量綱分析作業(yè)（完整）

1、量綱作業(yè)（僅供參考）整理：周琳1、量綱是否就是單位？?jī)烧哂泻侮P(guān)系。答:量綱不是單位。量綱表示物理量的基本屬性。不同屬性的物理量具有不同的量綱。單位是用來對(duì)物理量度量的標(biāo)準(zhǔn)。2、“Dimension”一詞有什么涵義（從中看出其演變）“Dimension”開始有“維數(shù)”的意思；后有“長(zhǎng)度，尺寸”的意思，指運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)上的概念；后來出現(xiàn)“量綱”的涵義，用來表示物理量的基本屬性。3、自由落體問題中，什么是基本量和導(dǎo)出量，單位系統(tǒng)如何選擇，選法是否唯一？答：自由落體問題中含有三個(gè)變量：下落行程h，下落時(shí)間t，重力加速度g?？梢砸詇，g為基本量，t為導(dǎo)出量，以h，g為單位系統(tǒng)，也可以選t，g為基本量，h

2、為導(dǎo)出量。t，g為單位系統(tǒng)，選法不唯一。4、從物理上分析擺錘質(zhì)量為何與單擺周期無關(guān)。答： 對(duì)于一個(gè)單擺，當(dāng)擺長(zhǎng)一定時(shí)，擺球的位置由擺角確定，擺球的運(yùn)動(dòng)由重力加速度g決定，擺球的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)的問題，與擺球的質(zhì)量無關(guān)，所以擺球的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)。5、什么是諧振子，求自然頻率。答：把振動(dòng)物體看作不考慮體積的微粒，這個(gè)振動(dòng)物體稱作諧振子。所謂諧振，在運(yùn)動(dòng)學(xué)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，該振動(dòng)是物體在一個(gè)位置附近往復(fù)偏離該振動(dòng)中心位置（叫平衡位置）進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)振動(dòng)形式下，物體受力的大小總是和他偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向總是指向平衡位置。自頻率f與彈性系數(shù)k，微粒質(zhì)量m有關(guān)。所以取m，k為基本量

3、并作單位系統(tǒng)，所以6、把定理和有的書上說的相似三定理進(jìn)行比較，分析說明哪個(gè)更本質(zhì)？答：相似三定理：相似第一定理：彼此相似的現(xiàn)象其同名各相似準(zhǔn)則數(shù)值相同。相似第二定理：現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系，可化為相似準(zhǔn)則的關(guān)系。相似第三定理：如兩個(gè)現(xiàn)象單值條件相似，而且由單值組成的各相似準(zhǔn)則數(shù)值相同，則兩個(gè)現(xiàn)象相似。相似三定理與定理相比，顯然定理中各表示由其單位組成的無量綱量，而這些無量綱量相似三定理中的“同名相似準(zhǔn)則”，顯然，對(duì)于同一個(gè)函數(shù)f，f內(nèi)各無量綱量值相同后，f值也必定唯一，即相似三定理中的“同一類現(xiàn)象、單值條件相似”等條件。（1）相似第一定理：即定理中若兩個(gè)現(xiàn)象具有相同的函數(shù)，則其無量綱量數(shù)值相

4、同。（2）相似第二定理：即定理中一個(gè)物理現(xiàn)象，因變量a是n個(gè)自變量的函數(shù)，即，取作為單位，將因變量a無量化為，即無量綱化因變量是個(gè)無量綱化自變量的函數(shù)。(3) 相似第三定理：即定理中兩個(gè)現(xiàn)象的各無量綱量數(shù)值相同，且函數(shù)f形式相同，則f值也必定唯一。相似三定律這么復(fù)雜的表述，用定理一句話就能得到，顯然定理更本質(zhì)。7、用隱函數(shù)證明定理。答：把物理問題的一個(gè)因變量和N-1個(gè)自變量統(tǒng)一視作變量，其總數(shù)是N。記作，則可將物理規(guī)律表示為不妨取前k個(gè)變量，它們是，其量綱分別為。后面N-k變量是導(dǎo)出量，其量綱可表示為基本量的量綱的冪次式：用基本量作為單位系統(tǒng)，來度量其余量，由此得到的量值都是無量綱的純數(shù)，它們

