第十二章 拉普拉斯變換在電路分析中的應(yīng)用

1、反拉普拉斯變換反拉普拉斯變換赫維賽德展開(kāi)定理赫維賽德展開(kāi)定理 線性時(shí)不變電路的疊加公式線性時(shí)不變電路的疊加公式 零狀態(tài)分析零狀態(tài)分析網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和沖激響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和沖激響應(yīng)拉普拉斯反變換的分式法拉普拉斯反變換的分式法(分解定理分解定理)。拉普拉斯變換與電路分析有關(guān)的一些拉普拉斯變換與電路分析有關(guān)的一些基本性質(zhì)基本性質(zhì)12.1 拉普拉斯變換及其幾個(gè)基本性質(zhì)拉普拉斯變換及其幾個(gè)基本性質(zhì)拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)變換，可將微分方程變換為代拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)變換，可將微分方程變換為代數(shù)方程以便于求解。數(shù)方程以便于求解。例例1:對(duì)數(shù)變換對(duì)數(shù)變換ABBAABBAlglglg 乘法運(yùn)算簡(jiǎn)化乘法運(yùn)算簡(jiǎn)化為加法運(yùn)算為加

2、法運(yùn)算例例2:相量法相量法 IIIiii2121 相量相量正弦量正弦量正弦運(yùn)算簡(jiǎn)化正弦運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算為復(fù)數(shù)運(yùn)算 反變換反變換正變換正變換 )(21)( )()(0dsesFjtfdtetfsFstjjst 000積分下限從積分下限從0 開(kāi)始，稱為開(kāi)始，稱為0 拉氏變換拉氏變換 。積分下限從積分下限從0+ 開(kāi)始，稱為開(kāi)始，稱為0+ 拉氏變換拉氏變換 。dtetfdtetfdtetfsFststst 0000)()( )()(f(t)= (t)時(shí)此項(xiàng)時(shí)此項(xiàng) 00+拉氏拉氏變換變換一、拉氏變換一、拉氏變換 將時(shí)域函數(shù)將時(shí)域函數(shù)f(t) (原函數(shù)原函數(shù))變換為變換為 復(fù)頻域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)F(s)

3、(象函數(shù)象函數(shù)). js S為復(fù)頻率為復(fù)頻率 反變換反變換正變換正變換0 )(21)( )()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst )()()()( 1sFLtftfLsF簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)寫(xiě)F(s)稱為稱為f(t )的象函數(shù)，用大寫(xiě)字母表示的象函數(shù)，用大寫(xiě)字母表示 ，如，如I(s)、U(s)。f(t )為原函數(shù)用小寫(xiě)字母表示，如為原函數(shù)用小寫(xiě)字母表示，如 i(t ), u(t )。二、常用函數(shù)的拉氏變換二、常用函數(shù)的拉氏變換 01stesdteeeLsttt 0 0)(1tses s1 0)()(dtettLst 0dtest )()(0dtetfsFst )()(. 1ttf tetf )

4、(.2 jseLtj 1 0)()(dtettLst )()(. 3ttf 00)(dtetst = 1s1 0lim stntetnttf )(. 4dtettLstnn 0stnest 0dnststntseestd00 tetsnstnd01 1 nntLsntL211stLn 當(dāng)當(dāng)3222stLn 當(dāng)當(dāng)1! nnsntL三、三、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1. 線性性質(zhì)線性性質(zhì))()(, )()(2211sFtfLsFtfL 若若)()(21tfbtfaL 則則)()(21sbFsaF dtetbftafst )()(021證：證：dtetbfdtetafstst 02

5、01)()()()(21SbFSaF 1AL：例例sin 3tL ：例例1121 jSjSj 22 S)(21tjtjeejL SA )1 ( 2teAL ：例例)11( ssA2.導(dǎo)數(shù)性質(zhì)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)00)()(tdfedtedttdfstst 0)(0)(dtestftfestst)()0(ssFf )()(sFtfL 設(shè)設(shè)： vduuvudv 0)(0)(dtetfstfestst證明：證明：)0()()( fssFdttdfL則則推廣：推廣：)(22dttfdL)0()0()( ffssFs)0()0()(2 fsfsFs)(nndttfdL)0()0()(11 nnnffssFs)0()

6、()( fssFdttdfL)(tL 例：例：)(tdtdL 11 SS3.積分性質(zhì)積分性質(zhì))()(0 tdfdtdLtfL)(sF 00)()(ttdfss)()(0sdfLt 證：令證：令ssFs)()( )()(SFtfL 設(shè)：)(1)(0sFsdfLt 則則相量形式相量形式KCL、KVL元件元件 復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式相量形式電路模型電路模型UuIi 四、四、 復(fù)頻域中的電路元件與模型、電路定律復(fù)頻域中的電路元件與模型、電路定律類似地類似地)()()()(sItisUtu元件元件 運(yùn)算阻抗、運(yùn)運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納算導(dǎo)納運(yùn)算形式運(yùn)算形式KCL、KVL運(yùn)算形式運(yùn)算形式電路模型電

