CH7數(shù)學物理定解問題

1、1 第二篇第二篇 數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程2 數(shù)學物理方程常常來自于物理學、其它自然科學、技數(shù)學物理方程常常來自于物理學、其它自然科學、技術(shù)科學中，許多實際研究對象所涉及到的變量不僅僅是一術(shù)科學中，許多實際研究對象所涉及到的變量不僅僅是一個變量問題，可能會涉及到很多變量，這些多變量函數(shù)所個變量問題，可能會涉及到很多變量，這些多變量函數(shù)所滿足的方程稱為偏微分方程，有時也包括與此有關的積分滿足的方程稱為偏微分方程，有時也包括與此有關的積分方程、微分積分方程。如：方程、微分積分方程。如： 描寫電磁場運動的描寫電磁場運動的Maxwell方程組方程組波傳播滿足的波動方程波傳播滿足的波動方程熱傳導滿足的傳

2、導方程熱傳導滿足的傳導方程粒子擴散滿足的擴散方程粒子擴散滿足的擴散方程電流、電壓滿足的電報方程電流、電壓滿足的電報方程描寫微觀粒子運動的描寫微觀粒子運動的 方程和方程和 方程方程dingeroSchr Dirac等等等等3重點重點1、定解問題的概念、定解問題的概念2、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件的寫法；、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件的寫法；3、行波法研究一維波動方程解的方法和解的表示、行波法研究一維波動方程解的方法和解的表示 形式、以及解的物理意義。形式、以及解的物理意義。第七章第七章 數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理定解問題4 數(shù)學物理方程是從物理問題中導出的反映客觀物理量在數(shù)學物理方程是從物理問題中導出的

3、反映客觀物理量在各個地點、各個時刻之間相互制約關系的數(shù)學方程。換言之，各個地點、各個時刻之間相互制約關系的數(shù)學方程。換言之，是物理過程的數(shù)學表達。如是物理過程的數(shù)學表達。如 牛頓定律、熱傳導定律、熱量牛頓定律、熱傳導定律、熱量守恒定律、電荷守恒定律、高斯定律、電磁感應定律、胡克守恒定律、電荷守恒定律、高斯定律、電磁感應定律、胡克定律。定律。 同一問題不同環(huán)境下，其方程形式相同，即方程反映的同一問題不同環(huán)境下，其方程形式相同，即方程反映的是物理過程變化的規(guī)律。是物理過程變化的規(guī)律。 本篇介紹物理學中常見的三類偏微分方程及有關的定解本篇介紹物理學中常見的三類偏微分方程及有關的定解問題和這些問題的幾

4、種常見解法。問題和這些問題的幾種常見解法。第七章第七章 數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理定解問題一、數(shù)學物理方程一、數(shù)學物理方程5二、邊界問題二、邊界問題-邊界條件邊界條件 對于具體的系統(tǒng)，要解出滿足該系統(tǒng)所處條件下的方對于具體的系統(tǒng)，要解出滿足該系統(tǒng)所處條件下的方程，必須考慮到系統(tǒng)周圍的環(huán)境，不同系統(tǒng)，其周圍環(huán)境程，必須考慮到系統(tǒng)周圍的環(huán)境，不同系統(tǒng)，其周圍環(huán)境不同，不同，即邊界的區(qū)別。即使它們的滿足同樣的方程，但它即邊界的區(qū)別。即使它們的滿足同樣的方程，但它們的解不應該相同。因此，需要知道系統(tǒng)周圍環(huán)境所處的們的解不應該相同。因此，需要知道系統(tǒng)周圍環(huán)境所處的狀態(tài)。體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學方程稱為邊界條件。

5、狀態(tài)。體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學方程稱為邊界條件。三、歷史問題三、歷史問題-初始條件初始條件 歷史上的擾動對以后的狀態(tài)會有很大的影響。比如：歷史上的擾動對以后的狀態(tài)會有很大的影響。比如：分別用薄的物體和厚的物體敲擊同一弦，研究其后的振動。分別用薄的物體和厚的物體敲擊同一弦，研究其后的振動。雖然，它們滿足相同的數(shù)學方程，但初始情況不同，方程雖然，它們滿足相同的數(shù)學方程，但初始情況不同，方程的解不應該相同。要求解方程必須知道初始擾動的情況。的解不應該相同。要求解方程必須知道初始擾動的情況。體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學方程稱為初始條件。體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學方程稱為初始條件。6定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了

6、問題的定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的 特殊性，即個性。特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界他條件的方程稱為泛定方程。泛定方程：不帶有邊界他條件的方程稱為泛定方程。 它反映了問題的共性。它反映了問題的共性。具體的問題的求解的一般過程：具體的問題的求解的一般過程：1 1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程 客觀規(guī)律客觀規(guī)律2 2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和 初始條件初始條件 求解所必須用的求解所必須用的73 3、求解方法、求解方法 行波法、分離變量法、積分變行波法、分離變量法、積分變

