分布的上 分位數(shù)調(diào)用格式分位數(shù)調(diào)用格式例例 0,1 ,N就就 0.025,0.05,0.10求對應(yīng)的上求對應(yīng)的上 分位數(shù)分位數(shù); 求求 并給出該點的具體位置并給出該點的具

12、體位置. 20.16 ,程序為程序為結(jié)果為結(jié)果為 輸入語句輸入語句結(jié)果為結(jié)果為程序如下程序如下此時此時 20.1610.6446,圖形為圖形為分位數(shù)點分位數(shù)點 4.隨機數(shù)生成函數(shù)的調(diào)用格式隨機數(shù)生成函數(shù)的調(diào)用格式 泊松分布隨機數(shù)泊松分布隨機數(shù) 格式格式poissrnd lambda,m n 其中其中 為分布中的未知參數(shù)為分布中的未知參數(shù), 即即lambdae,!kP xkk 為矩陣的階數(shù)為矩陣的階數(shù).,m n例例 產(chǎn)生一個產(chǎn)生一個 的矩陣的矩陣, 其列向量是參數(shù)為其列向量是參數(shù)為10000 34的泊松隨機數(shù)的泊松隨機數(shù).輸入命令輸入命令返回值返回值 正態(tài)分布隨機數(shù)正態(tài)分布隨機數(shù) 格式格式nor

13、mrnd mu,sigma,m n例例 生成一個生成一個 的矩陣的矩陣, 其列向量服從其列向量服從10000 30,1 .N輸入命令輸入命令結(jié)果為結(jié)果為例例 生成一個生成一個 的矩陣的矩陣, 其列向量服從其列向量服從10000 32,1 .N輸入命令輸入命令結(jié)果為結(jié)果為再計算方差再計算方差返回值返回值 標準正態(tài)分布隨機數(shù)的另一個函數(shù)為標準正態(tài)分布隨機數(shù)的另一個函數(shù)為randn. 在前例中在前例中, 若輸入命令若輸入命令 結(jié)果為結(jié)果為 均勻分布隨機數(shù)均勻分布隨機數(shù) 格式格式unifrnd, ,a b m n例例 生成一個生成一個 的矩陣的矩陣, 其列向量服從其列向量服從10000 30,1 .U

14、輸入命令輸入命令結(jié)果為結(jié)果為例例 生成一個生成一個 的矩陣的矩陣, 其列向量服從其列向量服從10000 31,4 .U輸入命令輸入命令結(jié)果為結(jié)果為 注注 生成服從生成服從 上均勻分布隨機數(shù)還可用函數(shù)上均勻分布隨機數(shù)還可用函數(shù)0,1 rand得到得到.在前例中在前例中, 輸入命令輸入命令返回值返回值結(jié)果大致相同結(jié)果大致相同.二、大數(shù)定理及中心極限定理中的問題二、大數(shù)定理及中心極限定理中的問題 1.大數(shù)定律大數(shù)定律 設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗 事件事件 在在 次試驗中出現(xiàn)次數(shù)為次試驗中出現(xiàn)次數(shù)為,EAn,An若若lim,Annpn則事件則事件 在一次試驗中發(fā)生的概率為在一次試驗中發(fā)生的概率為A .P A

15、p例例 （拋硬幣問題試驗）（拋硬幣問題試驗） 假設(shè)拋均勻硬幣出現(xiàn)正面的假設(shè)拋均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為概率為 分三種情況驗證硬幣正面出現(xiàn)的頻率與概分三種情況驗證硬幣正面出現(xiàn)的頻率與概0.5,率的關(guān)系。率的關(guān)系。 三種情況下均進行三種情況下均進行1000組實驗組實驗, 每組實驗每組實驗的次數(shù)分別為的次數(shù)分別為 次次.100,1000,10000程序如下程序如下:疊加后的效果疊加后的效果:結(jié)論結(jié)論 隨著實驗次數(shù)的增加隨著實驗次數(shù)的增加, 頻率將逐漸趨于穩(wěn)定頻率將逐漸趨于穩(wěn)定. 利用大數(shù)定律利用大數(shù)定律, 還可以以解決下面的問題還可以以解決下面的問題.例例 求圓周率求圓周率. 問題描述問題描述 在矩形

16、在矩形 中任取一個點中任取一個點, 則該點可能落在圓內(nèi)則該點可能落在圓內(nèi), 0,10,1,.DPx yDS其中其中 為為 的面積的面積.DDDD也有可能落在圓外也有可能落在圓外. 由幾何概率知道由幾何概率知道: 落在區(qū)域落在區(qū)域 內(nèi)的內(nèi)的概率為概率為為估計概率為估計概率, 今產(chǎn)生隨機數(shù)今產(chǎn)生隨機數(shù):, 1,2,iix yin其中其中: 且隨機變量且隨機變量 均服從區(qū)間均服從區(qū)間01,01,iixy,X Y22,1.iiiix yDxy由此得到問題的解法由此得到問題的解法.0,1上的均勻分布上的均勻分布. 則則 下面這段程序給下面這段程序給記錄有多少個點在圓內(nèi)記錄有多少個點在圓內(nèi).出了問題的求解

