自動控制原理【課件】第10章

1、第十章 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合 10.1 輸出反饋與狀態(tài)反饋 10.2 極點配置問題 10.3 狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測器設計 10.4 最優(yōu)控制問題概論 10.5 MATLAB在線性反饋系統(tǒng)時間域綜合中的應用 小結(jié) 10.1 輸出反饋與狀態(tài)反饋 反饋是控制系統(tǒng)設計的主要手段。經(jīng)典控制理論采用輸出作為反饋量,現(xiàn)代控制理論除了輸出反饋外,廣泛采用狀態(tài)作為反饋量,這就是狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋可以提供更多的補償信息, 所以可以獲得更為優(yōu)良的控制性能。 考慮n維線性定常系統(tǒng)(沒有引入反饋)： (10.1) x,u,y分別為n維、p維和q維向量,A,B,C分別為nn、np和qn維的實數(shù)矩陣。 1. 輸出反饋 在

2、經(jīng)典控制中,都用輸出量作為反饋量。輸出反饋的目的首先是使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定,然后在此基礎上進一步改善閉環(huán)系統(tǒng)的性能。 輸出反饋的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖10 - 1所示。輸出反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 (10.2) 為方便起見,用(A-BFC,B,C)表示輸出反饋系統(tǒng),該系統(tǒng)對應的傳遞函數(shù)(矩陣)為 (10.3) 圖 10-1 輸出反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 2. 狀態(tài)反饋 若將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量的線性函數(shù)u=r-Kx(10.4)式中, r為與u同維的參考輸入向 引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 (10.5) 系統(tǒng)(A-BK, B, C)對應的傳遞函數(shù)(矩陣)為 可以證明,由輸出反饋和狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系

3、統(tǒng)均能保持反饋引入前系統(tǒng)的可控性,而對于可觀性不存在類似的結(jié)論, 并且狀態(tài)反饋不改變原傳遞函數(shù)的零點。 (10.6) 圖 10-2 狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 10.2 極點配置問題 系統(tǒng)的動態(tài)特性與系統(tǒng)極點在復平面上的分布密切相關。 合理地配置極點的位置能獲得滿意的動態(tài)性能。所謂的極點配置問題, 就是通過選取適當?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣K,使閉環(huán)系統(tǒng)(A-BK, B, C)的極點,即A-BK的特征值恰好位于所希望的一組極點位置上。因為希望的極點具有任意性,所以極點的配置也應當做到具有任意性。事實上,經(jīng)典控制理論中采用的綜合法, 無論是根軌跡法還是頻域法, 從本質(zhì)上講都是一種極點配置方法。 1. 極點任意配

4、置的條件 單變量系統(tǒng)可以任意配置極點的條件可由定理10-1給出。 定理 10-1(極點配置定理) 對于單輸入、單輸出系統(tǒng)(A, B, C),給定任意的n個極點si(i=1,2, ,n),si為實數(shù)或共軛復數(shù)。 以這n個給定極點為根的多項式為 那么存在1n矩陣K,使閉環(huán)系統(tǒng)(A-BK,B,C)以si(i=1,2, , n)為極點, 即 的充分必要條件為受控系統(tǒng)(A, B, C)是狀態(tài)完全可控的。 證明 重點證明充分性。 由于線性非奇異變換不改變矩陣的特征值, 所以不妨設狀態(tài)完全可控系統(tǒng)(A,B,C)的系數(shù)矩陣已經(jīng)為可控標準型, 即 其傳遞函數(shù)為 設狀態(tài)反饋矩陣為K=kn kn-1 k1, 于是有

5、 因此, 閉環(huán)系統(tǒng)(A-BK, B, C)的傳遞函數(shù)為 所以取K陣為 就可以使 即以任意給定的si(i=1, 2,n)為極點(充分性證畢)。 定理的必要性可以這樣解釋: 如果受控系統(tǒng)不是狀態(tài)完全可控的,那么其中必然有一些狀態(tài)變量不受控制,這樣企圖通過控制作用來影響那些不可控的狀態(tài)是不可能的。換句話說,極點如果能夠任意配置, 受控系統(tǒng)必須是完全可控的。 從以上充分性的證明可以得出如下結(jié)論: (1) 如果受控系統(tǒng)是可控標準型, 則狀態(tài)反饋增益矩陣可由式(10.7)直接求出。 (2) 如果狀態(tài)完全可控受控系統(tǒng)的一般形式為, 經(jīng)過線性非奇異變換 或 ,可得可控標準型(A,B,C), 則有如下關系: 從