5、滿足的關(guān)系是：上式后面N-k個(gè)為對(duì)F起作用的無量綱因變量，記為，因此函數(shù)關(guān)系可寫為8、推導(dǎo)物理量量綱的冪次表達(dá)式的最后一步。答：兩邊積分得：所以 由于而的取值也具有任意性，可取可得：代入（1）式可得：C=1，所以9、盛水容器底側(cè)小孔的出流速度。（有圖）答：小孔的出流速度與容器中水的高度h，重力加速度g和小孔的直徑d有關(guān)。取為基本量，故有將在x=0點(diǎn)泰勒展開，由于是小孔，1，所以=C，即, 由不可壓縮流體的伯努利方程知 C=，即 。10、若溢洪道斷面為三角形，討論溢洪流量。（有圖）答：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過擋墻的質(zhì)量流量Q，控制參數(shù)有三角形的底部頂角，流體的密度，上游水頭h，重力加速度g。取，g，h為單

6、位系統(tǒng)，則：，所以11、分析定常管流的摩擦系數(shù)和總管阻？什么情況下可不考慮密度的影響，說明其物理原因。答：摩擦系數(shù)為單位面積上的管流阻力和管動(dòng)壓之比。因此，與管直徑d，液體密度，粘度系數(shù)，流速U相關(guān)。即取為基本量并作單位系統(tǒng)，得總管阻（2）層流時(shí)，可以不考慮密度的影響。層流時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)基本上作等速運(yùn)動(dòng)，流元所受的慣性力和粘性力相比較小，慣性效應(yīng)不明顯。因此可不考慮慣性即密度的影響。12、在低速繞流問題中，如水和空氣互相模擬，問機(jī)、艇的尺寸和速度的縮比范圍是什么？解：固體受到流體的作用力取作為單位，得，其中低速繞流的模擬需要兩方面的模擬條件，即 幾何相似：和； 動(dòng)力學(xué)相似：。（1）先分析低速飛機(jī)

7、在水中的模擬 對(duì)于低速飛行的飛機(jī)，飛行的速度范圍200400km/h，即50120m/s，一般飛機(jī)的尺寸：長(zhǎng)3060m，翼展3060m，高1020m，水洞的尺寸：直徑d=0.1，則尺寸縮比為（考慮做模型試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的放置方式，顯然應(yīng)以翼展方向的縮比為準(zhǔn)）。常溫下空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，由，得，得則又，所以一般情況下，水洞的水流速度的量級(jí)為110m/s，顯然流速遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到要求，因此用水洞模擬飛機(jī)的低速繞流是不現(xiàn)實(shí)的。（2）再分析潛艇在空氣中的模擬：對(duì)于低速前行的潛艇，其實(shí)際速度，潛艇的尺寸：長(zhǎng)50100m，寬515m，風(fēng)洞的尺寸：直徑為0.13m，則尺寸縮比為（考慮做模型試驗(yàn)時(shí)潛艇的

8、放置方式，顯然應(yīng)以寬度方向的縮比為準(zhǔn)）。常溫下水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。由，得，得所以 又，所以 因此當(dāng)潛艇的速度很小且尺寸較小時(shí)，可以用大尺寸的風(fēng)洞進(jìn)行模擬，即在這種情況下模型試驗(yàn)才可以在風(fēng)洞中進(jìn)行。13、作船舶潤(rùn)濕面積的量綱分析。（有圖）答：傳播的潤(rùn)濕面積S的控制參數(shù)有：船舶外形的特征長(zhǎng)度，排水體積D，船行進(jìn)的速度，水的密度，水的粘性系數(shù)，重力加速度g。所以取作為單位系統(tǒng)，得到，所以14、軸承問題是否要考慮慣性效應(yīng)？說明理由。答：在軸承潤(rùn)滑問題中，存在三種力，即慣性力，粘性力和壓力。但是一般情況下，標(biāo)志慣性力和粘性力之比的在0.001-0.01之間，所以可忽略慣性力的影響。為表

