BS模型 詳細推導

1、嘻嘻過渡頁 TRANSITION PAGE Chapter.1前奏-背景介紹“一切數(shù)學公式模型，都是人類發(fā)明出來，并為人類服務的。它們與人類最大的區(qū)別一切數(shù)學公式模型，都是人類發(fā)明出來，并為人類服務的。它們與人類最大的區(qū)別就是沒有感情，特別是恐懼和貪婪。公式不會看到金發(fā)碧眼和黃金白銀就亢奮發(fā)狂，也就是沒有感情，特別是恐懼和貪婪。公式不會看到金發(fā)碧眼和黃金白銀就亢奮發(fā)狂，也不會面對槍林彈雨和不會面對槍林彈雨和20122012而癱軟發(fā)抖，即使對一個最出色的交易員來說，這也是難于登而癱軟發(fā)抖，即使對一個最出色的交易員來說，這也是難于登天的品質。天的品質?！?華爾街的猴子華爾街的猴子 安德魯安德魯貝寧

2、森貝寧森 目前國際上的期權定價方法五花八門，主流的主要有四種：Black-Scholes方法（簡稱B-S）、二叉樹定價法、蒙特卡羅模擬法以及有保值參數(shù)和杠桿效應的解析表達式等等。其中Black-Scholes方法是這里面唯一的解析方法，而其余三種都是數(shù)值法。期權定價現(xiàn)狀B-S是兩位經濟學家BLACK、SCHOLES名字的縮寫，為了紀念他們發(fā)現(xiàn)該模型而用他們的名字命名。 在二叉樹的期權定價模型型中，如果標的證券期末價格的可能性無限增多時，其價格的樹狀結構將無限延伸，從每個結點變化到下一個結點（上漲或下跌）的時間將不斷縮短，如果價格隨著時間周期的縮短，其調整的幅度也逐漸縮小的話，在極限的情況下，二

3、叉樹模型對歐式權證的定價就演變?yōu)殛P于價權證定價理論的經典模型：B-S模型。B-S模型與二叉樹模型的關系It is well known that the binomial model converges to the Black-Scholes model when thenumber of time periods increases to infinity and the length of each time period is infinitesimallyshort. This proof was provided in Cox , Ross and Rubinstein(1979)

4、.BSM模型之前大多數(shù)的期權定價都是用期權預期收益的貼現(xiàn)值表示；然而期權期望收益依賴于未來股票價格的概率分布，期望收益的貼現(xiàn)值依賴于貼現(xiàn)率 BSM模型之所以稱之為現(xiàn)代期權定價理論的基礎，是因為該模型對于期權的定價避免了對未來股票價格的概率分布和投資者風險偏好的依賴原理：構建一個投資策略組合，買入一種股票的同時，賣出一份一定份額的改股票的看漲期權，可以構造一個無風險的投資組合，即投資組合的收益完全獨立于股票價格的變化在資本市場均衡條件下，根據(jù)資本資產定價模型，這種投資組合的收益應等于短期利率。因此，期權收益可以用標的股票和無風險資本構造的投資組合來復制，在無套利機會存在的情況下，期權價格等于購買

5、投資組合的成本，即期權價格依賴于股票價格的波動量、無風險利率、期權到期時間、敲定價格、股票市價Chapter.2配樂-必備知識布朗運動（基本維基過程） 配樂-必備知識伊藤過程& 伊藤引理（IT0定理） 泰勒展開股票價格運動過程股票價格自然對數(shù)變化過程200001()()()()2!GxxGxGxxGxx ()(1)10011()(),!(1)!nnnnGxxGxxxnn00()()GGxxGxxdGGGxxdxdGdGdxdx泰勒定理：一元函數(shù)情形：記：略去的高階無窮小項，則有：000000(,)(,)()(,)Gxx yyGxyxy Gxyxy23000011()(,)()(,)2!

6、3!xyGxyxyGxyxyxy001()(,)!nxyGxynxy1001()(,),(1)!nxyGxx yynxyxy()GGGxy GGxGyxyxyxyxyGGdGdxdyxy二元函數(shù)情形：略去的高階無窮小項，則有或布朗運動（基本維基過程） 標準布朗運動設代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在時間 內的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征：特征1： 和 的關系滿足（6.1）： （6.1）其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。tzzt z特征2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 的值相互獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們

7、可得 （6.2）當0時 ，我們就可以得到極限的標準布朗運動： （6.3）tzTzNii1) 0()(dtdzt z先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： b是標準差 （6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz 遵循標準布朗運動。 普通布朗運動 bdzadtdx普通的布朗運動隨時間間隔的增加，需要加上一個漂移項，表示離開起始位置的程度（常數(shù)比率），而其運動是正態(tài)規(guī)律運動。總體是一個疊加運動 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可

8、以從公式（6.4）得到伊藤過程（Ito Process）： (6.5） 其中，dz 是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 伊藤過程 dztxbdttxadx),(),(漂移非常數(shù)，正態(tài)規(guī)律項非常數(shù)，都是與時間和其目前位置有關，更加復雜的隨機過程證券價格的變化過程可以用漂移率為S 、方差率為 的伊藤過程來表示： （6.6） SdzSdtdS22SdzdtSdS表示未來時間間隔后的證券價格增量變化是符合漂移和方差率只和目前價格有關系（線性關系）的伊藤隨機過程（即普通布朗運動的升級版）。表示未來價格變化率符合普通布朗運動，（描述運動偏離標注布朗運動的漂移率