6、而有 所以 (10.8) (3) 由受控系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G0(s)和GK(s)的表達式可知,對狀態(tài)完全可控系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋, 任意配置極點, 并不改變其零點在復平面上的位置, 即在按狀態(tài)反饋組成的閉環(huán)系統(tǒng)中, 其閉環(huán)零點等同于開環(huán)零點。 2. 極點配置的設計步驟設單變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 (10.9) 若采用狀態(tài)反饋控制律, 即 (10.10) 則可由如下步驟求取狀態(tài)反饋增益矩陣K,使得系統(tǒng)(A-BK,B,C)的極點位于任意給定的一組希望極點si(i=1,2, ,n)的位置。 第一步: 判定受控系統(tǒng)(A,B,C)的可控性。如果狀態(tài)完全可控,繼續(xù)下一步, 否則, 此系統(tǒng)不可實現(xiàn)極點任

7、意配置; 第二步: 從矩陣A的特征多項式 確定系數(shù)ai(i=1, 2, ,n); 第三步: 求取使系統(tǒng)化為可控標準型的線性非奇異變換矩陣P(如果給出的受控系統(tǒng)已是可控標準型, 則PI)。 第四步: 根據(jù)期望的極點si(i=1, 2, , n), 寫出期望特征多項式 第五步: 按照式(10.8)求取狀態(tài)反饋增益矩陣。 例 10-1 給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 要求利用狀態(tài)反饋把系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在-2, -1j處。 解 由給定的傳遞函數(shù)可以寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程: 由于系統(tǒng)具有可控標準型的形式,所以系統(tǒng)可控,可以任意配置閉環(huán)極點。令狀態(tài)反饋增益矩陣為 則經(jīng)K引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為 其特征多項式為 |s

8、I-(A-BK)|=s3+(k1+3)s2+(k2+2)s+k3 由期望的閉環(huán)極點給出的特征多項式為 (s+2)(s+1-j)(s+1+j)=s3+4s2+6s+4 比較上述兩個特征方程式可得狀態(tài)反饋矩陣為 K=4 4 1 另外,離散系統(tǒng)狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點的方法和連續(xù)系統(tǒng)類似, 離散系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點位于z平面的單位圓內(nèi)。 10.3 狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測器設計 10.3.1 狀態(tài)重構(gòu)問題 1. 狀態(tài)重構(gòu)的可行性分析所謂的狀態(tài)重構(gòu)問題, 指的是能否從系統(tǒng)的可量測參量, 如輸出y和輸入u,來重新構(gòu)造一個狀態(tài) ,使之在一定的指標下和系統(tǒng)的真實狀態(tài)x等價。這種狀態(tài)重構(gòu)在一定條件下是可能的。 因為如果線

9、性定常系統(tǒng) (10.11) 狀態(tài)完全可觀,就可以由輸出量y唯一地確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0, 從而系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)可以表示為 上式表明,只要滿足一定的條件,從可量測參量輸出y和輸入u間接重構(gòu)狀態(tài)x是可能的, 這就是狀態(tài)觀測器理論的出發(fā)點。 2. 等價性指標 要把上述想法變?yōu)槲锢硎聦?一個直觀的想法是人為地構(gòu)造一個動態(tài)系統(tǒng),以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的輸入,而動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)就是原系統(tǒng)的重構(gòu)狀態(tài)。如果構(gòu)造的動態(tài)系統(tǒng)和原系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)和參數(shù)上相同, 即 則有 這個齊次方程的解為 式中x0, 分別為原系統(tǒng)和重構(gòu)系統(tǒng)的初始狀態(tài)。如果恰有 ,則必有,即原系統(tǒng)的實際狀態(tài)等價于重構(gòu)狀態(tài)。但是由于一般情況下無法保

