千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(三)：第67煉圓錐曲線的性質(zhì)

1、第九章 第67煉 圓錐曲線的性質(zhì) 解析幾何第67煉 圓錐曲線的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）橢圓：1、定義和標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值（定值大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，其中稱為橢圓的焦點(diǎn)，稱為橢圓的焦距（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，設(shè)距離和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點(diǎn)在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，設(shè)距離和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中哪個(gè)字母的分母更大2、橢圓的性質(zhì)：以焦點(diǎn)在軸的橢圓為例：（1）：與長軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為長軸長 ：與短軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為短軸長 ：與焦點(diǎn)有關(guān)：，稱為焦距（2）對稱性：橢圓關(guān)于軸，軸對稱，且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱（

2、3）橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍：設(shè)，則（4）通徑：焦點(diǎn)弦長的最小值 焦點(diǎn)弦：橢圓中過焦點(diǎn)的弦 過焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦說明：假設(shè)過，且與長軸垂直，則，所以，可得。則（5）離心率：，因?yàn)?，所以?）焦半徑公式：稱到焦點(diǎn)的距離為橢圓的焦半徑 設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則（可記為“左加右減”） 焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為（7）焦點(diǎn)三角形面積：（其中）證明：且 因?yàn)?，所以，由此得到的推論?的大小與之間可相互求出 的最大值：最大最大最大為短軸頂點(diǎn)（二）雙曲線：1、定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離差的絕對值為一個(gè)常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線，其中稱為橢圓的焦點(diǎn)，稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個(gè)定點(diǎn)

3、距離差為一個(gè)常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支2、標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在軸：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)距離差的絕對值，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中 焦點(diǎn)在軸：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)距離差的絕對值，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，則對應(yīng)字母作為被減數(shù)2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點(diǎn)在軸的雙曲線為例：（1）：與實(shí)軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為實(shí)軸長 ：與虛軸的頂點(diǎn)有關(guān)：，稱為虛軸長 ：與焦點(diǎn)有關(guān)：，稱為焦距（2）對稱性：雙曲線關(guān)于軸，軸對稱，且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱（3）雙曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍：設(shè)，則有或， （4）離心率：，因?yàn)?，所以 （5）漸近線：當(dāng)或時(shí)，雙曲線在向兩方無限延伸時(shí)，會(huì)向某條直線無限靠近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸

4、近線。 雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點(diǎn)位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的1變?yōu)?，再解出關(guān)于的直線即可。例如在中，求漸近線即解：，變形為，所以即為雙曲線的漸近線 漸近線的幾何特點(diǎn)：直線所圍成的矩形，其對角線即為雙曲線的漸近線 漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能體現(xiàn)的關(guān)系。（6）通徑： 內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點(diǎn)連成的線段 外弦：雙曲線兩支上各取一點(diǎn)連成的線段通徑：過雙曲線焦點(diǎn)的內(nèi)弦中長度的最小值，此時(shí)弦軸， （7）焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，則 （可記為“左加右減”） 由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，距離為 （8）焦點(diǎn)三角形

5、面積：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，則（其中）（三）拋物線：1、定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于到一條定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)位置：（1）焦點(diǎn)在軸正半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)（3）焦點(diǎn)在軸正半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸：，焦點(diǎn)坐標(biāo)小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點(diǎn)的位置與坐標(biāo)：那個(gè)字母是一次項(xiàng)，則焦點(diǎn)在哪條軸上；其坐標(biāo)為一次項(xiàng)系數(shù)除以4，例如：，則焦點(diǎn)在軸上，且坐標(biāo)為3、焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則4、焦點(diǎn)弦長：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）二、典型例題： 例1：已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重

6、合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（ ）A. B. C. D. 思路：先從常系數(shù)方程入手，拋物線的焦點(diǎn)為，即雙曲線中的，所以，從而雙曲線方程為：，其漸近線方程：，由對稱性可得焦點(diǎn)到兩漸近線的距離相等，不妨選擇，右焦點(diǎn)，所以 答案：A小煉有話說：（1）一道題含多個(gè)圓錐曲線方程，往往以某些特殊點(diǎn)（焦點(diǎn)，頂點(diǎn)）為橋梁聯(lián)接這些方程，在處理時(shí)通常以其中一個(gè)曲線方程（不含參）為入手點(diǎn)，確定特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解出其他圓錐曲線的要素答案：A例2： 已知雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，直線與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）A. B. C. D. 思路：本題涉及圓錐曲線和字