17、方法出了問題的求解方法. 計算結(jié)果為計算結(jié)果為例例 用大數(shù)定律估計定積分用大數(shù)定律估計定積分120d .xx1201d0.33.3xx 相應(yīng)程序為相應(yīng)程序為:積分值積分值 2.中心極限定理及應(yīng)用中心極限定理及應(yīng)用 中心極限定理中心極限定理 設(shè)設(shè) 是一個獨立同分布的隨機變量序列是一個獨立同分布的隨機變量序列,12,nXXX且且2,01,2, ,iiE XD Xi則對則對 任意一個任意一個 , x有有 1lim.niinXnPxxn 中心極限定理的幾何描述中心極限定理的幾何描述 當(dāng)當(dāng) 較大時較大時, 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布.n1niiX程序如下程序如下 相應(yīng)的圖形為相應(yīng)的圖形為下圖是下圖

18、是 時泊松分布的圖形時泊松分布的圖形.100n 例例 產(chǎn)生服從二項分布產(chǎn)生服從二項分布 的的 個隨機數(shù)個隨機數(shù), 這里取這里取,B N pn10,0.2,Np計算計算 個隨機數(shù)的和個隨機數(shù)的和nnY以及以及,1nYNnpNnpp并把這個過程重復(fù)并把這個過程重復(fù) 次次, 用這用這 個個100010001nYNnpNnpp繪制頻率直方圖繪制頻率直方圖, 并討論并討論 與標準正態(tài)分與標準正態(tài)分1nYNnpNnpp布的關(guān)系布的關(guān)系.程序如下程序如下 例例 （高爾頓釘板實驗）（高爾頓釘板實驗） 高爾頓設(shè)計了一個釘板實驗高爾頓設(shè)計了一個釘板實驗,圖中每個每個黑點表示釘在板上的一個釘子圖中每個每個黑點表示釘

19、在板上的一個釘子, 它們彼此它們彼此的距離相等的距離相等, 上一層的每一個釘子的水平位置恰好位于上一層的每一個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩個釘子的正中間下一層的兩個釘子的正中間. 從入口處放進一個直徑略從入口處放進一個直徑略小于兩個釘子之間的距離的小球小于兩個釘子之間的距離的小球. 在在小球向下降落過程中小球向下降落過程中, 碰到釘子后均碰到釘子后均以以 的概率向左或向右滾下的概率向左或向右滾下, 于是于是0.5又碰到下一層釘子又碰到下一層釘子. 如此進行下去如此進行下去, 直直到滾到底板的一個格子里為止到滾到底板的一個格子里為止. 把許把許多同樣大小的小球不斷從入口處放下多同樣大小的小球

20、不斷從入口處放下, 只要球的數(shù)目相只要球的數(shù)目相當(dāng)大當(dāng)大, 它們在底板將堆成近似正態(tài)分布它們在底板將堆成近似正態(tài)分布 的密的密20,N度函數(shù)圖形度函數(shù)圖形.Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 81, 1,kX(1,2,16)k kk程序如下程序如下 輸出圖形輸出圖形 例例 擲骰子實驗擲骰子實驗. 擲擲 次同一個均勻的骰子次同一個均勻的骰子, 觀察每個點數(shù)出現(xiàn)的頻率觀察每個點數(shù)出現(xiàn)的頻率.n程序如下程序如下結(jié)果為結(jié)果為三、數(shù)據(jù)的描述與直方圖三、數(shù)據(jù)的描述與直方圖 1.數(shù)據(jù)描寫的常用命令為數(shù)據(jù)描寫的常用命令為 hist. 功能功能 生成已知數(shù)據(jù)的直方圖生

21、成已知數(shù)據(jù)的直方圖. 格式格式 hist,.x k例例 對服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)生成相應(yīng)的直方圖對服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)生成相應(yīng)的直方圖.輸入命令輸入命令圖形為圖形為 mean. 功能功能 對已知數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的均值對已知數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的均值. 格式格式 mean.x例例 生成一個生成一個 的服從均勻分布的矩陣的服從均勻分布的矩陣, 并求相并求相1000 3應(yīng)的均值應(yīng)的均值.輸入命令輸入命令結(jié)果為結(jié)果為 std. 功能功能 對已知數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的標準差對已知數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的標準差. 格式格式 std.x例例 生成生成 個服從個服從 的隨機矩陣的隨機矩陣, 并計算并計算10000 60,1N相應(yīng)的均值和方差相應(yīng)

