Ch4.4 矩、協(xié)方差矩陣

1、第四節(jié)第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣n 元正態(tài)分布的概率密度元正態(tài)分布的概率密度一、一、 原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，稱(chēng)它為存在，稱(chēng)它為X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng) k階矩階矩. , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，稱(chēng)它為存在，稱(chēng)它為X的的k階中心矩階中心矩.可見(jiàn)，均值可見(jiàn)，均值 E(X)是是X一階原點(diǎn)矩，方差一階原點(diǎn)矩，方差D(X)是是X的二階中心矩。的二階中心矩。協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心矩二階混合中心矩.稱(chēng)它為稱(chēng)

2、它為 X 和和 Y 的的 k+L 階混合（原點(diǎn)）矩階混合（原點(diǎn)）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，稱(chēng)它為稱(chēng)它為X 和和 Y 的的 k+L 階混合中心矩階混合中心矩. )(LkYXE設(shè)設(shè) X 和和 Y 是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 k,L=1,2,存在，存在，可見(jiàn)，可見(jiàn)，二、二、協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量（將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個(gè)二階中心矩）的四個(gè)二階中心矩)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc稱(chēng)此矩陣為稱(chēng)此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣）的協(xié)方差矩陣.

3、22211211cccc這是一個(gè)非這是一個(gè)非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣 類(lèi)似定義類(lèi)似定義n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2, ,Xn) 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.為為(X1,X2, ,Xn) 的的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣。都存在都存在,( i, j=1,2,n ),(jijiXXCovc若若)()(jjiiXEXXEXEnnnnnncccccccccC212222111211矩陣矩陣稱(chēng)稱(chēng)三、三、n 元正態(tài)分布的概率密度元正態(tài)分布的概率密度)()(21exp|)2(11212 XCXCnf (x1,x2, ,xn)則稱(chēng)則稱(chēng) X 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布.其中其中C是是(X1,X2, ,X

4、n) 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.|C|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示C的逆矩陣，的逆矩陣，1CX 和和 是是 n 維列向量，維列向量， 表示表示X 的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置.X 設(shè)設(shè) =(X1,X2, ,Xn)是一個(gè)是一個(gè)n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量,若它的概率密度為若它的概率密度為Xn元元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)1. X=(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態(tài)分布元正態(tài)分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服從正態(tài)分布均服從正態(tài)分布.對(duì)一切不全為對(duì)一切不全為0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) a1,a2,an， 由此得到，由此得到，n維正態(tài)變量維正態(tài)變量(X1,X2, ,Xn)的每的每一個(gè)

5、分量一個(gè)分量Xi都是正態(tài)隨機(jī)變量；反之，若每個(gè)分都是正態(tài)隨機(jī)變量；反之，若每個(gè)分量量Xi都是正態(tài)隨機(jī)變量，且它們相互獨(dú)立，則都是正態(tài)隨機(jī)變量，且它們相互獨(dú)立，則(X1,X2, ,Xn)是是n維正態(tài)變量。維正態(tài)變量。若若 X=(X1, X2 , , Xn) 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的線性函數(shù)的線性函數(shù)，則則 (Y1,Y2, ，Yk) 也服從多元正態(tài)分布也服從多元正態(tài)分布.2. 正態(tài)變量的線性變換不變性正態(tài)變量的線性變換不變性. 3. 設(shè)設(shè)(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態(tài)分布元正態(tài)分布，則則“X1,X2, ,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立”

6、等價(jià)于等價(jià)于“X1,X2, ,Xn兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān)” 例例 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立且相互獨(dú)立且XN(1,2), YN(0,1). 試求試求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X 和和Y 的聯(lián)合分布為正態(tài)分布的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X 和和Y 的任意線的任意線性組合是正態(tài)分布性組合是正態(tài)分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 與與Y 獨(dú)立獨(dú)立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)故故 Z 的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezf zZN(5, 32)

7、例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立獨(dú)立,均服從正態(tài)分布均服從正態(tài)分布 令令U=aX+bY, V=aX-bY,問(wèn)常數(shù)問(wèn)常數(shù)a,b滿(mǎn)足什么條件時(shí)滿(mǎn)足什么條件時(shí)隨機(jī)變量隨機(jī)變量U,V相互獨(dú)立？相互獨(dú)立？2( ,)N 解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2數(shù)數(shù)的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系求求其他其他函數(shù)為函數(shù)為的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 例例 2yxxyxxXEdd )21(76)(102

8、0222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因?yàn)橐驗(yàn)?78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),( 的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為于是于是YX.147461471147149023 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 備備 用用 例例 題題四、小結(jié)四、小結(jié) 在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩和中心矩以及協(xié)方差