7、換法、格林函數(shù)法、保角變換法換法、格林函數(shù)法、保角變換法1、常見的數(shù)學物理方程；、常見的數(shù)學物理方程；2、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件；、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件；3、將數(shù)學物理方程進行分類；、將數(shù)學物理方程進行分類；本章研究的問題有：87.1 7.1 數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程的導出導出步驟：導出步驟：1 1、確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰、確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰 近部分與它的相互作用。近部分與它的相互作用。2 2、根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達這個作用。、根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達這個作用。3 3、化簡、整理。、化簡、整理。9一一、典型的方程的導出、典型

8、的方程的導出（自學第七章第一節(jié)）（自學第七章第一節(jié)）1、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程2、泊松方程、泊松方程3、傳導方程、傳導方程4、波動方程、波動方程5、亥姆霍茲方程、亥姆霍茲方程10泊松方程泊松方程在充滿了介電常數(shù)為在充滿了介電常數(shù)為的電解質(zhì)，電荷的體密度為的電解質(zhì)，電荷的體密度為（x,y,z) )，研究該區(qū)域的靜電場。研究該區(qū)域的靜電場。 1.1.勢函數(shù)勢函數(shù)u(x,y,z)是根本量是根本量,;,;2.2.在所研究的區(qū)域中，任作一閉合曲面在所研究的區(qū)域中，任作一閉合曲面s s，圍出一空間，圍出一空間，由高斯定理：由高斯定理： dEddEsddsdssEE11因為因為所以所以11 uuEE若所

9、討論區(qū)域無電荷，則為若所討論區(qū)域無電荷，則為0 u u所以所以-此即泊松方程此即泊松方程-laplace-laplace方程方程四、方程的分類四、方程的分類121.數(shù)學物理方程的一般形式數(shù)學物理方程的一般形式0221221211fcuububuauauayxyyxyxx 其中11a，12a， 22a，1b，2b，c,f 只是 x,y 的函數(shù) 2.2.方程的分類方程的分類; ;按其符號，將方程化為三種類型按其符號，將方程化為三種類型; ; 二階偏微商項的三個系數(shù)二階偏微商項的三個系數(shù) 、11a、12a22a組成了一個判別式組成了一個判別式1211212aaa13(1)、雙曲型02211212aa

10、a （2） 、拋物型02211212aaa （3）橢圓型02211212aaa 由判別式式知; 橢圓型拋物型雙曲型 0u0u022xxtxxttuauau 3.3.三種典型方程的用途三種典型方程的用途141) 雙曲型方程雙曲型方程(Hyperbolic Equation)以波動方程以波動方程為代表的方程為代表的方程 它描繪了各向同性的彈性體中的波動、振動過程，或聲它描繪了各向同性的彈性體中的波動、振動過程，或聲波、波、電磁波的傳播規(guī)律電磁波的傳播規(guī)律 2) 拋物型方程拋物型方程(Parabolic Equation)：以熱傳導方程（或輸運方程）以熱傳導方程（或輸運方程）為代表為代表的方程的方程

11、 它主要描述擴散過程和熱傳導以及物質(zhì)傳輸過程所滿足的規(guī)律它主要描述擴散過程和熱傳導以及物質(zhì)傳輸過程所滿足的規(guī)律 fuaut2fuautt215雙曲型方程和拋物型方程雙曲型方程和拋物型方程都是隨時間變化（或發(fā)展）的，都是隨時間變化（或發(fā)展）的，有時也稱為發(fā)展方程有時也稱為發(fā)展方程. 3 3）橢圓型方程（）橢圓型方程（Elliptic EquationElliptic Equation）以泊松方程以泊松方程為代表的方程為代表的方程 它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定過程規(guī)律的偏微分方程它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定過程規(guī)律的偏微分方程. .在物理在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場、靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流現(xiàn)象中，它很好

12、地描述了重力場、靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流的速度勢等規(guī)律的速度勢等規(guī)律 當當 ， 即退化為拉普拉斯方程即退化為拉普拉斯方程0),(zyxf),(zyxfu 167 7、2 2 定解條件定解條件 一 初始條件 ：1.1.定義：定義： 是對所研究系統(tǒng)的在開始計時時刻的系統(tǒng)狀態(tài)初是對所研究系統(tǒng)的在開始計時時刻的系統(tǒng)狀態(tài)初 始分布始分布2.2.初始條件的特征：初始條件的特征： 偏微分方程的階數(shù)對應于初始條件中的數(shù)目偏微分方程的階數(shù)對應于初始條件中的數(shù)目: 一階含時偏微分方程一階含時偏微分方程 有一個初始條件有一個初始條件二階含時偏微分方程二階含時偏微分方程 有兩個初始條件有兩個初始條件1702 xxttu