9、征慣性的密度，是滑速，h是滑面平均間隙，（R為定承半徑，r為軸半徑）。15、求小球在流體中下落的最終速度和所受的力。解：控制參數(shù)：小球的特征長(zhǎng)度，取直徑d 小球的密度和水的密度 重力加速度g和水的粘性系數(shù)對(duì)小球進(jìn)行受力分析：小球在達(dá)到最終速度時(shí)已經(jīng)處于平衡狀態(tài)，此時(shí)受到三個(gè)力的作用，重力G、浮力和粘滯阻力F，其中重力向下，浮力和粘滯阻力向上，所以有 由stokes公式知粘滯阻力, 即 顯然在分析小球的最終速度v時(shí)，小球的密度和水的密度是以差的形式即的出現(xiàn)的，小球的最終速度v滿足函數(shù)關(guān)系 取，和作為單位系統(tǒng)，有 即 （1）由stokes公式知粘滯阻力，小球達(dá)到平衡后粘滯阻力F將是恒值，所以速度v

10、和成反比，即 所以（1）式可化為 粘滯阻力其中,為常數(shù)。16、什么條件下可不考慮表面張力對(duì)水波波速的影響。從物理上做簡(jiǎn)單分析。答：波長(zhǎng)比較長(zhǎng)時(shí)可不考慮表面張力對(duì)水波波速的影響。由水波理論：若波長(zhǎng)比大得多，的值就遠(yuǎn)小于1，則可以忽略表面張力的影響。16、討論兩端固定的梁在側(cè)載作用下的撓度。（有圖）答：控制參數(shù)有梁的長(zhǎng)度，楊氏模量E，截面矩，分布載荷，它可以由特征分布載荷和表示分布特征的長(zhǎng)度來表征。所以選取和作為基本量，則：只要保持和，就會(huì)有一個(gè)無量綱的撓度分布 17、討論懸臂梁在自重作用下的最大撓度與梁長(zhǎng)的關(guān)系。解：顯然梁的最大撓度發(fā)生在梁的自由端處，即處控制參數(shù)：梁的長(zhǎng)度 梁的抗彎剛度EI 單

11、位長(zhǎng)度的梁的重量q 取 坐位單位系統(tǒng)，則 又在彈性范圍內(nèi)，所以有 ，其中C為常數(shù)，即 所以 18、什么樣的結(jié)構(gòu)物需要考慮重力的作用？答:（1）重力占主導(dǎo)作用時(shí)，如分析懸臂梁在自重作用下的撓度分布，顯然要考慮重力。（2）在彈性體的高度h超過一定數(shù)值，即表征重力與彈性極限Y的比值接近或超過1時(shí)，彈性體所受到的重力效應(yīng)不能被忽略，這樣的結(jié)構(gòu)物需要考慮重力的作用。（3）即使表征重力與彈性極限Y的比值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，如果所要研究的問題出現(xiàn)彈性失效，如屈曲失穩(wěn)，也應(yīng)該考慮重力的作用。19、調(diào)查一下國(guó)內(nèi)的離心機(jī)有多大，可以做什么樣的結(jié)構(gòu)物的重力效應(yīng)實(shí)驗(yàn)。答：（1）工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析，國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室最大載荷100k

12、g ，加速度范圍，最大回轉(zhuǎn)半徑2250mm,主要用于航空航天領(lǐng)域的科學(xué)研究。（2）中國(guó)工程物理研究院結(jié)構(gòu)力學(xué)研究所 TLJ-60有效半徑2.0m，最大載荷：100g時(shí)600kg，200g時(shí)300kg。最大容量60，加速度范圍10-200g，用于模擬邊坡、隧道、大壩、礦井等土工結(jié)構(gòu)場(chǎng)在重力場(chǎng)作用下的變形特性和應(yīng)力狀態(tài)試驗(yàn)。20、如方形空心梁由實(shí)心梁代替，那么實(shí)心梁的形狀要求符合什么條件？解：對(duì)梁的撓度分析可知，不必要求模型的截面形狀遵守幾何相似的條件，只要求截面矩滿足，即 對(duì)于方形實(shí)心梁，設(shè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則 對(duì)于方形空心梁，設(shè)外邊長(zhǎng)為，內(nèi)邊長(zhǎng)為 ，則 21求有限彈性體的固有周期。答：控制參數(shù)有：周期

