西工大結(jié)構(gòu)有限元習(xí)題庫(kù)

1、有限元法基礎(chǔ)及應(yīng)用習(xí)題集19一、填空1. 有限元法是求解連續(xù)場(chǎng)力學(xué)和物理問題的一種 方法。用有限元法求解連續(xù)體或結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題的三個(gè)主要步驟是： ； ； 。2. 離散化就是把連續(xù)體或結(jié)構(gòu)分割成若干個(gè)在 處相互連接，尺寸有限的 結(jié)合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)結(jié)構(gòu)。3. 單元分析階段導(dǎo)出的單元?jiǎng)偠确匠探⒘?和 之間的關(guān)系。單元?jiǎng)偠确匠痰暮诵氖?矩陣。該矩陣具有 性和 性，且主對(duì)角元素 。4. 建立實(shí)體單元（一維桿單元、三節(jié)點(diǎn)三角形平面單元等）的剛度方程時(shí)，須應(yīng)用 作為平衡條件。5. 彈性力學(xué)幾何方程反映彈性體變形時(shí) 和 之間的關(guān)系。6. 單元位移模式 中稱為 矩陣。該方程的含義是 。7. 單元某節(jié)點(diǎn)i的

2、形函數(shù)Ni在該點(diǎn)的值為 ，在其它節(jié)點(diǎn)的值均為 。一個(gè)單元所有節(jié)點(diǎn)形函數(shù)之和等于 。8. 作用在單元上的載荷須按 的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，因?yàn)?。9. 單元?jiǎng)偠染仃嚻娈愋缘牧W(xué)意義是： 。10. 結(jié)構(gòu)有限元平衡方程建立了有限元離散結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)的 和 之間的關(guān)系。該方程的力學(xué)意義是有限元離散結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)的 和 之間的平衡。11. 整體剛度矩陣具有如下性質(zhì)： 。12. 對(duì)一定的有限元網(wǎng)格，整體剛度矩陣的半帶寬與 有關(guān)。半帶寬越小，求解時(shí)占用計(jì)算機(jī)資源 。13. 為保證有限元解的收斂性，單元位移模式應(yīng)滿足 和 。14. 建立任意形狀和方位平面四邊形單元和空間六面體單元時(shí)，需要采用與單元位移模式中相同的用局部坐

3、標(biāo)表示的節(jié)點(diǎn)形函數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行插值以獲得一種坐標(biāo)變換，這種變換稱為 ，采用等參變換的單元稱為 。15. 節(jié)點(diǎn)數(shù)越多的單元，其位移模式多項(xiàng)式 ，單元 的能力越強(qiáng)，所以精度 。16. 彈性力學(xué)幾何方程反映彈性體變形時(shí) 和 之間的關(guān)系。17. 彈性力學(xué)邊界條件包括 和 。18. 彈性體的虛位移是假想在彈性體上發(fā)生的滿足 條件的微小位移場(chǎng)。彈性體的虛功原理可以概括為 等于 。19. 彈性力學(xué)物理方程反映彈性體變形時(shí) 和 之間的關(guān)系。20. 平面應(yīng)力問題的典型例子是 、平面應(yīng)變問題的典型例子是 。21. 建立平面問題或空間問題的單元特性方程（單元分析）階段，需要用到彈性力學(xué)的 方程和 方程。 二、簡(jiǎn)答

4、題1簡(jiǎn)述彈性力學(xué)平面問題有限元法中單元特性分析的過程。2簡(jiǎn)述建立整體有限元平衡方程的過程。3平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元中位移、應(yīng)變和應(yīng)力具有什么特征？有何優(yōu)缺點(diǎn)？4四節(jié)點(diǎn)矩形單元中位移、應(yīng)變和應(yīng)力具有什么特征？有何優(yōu)缺點(diǎn)？5簡(jiǎn)單三角形單元?jiǎng)偠染仃囋氐拇笮∨c哪些因素有關(guān)？與哪些因素?zé)o關(guān)？6畫出三節(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù)的圖形，并分析其在邊界上的分布特點(diǎn)。7對(duì)一個(gè)給定的彈性力學(xué)問題，有那些途徑可以提高有限元法求解精度？8按位移求解的有限元法中：（1）應(yīng)用了哪些彈性力學(xué)的基本方程？（2）應(yīng)力邊界條件及位移邊界條件是如何反映的？（3）力的平衡條件是如何滿足的？（4）變形協(xié)調(diào)條件是如何滿足的？ 9有限元的收斂條