10、證兩系統(tǒng)的初始狀態(tài)相等, 所以實際狀態(tài)與重構(gòu)狀態(tài)不可能完全等價。但是如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即A的特征根均具有負實部, 就可以做到原系統(tǒng)的實際狀態(tài)與重構(gòu)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)等價, 即 (10.12) 式(10.12)就是重構(gòu)狀態(tài)與真實狀態(tài)之間的等價性指標。 3. 系統(tǒng)的重構(gòu)方程 由于系統(tǒng)狀態(tài)有時不可直接測量,因此很難用式(10.12)判斷實際狀態(tài)和重構(gòu)狀態(tài)的逼近程度,并且也不能保證系統(tǒng)矩陣A的特征根均具有負實部。為此可以用輸出值之間的差值 來代替 , 而且當式(10.12)成立時, 必有 將實際系統(tǒng)輸出與重構(gòu)系統(tǒng)輸出的偏差作為反饋量, 就可以得到如下重構(gòu)狀態(tài)方程: 即 (10.13) 式(10.13)就是系統(tǒng)的

11、重構(gòu)狀態(tài)方程,并且由于重構(gòu)狀態(tài)數(shù)等于實際狀態(tài)數(shù), 故式(10.13)也稱之為全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程。 狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖如圖10-3所示。 從式(10.11)和式(10.13)得 (10.14) 式(10.14)可視為以 為狀態(tài)變量的齊次狀態(tài)方程, 其系統(tǒng)矩陣與重構(gòu)方程的系統(tǒng)矩陣相同。 該齊次方程的解為 (10.15) 可見,若 , 則重構(gòu)狀態(tài)與對象的實際狀態(tài)x(t)相同。若 , 只要式(10.14)描述的系統(tǒng)具有漸近穩(wěn)定性(受擾系統(tǒng)在擾動消失后, 系統(tǒng)的狀態(tài)響應逐漸衰減到平衡點的性質(zhì), 詳見第十一章), 即(A-GC)的特征值均在復平面的左半平面, 則齊次方程(10.14)的解(10.15

12、)隨著時間的推移逐漸衰減為零, 即 (10.16) 圖 10-3 狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖 10.3.2 狀態(tài)觀測器的設計問題 1. 狀態(tài)觀測器極點任意配置的條件 定理10-2(觀測器的存在條件) 線性定常系統(tǒng)(10.11)具有式(10.13)形式的狀態(tài)觀測器的充分必要條件是系統(tǒng)不可觀部分是漸近穩(wěn)定的。這個定理說明了一個線性定常系統(tǒng)如果其不可觀部分的狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則可以構(gòu)造一個狀態(tài)觀測器來重構(gòu)系統(tǒng)的實際狀態(tài),從而實現(xiàn)狀態(tài)反饋。但是通常情況下,要求齊次方程(10.14)的解(10.15)盡快衰減,即希望重構(gòu)狀態(tài) 能在足夠短的時間內(nèi)趨近于x(t)。從線性系統(tǒng)時域分析的角度講, 這一過渡過程要求是由系統(tǒng)

13、(10.14)的系統(tǒng)矩陣(AGC)的特征值(或系統(tǒng)極點)決定的。為了實現(xiàn)這一快速性要求,希望(AGC)的特征值或狀態(tài)觀測器的極點可以任意配置。 從線性代數(shù)的知識可知,矩陣(AGC)的特征值與其轉(zhuǎn)置矩陣(ATCTGT)的特征值相同。若記ATA1,CTB1,GTK,則(ATCTGT)的特征值就是(A1B1K)的特征值。由10.2節(jié)的極點配置定理可知, 存在一個線性狀態(tài)反饋矩陣K使系統(tǒng)極點可以任意配置的充分必要條件是系統(tǒng)(A1,B1)完全可控,即(AT, CT)完全可控。根據(jù)對偶原理, 系統(tǒng)(AT, GT)完全可控等價于系統(tǒng)(A, C)完全可觀。 因此有如下定理： 定理10-3(狀態(tài)觀測器極點任意配

