基數與實數理論

1、Functional Analysisn一、基數與實數理論一、基數與實數理論集合集合n 集合論自十九世紀八十年代由德國數學家Cantor創(chuàng)立以來，已發(fā)展成一個獨立的數學分支，其基本概念與方法已滲入到二十世紀的各個數學領域。集合論是研究集合的各種性質，它的初期工作與數學分析的深入研究密切相關。理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論 1900年H. Poincare：現在，我們能夠說完全嚴格性已達到了。 1903年Russell 提出“理發(fā)師悖論”。一個鄉(xiāng)村理發(fā)師，自夸無人可比，他宣稱自己當然不給自己刮臉的人刮臉，但卻給所有自己不刮臉的刮臉。有一天，他發(fā)生了疑問：他是不是應該給自己刮臉? 說明：集合分為兩類：（1）

2、集合是它本身的元素，）集合是它本身的元素，. .,ieXX（2）集合不是它本身的元素，）集合不是它本身的元素，. .,ieXX:,AX XX問：問：A 屬于哪一類？屬于哪一類？AA若AA若AAAA 矛盾矛盾集合的集合的公理系統公理系統-ZFC系統系統 自Russell悖論后，許多數學家為擺脫這一危機而努力工作。途徑為: 對Cantor的集合論加以改造，引進新的理論體系。Zermelo在1908年提出七條公理 Fraenkel加入代換公理Axiom of Choice (選擇公理) 。ZFC系統n 1917年法國數學家米里馬諾夫提出了一個悖論，von Neumann又引入了正則公理，至此的公理系

3、統最終建立起來。附附: : 自然數的自然數的Peano公理公理n設 是一非空集合，且1) 在 內存在一個特定元素，記為0;2) 存在 到自身的一個映射 使下面三條公理滿足: a) 對任意 b) 是一個單射nn,0;nnnnPeano公理n C) (歸納公理) 如果 的一個子集S 具備如下條件: 1) 2) 若 , 則 , 那么,必有 此時,稱 是一個自然數系, 內的元素稱為自然數.0SnSnSS 0,1,2,.集合的基數集合的基數( (勢勢) )n映射(雙射） :fABAB對等兩個集合A和 B，若存在雙射則稱A與B對等，記n1 1 、 若A與 對等，則稱A為有限集，其基數為n，否則，稱之為無限

4、集。1,2,3,. n對對 等等n命題命題 設A和B為同基數的有限集，若 為單射，則 必為滿射。反之，若 為滿射，則必為單射。:fABf對對 等等fn設想有一群鴿子，和等數的鴿籠，則上命題知：如果每一鴿子一一進籠，則鴿籠必無空者；反之，如鴿籠皆無空者，則必然每一籠子中僅有一只鴿子。 鴿籠原理鴿籠原理n2、若A與正整數集 對等，則稱A為可數集，否則為不可數集（在無限集中討論）。 1,2,., ,.n可數、不可數可數、不可數定理定理Th 1. 有理數集Q是可數(無限)集。Th 2. 可數多個可數集的并集是可數的。Th 3. 實數集R是不可數集。Cantor-Bernstein定理定理Th4. (C

5、antor-Bernstein) 若集合A與集合B的某真子集對等，B與A的某個真子集對等，則AB。. .,:,.ieA B=AB ABAB基數可比較性基數可比較性Cantor: 這等價于選擇公理這等價于選擇公理,A BABAB、 都有或成立？定理定理Th 6. 集合A為無限集 A與其一 真子集對等。ABTh 5. 設A是無限集，B是可數集，則 與A對等。部分與整體部分與整體無窮大的世界里，部分可能等于整體。n “整體多于部分”這一法則被破壞，表明無限集合具有本質上異于有限集合的特性。從有限過渡到無限，完全符合辯證的規(guī)律性質的質變。Hilbert 旅館旅館 設想一旅店內有限個房間，而所有的房間都