5、件是什么？證明三節(jié)點(diǎn)三角形單元滿足收斂條件。10平面應(yīng)力三角形單元和空間軸對(duì)稱三角形單元分別代表物理空間中什么樣的物體？11. 試述所學(xué)各類單元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)位移分量、單元自由度數(shù)目。12. 位移函數(shù)應(yīng)滿足哪些要求？寫出梁?jiǎn)卧奈灰坪瘮?shù)。13. 空間軸對(duì)稱問題的位移分量、應(yīng)變分量、應(yīng)力分量有哪些？14. 簡(jiǎn)單（純彎）梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移分量、單元自由度？15. 平面梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)有幾個(gè)自由度？其在局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量有哪些？16. 彈性力學(xué)的基本假設(shè)？彈性力學(xué)有哪些基本方程和邊界條件？17. 一維桿單元、三節(jié)點(diǎn)三角形平面單元、三節(jié)點(diǎn)三角形空間軸對(duì)稱單元的形函數(shù)矩陣、應(yīng)變矩陣、單元?jiǎng)偠染仃嚨男袛?shù)和列

6、數(shù)分別是多少？18對(duì)于平面問題簡(jiǎn)單三角形單元，為什么單元?jiǎng)偠染仃囀浅?shù)矩陣？19什么是等參變換？等參變換的基本條件是什么？哪些情況使等參變換不成立？劃分等參單元時(shí)應(yīng)注意哪些問題？20應(yīng)用等參單元時(shí)，為什么要采用高斯積分？高斯積分的數(shù)目如何確定？21彈性力學(xué)平面問題求解時(shí)應(yīng)用的三角形單元是等參單元嗎？為什么？21什么是等參單元，等參單元的主要優(yōu)點(diǎn)是什么？22寫出平面四節(jié)點(diǎn)等參元的坐標(biāo)變換的雅克比（Jacobian）矩陣。23非節(jié)點(diǎn)載荷為什么要等效變換成節(jié)點(diǎn)載荷，如何變換？作變換時(shí)應(yīng)注意什么問題？24結(jié)構(gòu)原始平衡方程式為什么要做約束處理？25試述平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的幾何、受力和變形特征。2

7、6平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題有什么區(qū)別？27舉例說明，在什么樣情況下可以將工程問題轉(zhuǎn)化成平面應(yīng)力問題？在什么情況下可以將工程問題轉(zhuǎn)化為平面應(yīng)變問題？28為什么說平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元為常應(yīng)力單元，如何解決由于這種單元的特點(diǎn)所引起的計(jì)算精度不高的問題？29用示意圖畫出空間結(jié)構(gòu)常用的單元類型。30簡(jiǎn)單四面體單元為什么說是一種常應(yīng)變單元？31軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)如何簡(jiǎn)化處理？三、計(jì)算與分析1如圖所示，根據(jù)彈簧單元的剛度方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的平衡方程。2根據(jù)彈簧單元的剛度方程，導(dǎo)出下列系統(tǒng)的整體剛度平衡方程。并代入邊界條件，得出節(jié)點(diǎn)位移求解方程，并得出節(jié)點(diǎn)3的位移和節(jié)點(diǎn)1的支反力。3. 對(duì)圖示彈簧

8、系統(tǒng)，k1=300N/mm，k2=k3=200N/mm，k4=200N/mm，F(xiàn)1=600N，F(xiàn)2=400N。求：（1）其總剛度矩陣；（2）節(jié)點(diǎn)1、2、3的位移；（3）節(jié)點(diǎn)4、5的反力；（4）彈簧1、2、3、4中的力。4如下圖所示，5個(gè)彈簧連接在一起，各彈簧的剛度系數(shù)如圖上標(biāo)出。求：（1）系統(tǒng)剛度矩陣；（2）節(jié)點(diǎn)3處作用F力后，各節(jié)點(diǎn)的位移，固定節(jié)點(diǎn)1、6處的反作用力。5如圖所示一維桿系由兩個(gè)材料相同截面不同的直桿單元（1）與（2）組成，彈性模量E。在節(jié)點(diǎn)1、2、3上作用有軸向集中載荷Q1、Q2、Q3而平衡。試求解下列各問題：（1） 建立結(jié)構(gòu)的有限元平衡方程；（2） 如果節(jié)點(diǎn)1被固定（u1=0

9、），Q2=P，Q3=0，通過建立的平衡方程求各節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)1約束反力。（3） 如果Q2=0，Q3=P，其他條件不變，試根據(jù)問題（2）的解答和有關(guān)力學(xué)概念直接給出節(jié)點(diǎn)2、3的位移。6. 圖示桿-彈簧系統(tǒng)，材料彈性模量為E。試列出其有限元平衡方程，并進(jìn)行約束處理。7. 如圖所示一維桿系由兩個(gè)材料相同截面不同的直桿單元（1）與（2）組成，彈性模量E，節(jié)點(diǎn)1，3固定，節(jié)點(diǎn)2受集中力P。試求解下列各問題：（4） 建立結(jié)構(gòu)的有限元平衡方程。（5） 求解節(jié)點(diǎn)2的位移和各桿的應(yīng)力。（6） 如果P=0，且所有桿上受沿x方向作用的均勻線分布力q，求未知節(jié)點(diǎn)位移和固定端反力。8.平面桁架由2根相同的桿組成（E，A

