第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)正交基

1、返回返回第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)正交基第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)正交基上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)一、標(biāo)準(zhǔn)正交基一、標(biāo)準(zhǔn)正交基定義定義5 5 歐氏空間歐氏空間V的的一組非零的向量一組非零的向量，如果它們，如果它們兩兩正交兩兩正交，就稱(chēng)為一個(gè)，就稱(chēng)為一個(gè)正交向量組正交向量組. . 應(yīng)該指出，按定義，由應(yīng)該指出，按定義，由單個(gè)非零向量所成的單個(gè)非零向量所成的向量組向量組也是正交向量組也是正交向量組. 以下討論的以下討論的正交向量組正交向量組都都是非空的是非空的.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，在這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，在n 維維歐氏空間歐氏空間中，中，兩兩正兩兩正交的非零向量交的非零向量不能超過(guò)不能超過(guò)n個(gè)個(gè).結(jié)論結(jié)論 正交向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)

2、的正交向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的. 證明證明 設(shè)設(shè)正交向量組正交向量組 a1, a2,am 有一線(xiàn)性關(guān)系有一線(xiàn)性關(guān)系 k11+k22+kmm=0 .用用i (i=1,2, , m)與等式兩邊作內(nèi)積，即得與等式兩邊作內(nèi)積，即得 ki(i , i)=0 .由由i 0 ，有，有(i , i)0 ，從而，從而ki=0 (i=1,2, , m). 這這就證明了就證明了a1, a2,am是是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的. 證畢證畢.返回返回 這個(gè)事實(shí)的這個(gè)事實(shí)的幾何意義幾何意義是清楚的是清楚的. 例如，例如，在平面在平面上上找不到三個(gè)兩兩垂直的非零向量找不到三個(gè)兩兩垂直的非零向量；在空間中在空間中，找不到四個(gè)兩兩垂直的非

3、零向量找不到四個(gè)兩兩垂直的非零向量.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 從解析幾何中看，從解析幾何中看，直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系在圖形度量性在圖形度量性質(zhì)的討論中有特殊的地位質(zhì)的討論中有特殊的地位. 在在歐氏空間歐氏空間中中，情況情況是相仿的是相仿的.定義定義6 6 在在n維維歐氏空間中歐氏空間中，由，由n個(gè)向量組成的個(gè)向量組成的正正交向量組交向量組稱(chēng)為稱(chēng)為正交基正交基；由；由單位向量組成的正交基單位向量組成的正交基稱(chēng)為稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基組標(biāo)準(zhǔn)正交基組.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 對(duì)對(duì)一組正交基一組正交基進(jìn)行進(jìn)行單位化單位化就就得到得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 設(shè)設(shè)1, ,2, , ,n是是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基一組標(biāo)準(zhǔn)正

4、交基，由定義，有，由定義，有 .,0;,1),(jijiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)( (1) ) 顯然，顯然，( (1) )式式完全刻畫(huà)了完全刻畫(huà)了標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)的性質(zhì).換句話(huà)說(shuō)換句話(huà)說(shuō)結(jié)論結(jié)論 一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的是它的度量矩是它的度量矩陣為單位矩陣陣為單位矩陣. 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 因?yàn)橐驗(yàn)槎攘烤仃嚩攘烤仃囀鞘钦ň仃囌ň仃嚨模鶕?jù)第五章關(guān)的，根據(jù)第五章關(guān)于正定二次型的結(jié)果，于正定二次型的結(jié)果，正定矩陣合同于單位矩陣正定矩陣合同于單位矩陣. 這說(shuō)明在這說(shuō)明在n維維歐氏空間中歐氏空間中存在一組基存在一組基，它的度量矩它的度量矩陣陣是單位矩陣是單位矩陣. 由此斷言由此

5、斷言結(jié)論結(jié)論 在在n維維歐氏空間中歐氏空間中，標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的. 在在標(biāo)準(zhǔn)正交基下標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量的坐標(biāo)可以通過(guò)內(nèi)積向量的坐標(biāo)可以通過(guò)內(nèi)積簡(jiǎn)單地表示出來(lái)簡(jiǎn)單地表示出來(lái)，即，即nn),(),(),(2211 ( (2) )事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè) =x11 +x22+xnn.用用i與等式兩邊作內(nèi)積，即得與等式兩邊作內(nèi)積，即得 xi=(i, ), (i=1,2, , n). 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 在在標(biāo)準(zhǔn)正交基下標(biāo)準(zhǔn)正交基下，內(nèi)積有特別簡(jiǎn)單的表達(dá)式內(nèi)積有特別簡(jiǎn)單的表達(dá)式. 設(shè)設(shè)那么那么這個(gè)這個(gè)表達(dá)式表達(dá)式正是正是幾何中向量的內(nèi)積幾何中向量的內(nèi)積在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)表