7、母較多，所以首先要確定核心變量，從所求出發(fā)可嘗試以作為核心變量，拋物線的焦點(diǎn)為，所以可得，因?yàn)?，所以雙曲線方程為，可求得漸近線方程為，不妨設(shè)與平行，則有。從相切可想到與拋物線聯(lián)立消元后的方程：，所以解得答案：A例3：如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，將的離心率分別記為，點(diǎn)是在第一象限的公共點(diǎn)，若的一條漸近線是線段的中垂線，則（ ）A. B. C. D. 思路：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，所以有，所求表達(dá)式，本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮。結(jié)合的中點(diǎn)與的中點(diǎn)可得雙曲線的漸近線與平行，從而，所以有，聯(lián)系上面條件可得：，所以答案：A例4：已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn)，若

8、恰好將線段三等分，則（ ）A. B. C. D. 思路：因?yàn)橛泄步裹c(diǎn)，所以通過可得，從而，圓的直徑為，所以截橢圓的弦長為。由雙曲線得，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長公式即可得到關(guān)于（或）的方程，解方程即可解：通過可得，不妨設(shè)，則，所以 利用弦長公式可得 又因?yàn)?解得： ，故選C答案：C例5：（2014，山東，10）已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程是，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 思路：要想求漸近線方程，關(guān)鍵在的比值，所以將兩個(gè)離心率均用表示，再利用乘積為即可得到關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線方程解：設(shè)曲線的離心率分別為，則即因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：，代入可得：答案：

9、A小煉有話說：本題在設(shè)計(jì)上利用橢圓和雙曲線中的求法不同，從而使得兩條曲線在相同的情況下，離心率的乘積中含有平方差公式的特點(diǎn)，從而簡化運(yùn)算，較易得出關(guān)系例6：橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么的值是（ ）A. B. C. D. 思路：所求既是橢圓的焦半徑，又是雙曲線的焦半徑。所以由橢圓和雙曲線定義可得：，由此聯(lián)想到兩個(gè)式子的完全平方公式，進(jìn)而可求出，則答案：B例7：已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 思路：因?yàn)閮蓷l曲線的焦點(diǎn)重合，所以可用雙曲線計(jì)算出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，進(jìn)而可確定拋物線方程：，以

10、及準(zhǔn)線方程 ：。所以，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，所以，由焦半徑公式可得：，所以，即，可解得： 答案：B例8：設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，在軸上點(diǎn)的右側(cè)有一點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線左，右兩支在軸上方的交點(diǎn)分別為，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：因?yàn)樗蠓质缴婕暗饺龡l線段長度，若直接用距離公式則異常復(fù)雜，所以考慮時(shí)刻簡化計(jì)算，首先由聯(lián)想到焦半徑公式，設(shè)，則有，所以，設(shè)，由雙曲線可知，則的中點(diǎn)，圓半徑，所以圓方程為： ，整理后可得：，因?yàn)榈闹蹬c相關(guān)，所以考慮聯(lián)立圓和雙曲線方程：消去可得：，所以，代入可得：，因?yàn)椋栽降闹禐?答案：D小煉有話說：本題可發(fā)現(xiàn)無論的位置如何，從選項(xiàng)上來看應(yīng)該為定值，故可以利用特殊位置，比如為右焦點(diǎn)時(shí)，便可輕松得到答案：由對稱性可得，且，所以例9：如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_（用含的表達(dá)式表示） 思路：首先要將向靠攏，因?yàn)榕c圓切于，連結(jié)，可知，且為直角三角形，從而，進(jìn)而，在尋找，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且由雙曲線性質(zhì)得為的中點(diǎn)，所以連結(jié)，則由中位線性質(zhì)可得，而恰好是另一焦半徑。所以，由雙曲線定義可得：，從而答案： 小煉有話說：（1）題目中遇到中點(diǎn)問題，除了已知條件外，在橢圓和雙曲線中還要注意“原點(diǎn)也是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)”這一隱藏條件（2）在橢圓與雙曲線中，因?yàn)閮蓷l焦半徑存在幾