10、，L）。求：（1）節(jié)點(diǎn)2位移；（2）每根桿應(yīng)力。9如圖所示三桿鋼桁架，節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)3處固定，節(jié)點(diǎn)2處受力，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。10如圖所示2桿結(jié)構(gòu)，每根桿的彈性模量均為E，橫截面積均為A。建立坐標(biāo)系和節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖所示，在節(jié)點(diǎn)1處作用x方向的力F，求，。11證明桿單元變換矩陣。12如圖所示剛架由兩根等截面工字型鋼構(gòu)成，兩端固支，系統(tǒng)所受載荷如圖所示。梁截面積A=0.006m2，截面慣性距，彈性模量，每根梁長(zhǎng)。求：每根梁所示內(nèi)力。13試推導(dǎo)梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換矩陣其中，。14如圖所示剛架結(jié)構(gòu)，所有梁材料和截面尺寸相同，截面積為A，慣性距為I，材料彈性模量為E。試寫

11、出每根梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚭徒Y(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣。15有一正方形板，沿對(duì)角承受壓力作用，板厚，載荷，如圖所示。為簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)泊松比，材料彈性模量為E，求它的應(yīng)力分布。16試證明三角形單元形狀函數(shù)滿足下列性質(zhì)：17如下圖（a）所示懸臂深梁，自由端有垂向均布載荷F，梁的厚度為t，設(shè)材料彈性模量為E，泊松比，若采用（b）所示的簡(jiǎn)單網(wǎng)格系統(tǒng)，求各節(jié)點(diǎn)的位移。18正方形板如圖所示，邊長(zhǎng)為a，厚度為t，彈性模量為E，泊松比0.15，節(jié)點(diǎn)1作用集中力F，節(jié)點(diǎn)2、3、4被固定，若采用圖示坐標(biāo)系統(tǒng)和單元節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，求各節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力。19如圖所示，用近似法取計(jì)算兩個(gè)軸對(duì)稱單元a、b的單元?jiǎng)偠染仃嚕O(shè)材料的彈性模量為E，

12、泊松比0.15。20試寫出如圖所示5節(jié)點(diǎn)等參元形狀函數(shù)，并求出其雅克比矩陣的表達(dá)式和單元?jiǎng)偠染仃嚒?1圖示懸臂梁為平面應(yīng)力問題，試寫出邊界條件。22如圖平面問題，以單元為例，通過實(shí)算，討論單元點(diǎn)號(hào)按順序輪換時(shí)單元?jiǎng)偠染仃?及其變化規(guī)律。23如圖所示平面三角形桁架，終點(diǎn)坐標(biāo)為：1（0,0），2（，），3（，0），E、A為彈性模量及截面積。用有限元法求：（1）節(jié)點(diǎn)位移；（2）單元內(nèi)力；（3）支座反力。24平面桁架如圖所示，。求節(jié)點(diǎn)位移和單元內(nèi)力，并利用節(jié)點(diǎn)1的平衡檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。25下圖中結(jié)構(gòu)分別采用（b）、（c）兩種編節(jié)點(diǎn)號(hào)方式，分別求其剛度矩陣帶寬。26教材P20練習(xí)題1-9中，求下列2種情況下

13、節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)1約束反力。（1）節(jié)點(diǎn)1位移為0，Q2= Q3=P（2）節(jié)點(diǎn)1位移為0，Q2= Q3=0，整個(gè)桿受到沿軸線的均勻線分布力q，方向向右。27根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)和單元?jiǎng)偠染仃囄锢硪饬x推導(dǎo)出簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨牡谌泻偷谒牧性亍?8對(duì)圖示有限元模型，用符號(hào)“”標(biāo)出總剛度矩陣中非零子塊的分布，并計(jì)算半帶寬。29對(duì)圖示平面問題，考慮到對(duì)稱性，試用圖形表示出其有限元模型，要求：（1）劃分單元，單元數(shù)目適當(dāng)；（2）給出節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案；（3）標(biāo)出節(jié)點(diǎn)載荷和位移約束 。30. 對(duì)圖示平面問題，考慮到對(duì)稱性，試用圖形表示出其有限元模型，要求：（1）劃分單元，單元數(shù)目適當(dāng)；（2）給出節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案；（3）