13、T，彈性體特征長(zhǎng)度，密度，楊氏模量E，泊松比，則取為基本量并作為單位系統(tǒng)，所以：22、彈性體中體波的傳播有無色散現(xiàn)象，為什么？答：體波是指體內(nèi)一點(diǎn)擾動(dòng)在有限時(shí)間傳播到有限體積的波，顯然在體波的傳播中沒有特征長(zhǎng)度，也就無法去度量波長(zhǎng)，所以體波波速的控制參數(shù)中沒有波長(zhǎng)。波速c的控制參數(shù)有介質(zhì)的密度，泊松比，楊氏模量E，則：取，E作為基本量，則有，即 體波的波速與波長(zhǎng)無關(guān)，所以彈性體中體波的傳播沒有色散現(xiàn)象。23、桿徑對(duì)桿中彈性波波速起什么作用？答：桿中彈性波一方面沿桿長(zhǎng)方向傳播，另一方面當(dāng)遇到桿表面時(shí)會(huì)發(fā)生反射，因而會(huì)影響波的傳播，波速表達(dá)式中會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)。由量綱分析波速，波速與波長(zhǎng)有關(guān)。因此細(xì)桿中彈

14、性波為色散波。細(xì)長(zhǎng)桿壓縮波波速，當(dāng)R增加時(shí)，波速降低。24、求兩塊單板正面相撞引起的彈性波的波速。（與有關(guān)彈性波書中的結(jié)果作對(duì)比）答：波速c的控制參數(shù)有平板的密度，泊松比，楊氏模量E，則：取，E作為基本量，則有，即 王禮立的應(yīng)力波基礎(chǔ)給出的一維應(yīng)變彈性縱波波速c為 即 由于，所以可得 ，即。25、若硬度計(jì)的壓頭不是錐形而是球形，可否分析硬度和強(qiáng)度在什么條件下成正比？答：材料楊氏模量E，屈服極限Y，n是塑性硬化指數(shù)，泊松比，給定了材料和球形壓頭半徑R，那么，載荷F和接觸深度應(yīng)該由壓入深度h唯一確定。和因硬度H定義為，而所以H同樣是上述自變量的函數(shù)，即取E，h作為基本量并取作單位系統(tǒng)，于是有：也可

15、寫為 可見右邊無量綱數(shù)中是隨h的變化而變化的，難以判斷H和Y成正比關(guān)系。26、什么是幾何相似？什么是幾何相似律？舉例說明。答：幾何相似是指在模型實(shí)驗(yàn)中，模型與原型之間遵循的幾何形狀相似條件。例如在低速繞流中，幾何相似指，即幾何相似律：若模型采用與原型相同的材料，則在滿足幾何形狀相似和分布函數(shù)相同的條件下，在幾何相似點(diǎn)上有相同的相對(duì)位移，應(yīng)力和應(yīng)變。例如在考慮彈性體內(nèi)的位移，應(yīng)力，應(yīng)變時(shí)，在幾何相似點(diǎn)上有27、相似律是否一定相求幾何相似？答：不一定，例如在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷模擬實(shí)驗(yàn)中，不需要截面形狀幾何相似，只要做到原型和模型的截面矩具有相同的分布函數(shù)。28、估計(jì)和比較典型金屬材料中彈性波傳播和熱傳導(dǎo)的特征時(shí)間。答：（1）對(duì)于鋼，彈性波的傳播時(shí)間約為：熱傳導(dǎo)的特征時(shí)間約為