22、的均值和方差.程序如下程序如下 例例 生成生成 個服從個服從 的隨機矩陣的隨機矩陣, 并計算并計算10000 60,1U相應(yīng)的均值和方差相應(yīng)的均值和方差.程序如下程序如下 var. 功能功能 對已知數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的標準差對已知數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的標準差. 格式格式 var.x例例 生成生成 個服從個服從 的隨機矩陣的隨機矩陣, 并計算并計算10000 60,1U相應(yīng)的均值和方差相應(yīng)的均值和方差.程序如下程序如下 range. 功能功能 計算數(shù)據(jù)列中的最大數(shù)與最小數(shù)的差計算數(shù)據(jù)列中的最大數(shù)與最小數(shù)的差. 格式格式 range.x例例 生成生成 個服從個服從 的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù), 計算相應(yīng)的均值計算相應(yīng)的均值,

23、10001,4N方差和極差方差和極差.程序為程序為結(jié)果為結(jié)果為 hist 功能功能 由已知數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的直方圖由已知數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的直方圖. 格式格式 hist.x例例 生成生成 個服從個服從 的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù), 作出相應(yīng)的直方作出相應(yīng)的直方10001,4N圖圖.輸入語句輸入語句圖形為圖形為四、參數(shù)估計中的計算四、參數(shù)估計中的計算 1.點估計的意義點估計的意義參數(shù)參數(shù), 設(shè)設(shè) 為總體為總體, 為總體的分布為總體的分布, 其中其中 為未知為未知X,f x12,nXXX為來自總體的樣本為來自總體的樣本, 12,nx xx為相應(yīng)的觀察值為相應(yīng)的觀察值, 則則12,ng x xx就稱為參數(shù)就稱為參數(shù) 的點估

24、計的點估計. 通常的點估計為通常的點估計為: 均值均值 的點估計的點估計:11.niixxn2211.niixxn2*211.1niixxn及及 方差方差 的點估計的點估計:2無偏估計無偏估計漸進無偏估計漸進無偏估計 2.區(qū)間估計的意義區(qū)間估計的意義參數(shù)參數(shù), 設(shè)設(shè) 為總體為總體, 為總體的分布為總體的分布, 其中其中 為未知為未知X,f x12,nXXX為來自總體的樣本為來自總體的樣本, 12,nx xx為相應(yīng)的觀察值為相應(yīng)的觀察值, 12, 為統(tǒng)計量為統(tǒng)計量, 使得使得121.P 則稱區(qū)間為則稱區(qū)間為 的雙側(cè)的雙側(cè) 置信區(qū)間置信區(qū)間, 稱為稱為置信水平置信水平.1 常用的區(qū)間估計常用的區(qū)間

25、估計 正態(tài)總體中正態(tài)總體中 已知時已知時 的區(qū)間估計的區(qū)間估計:1/21/2,;xuxunn這里這里 是標準正態(tài)分布的上是標準正態(tài)分布的上 分位數(shù)分位數(shù).1u*1/21/21,1;ssxtnxtnnn 正態(tài)總體中正態(tài)總體中 未知時未知時 的區(qū)間估計的區(qū)間估計: 2211221/ 2/ 2,nnnn這里這里22111niixn為為 的點估計的點估計.2 正態(tài)總體中正態(tài)總體中 已知時已知時 的區(qū)間估計的區(qū)間估計:2 正態(tài)總體中正態(tài)總體中 未知時未知時 的區(qū)間估計的區(qū)間估計:22221/ 2/ 2,.11nSnSnn這里這里2211niiSxxn為為 的點估計的點估計.2 正態(tài)總體中正態(tài)總體中 已知

26、時均值差已知時均值差 的區(qū)間估計的區(qū)間估計:12222212121/21/2,.xyuxyumnmn 正態(tài)總體中正態(tài)總體中 未知時均值差未知時均值差 的區(qū)間估計的區(qū)間估計:121111,wwxykSxykSmnmn這里這里222111.2nnwiiiiSxxyymn 將生成概率密度函數(shù)的調(diào)用函數(shù)中的將生成概率密度函數(shù)的調(diào)用函數(shù)中的 改成改成pdffit即可得到相應(yīng)的點估計和區(qū)間估計即可得到相應(yīng)的點估計和區(qū)間估計. 基本格式基本格式mu,sigma,muci,sigmacitypefit, x 2.區(qū)間估計方法區(qū)間估計方法例例 設(shè)設(shè)8,21,9,95,10,23,11,67,13.56,x 7.