14、置定理)線性定常系統(tǒng)(10.11), 如果其狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為(10.13), 則狀態(tài)觀測器可以任意配置極點,即具有任意逼近速度的充分必要條件是系統(tǒng)(10.11)狀態(tài)完全可觀。 這個定理是線性狀態(tài)反饋系統(tǒng)(ABK,B,C)極點任意配置定理的對偶形式,其證明與定理10-1類似,并且對于單變量系統(tǒng)有如下結(jié)論: 如果單變量系統(tǒng)(A,B,C)已經(jīng)為可觀標準型形式,設系統(tǒng)矩陣A的特征方程式為 由狀態(tài)觀測器的希望極點i(i=1, 2, , n)構(gòu)成的特征多項式為 則n1維的反饋矩陣G為 (10.17) 如果給出的實際系統(tǒng)并非可觀標準型形式,其狀態(tài)觀測器的設計可由例10-2說明。 例10-2 設線性定常

15、系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 其中, 試設計一個狀態(tài)觀測器, 要求將其極點配置在1=-3, 2=-4, 3=-5上。 解 狀態(tài)觀測器的任意極點配置要求系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀的。所以首先應當檢測系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。 如果系統(tǒng)可觀, 并已經(jīng)具有可觀標準型, 則可以利用系統(tǒng)的特征方程和以希望配置極點為根的多項式, 根據(jù)式(10.17)就可以確定狀態(tài)觀測器的反饋矩陣G,從而確定系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器方程。對于不具有可觀標準型的系統(tǒng), 可采用如下的方法設計狀態(tài)觀測器: 檢測系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。系統(tǒng)的可觀性矩陣Qg及其秩為 所以系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀, 但不具有規(guī)范形式。對于階數(shù)較高的系統(tǒng), 設計其狀態(tài)觀測器需要將其轉(zhuǎn)化為可觀

16、標準型。 確定變換矩陣T。根據(jù)第九章化可觀標準型的方法, 變換矩陣T可確定如下: 化系統(tǒng)為可觀標準型。引入線性非奇異變換 , 則原系統(tǒng)的可觀標準型為 其中, 確定可觀標準型所對應的反饋矩陣 。設在可觀標準型表示下, 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為 則可觀標準型下, 狀態(tài)觀測器的特征方程為 再根據(jù)極點配置要求1=-3, 2=-4, 3=-5建立對應的特征多項式為 f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60 比較上述兩個特征多項式, 令其對應系數(shù)相等, 則有 所以可觀標準型所對應的反饋矩陣 為 此外,還可以利用式(10.17)確定反饋矩陣 ,求出的結(jié)果與上述結(jié)果相同。

17、確定給定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)觀測器反饋矩陣G。 所以原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 因為狀態(tài)觀測器的輸出為重構(gòu)狀態(tài), 所以狀態(tài)觀測器的輸出方程為 從以上的理論分析以及例10-2可知, 如果要求重構(gòu)系統(tǒng)的所有n個狀態(tài), 則系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的階數(shù)與真實系統(tǒng)的階數(shù)相同,即狀態(tài)觀測器的階數(shù)為n,這樣的狀態(tài)觀測器稱為全維狀態(tài)觀測器。 如果實際系統(tǒng)的某些狀態(tài)可以直接測量或狀態(tài)可由獨立的輸出變量線性表示,則可以減少重構(gòu)狀態(tài)的數(shù)目,實現(xiàn)重構(gòu)狀態(tài)數(shù)目少于系統(tǒng)階數(shù)的狀態(tài)觀測器稱為降維狀態(tài)觀測器。 2. 帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng) 圖 10-4 帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 設真實系統(tǒng)(或控制對象)的狀態(tài)空間表達式

18、為 (10.18) 若(A,B)矩陣對是可控的,(A,C)矩陣對是可觀的,則可以通過選擇狀態(tài)反饋矩陣K,使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點按性能指標的要求來配置。如果狀態(tài)x(t)不能直接量測,那么根據(jù)(A,C)矩陣對是可觀的條件,可以構(gòu)造一個觀測器,以觀測器的輸出重構(gòu)狀態(tài) 代替對象的實際狀態(tài)x(t)進行反饋。狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 (10.19) 并且系統(tǒng)的控制量為 (10.20) 由式(10.18)式(10.20)所描述的帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的階數(shù)為2n,其中控制對象和狀態(tài)觀測器均為n階系統(tǒng)。 進一步分析式(10.18)式(10.20)可得此2n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 (10.21) 為了便于討論