6、達(dá)式的推廣中坐標(biāo)表達(dá)式的推廣. 應(yīng)該指出，應(yīng)該指出，內(nèi)積的表達(dá)式內(nèi)積的表達(dá)式( (3) )，對(duì)于任一組對(duì)于任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基都是一樣的標(biāo)準(zhǔn)正交基都是一樣的. 這說(shuō)明了，這說(shuō)明了，所有的標(biāo)準(zhǔn)所有的標(biāo)準(zhǔn)正交基正交基，在歐氏空間中有相同的地位在歐氏空間中有相同的地位. 在下一節(jié)，在下一節(jié)，這一點(diǎn)將得到進(jìn)一步的說(shuō)明這一點(diǎn)將得到進(jìn)一步的說(shuō)明. =x11+x22+xnn. =y11+y22+ynn. (, )=x1y1+x2y2+xnyn=XTY. ( (3) )上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回二、規(guī)范正交基的存在性及其正交化方法二、規(guī)范正交基的存在性及其正交化方法定理定理1 n維維歐氏空間中歐氏空間中任一個(gè)正交向

7、量組都能擴(kuò)任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成充成一組一組( (標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)) )正交基正交基.( (稱(chēng)為稱(chēng)為正交基擴(kuò)充定理正交基擴(kuò)充定理) ) 下面我們將結(jié)合內(nèi)積的特點(diǎn)來(lái)討論標(biāo)準(zhǔn)正交下面我們將結(jié)合內(nèi)積的特點(diǎn)來(lái)討論標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法基的求法.證明證明 設(shè)設(shè)a1, a2,am是是一個(gè)正交向量組一個(gè)正交向量組，我們對(duì)，我們對(duì)n- -m作作數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)當(dāng)n- -m=0=0時(shí)，時(shí)，a1, a2,am就是就是一組正交基一組正交基了了. 假設(shè)假設(shè)n- -m= =k時(shí)時(shí)定理成立定理成立，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，可以找可以找到向量到向量1, 2,k ，使得，使得上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回這里這里k1, k2,km是是

8、待定系數(shù)待定系數(shù). 用用i與與m+1作作內(nèi)積內(nèi)積，得，得取取 a1, a2, am , 1, 2,k .成為成為一組正交基一組正交基. 現(xiàn)在來(lái)看現(xiàn)在來(lái)看n- -m= =k+1的情形的情形. 因?yàn)橐驗(yàn)閙n ，所以，所以一定有向量一定有向量不能被不能被a1, a2,am線(xiàn)性表出線(xiàn)性表出，作，作向量向量 m+1=- -k11- -k22- - -kmm . (i, m+1)=(, i)- -ki(i, i), (i=1,2, , m) .)., 2 , 1( ,),(),(mikiiii 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回有有由由的選擇可知，的選擇可知，m+10. 因此因此a1, a2,am,m+1是是一正交

9、向量組一正交向量組，根據(jù)歸納法假定，根據(jù)歸納法假定，a1,am,m+1可可以以擴(kuò)充成擴(kuò)充成一正交基一正交基. 證畢證畢. (i, m+1)=0, (i=1,2, , m) . 應(yīng)該注意，定理的應(yīng)該注意，定理的證明證明實(shí)際上實(shí)際上也就也就給出了一給出了一個(gè)具體的擴(kuò)充正交向量組的方法個(gè)具體的擴(kuò)充正交向量組的方法. 如果如果從任一個(gè)從任一個(gè)非零向量出發(fā)非零向量出發(fā)，按證明中的步驟，按證明中的步驟逐個(gè)地?cái)U(kuò)充逐個(gè)地?cái)U(kuò)充，最，最后就后就得到得到一組正交基一組正交基. 再單位化再單位化，就得到就得到一組標(biāo)一組標(biāo)準(zhǔn)正交基準(zhǔn)正交基.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 在求歐氏空間的在求歐氏空間的正交基正交基時(shí)，常常是時(shí)，

10、常常是已經(jīng)有了已經(jīng)有了空間的一組基空間的一組基，對(duì)于這種情形，有下面的結(jié)果：，對(duì)于這種情形，有下面的結(jié)果：定理定理2 對(duì)于對(duì)于n維維歐氏空間中歐氏空間中任意任意一組基一組基 1,2,n，都可以找到都可以找到一組一組標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n，使，使 L(1,2,i)=L(1,2,i)，i=1,2, ,n.證明證明 設(shè)設(shè) 1,2,n是是一組基一組基，我們來(lái)逐個(gè)地求出，我們來(lái)逐個(gè)地求出向量向量1,2,n . 首先，首先，可取可取 . 一般地，一般地，假定假定已經(jīng)已經(jīng)求出求出1,2,m ，它們是，它們是單位正交單位正交的，具有的，具有性質(zhì)性質(zhì)111|1 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回下一步下一步求求m