27、99,12.22,15.89是取自某正態(tài)總體的樣本觀察值是取自某正態(tài)總體的樣本觀察值, 求其均值求其均值 和方差和方差的點估計和區(qū)間估計的點估計和區(qū)間估計.輸入命令輸入命令結(jié)果為結(jié)果為 五、假設(shè)檢驗五、假設(shè)檢驗 1.假設(shè)檢驗的意義假設(shè)檢驗的意義 問題問題 甲方生產(chǎn)一種產(chǎn)品的尺寸服從均值甲方生產(chǎn)一種產(chǎn)品的尺寸服從均值 、50標準差標準差 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, 按批向乙方供貨（每批的數(shù)按批向乙方供貨（每批的數(shù)1量很大）量很大）, 雙方商定每批抽取雙方商定每批抽取 件（樣本）測量其尺寸件（樣本）測量其尺寸,25根據(jù)樣本均值決定乙方是否接受這批產(chǎn)品根據(jù)樣本均值決定乙方是否接受這批產(chǎn)品. 取取 若樣本

28、均值與若樣本均值與 差的絕對值差的絕對值 不超過不超過,x,即即 x時時, 則拒絕該產(chǎn)品則拒絕該產(chǎn)品. 由隨機性由隨機性, 存在這樣的可能存在這樣的可能, 該批產(chǎn)品合格但仍被拒該批產(chǎn)品合格但仍被拒絕絕. 商定水平商定水平 使合格品被錯誤地拒絕的概率不超過使合格品被錯誤地拒絕的概率不超過,. 記樣本的均值記樣本的均值2511,25kkxx則則0,1 ./xNn取取0.05,并使得并使得20.95,/xPn故可取故可取12/20.4,5n即當(dāng)即當(dāng)0.4x時（時（ ）, 則接受該產(chǎn)品則接受該產(chǎn)品, 否則拒絕否則拒絕.49.650.4x 總體均值假設(shè)檢驗的一般作法總體均值假設(shè)檢驗的一般作法 設(shè)抽取一容

29、量為設(shè)抽取一容量為 的樣本的樣本, 均值及標準差分別為均值及標準差分別為n, ,x記記 010:;:,HH分別稱為分別稱為原假設(shè)原假設(shè)和和被選被選假設(shè)假設(shè),檢驗的結(jié)果為檢驗的結(jié)果為: 接受接受 或拒絕或拒絕0H0.H 再設(shè)顯著性水平為再設(shè)顯著性水平為,當(dāng)總體方差當(dāng)總體方差 已知時已知時, 記記2,/xzn則有則有1/21,P zu 從而得到從而得到1/2.zu 這樣的檢驗又稱這樣的檢驗又稱 檢驗檢驗.z 2.MatLab中的檢驗方法中的檢驗方法 格式格式h,sig,ci,zztest,sigma,tiilx mu 說明說明 時表示在顯著性水平為時表示在顯著性水平為 時接受假設(shè)時接受假設(shè),h0而

30、當(dāng)而當(dāng) 拒絕假設(shè)拒絕假設(shè);h1 表示表示 的均值等于的均值等于till0 x;mu 已知時均值已知時均值 的檢驗（的檢驗（ 檢驗法）檢驗法）2z 表示表示 的均值大于的均值大于till1x;mu 表示表示 的均值小于的均值小于till1 x.mu 是在假設(shè)成立時的概率是在假設(shè)成立時的概率;sig 是均值的置信水平為是均值的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.ci1 未知時均值未知時均值 的檢驗（的檢驗（ 檢驗法）檢驗法）2t 格式格式h,sig,cittest,sigma,tiilx m 注注 檢驗的意義與檢驗的意義與 檢驗法相同檢驗法相同, 此時統(tǒng)計量為此時統(tǒng)計量為z./xmtsn例例 生成正

31、態(tài)總體生成正態(tài)總體 的的 個隨機樣本個隨機樣本, 分別在分別在0,1N1002已知和已知和 未知的兩種情況下未知的兩種情況下, 檢驗檢驗 和和255.25（?。ㄈ?）.0.05.程序如下程序如下:相應(yīng)的結(jié)果為相應(yīng)的結(jié)果為:接受檢驗接受檢驗相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率置信區(qū)間置信區(qū)間相應(yīng)的相應(yīng)的 值值z注意到注意到0.9751.96.u對于檢驗對于檢驗 相應(yīng)的結(jié)果為相應(yīng)的結(jié)果為:2,拒絕檢驗拒絕檢驗相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率置信區(qū)間置信區(qū)間相應(yīng)的相應(yīng)的 值值z 未知時的檢驗結(jié)果與上平行未知時的檢驗結(jié)果與上平行.2 兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗 兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體 和和 的均值