13、au),(| ),(10zyxftzyxut ),(| ),(20zyxftzyxutt 3 3 、注意問題：、注意問題： 1 1）初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不）初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點處的情況。是一點處的情況。18 研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處的特定的特定“環(huán)環(huán)境境”，而周圍環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況，即邊，而周圍環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況，即邊界條件界條件 常見的線性邊界條件分為三類：常見的線性邊界條件分為三類：二二 邊界條件邊界條件 ：1.1.定義：定義： 系統(tǒng)的物理量始

14、終在邊界上具有的情況。系統(tǒng)的物理量始終在邊界上具有的情況。2.2.分類：分類： 第一類邊界條件第一類邊界條件: :直接給出了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；直接給出了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；第二類邊界條件第二類邊界條件: :給出了所研究的物理量在邊界外法線方向給出了所研究的物理量在邊界外法線方向 上方向?qū)?shù)的數(shù)值；上方向?qū)?shù)的數(shù)值； 第三類邊界條件第三類邊界條件: :給出了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的給出了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值線性組合在邊界上的數(shù)值. .19（1 1）第一類邊界條件）第一類邊界條件： 直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式直接給出系統(tǒng)邊界上物理

15、量的函數(shù)形式 比如：弦的兩端固定比如：弦的兩端固定0| ),(| ),(0 lxxtxutxu若弦兩端按某規(guī)律運動若弦兩端按某規(guī)律運動)(| ),()(| ),(0tgtxutftxulxx 對于一維：對于一維： ),(0001,000tzyxfuzyx )(| ),(10tftxux 20（2 2）、第二類邊界條件：）、第二類邊界條件： 規(guī)定了系統(tǒng)邊界上物理量法向方向上的方向?qū)?shù)的規(guī)定了系統(tǒng)邊界上物理量法向方向上的方向?qū)?shù)的 函數(shù)形式。函數(shù)形式。|nu ),(0002,000tzyxfzyx 例例2 2：桿在桿在x= =a處絕熱。處絕熱。xqxuk axxq |0|axxuk 所以 0|ax

16、xu 0|axxu xx+dxx熱流21例例3 3、弦振動中，在、弦振動中，在x= =a端為自由端。端為自由端。自由端說明弦在自由端說明弦在x= =a 處的受力處的受力無垂直于無垂直于x方向分量方向分量F=0|axxuT 0|axxu T1T2Bxa2a1uxx+dx22例例4:4:熱傳導的桿在熱傳導的桿在x=ax=a端自由冷卻，自由冷卻的意思是：端自由冷卻，自由冷卻的意思是：界面法向方向上的熱流與桿端溫度和環(huán)境的溫差成正比界面法向方向上的熱流與桿端溫度和環(huán)境的溫差成正比axnku |)|(axuh（環(huán)境為度） （u+hnu ）000,|zyx=),(0003tzyxf （ 3 33 3）、第

17、三類邊界條件：）、第三類邊界條件： 給出系統(tǒng)在邊界上給出系統(tǒng)在邊界上 u和和 的線性關系。的線性關系。 可寫為可寫為 unu23例例5 : 如圖如圖一個彈簧所施加的力一個彈簧所施加的力F(t)=-ku(l,t)，如圖，如圖所示，其所示，其 中中k是彈簧的勁度系是彈簧的勁度系數(shù)數(shù). .給出邊界條件給出邊界條件. . 這種邊界條件給出了邊界上的這種邊界條件給出了邊界上的導數(shù)值與函數(shù)值之間的線性導數(shù)值與函數(shù)值之間的線性關系，即為第三類邊界條件關系，即為第三類邊界條件0),(| tlkuxuYSlx0|0 xxuYSx24邊界條件概括為：邊界條件概括為：總結(jié)：總結(jié)：)(| )(tfunuau 0a時時

18、 第一類邊界條件第一類邊界條件=0=0時時 第二類邊界條件第二類邊界條件0, 0a時，第三類邊界條件時，第三類邊界條件25（3 3）、系統(tǒng)幾個邊界就有幾個邊界條件）、系統(tǒng)幾個邊界就有幾個邊界條件3 3 注意的問題：注意的問題：（1 1）、邊界條件中不是系統(tǒng)的初始條件）、邊界條件中不是系統(tǒng)的初始條件（2 2）、邊界條件只是時間的函數(shù)）、邊界條件只是時間的函數(shù)1 1、定義：由于某種原因，物理量在某些點上發(fā)生突變，則使、定義：由于某種原因，物理量在某些點上發(fā)生突變，則使系統(tǒng)分為兩部分或多部分，使偏微分方程為兩部分或多部分。系統(tǒng)分為兩部分或多部分，使偏微分方程為兩部分或多部分。每個部分都滿足同樣的偏微分方程，但在這點（或