6、已客滿。這時來了位房客，旅店主說：“對不起，所有的房間都住滿了。” 現設想另一家旅店內設有(可數)無限個房間，所有房間都住滿了。這時候也有一新客來住，想訂房間。旅店主說：“非常對不起?！盚ilbert 旅館 正好這時候，聰明的旅店主的女兒說：“這好辦（不成問題）?！鞭k法: 她把一號房間的旅客移至二號房間，二號房間的旅客移至三號房間，等等。這一來，新客就住進了已被騰空的一號房間。Hilbert旅館n 又來了(可數)無窮多位要求訂房間的客人，旅店的女兒采用如下辦法: 一號房間的旅客移到二號房間，二號房間的旅客移到四號房間，三號房間的旅客移到六號房間，等等?，F在，所有單號房間都騰空出來了。從而新來的

7、無窮多位客人可住進去了。Hilbert 旅館n 這(可數)無窮多位旅客想每個人可數無數間房來安排他們的親戚朋友。女兒想了很久，終于想出了辦法。n 后來，女兒進入大學數學系。有一天，Cantor教授上課，他問：“要是區(qū)間 上每一點要占一個房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，也無法安排。0,1不可數無最大基數定理nTh7. 若A是非空集合，則A與其冪集 （由A的一切子集所構成的集合）不對等。2A證明證明若2AA:2AA:( )BxA xxA, . ., ( )2AyA styB( )yByyB若( )yByyB若矛盾矛盾基數 ， ，n 在 （N的基數）與 c （R的基數）之間是否還存在其它基數？

8、連續(xù)統假設： 與 c 之間不存在別的基數。 01200連續(xù)統假設n 1900年Hilbert在他的著名演講中列舉了23個未解決的問題，第一個便是連續(xù)統假設。 Godel在1940年指出連續(xù)統假設與ZFC的相容性；1963年Cohen證明它的獨立性。Godel 第一第一不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出： 任一足以包含自然數算術的形式系統，如果是相容的，則它一定存在有不可判定命題。即存在某一命題A，使A與A的否定在該系統中皆不可證。Godel 第二第二不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出： 如果一個足以包含自然數算術的公理系統是相容的，那么這種相容性在該系統內是不可

9、證明的.不等式不等式n1 1、三角形不等式、三角形不等式: : |,ababa bR1212|.| . |,nniaaaaaaaR n2、|1 |1 |1 |abababab 3. YoungYoung不等式不等式 ( p，q 為相伴數), 111,1ppq0,0abpqababpq4. Holder4. Holder不等式不等式n p, q p, q為相伴數為相伴數, ,11111|(| ) (| ) .nnnpqpqiiiiiiiabab積分型Holder不等式n p, q為相伴數11| ( ) ( )|( | ( )|) ( | ( )|)bbbpqpqaaaf x g x dxf xd

10、xg xdx5. Minkowshi5. Minkowshi不等式不等式n 111111(| )(| )(| ) .nnnppppppiiiiiiiabab1p 積分型Minkowshi不 等式1p 111(|( )( )|)( |( )|)( | ( )|)pbpabbppppaaf xg xdxf xdxg xdx直線上的點集直線上的點集n實數理論實數理論 十九世紀后半葉嚴格解決：什么是實數？ 1、Cantor, Meray, Weierstrass; 2、Dedekind理論實數理論實數理論定義定義 設設 都是有理數。都是有理數。假設對任意的正有理數假設對任意的正有理數 ，存在自然，存在

11、自然數數 ，使得當，使得當 時不等式時不等式 成立，成立， 就稱就稱 是是基本有理數列基本有理數列。 12,.,.na aa, n mN|nmaanaN實數理論實數理論 設 和 是兩個基本有理數列，若對任一正有理數 ，有自然數 ，使得當 時，不等式 成立，就稱基本有理數列 和 相等，記 。Nna nbnN|nnabna nb nnab實數 稱基本有理數列是一個實數，規(guī)定相等的基本有理數列是同一實數。引理引理n引理1 兩個基本有理數列 和 ， 那么 也都是基本有理數列；na nb, nnnnaba b引理n引理引理2 2 若基本有理數列 滿足 則 , , , nnnnabab, nnnnaabb