32、的均值211,N 222,N 1與與 比較的檢驗比較的檢驗, 命令格式為命令格式為2h,sig,cittest, ,sigma,alpha,tiilx y例例 分別生成服從分別生成服從25,1 ,5.15,0.8NN各各 個個100隨機數(shù)隨機數(shù), 檢驗兩個總體均值檢驗兩個總體均值12.程序如下程序如下運行結(jié)果表明結(jié)果的不穩(wěn)定性運行結(jié)果表明結(jié)果的不穩(wěn)定性.在上面的問題中在上面的問題中, 若將樣本容量取到若將樣本容量取到1000,n 則檢驗則檢驗結(jié)果比較穩(wěn)定結(jié)果比較穩(wěn)定. （拒絕的概率較大）（拒絕的概率較大） 正態(tài)總體分布的檢驗正態(tài)總體分布的檢驗 意義意義 檢查已知數(shù)據(jù)是否來自一個正態(tài)總體檢查已知

33、數(shù)據(jù)是否來自一個正態(tài)總體. 格式格式hmormplot( )x 結(jié)果分析結(jié)果分析 若數(shù)據(jù)來自一個正態(tài)總體若數(shù)據(jù)來自一個正態(tài)總體, 則圖形以直線則圖形以直線形式顯示形式顯示.例例 對問題中的對問題中的 個數(shù)據(jù)個數(shù)據(jù), 作以下判定作以下判定:50該該 個數(shù)據(jù)是否來自一個正態(tài)總體個數(shù)據(jù)是否來自一個正態(tài)總體?50檢驗學(xué)生平均身高是否較檢驗學(xué)生平均身高是否較 有明顯提高有明顯提高?168cm解解 分別執(zhí)行分別執(zhí)行結(jié)果結(jié)果通過正態(tài)性檢驗通過正態(tài)性檢驗正態(tài)性檢驗結(jié)果正態(tài)性檢驗結(jié)果 兩種情況都說明該數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體兩種情況都說明該數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體. 再輸入再輸入 結(jié)果為結(jié)果為拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)相應(yīng)的置信區(qū)間為相

34、應(yīng)的置信區(qū)間為由此得到結(jié)論由此得到結(jié)論: 20年后年后, 該地區(qū)同一年齡的學(xué)生的平均該地區(qū)同一年齡的學(xué)生的平均身高有顯著提高身高有顯著提高.六、回歸分析六、回歸分析 回歸分析是數(shù)據(jù)分析中的一個重要方面回歸分析是數(shù)據(jù)分析中的一個重要方面, 它在控制理它在控制理論論, 風(fēng)險預(yù)測等方面都有很重要的應(yīng)用風(fēng)險預(yù)測等方面都有很重要的應(yīng)用. 1.問題的提出問題的提出例例 為了研究彈簧懸掛不同重量為了研究彈簧懸掛不同重量 時長度時長度 的關(guān)系的關(guān)系, 通通xy過實驗得到下面過實驗得到下面 組數(shù)據(jù)組數(shù)據(jù),6510152025307.258.128.959.9010.9011.80 xy相應(yīng)的散點圖為相應(yīng)的散點圖

35、為: 圖形讓我們有理由相信這兩者之間的關(guān)系是個線性關(guān)圖形讓我們有理由相信這兩者之間的關(guān)系是個線性關(guān)系系, 由此產(chǎn)生如下問題由此產(chǎn)生如下問題:線性關(guān)系的系數(shù)是多少線性關(guān)系的系數(shù)是多少? 即要知道即要知道yaxb中的常數(shù)中的常數(shù), ;a b由此得到的常數(shù)的可信度是多少由此得到的常數(shù)的可信度是多少? 2.一元回歸分析一元回歸分析 設(shè)有數(shù)據(jù)設(shè)有數(shù)據(jù), ,x y關(guān)系式關(guān)系式 01,Yb xb0,1N稱為稱為一元線性回歸模型一元線性回歸模型, ib稱為稱為回歸系數(shù)回歸系數(shù). 在在MatLab下的回歸實現(xiàn)下的回歸實現(xiàn). 命令格式命令格式b,bint,r,rint,statsregress( , ,alpha

36、)Y x 符號說明符號說明:回歸系數(shù)的點估計回歸系數(shù)的點估計bbint回歸系數(shù)的區(qū)間估計回歸系數(shù)的區(qū)間估計r,rint殘差與殘差的置信區(qū)間殘差與殘差的置信區(qū)間用于回歸分析中的相關(guān)數(shù)據(jù)用于回歸分析中的相關(guān)數(shù)據(jù)stats states 1相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)2R states 2F值值, 若若 , 則拒絕則拒絕1,2FFn states 3對應(yīng)的概率對應(yīng)的概率, 當(dāng)概率小于當(dāng)概率小于 時時, 回歸?；貧w模0,HF越大回歸方程越顯著越大回歸方程越顯著型成功型成功 在原問題中在原問題中, 再輸入再輸入可得到如下結(jié)果可得到如下結(jié)果:點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 說明回歸方程顯著說明回歸方程顯