14、標(biāo)出節(jié)點(diǎn)載荷和位移約束。31根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x求彈簧單元和桿單元的剛度矩陣。32. 通過對(duì)節(jié)點(diǎn)位移插值建立三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式和形函數(shù)。33. 用虛功原理推導(dǎo)出三節(jié)點(diǎn)三角形單元?jiǎng)偠确匠獭?4. 對(duì)三節(jié)點(diǎn)三角形單元證明其形函數(shù)滿足：35圖示三角形單元：按公式求形函數(shù)和形函數(shù)矩陣；求該單元的應(yīng)變矩陣。36計(jì)算圖示平面三角形單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣。設(shè)單元厚度為h。37如圖所示，兩個(gè)形狀相似的三節(jié)點(diǎn)三角形平面單元，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比為2:1，材料、厚度相同，方位相同。約束左邊上2個(gè)節(jié)點(diǎn)x，y方向位移，自由節(jié)點(diǎn)N1 ，N2均受鉛直向下集中力P。兩個(gè)模型分別用有限元軟件計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果有下列

15、關(guān)系：1）節(jié)點(diǎn)N1 和節(jié)點(diǎn)N2的位移相等；2）單元的應(yīng)力是單元應(yīng)力的二分之一。試對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行解釋。38. 計(jì)算圖示平面三角形單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣。設(shè)單元厚度為h。39. 將圖示水壩作為平面應(yīng)變問題，試用圖形表示出你的有限元模型，要求：（1） 用三角形單元離散，建議單元邊長(zhǎng)1m 左右或小于1m（2） 給出節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案（3） 寫出節(jié)點(diǎn)載荷和位移邊界條件40函數(shù)如圖所示，求其在和之間有效的一維線性插值多項(xiàng)式。41如圖所示正方形桁架，周邊長(zhǎng)a，桁架由五條桿單元組成，彈性模量為E，截面積為A，求P載荷作用下2、3點(diǎn)的位移。42如圖所示二節(jié)點(diǎn)桿單元ij，沿桿軸線分別作用一均布載荷（如圖（a）和分布載荷

16、（如圖（b）。分別求兩種情況下的等效節(jié)點(diǎn)載荷。43采用桿單元的方法，求解如圖所示結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)的位移、三個(gè)桿單元的應(yīng)力、支座反力。相關(guān)的材料參量和尺寸為， 。44如圖所示的結(jié)構(gòu)，各桿的彈性模量和橫截面積都為,試求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力以及支反力。45如圖所示的等剖面梁，彎曲剛度為EI,承受分布載荷q(x)作用，求：（1）各梁的等效結(jié)構(gòu)載荷；（2）節(jié)點(diǎn)位移；（3）單元的節(jié)點(diǎn)力。46一懸臂梁的一端由彈簧支持，彈簧的剛度系數(shù)為k,在載荷P作用下，求端點(diǎn)2的位移及轉(zhuǎn)角。47如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，各元件的E，A，L均相同，1-4桿做短了。試求（1）節(jié)點(diǎn)位移；（2）1-4桿應(yīng)力。48利用對(duì)稱條件，處理以

17、下結(jié)構(gòu)（要求畫出簡(jiǎn)化圖以及給出其邊界條件）。49如圖所示桿結(jié)構(gòu)，桿剖面面積為A,材料的彈性模量都為E.求2點(diǎn)作用載荷為P時(shí)節(jié)點(diǎn)的位移。50如圖所示的自由體結(jié)構(gòu)，在平衡力系作用下，用有限元分析問題時(shí)邊界條件如何處理？51如圖所示桿板結(jié)構(gòu)，按下列情況劃分，選取單元：（1）結(jié)構(gòu)由10個(gè)兩節(jié)點(diǎn)桿單元和8個(gè)三節(jié)點(diǎn)三角形板單元集合而成；（2）結(jié)構(gòu)由5個(gè)節(jié)點(diǎn)桿單元和2個(gè)六節(jié)點(diǎn)三角形板單元集合而成試分析：兩種分單元情況下，采用相同的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，（1）總剛度矩陣大小是否相同?（2）半帶寬是否一樣？（3）桿板單元間位是否協(xié)調(diào)？（4）單元中內(nèi)力特點(diǎn)是否一樣？52試求如圖所示結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移。已知：各桿元E,A,L均相同。53試求如圖所示梁結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移。54如果對(duì)圖所示的有限元網(wǎng)格給出如下的單元?jiǎng)偠染仃?，試求引入邊界條件以后的總剛度矩陣。重新編節(jié)點(diǎn)號(hào)是否能減小帶寬？55正方形平板，厚度為t,邊長(zhǎng)為a,彈性模量E,材料泊松比，載荷P,按圖所示分元，求1，3點(diǎn)的位移。56推導(dǎo)三節(jié)點(diǎn)平板單元在局部坐標(biāo)系xOy中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?7三節(jié)點(diǎn)三角形單元ijm的位移函數(shù)能否選為（1） ；