12、, nnnnnnnnababa ba b 實數域實數域n定義 設 是兩個實數，稱實數 為“ 加 ”（和）， 記 。稱 為 乘 （積），記 （引理說明合理性）, nnaabbnnab a bnna bna nbabab實數域定理 實數 全體按上述的加法及乘法成為一個域。（ Abel群; Abel群; 乘法與加法之間的分配律）。(, )R( , )R R開集開集n鄰域： 稱 為 的 鄰域。n內點：存在 的一個 鄰域 則稱 集 的內點。n開集：集合的每一點都是內點。aR( , ) :|U axxaaa( , )U aAaA聚點聚點n聚點： 的任意的鄰域中都含有 中異于 的一個點，則稱 為 的聚點。

13、0, ( ( , ) )U aaA , . .()nnnxA xa st xa n aAaAaa的任意的鄰域中都含有 A中無限多個點閉包、閉集閉包、閉集n閉包：設 表示 的一切聚點所成之集， 的閉包定義為 n閉集：如果 的余集 是開集， 則稱 為閉集。n定理： 為閉集的充分條件是AAAAAAAcARAAAAAn 實數理論正是由于極限運算而出現的。例如一個單調遞增的數列，如果有上界，是否一定有極限。從幾何的直觀上這個問題似乎是顯而易見的，但若要求給出嚴格的邏輯證明卻又發(fā)生困難。這樣必須要有嚴格的數學理 論，給極限論以堅實的基礎。 Cantor提出的這種用一列數來規(guī)定一個數的思想不僅為實數建立了嚴

14、格的理論，而且這個方法已被泛函分析和其它學科推廣了。極限理論極限理論n定義 設 是一實數列，如果有實數 ，適合如下條件：對于任何正實數 ，有自然數 ，得當 時， 成立 那么稱實數列 收斂于極限 ，記 na|naaNnNanaalimnnaa上確界上確界 若 是 的一個上界，且對 的任一上界 ，均有 ，則稱 為 的上確界，記 。 下確界aAaaaaARAsupaAinf A上確界上確界 是 的最小上界 是 的一個上界; 比 小的任何數都不是 的上界。AsupaAaaAAa. .,(1),iesasA (2)0, . .bA st ba 定定 理理確界存在定理 有上（下）界的非空數集必存在上（下）

15、確界。單調有界定理 單調遞增有上界的數列必存在極限。閉閉區(qū)間套定理區(qū)間套定理n設 是一串閉區(qū)間，滿足： （1）對任何自然數 ，都有（2） 則有 且 是一切閉區(qū)間的唯一公共點.,1,2,.nnabn n1122,.,.nna babablimlim,nnnnacbclim()0.nnnba1., ., .nnni eabc緊性定理緊性定理nBolzano-Weierstrass定理：任一有界數列必有收斂的子列。n覆蓋： 是一族開區(qū)間，若 ,則稱開區(qū)間族 覆蓋了U , a bUU , .a b緊性定理緊性定理Heine-Borel定理： 若開區(qū)間族 覆蓋有界閉區(qū)間 ，則從 必可挑出有限個開區(qū)間 同

16、樣覆蓋U , a b12,.,nU UU , :a b12 , .na bUUUU完備性定理完備性定理 nCauchy列 ： nCauchy收斂原理：數列 存在極限的充要條件為 是 Cauchy列 。na0,|.nmNn m N aa nana實數集的完備性實數集的完備性( (連續(xù)性連續(xù)性) )nCauchy收斂原理：n單調有界原理n閉區(qū)間套定理n確界存在定理nBolzano-Weierstrass定理(聚點定理)nHeine-Borel定理(有限覆蓋定理)Cantor 三分集三分集n 將 均分為三段，刪去中間的開區(qū)間 ，剩下兩個閉區(qū)間 和 ，又把這兩個部分都均分成三段，刪去中間的開區(qū)間 和 。如此下去0,11233( , )130, 23 ,11299( , )7899( , )Cantor三分集三分集n自然有些點是永遠刪不去的( 被刪去的開區(qū)間的端點 )，所有這些永遠刪不去的點所成的集稱為 Cantor Cantor 集集。1233, ,.Cantor三分集三分集n Cantor三分集在現代分析中是一個十分典型而有用的集合。 它是一個最經典的自相似集， 在分形幾何中具有重要地位。 然而，經典的分析卻把它看成是“病態(tài)”的集合， 而將它排除在研究和討論的問題之外。Cantor三分集三分集n 事實上,