11、+1.顯然顯然 L(1,2,i)=L(1,2,i)，i=1,2, ,m. 因?yàn)橐驗(yàn)長(zhǎng)(1,2,m)=L(1,2,m)，所以，所以m+1不不能能被線(xiàn)性表出被線(xiàn)性表出. 按按定理定理1證明的方法證明的方法，作向量作向量.),(1111 miiimmm m+10，且，且 (m+1, i)=0，i=1,2, ,m.令令.|111 mmm上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 應(yīng)該指出，應(yīng)該指出，定理中的要求定理中的要求就就相當(dāng)于相當(dāng)于由基由基1, ,2, , ,n到基到基1, ,2, , ,n的的過(guò)渡過(guò)渡矩陣矩陣是是上三角形的上三角形的.1,2,m,m+1 就是一單位就是一單位正交向量組正交向量組. 同時(shí)同時(shí) L(

12、1,2,m+1)=L(1,2,m+1).由歸納法原理，由歸納法原理，定理定理2得證得證. 證畢證畢. L(1,2,i)=L(1,2,i)，i=1,2, ,n. 定理定理2中中把一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量變成一單位正把一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量變成一單位正交向量組的方法交向量組的方法在一些書(shū)和文獻(xiàn)中在一些書(shū)和文獻(xiàn)中稱(chēng)為稱(chēng)為施密特施密特（Schimidt）正交化過(guò)程正交化過(guò)程.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例1 把把)1 , 1, 1, 1(),1 , 0 , 0 , 1(),0 , 1 , 0 , 1(),0 , 0 , 1 , 1(4321 變成變成單位正交的向量組單位正交的向量組. 解解 第一步第一步把它們把它

13、們正交化正交化，得，得),0, 0, 1, 1(11 ),0, 1,21,21(),(),(1111222 ),1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333 ).1, 1, 1, 1 (),(),(),(),(),(),(33334222241111444 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第二步第二步再再單位化單位化，便得到，便得到單位正交的向量組單位正交的向量組為為,0, 0,21,211 ,0,62,61,612 ,123,121,121,1213 ,21,21,21,213 三、正交矩陣三、正交矩陣上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 上面討論了上面討論了標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法標(biāo)準(zhǔn)正交基

14、的求法. 由于由于標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)準(zhǔn)正交基基在在歐氏空間歐氏空間中占有中占有特殊的地位特殊的地位，所以有必要來(lái)討，所以有必要來(lái)討論論從一組從一組標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基的的基變換基變換公式公式. 設(shè)設(shè)1,2,n與與1,2,n是是歐氏空間歐氏空間V V中的中的兩組兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們之間的，它們之間的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣是是A=(aij)，即，即 nnnnnnnnaaaaaaaaa2122221112112121),(),(因?yàn)橐驗(yàn)?,2,n是是標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，所以上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 .,0;,1),(jijiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)( (4) )矩陣矩陣

15、A 的各列就是的各列就是 1, ,2, , ,n 在在標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n下的下的坐標(biāo)坐標(biāo). 按按公式公式( (3) ), ( (4) )式可以表示為式可以表示為 .,0;,12211jijiaaaaaanjnijiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)(5)(5)( (5) )式相當(dāng)于一個(gè)式相當(dāng)于一個(gè)矩陣的等式矩陣的等式或者或者 A- -1=AT . ATA=E ， (6)(6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回定義定義7 7 n級(jí)級(jí)實(shí)數(shù)矩陣實(shí)數(shù)矩陣A稱(chēng)為稱(chēng)為正交矩陣正交矩陣，如果，如果ATA=E . 因此，以上分析表明，由因此，以上分析表明，由標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基到到標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正交基交基的的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣是是正交

16、矩陣正交矩陣；反過(guò)來(lái)反過(guò)來(lái)，如果，如果第一組第一組基基是是標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基，同時(shí)，同時(shí)過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣是是正交矩陣正交矩陣，那么，那么第二組基第二組基一定也是一定也是標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基. 最后我們指出，根據(jù)最后我們指出，根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì)，由，由 ATA=E 即得即得 AAT=E 我們引入我們引入上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回寫(xiě)出來(lái)就是寫(xiě)出來(lái)就是 .,0;,12211jijiaaaaaajninjiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)(7)(7)(5)(5)式是式是矩陣矩陣列列與與列列之間的關(guān)系之間的關(guān)系，(7)(7)式是式是矩陣矩陣行行與與行行之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 這這兩組關(guān)系是兩組關(guān)系是等價(jià)等價(jià)的的.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例2 考慮定義在考慮定義在閉區(qū)間閉區(qū)間0, 2上