37、著21R 說明回歸方程顯著說明回歸方程顯著0.954454.91,47.71.FF00.05p 最后畫出殘差圖最后畫出殘差圖, 輸入輸入圖形為圖形為 應(yīng)用應(yīng)用葡萄酒與心臟病問題分析葡萄酒與心臟病問題分析 適量飲用葡萄酒可以預(yù)防心臟病適量飲用葡萄酒可以預(yù)防心臟病, 下表是下表是 個發(fā)達國個發(fā)達國19家一年的葡萄酒消耗量（每人從所喝的葡萄酒所攝取的家一年的葡萄酒消耗量（每人從所喝的葡萄酒所攝取的酒精升數(shù)）以及一年中因心臟病死亡的人數(shù)（每酒精升數(shù)）以及一年中因心臟病死亡的人數(shù)（每 萬萬10人數(shù)）人數(shù)）.國家國家酒精數(shù)酒精數(shù)死亡人數(shù)死亡人數(shù)國家國家酒精數(shù)酒精數(shù)死亡人數(shù)死亡人數(shù)澳大利亞澳大利亞2.521

38、1荷蘭荷蘭1.8167奧地利奧地利3.9167新西蘭新西蘭1.9266比利時比利時2.9131挪威挪威0.8277加拿大加拿大2.4191西班牙西班牙6.586丹麥丹麥2.9220瑞典瑞典0.8207芬蘭芬蘭0.8297瑞士瑞士5.8115法國法國9.171英國英國1.3285冰島冰島0.8211美國美國1.2199愛爾蘭愛爾蘭0.7300德國德國2.7172意大利意大利7.9107要求要求: 由上表做散點圖由上表做散點圖;求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計;畫出殘差圖畫出殘差圖, 并做殘差分析并做殘差分析;已知某個國家成年人每年平均從葡萄酒中攝取已知某個國家成年人每年平

39、均從葡萄酒中攝取 的的8L酒精酒精, 請預(yù)測該國家心臟病的死亡率并作圖請預(yù)測該國家心臟病的死亡率并作圖. 散點圖為散點圖為 程序運行后的結(jié)果為程序運行后的結(jié)果為相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 說明回歸方程顯著說明回歸方程顯著21R 說明回歸方程顯著說明回歸方程顯著0.95441,174.45.FF00.05p殘差的置信區(qū)間都包含零點殘差的置信區(qū)間都包含零點, 說明回歸模型較為理想說明回歸模型較為理想.線性函數(shù)曲線圖形與散點圖線性函數(shù)曲線圖形與散點圖 預(yù)測預(yù)測:由線性函數(shù)由線性函數(shù) 266.1631 23.9506 ,yx得得 874.5615.y例例 合金強度與碳含量關(guān)系分析合金強度與碳含量關(guān)系分析 研究表

40、明研究表明 合金的強度合金的強度 與含碳量與含碳量 存在某種關(guān)系存在某種關(guān)系.yx現(xiàn)有一批數(shù)據(jù)現(xiàn)有一批數(shù)據(jù), 試研究這兩者之間的關(guān)系試研究這兩者之間的關(guān)系.0.100.110.120.130.140.1541.042.545.045.545.047.50.160.170.180.200.220.2449.051.050.055.557.559.5xxyy 首先進行曲線擬合首先進行曲線擬合, 觀察數(shù)據(jù)點的特征觀察數(shù)據(jù)點的特征.輸入語句輸入語句 進行回歸分析進行回歸分析, 輸入語句輸入語句 結(jié)果為結(jié)果為回歸比較理想回歸比較理想.殘差圖為殘差圖為在殘差圖中在殘差圖中, 第四個數(shù)據(jù)異常第四個數(shù)據(jù)異常,

41、 剔除該數(shù)據(jù)后剔除該數(shù)據(jù)后, 繼續(xù)檢驗繼續(xù)檢驗此時再剔除第五個數(shù)據(jù)后有此時再剔除第五個數(shù)據(jù)后有 相應(yīng)的數(shù)據(jù)值為相應(yīng)的數(shù)據(jù)值為:殘差的置信區(qū)間都包含零點殘差的置信區(qū)間都包含零點, 說明回歸模型較為理想說明回歸模型較為理想. 3.可線性化的一元非線性回歸可線性化的一元非線性回歸 某些變量間的關(guān)系并非一定是線性關(guān)系某些變量間的關(guān)系并非一定是線性關(guān)系, 所以要考慮所以要考慮將這類關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系將這類關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系. 這類關(guān)系中比較典型的是這類關(guān)系中比較典型的是指數(shù)關(guān)系指數(shù)關(guān)系.采用的方法是通過取對數(shù)的方法將其轉(zhuǎn)化采用的方法是通過取對數(shù)的方法將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系為線性關(guān)系.例例 煉鋼過程中需要鋼包

