電磁學課件：靜電能

1、靜電能 靜電場能量與靜電場做功有關(guān)！靜電場能量與靜電場做功有關(guān)！系統(tǒng)靜電能與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)！系統(tǒng)靜電能與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)！1、點電荷組的靜電相互作用能2、電荷連續(xù)分布的帶電系統(tǒng)的靜電能3、利用靜電能求靜電力4、電場的能量與能量密度 1 點電荷組的靜電相互作用能 1、真空中N個點電荷組成的點電荷帶電系統(tǒng)，電量分別為q1q2.qN，空間位置分別為r1r2.rN，其中i、j點之間距離rij為：n全部rij決定點電荷組中點電荷的相對位置分布。n處于一定電荷分布狀態(tài)的點電荷組具有與rij有關(guān)的能量。這種與點電荷之間相對位置有關(guān)的點電荷組能量，稱為點電荷組的靜電相互作用能。jijiijrrrr2、點電荷組W互的

2、具體表達式（1）討論相距r12的兩個點電荷q1和q2組成的點電荷組，從無窮遠處狀態(tài)到相距r12狀態(tài)，外力克服電場力所做的功與兩點電荷移入的次序無關(guān)，只與點電荷組終態(tài)的狀態(tài)參數(shù)q1、q2和r12相關(guān)。如前所述，這個功就等于兩個點電荷的點電荷組的靜電相互作用能W互，即)(21211122211122UqUqUqUqW互（2）N個點電荷組的W互n由兩個點電荷組的靜電相互作用能公式推廣到N個點電荷組，可以對這N個點電荷進行不重復的組對，然后把每對點電荷的靜電相互作用能加起來，即可得到N個點電荷組成的點電荷組的靜電相互作用能W互。n式中， 是第j個點電荷在第i個點電荷 處產(chǎn)生的電勢。rji是第j個點電荷

3、到第i個點電荷的距離。 NjNjijiiqqqUqWWWWj121互互互互jijjirqU04n由于第j個點電荷與第i個點電荷組成的點電荷對的相互作用能相等，n由此可得N個點電荷組的靜電相互作用能W互為：n定義 為點電荷組中除qi外其他點電荷在qi處產(chǎn)生的電勢代數(shù)和，即點電荷組中除qi外其他電荷在qi處產(chǎn)生的電場電勢。由此上式可寫成：)(21ijjjiiijjjiiUqUqUqUqNijjNijiiUqW1121互NijjjijNijjjiirqUU1014NiiiUqW121互 2 電荷連續(xù)分布的帶電系統(tǒng)的靜電能 n對一個體電荷連續(xù)分布的帶電體，體積設(shè)為V，所帶電荷設(shè)為q，電荷在帶電體中的分

4、布情況由體電荷密度描述，我們設(shè)想把其分割成許多小體電荷元Vi，這些體電荷元都可以視為點電荷，因此可得帶電體的相互作用能 n式中，Ui(ri)為除第i個電荷元以外帶電體其他電荷在ri處產(chǎn)生的電勢。iiiiirUVrW)()(21互1、帶電體的靜電能Wen對帶電體內(nèi)電荷無限分割時，即過渡到體積分：n這里，U(r)包括電荷元dV在內(nèi)的帶電體全部電荷在r處產(chǎn)生的電勢。故 U(r)=Ui(r)+dU，其中dU是dV在自身r處產(chǎn)生的電勢，可以證明，dU趨于0。n因此，帶電體的靜電能包括帶電體內(nèi)電荷元之間的相互作用能和電荷元內(nèi)的電能。VedVrUrW)()(212、N個帶電體的系統(tǒng)的靜電能n設(shè)N個帶電體的體

5、積為V1,V2.VN，它們在空間r處產(chǎn)生的總電勢為n其中，Ui(r)是除了第i個帶電體的電荷以外其余所有電荷在r處產(chǎn)生的電勢，U(i)(r)是第i個帶電體的電荷在r處產(chǎn)生的電勢。n則N個帶電體組成的帶電系統(tǒng)的靜電能為：We=W互+W自 )()()()(rUrUrUiin其中，n這里，W自(i)是第i個帶電體的靜電能，并稱為第i個帶電體的自能。 W互是帶電系統(tǒng)內(nèi)N個帶電體之間的相互作用能，簡稱系統(tǒng)的互能。 NiViidVrUrW1)()(21互NiiNiViWdVrUrWi1)(1)()()(21自自NiViNiViNiVeiiidVrUrdVrUrdVrUrW1)(11)()(21)()(21

6、)()(21帶電體的相互作用能的討論n如果系統(tǒng)內(nèi)帶電體體積Vi非常小，以至于其他帶電體在Vi內(nèi)產(chǎn)生的電勢Ui(r)在Vi內(nèi)各點近似相等，即Ui(r)=Ui，則系統(tǒng)的相互作用能為：n這和點電荷組的相互作用能完全一致。 NiiiNiiVNiViUqrUdVrdVrUrWii11121)()(21)()(21互帶電體的自能的討論 對點電荷和線電荷的自能的討論點電荷的自能無限大，即自能是發(fā)散的。因此討論點電荷組的電能時，只討論互能。點電荷的自能為無限大表明，真正的點電荷實際上是不存在的。線電荷的自能也是無限大，這表明線電荷只是一種近似模型，真正的線電荷是不存在的。3、帶電面的靜電能n帶電導體的電荷分布