7、路模型IZU )()()(sIsZsU 1.電路元件的運(yùn)算形式電路元件的運(yùn)算形式R：u=Ri)()(sGUsI )()(sRIsU + u -iR+ U(s) -I(s)RGsYRsZ )()(L:dtdiLuLL )0()()0()()( LLLLLLissLIissILsUsisLsUsILLL)0()()( i iL L+ + u uL L - -L+ + - -sL)0( LLiUL(s)IL(s)s sL L+ + - -UL(s)IL(s)siL/ )0( sLsYsLsZ1)()( + uc -icC :susIsCsUccc)0()(1)( dtiCuutccc 01)0()0

8、()()( cCCCussCUsII IC C(S)(S)1 1/ /s sC Cu uc c(0(0- -) )/s/sUc(s) 1 1/ /sCsCCuc(0-)Ic(s)Uc(s)sCsYsCsZ )(1)(M ML L1 1L L2 2i1 1i2 2+ +u u1 1- -+ +u u2 2- - dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU耦合電感耦合電感:sMsYsMsZMM1)()( L L1 1i i1 1(0(0- -) )

9、MiMi2 2(0(0- -) )MiMi1 1(0(0- -) )L L2 2i i2 2(0(0- -) )+ +U U2 2(s)(s)- -+ +U U1 1(s(s) )- -I I1 1(s)(s)I I2 2(s)(s)sLsL1 1sLsL2 2+ -+ -sM1211uuRiu)()()()(1211sUsURsIsU + +u u1 1- -+ +u u2 2- -R Ri1 u1受控源：受控源：(s)(s)U U+ +1 1(s)(s)- - R RI1(s)+ +U U2 2- -U1(s)2. 電路定律的運(yùn)算形式電路定律的運(yùn)算形式 0 KVL 0 KCL ui 0)(

10、sU 0 (s) I0)0( 0)0( LCiu ttiCtiLiRu0d1dd+u- -iRLC)1)(sCsLRsI 運(yùn)算阻抗運(yùn)算阻抗)()()(sIsZsU )()()(sUsYsI )(1)(sZsY S域中的歐姆定律域中的歐姆定律sCsLRsZ1)( +U(s)- -I(s)RsL1/sC)(1)()()(sIsCssLIRsIsU 五、運(yùn)算電路模型五、運(yùn)算電路模型S域電路模型域電路模型時(shí)域電路時(shí)域電路0)0( 0)0( Lciu1. 電壓、電流用象函數(shù)形式電壓、電流用象函數(shù)形式2. 元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示電容電壓和

11、電感電流初始值用附加電源表示RRLLCi1i2E (t)+- -RRLsL1/sCI 1( s)E/sI 2( s)+-時(shí)域電路時(shí)域電路例例52F2010100.5H50V+ +- -uc c+ + - -iLt=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)uC(0-)=25V iL(0-)=5At 0 運(yùn)算電路運(yùn)算電路200.5s- -+-1/2s25/s2.55IL(s)UC(s)12.2 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的方法由象函數(shù)求原函數(shù)的方法(1)利用公式利用公式dseSFjtfstjj)(21)( (2)查拉普拉斯變換表查拉普拉斯變換表)()()()(21SFSFSFSFn )()()()

12、(21tftftftfn 象函數(shù)的一般形式：象函數(shù)的一般形式：)( )()()(110110mnbSbSbaSaSaSBSASFnnnmmm (3)對(duì)對(duì)F(S)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理進(jìn)行數(shù)學(xué)處理nSSSB 10)(的的根根為為不不等等實(shí)實(shí)根根一一、利用部分分式將利用部分分式將F(S)分解為：分解為：nnSSkSSkSSkSF 2211)(tsntstsnekekektf 2121)(1)()(11SSSFSSk 2)()(22SSSFSSk nSSnnSFSSk )()()(1SS )(1SS )(1SS )(1SS )( )()()(110110mnbSbSbaSaSaSBSASFnnnmmm 655

13、4)(:2 SSSSF例例3221 SKSK21354 SSSK3725432 SSSK)()73()(32teetftt )3)(2(54 SSS3,221 SS有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根二、二、)(SB一對(duì)共軛復(fù)根為一對(duì)共軛復(fù)根為 jS2,1)()()()()()( jSjSSASBSASF jSkjSk21k1,k2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù) kkkk21 設(shè)設(shè))()()()()(teekeektftjjtjj )()()(teeektjtjt )()cos(2ttekt 52)(:2 SSSSF例21jS 6 .26559. 0)21(211 jSjSSk6 .26559. 0)21(

14、212 jSjSSk)()6 .262cos(559. 02)(ttetft )()6 .262cos(118. 1ttet 法二：配方法法二：配方法522 SSS22222)1(12)1(1 SSStetetftt2sin212cos)( )()6 .262cos(118. 1ttet 222)1(11 SS法一：法一：有有相相等等的的實(shí)實(shí)根根（重重根根）三三、)(SB )()(1110nmmmSSaSaSaSF nnnnSSkSSkSSkSSkSF)()()()(1111112112111 1)()(11SSnnSFSSk 1)()(111SSnnSFSSdsdk 1)()(! 21122