42、來盛鋼水煉鋼過程中需要鋼包來盛鋼水, 由于受到鋼水的侵由于受到鋼水的侵作用作用, 鋼包的容積會不斷擴大鋼包的容積會不斷擴大, 下表給出使用次數(shù)和容下表給出使用次數(shù)和容積增大的數(shù)據(jù)積增大的數(shù)據(jù):次數(shù)次數(shù)23457810容積容積106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49次數(shù)次數(shù)111415161819容積容積110.59110.60110.90110.76111.00111.20鋼包使用次數(shù)和增大容積的數(shù)據(jù)鋼包使用次數(shù)和增大容積的數(shù)據(jù)圖形中可以看出圖形中可以看出, 該曲線具有函數(shù)該曲線具有函數(shù)/eb xya的特征的特征.兩邊取對數(shù)后有兩邊取對數(shù)后有1lnl

43、n/ln.yab xabx以此數(shù)據(jù)作為回歸數(shù)據(jù)以此數(shù)據(jù)作為回歸數(shù)據(jù), 則有則有 殘差圖為殘差圖為 4.多元回歸分析多元回歸分析 所謂多元回歸指的是所謂多元回歸指的是: 設(shè)設(shè) 12,mxx xx若若變量變量 具有關(guān)系具有關(guān)系y01 1,mmybb xb x20,N上式即稱為多元回歸模型上式即稱為多元回歸模型. 多元回歸的意義多元回歸的意義 設(shè)有設(shè)有 個獨立觀察值個獨立觀察值n12,1,2,iiiimy xxxin由上式得由上式得2011,0,iimimiiybb xb xN記記111111212111111,1mmnnmnmnxxybxxybXYbxxyb 則上式可簡寫成則上式可簡寫成2,0,Y

44、XbN再記再記 21,nTiQ bYXbYXb則則 的最小二乘估計為的最小二乘估計為b1.TTbX XX Y221nAiiSyy稱其為觀察值稱其為觀察值 12,ny yy的離差平方和的離差平方和; 上式可以上式可以分解成分解成12222,AAASSS其中其中1221,nAiiSyy2221,nAiiSyy分別稱為分別稱為回歸平方和回歸平方和及及殘差平方和殘差平方和. 模型的有效性檢驗?zāi)Ｐ偷挠行詸z驗:012:0,mHbbb可以證明可以證明, 當(dāng)當(dāng) 成立時成立時, 有以下結(jié)論有以下結(jié)論:0H 1222;ASm 與與 相互獨立相互獨立;12AS22AS1222/,1 ./1AASmFF m nmS

45、nm 多元回歸方法多元回歸方法 與一元回歸方法相仿與一元回歸方法相仿, 在在MatLab中中, 進行回歸的命令進行回歸的命令是是:b,bint,r,rint,statsregress( ,alpha)Y X其中數(shù)值的意義與一元回歸數(shù)值相仿其中數(shù)值的意義與一元回歸數(shù)值相仿.例例 血壓、年齡、體質(zhì)指數(shù)與吸煙關(guān)系的數(shù)據(jù)分析血壓、年齡、體質(zhì)指數(shù)與吸煙關(guān)系的數(shù)據(jù)分析 體質(zhì)指數(shù)體質(zhì)指數(shù)2kg.mWH 下表給出下表給出 個人的血壓和體質(zhì)指數(shù)個人的血壓和體質(zhì)指數(shù), 試建立相應(yīng)的試建立相應(yīng)的30如果還有吸煙的習(xí)慣如果還有吸煙的習(xí)慣, 怎樣在模型中加以考慮怎樣在模型中加以考慮.模型模型;序號序號血壓血壓/mmHg

46、年齡年齡體質(zhì)指數(shù)體質(zhì)指數(shù)吸煙習(xí)慣吸煙習(xí)慣11443924.2022154731.1131384522.6041454724.0151626525.9161424625.1071706729.5181244219.7091586727.21101545619.30序號序號血壓血壓/mmHg年齡年齡體質(zhì)指數(shù)體質(zhì)指數(shù)吸煙習(xí)慣吸煙習(xí)慣111626428.01121505625.80131405927.30141103420.10151284221.70161304822.21171354527.40181141818.80191162022.60201241921.50序號序號血壓血壓/mmHg年齡年