19、用 代替觀測器的狀態(tài)向量 , 可將狀態(tài)空間表達式(10.21)化為 (10.22) 因此, 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 (10.23) 可見閉環(huán)系統(tǒng)的特征根由兩部分組成,一部分與(ABK)有關, 它們決定了系統(tǒng)狀態(tài)x的性能;另一部分與(AGC)有關, 它們決定了觀測器的狀態(tài)估計x 的性能。這兩部分特征值可以分別通過對矩陣K和矩陣G的選擇來任意確定, 相互之間沒有聯(lián)系。這就使得狀態(tài)反饋設計和狀態(tài)估計(重構(gòu))設計可以獨立進行, 這就是現(xiàn)代控制理論中著名的分離定律。根據(jù)這個定律, 只要給定的系統(tǒng)A,B,C是可控且可觀的,就可以按照極點配置的需要選擇K矩陣,決定系統(tǒng)的動態(tài)性能;然后再按照觀測器的性能要求選

20、擇G陣,而G陣的選擇不影響系統(tǒng)已經(jīng)配置好的極點。 由于通常要求狀態(tài)觀測器的輸出重構(gòu)狀態(tài)能快速地逼近系統(tǒng)的實際狀態(tài),在狀態(tài)觀測器的極點配置時常常要求觀測器的特征值遠離虛軸,但是考慮到抗干擾能力, 又不能使觀測器的極點過于遠離虛軸,因此要在快速性和抗干擾性之間進行權(quán)衡。按照一般的工程經(jīng)驗,狀態(tài)觀測器的極點距虛軸的距離為系統(tǒng)希望極點距虛軸距離的5倍以上。 例 10-3 控制對象的狀態(tài)空間表達式為 試設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),使反饋系統(tǒng)的極點配置在1,2=-1j處。 解 設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)可以按照以下步驟進行: 檢查控制對象的可控性和可觀性。 由于系統(tǒng)可控矩陣和可觀矩陣的秩分別為 所

21、以系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控、可觀的,從而存在矩陣K、G使得系統(tǒng)及觀測器的極點可以任意配置。 設計狀態(tài)反饋矩陣K。設K=k2 k1, 引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的特征多項式為 |sI-(A-BK)|=s2+(5+k1)s+k2 由系統(tǒng)希望配置的極點確定的特征多項式為 (s+1-j)(s+1+j)=s2+2s+2 令上述兩個特征多項式的對應系數(shù)相等, 可得 k1=-3, k2=2 即狀態(tài)反饋矩陣為 K=k2 k1=2 -3 設計狀態(tài)觀測器的反饋矩陣G。 取狀態(tài)觀測器的極點為s1=s2=-5, 則希望的狀態(tài)觀測器具有的特征多項式為 (s+5)2=s2+10s+25 設反饋矩陣G為 G=g2 g1T 則狀態(tài)觀測器子

22、系統(tǒng)的特征多項式為 |sI-(A-GC)|=s2+(5+g2)s+5g2+g1 令兩個多項式相等, 解得 g1=0, g2=5 即 G=g2 g1T=5 0T 10.4 最優(yōu)控制問題概論 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。最優(yōu)控制研究的主要問題是: 根據(jù)已經(jīng)建立的被控對象的數(shù)學模型,選擇一個容許的控制規(guī)律, 使得被控對象按預定的要求運行,并使給定的某一性能指標達到最優(yōu)值(極大值或極小值)。如果設計的控制系統(tǒng)可以使某個性能指標達到最佳值,則這個控制系統(tǒng)就稱為最優(yōu)控制系統(tǒng)。 在最優(yōu)控制中, 性能指標的確定是一個比較復雜的實際問題。最常用的性能指標是由狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分表示的,這也是一