15、21SSnnSFSSdsdk 1)()()!1(111111SSnnnSFSSdsdnk 222211)1()1( SKSKSK2)1(4 SSS例：例：4)1(4021 SSSK34122 SSSK1221)()1( SSFSdsdK441 SSSdsd)()344()(tteetftt 65119)(22 SSSSSF例：例：655412 SSS37231 SS)()37()()(23teettftt 2)求求F(S)分母多項(xiàng)式等于零的根，將分母多項(xiàng)式等于零的根，將F(S)分分解成部分分式之和解成部分分式之和3)求各部分分式的系數(shù)求各部分分式的系數(shù)4)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變對(duì)

16、每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換換 。小結(jié)小結(jié)1) 將將F(S)化成最簡(jiǎn)真分式化成最簡(jiǎn)真分式由由F(S)求求f(t) 的步驟的步驟12.312.5 零狀態(tài)分析零狀態(tài)分析 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和沖網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和沖激響應(yīng)激響應(yīng) 疊加公式疊加公式一、零狀態(tài)元件的一、零狀態(tài)元件的S域模型域模型)()(sRIsURR )(1)(sUsLsILL )(1)(sIsCsUCC RZRsLZLsCZL1)(sUR)(sUL)(sUC二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)零狀態(tài)零狀態(tài)零狀態(tài)零狀態(tài))()()(L)(L)(sEsRtetrsH 單個(gè)獨(dú)立源作用的線性網(wǎng)絡(luò)單個(gè)獨(dú)立源作用的線性網(wǎng)絡(luò)零零 狀狀態(tài)態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)1.

17、定義定義1)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù))()()(sIsUsZ )()()(sUsIsY 策動(dòng)點(diǎn)阻抗策動(dòng)點(diǎn)阻抗策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納2)轉(zhuǎn)移函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳遞函數(shù)傳遞函數(shù))()()(12sUsIsH )()()(12sIsUsH )()()(12sUsUsH )()()(12sIsIsH 轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比轉(zhuǎn)移電流比U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)U(s)I(s)2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式三、單位沖激響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函三、單位沖激響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的關(guān)系數(shù)的關(guān)系零狀態(tài)零狀態(tài)e(t)r(t)(L)(L)(L)(thtth

18、sH )(L)(1sHth (t)h(t)()(sHth)()()(sHsEsR )(L)(1sRtr 若若h(t)已知，則任意激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)已知，則任意激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)零狀態(tài)零狀態(tài) (t)g(t)1/sG(s)()(ssGsH 四、線性時(shí)不變電路的疊加公式四、線性時(shí)不變電路的疊加公式其中其中L零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)= L零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)= MmmemsXH1 Nnnins)o()s(H1 S域中，對(duì)某選定的響應(yīng)，設(shè)初始時(shí)刻域中，對(duì)某選定的響應(yīng)，設(shè)初始時(shí)刻t=0，則疊加原理可描述為則疊加原理可描述為 L全響應(yīng)全響應(yīng)=L零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)+L零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)五、拉普拉斯變換法分析電路五、拉

19、普拉斯變換法分析電路步驟：步驟： 1. 由換路前電路計(jì)算由換路前電路計(jì)算uC(0-) , iL(0-) 。2. 畫(huà)畫(huà)S域電路模型。域電路模型。3. 應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4. 反變換求原函數(shù)。反變換求原函數(shù)。)()()(sUsUsHsC sCRsC11 11 RCsRC+_+_uS例例1uCR1/sC+_+_Us(s)UC(s)已知已知 ，求電容電壓（，求電容電壓（t0時(shí)）時(shí)） 0)0( cu)1()()()()(RCtSCSCeutusUsHsU 即即則則RCs1 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)體現(xiàn)了電路的固體現(xiàn)了電路的固有頻率。有頻率。12111,1224RRL

20、H CF ，電路初始狀態(tài)為零。求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)： 1112( )( )( ),( )( )( )U SI SH SH SU SU S 例例2:解解:(R1+SL)I1(S) SLI2(S)=U(S)221112221( )( )( )24( ),( )( )( )( )2222I SU SSI SSSSCH SH SU SU SU SSSSS22122224( )( ),( )( )2222SSSI SU SISU SSSSS1221( )()( )0SLI SRSLISSCR11R2CLI1(S)I2(S)U(S)+U1(S)2ss1VuC100)0( 已知：已知：t = 0時(shí)閉合時(shí)閉合k,求求iL，uL。例例3200V300.1H10- -uc c+ +1000FiL L+-uLAiL5)0()1( 解：解：(2) 畫(huà)畫(huà)S域電路模型域電路模型Vuc100)0( ssL1 . 0 sssC1000101000116 200/s 30 0.1s0.5101000/s100/sIL(s)I2(s)221)200()40000700(5)( sssssI5 . 0200)(10)1 . 040)(21 ssIssIssIssI100)()100010()(1021 )(1sI)(2sI（3）網(wǎng)孔電流法）網(wǎng)孔電流法222