47、齡體質(zhì)指數(shù)體質(zhì)指數(shù)吸煙習(xí)慣吸煙習(xí)慣211363625.00221425026.21231203923.50241202120.30251604427.11261585328.61271446328.30281302922.01291252525.30301756927.41 記血壓為記血壓為 年齡為年齡為 體質(zhì)指數(shù)為體質(zhì)指數(shù)為 吸煙習(xí)慣為吸煙習(xí)慣為, y1,x2,x3,x則模型為則模型為01 12233.ybb xb xb x 回歸分析后的結(jié)果為回歸分析后的結(jié)果為模型還是比較理想模型還是比較理想, 殘差圖為殘差圖為說明數(shù)據(jù)中有說明數(shù)據(jù)中有2個異點個異點, 剔除后模型更加完善剔除后模型更加完善.

48、結(jié)果為結(jié)果為 由此得到回歸方程由此得到回歸方程:12358.51010.43032.344910.3065,yxxx上式說明上式說明, 在相同情況下在相同情況下, 吸煙者比不吸引者血壓將升吸煙者比不吸引者血壓將升高高 10.3065(mmHg).七、隨機模擬七、隨機模擬 1.隨機模擬的意義隨機模擬的意義 隨機模擬是一種隨機實驗的方法隨機模擬是一種隨機實驗的方法, 又稱為蒙特卡洛方又稱為蒙特卡洛方法法. 該方法起源于美國第二次世界大戰(zhàn)期間研制原子彈該方法起源于美國第二次世界大戰(zhàn)期間研制原子彈的的“曼哈頓曼哈頓”計劃計劃. 該項目的主持人之一該項目的主持人之一馮馮諾依曼用馳名世界的賭諾依曼用馳名世

49、界的賭城城摩納哥的蒙特卡洛來命名這種方法摩納哥的蒙特卡洛來命名這種方法. 基本思想基本思想 設(shè)計某一個隨機實驗設(shè)計某一個隨機實驗, 使得某個事件的概率與一個未使得某個事件的概率與一個未知數(shù)有關(guān)知數(shù)有關(guān). 對該問題做重復(fù)試驗對該問題做重復(fù)試驗, 以頻率取代該問題的以頻率取代該問題的概率概率. 從而求得該問題的近似解從而求得該問題的近似解. 2. 的模擬計算的模擬計算例例 設(shè)計一個計算方法以得到設(shè)計一個計算方法以得到 的近似計算值的近似計算值.方法方法 以普豐投針法進行求解以普豐投針法進行求解.dx 在平面上作出兩條距離為在平面上作出兩條距離為 的平行線的平行線.d取一根長度取一根長度 為為 的針

50、的針, 將針投向該區(qū)域?qū)⑨樛断蛟搮^(qū)域, 以以 表示針的中表示針的中l(wèi) ldx點與最近一條平行線的距離點與最近一條平行線的距離, 表示針與直線的交角表示針與直線的交角, 則有則有:針與直線相交針與直線相交.sin2xl即即sin .2lx由幾何概率知由幾何概率知: 針與平行線相交的概率針與平行線相交的概率 2.m AlPmdOsin .2lx22dx 在在MatLab下下, 建立相應(yīng)的求解程序建立相應(yīng)的求解程序.程序如下程序如下 的另一種估算方法的另一種估算方法 問題描述問題描述 在矩形在矩形 中任取一個點中任取一個點, 則該點可能落在圓內(nèi)則該點可能落在圓內(nèi), 0,10,1,.DPx yDS其中

51、其中 為為 的面積的面積.DDDD也有可能落在圓外也有可能落在圓外. 由幾何概率知道由幾何概率知道: 落在區(qū)域落在區(qū)域 內(nèi)的內(nèi)的概率為概率為為估計概率為估計概率, 今產(chǎn)生隨機數(shù)今產(chǎn)生隨機數(shù):, 1,2,iix yin其中其中: 且隨機變量且隨機變量 均服從區(qū)間均服從區(qū)間01,01,iixy,X Y22,1.iiiix yDxy由此得到問題的解法由此得到問題的解法.0,1上的均勻分布上的均勻分布. 則則例例 用用Monte Carlo方法估計定積分方法估計定積分120d .xx120d0.33.xx 相應(yīng)程序為相應(yīng)程序為:程序如下程序如下: 問題問題 如何計算積分如何計算積分 ?220dxx程序如下程序如下:例例 用用Monte Carlo方法估計定積分方法估計定積分10sind .xxx相應(yīng)程序如下相應(yīng)程序如下:在在MatLab下進行數(shù)值積下進行數(shù)值