7、在表面上，因此求帶電導體的靜電能是求面電荷分布的帶電系統(tǒng)的靜電能。對面電荷系統(tǒng)的靜電能為：n這里U(r)為帶電面上r處的電勢。對于帶電導體，導體表面是等勢面，因此其靜電能為：SedSrUrW)()(21qUUdSrWSe21)(214、N個帶電面的帶電系統(tǒng)靜電能n由N個帶電面組成的帶電系統(tǒng)的靜電能為：n如果是N個帶電導體表面，注意到導體表面是等勢面，則其靜電能為： iSiieidSrUrW)()(21iiiiiSieUqUdSrWi21)(215、帶電體的電勢能n帶電體或帶電系統(tǒng)的電勢能是我們研究的帶電體同產(chǎn)生外電場的帶電系統(tǒng)之間的相互作用能。n由此，兩個帶電系統(tǒng)之間的相互作用能為：n其中，U

8、1(r1)為外電場在r1處產(chǎn)生的電勢，U2(r2)為研究的帶電體在r2處產(chǎn)生的電勢。212222211111)()(21)()(21VVdVrUrdVrUrW互221220112)(41)(dVrrrrUV121110221)(41)(dVrrrrUVn因此，可得：n即兩個帶電系統(tǒng)彼此在對方產(chǎn)生的電場里，它們之間產(chǎn)生的相互作用能可以稱為一個帶電系統(tǒng)在另外一個帶電系統(tǒng)產(chǎn)生的電場里的電勢能，且它們相等。即我們研究的帶電體的電勢能為：22222111112121221102112)()()()()()(41dVrUrdVrUrdVdVrrrrWVVVV互dVrUrWV)()(勢N個帶電體的電勢能n當

9、帶電體體積V很小時，可認為外電場的電勢在V內(nèi)是相等的，如點電荷，則這個帶電體在外電場中的電勢能為：n對于由N個體積很小的帶電體所組成的系統(tǒng)，如點電荷組，則其電勢能為：n其中，U(ri)為外電場在qi電荷所在位置ri處的電勢。qUW勢NiiirUqW1)(勢有電介質(zhì)存在時帶電系統(tǒng)的靜電能n可以證明，有介質(zhì)存在時，面自由電荷帶電系統(tǒng)在形成過程中外界對帶電系統(tǒng)做功，即帶電系統(tǒng)的靜電能的表達式為：n推廣到有電介質(zhì)情況下的體自由電荷帶電系統(tǒng)的靜電能為：n其中，U(r)是由自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生，因此其靜電能與自由電荷和極化電荷都有關(guān)。SedSrUrAW)()(210VedVrUrW)()(2103

10、利用靜電能求靜電力 n如果兩個帶電體的電荷分布給定，或者受力帶電體的電荷分布和施力帶電體產(chǎn)生的電場分布已經(jīng)給定，帶電體之間的靜電力通過積分原則上就可以求了。n但在很多情況下，求帶電體之間靜電力的積分不容易求，而受力帶電體和施力帶電體組成的帶電系統(tǒng)的靜電能容易求出，通過對靜電能求微商就可求出受力帶電體所受的靜電力。（1）由N個彼此絕緣的帶電體組成的系統(tǒng)n其中第i個是受力帶電體，其余N-1個帶電體為施力帶電體。設(shè)想N-1個施力帶電體保持靜止，讓受力帶電體作無限小的位移，在這過程中系統(tǒng)內(nèi)電場力做功為：n設(shè)系統(tǒng)在位移過程中是不與外界進行能量交換的孤立系統(tǒng)，這個過程中系統(tǒng)內(nèi)帶電體的電荷qi保持不變，系統(tǒng)

11、內(nèi)電場力做功只消耗系統(tǒng)的靜電能。iiziiyiixiizFyFxFrFAn即n則有： 寫成n式中，下標q表示在對We進行偏微商時，系統(tǒng)內(nèi)的電荷qj應視為常數(shù)。iiziiyiixqezFyFxFAW)(qieizqieiyqieixzWFyWFxWF)(,)(,)(qeiWF)(靜電力矩的表達式n如果系統(tǒng)內(nèi)第i個帶電體不是位移做功，而是繞某軸作無限小轉(zhuǎn)動角位移 ，則第i個帶電體受靜電力矩所作的功為：n因此，靜電力矩為：n如果已知系統(tǒng)的靜電能We的表達式，通過上述兩個公式即可求得系統(tǒng)內(nèi)第i個帶電體所受的靜電力和力矩。iqeLAW)(qeiWL)(（2）由N個帶電導體組成的系統(tǒng)n研究第i個帶電導體所

12、受的靜電力或靜電力矩：設(shè)想第i個帶電導體作無限小位移或無限小轉(zhuǎn)動角位移，在這過程中，設(shè)想通過外界電源作功保持系統(tǒng)內(nèi)各導體的電勢Uj不發(fā)生改變，則由能量守恒可知，系統(tǒng)的靜電能的改變量應等于過程中外界所作的功與系統(tǒng)內(nèi)靜電力作的功之差，即AAWUe)(n保持系統(tǒng)內(nèi)各帶電導體電勢不變而其電荷改變，外界（電源）所做的功為：n而N個帶電導體組成的系統(tǒng)的靜電能為 保持系統(tǒng)內(nèi)帶電導體電勢不變而電荷改變，系統(tǒng)的靜電能改變?yōu)椋簄故jjjeUqW21NjjjqUA1jjjUeqUW21)(UeUeWWAA)()(n由 或n可得受力帶電導體i所受靜電力或靜電力矩為：UieizUieiyUieixzWFyWFxWF)(,)(,)(UeiWF)(UeiWL)(iirFAiLA （3）利用互能求靜電力或靜電力矩n如果受力帶電體在位移或轉(zhuǎn)動過程中，受力帶電體和施力帶電體上的電荷分布都不改變，則各帶電體的電荷在