9、和方差率項已變?yōu)槌?shù)而非與時間和目前值有關系的函數(shù)）股票價格的變化過程兩邊同除以S得：從（6.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7)ttSS),(ttSS 前三個是常數(shù)或者函數(shù)值，最后一個是個標準正態(tài)隨機變量，整個式子是某種正態(tài)隨機變量。只不過這里符合的正態(tài)分布的均值和方差是與時間間隔由關系的值而已。若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （6.8）由于 （6.9）根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下過程： (6.10)SdzSdtdS22221()2ffffdfSSdtSdzStSS伊藤引理2221()2ffffdfab

10、dtbdzxtxx伊藤引理的證明（根據(jù)二元函數(shù)的泰勒展開、伊藤過程 、標準布朗過程 證明可得）二元函數(shù)的泰勒展開式為由前述由此可推導222222211.22ffffffStSS ttSSSx tt SStSt 2222SStt 即 將變成不再是隨機變量。而 ，則有 ，那么 。所以有 因為 服從標準正態(tài)分布，有 和 ，由此可以推導 。如果我們求 的方差，有 當 時， 所以，當 時， 是高階無窮小量。這意味著，210t1Var22222VarttEE0E2Vart21E20Vart0t 2tdt222dSS dt2t2t21E再把 代入，就有將這個結果代入上面泰勒展開式，略去二階以上（包括二階）的

11、高階小量，就得到伊藤引理 得證222212fffdfdSdtS dtSSSSdzSdtdS2221()2ffffdfab dtbdzxtxx令 ， 由于代入式（6.10）: （6.11）證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且： 0,1,1222tGSSGSSGSGlndzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST這里的絕妙的對數(shù)變換是布萊克斯科爾斯微分方程的偏微分項全部消除變?yōu)楹唵蔚姆恼龖B(tài)分布的方程。同時也說明之前的假設是要成立的：證券價格的對數(shù)服從正態(tài)分布或證券價格服從對數(shù)分布。證券價格的對數(shù)變化量服從正態(tài)分布，從而知曉s 、t 的分布函數(shù)證券價格自然對數(shù)變化過程 Chapter.3奏

12、樂-模型推導微分方程風險中性定價其中：C期權初始合理價格；X期權交割價格；S所交易金融資產現(xiàn)價；T期權有效期；r連續(xù)復利計無風險利率；年度化方差（波動率）；N()正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，（標準正態(tài)分布 =0）。)()(21dNXedSNcrTTdTTrLSdTTrLSd12221)2/()/ln()2/()/ln(B-S定價公式基本假設(a) 原生資產價格演化遵循幾何Brown運動 （1） (b)無風險利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同，(c)原生資產不支付股息,(d)不支付交易費和稅收,(e)不存在套利機會,(f)證券交易是連續(xù)的。SdzSdtdS變量z是一個隨機變量，時間長度為 t，

13、要使z服從標準布朗運動 是依賴于S的衍生證券的價格 由ITO定理： （1）和（2）式離散形式：,ffS tttztSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222兩式遵循相同的維納過程，即 相同。所以可以選擇某種股票和衍證券的組合來消除維納過程。)(tZ（2）（3）（4）其中，方程（3）和方程（4）遵循的維納過程相同，即 相同。所以可以選擇某種股票和衍生證券的組合來消除維納過程。假設某投資者賣出一份衍生證券，同時買入 份股票 ztfSrt 222212ffStSS ffSS ffSS 則該證券組合的價值為時間后，該證券組合的價值變化：將方程（3

14、）和方程（4）代入上式，得因為這個方程不含有 ，經過 時間后證券組合必定沒有風險。因此，當 無限短時，該證券組合的瞬時收益率一定 與其他短期無風險證券的收益率相同。否則的話，將存在無風險的套利機會 。所以 zttt其中 為無風險利率(6)(5)r 確定期權的價值 ,就是要在區(qū)域 上 求解如下定解問題： 邊界條件222212fffSrSrftSS,fSt: 0, 0StT m ax (, 0 )m ax (, 0 )TTSXfXS歐式看漲歐式看跌222212fffStrfStSS222212fffSrSrftSS將方程(5)、(6)代入上式可得這就是著名的Black-Schole微分方程化簡得

15、前述的Black-Schole微分方程不包含任何投資者的風險偏好影響的變量，從而它獨立于風險偏好。因此，我們可以在對期權進行定價時使用任何一種風險偏好。為了簡便分析，可以做一個非常簡單的假設：所有的投資者都是風險中性的，這樣所有證券的預期收益率都是無風險利率 ,且其衍生證券的目前價值可以用其期末價值的期望值以無風險利率 來貼現(xiàn)得到。而在此前提下的定價便稱為風險中性定價。rB-S風險中性定價計算公式根據(jù)風險中性定價理論，歐式股票看漲期權的期望值為： 0),max(XSET其中 表示風險中性定價下的期望值， 為期權到期時間。 為時刻股票價格。因此，看漲期權的價格 是這個期望值以無風險利率 的貼現(xiàn)結

16、果：CTSTErmax(),0r TtTCeESX由前面得知，股票價格呈對數(shù)正態(tài)分布，即),)(lnln22tTtTSST令當前時刻t=0則：TTS1201,2ln20lnln,2TSSTT記那么11ln (,)TS 即ST服從對數(shù)正態(tài)分布。設ST的概率密度為 ，則0, 00,21)(21212)(ln1yyeyygyST()TSgy 2121(ln)211max(),0()()()2TyTSXXESXyXgy dyyXedyy )()5 . 0()ln()(ln121120121122ln2)(1211211212211dNSeTTrXSNeSXNedteerTrTXtdteXdteeXtXttln2)(1ln2)(12121212122TTrXSd)5 . 0()ln(21 令lny=t，上式= 右邊第一項= 代入化簡 2111tut化為標準正態(tài)分布令 第二項= )()5.