23、種常見的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 (10.24) 二次型性能指標為 (10.25) 式中,Q為正定(或半正定)實對稱矩陣,R為正定實對稱矩陣。式(10.25)中的xTQx表示狀態(tài)變量與平衡位置xe=0的偏差,uTRu與控制功率成正比。因此,使J最小就是使系統(tǒng)的偏差最小, 并使控制過程消耗的能量最小。 可以證明, 當系統(tǒng)狀態(tài)完全可控時,使J最小的控制是狀態(tài)x的線性函數(shù), 即 (10.26) 其中, K=R-1BTP (10.27) P為常數(shù)對稱正定矩陣, 且滿足下列的代數(shù)黎卡提(Riccati)方程: PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0 (10.28) 例 10-4

24、系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 性能指標為 其中a-b20, b0, 求使性能指標J最小的最優(yōu)控制u(t)。 解 系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為 因為可控性矩陣的秩為 所以系統(tǒng)狀態(tài)是完全可控的。 由性能指標的表達式可得 因為a-b20, 所以Q是正定的, R1也是正定的。 設P為對稱陣, 即 由黎卡提方程 PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0 可得如下三個代數(shù)方程: 由此解得 因為P為正定矩陣,所以p110, p11p22-p2120,從而推出p220, 又因為b0,所以p120。由此可得 即 最優(yōu)反饋矩陣 最優(yōu)控制信號為 圖 10-5 例 10-4 最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 10.5 MATLAB在線性反饋系

25、統(tǒng)時間域 1. 極點配置 設A、B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣, p是指定的一組極點, 狀態(tài)反饋控制u-Kx。MATLAB函數(shù)Kplace(A,B,p)或Kacker(A, B, p)可求得反饋矩陣K, 實現(xiàn)極點配置。其中place( )可求解多變量系統(tǒng), 但不適用于多重極點的情況; acker( )可求解多重極點,但不能求解多變量系統(tǒng)。 例10-5 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試用MATLAB確定狀態(tài)反饋矩陣K,使得系統(tǒng)閉環(huán)極點配置在(-5,-22 j)。 解 求解此例的MATLAB程序如下: %ex-10-5 A=0 1 0; 0 0 1; 0 -2 -3; B=0; 0; 1; p=-5; -2+

26、2i; -2-2i; K=place(A, B, p)運行結(jié)果為 K = 40.0000 26.0000 6.0000 2. 狀態(tài)觀測器的極點配置 狀態(tài)觀測器的極點配置可以通過對偶原理, 利用系統(tǒng)極點配置的方法實現(xiàn)。 例 10-6 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 試用MATLAB設計一個狀態(tài)觀測器, 其極點為p1=p2=-3。 解 設計此給定系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的MATLAB程序如下: %ex-10-6 A=0 1; -2 -3; B=0; 1; C=2 0; A1=A; B1=C; C1=B; p=-3 -3; K=acker(A1, B1, p); G=K程序運行結(jié)果為 G =1.5000 -1.000

27、0 3. 帶觀測器的極點配置例 10-7 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 試設計帶狀態(tài)觀測器的反饋控制系統(tǒng), 并使得系統(tǒng)極點配置在(-1j), 狀態(tài)觀測器的極點為(-5, -5)。 解 求解此問題的MATLAB程序如下: %ex-10-7 A=0 1; 0 -5; B=0; 1; C=1 0; A1=A; B1=C; C1=B; ps=-1+i -1-i; po=-5 -5; K=acker(A, B, ps) G1=acker(A1, B1, po); G=G1運行結(jié)果為 K = 2 -3 G = 5 0 4. 最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器設計MATLAB還提供了求解最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的函數(shù)lqr( )。 例 10-8 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 性能指標為 及 試分別確定最優(yōu)控制u1=-K1x和u2=-K2x,使得性能指標J1和J2最小。 解 求最優(yōu)控制反饋矩陣K1、K2的MATLAB程序為 %ex-10-8 A=0 1 0; 0 0 1; 0 -2 -3; B=0; 0; 1; C=1 0 0; Q1=100 0 0; 0 1 0; 0 0 1; R1=0.01; Q2=1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; R2=0.01; K1=lqr(A, B, Q1, R1) K2=lqr(A, B, Q2, R2) 程序運行結(jié)果為 K1 = 100.0000 53.1200 11.6711