水力學講稿(黃華版)2014(new3ecankao)

1、2022-7-51*水動力學課程參考書介紹水動力學課程參考書介紹水波理論及其應用（鄒志利，科學出版社）水波理論及其應用（鄒志利，科學出版社）水波動力學基礎(chǔ)（吳云崗，陶明德，復旦大水波動力學基礎(chǔ)（吳云崗，陶明德，復旦大學出版社）學出版社）波浪對海上建筑物的作用（李玉成，滕斌波浪對海上建筑物的作用（李玉成，滕斌 等，海洋出版社）等，海洋出版社） The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves (Chiang C, Mei 梅強中，梅強中，A Wiley-Interscience Publication , New York)2022-7-52 水波動力學課程

2、講義稿水波動力學課程講義稿 第一章第一章 基本方程與問題的近似提法基本方程與問題的近似提法 1.本課程所涉范疇本課程所涉范疇 -基本方程與近似方法、微幅波理論、水波與基本方程與近似方法、微幅波理論、水波與物體的相互作用、界面波理論、非線性波理論、物體的相互作用、界面波理論、非線性波理論、波浪滲流力作用等。波浪滲流力作用等。 2. 波浪問題的一般概念波浪問題的一般概念波浪的成因與常見類型波浪的成因與常見類型3 - 自然界存在大量波動現(xiàn)象。平衡水介質(zhì)受擾動自然界存在大量波動現(xiàn)象。平衡水介質(zhì)受擾動時，產(chǎn)生初始速度或位移，在回復力作用下（重力或時，產(chǎn)生初始速度或位移，在回復力作用下（重力或表面力）恢復

3、平衡，由此產(chǎn)生波浪。表面力）恢復平衡，由此產(chǎn)生波浪。 - 常見的波動現(xiàn)象包括風生波常見的波動現(xiàn)象包括風生波( ( )、涌、涌浪浪( (水躍的一種水躍的一種) )、潮汐波、潮汐波( (、水躍、水躍( (明渠流中水流速大于由障礙物明渠流中水流速大于由障礙物所引起擾動所引起擾動-淺水重力波波速淺水重力波波速, ,形成水面突然躍起形成水面突然躍起, ,如如水庫泄水水庫泄水) )、海嘯海嘯) )、瞬變波、瞬變波（擾動源運動非周期化，如投入水中石頭所激發(fā)的波（擾動源運動非周期化，如投入水中石頭所激發(fā)的波動）、洪水波動）、洪水波 、船行波及內(nèi)波、船行波及內(nèi)波( (海洋水表面受陽光照海洋水表面受陽光照射使表層

4、升溫射使表層升溫, ,在一定深度水層以下水溫不再升高在一定深度水層以下水溫不再升高, ,形形成溫度突變的躍變層成溫度突變的躍變層, ,該層面在上下方向微小擾動下該層面在上下方向微小擾動下, ,微小密度差使水體浮力變化而誘發(fā)或加劇該層面波動微小密度差使水體浮力變化而誘發(fā)或加劇該層面波動, ,形成二層海內(nèi)波形成二層海內(nèi)波) )。 -波浪理論中常見分析類型包括波浪理論中常見分析類型包括微幅波微幅波、有限振有限振幅波幅波3 3 、淺水波淺水波（如橢圓余弦波和孤立波）（如橢圓余弦波和孤立波） 、內(nèi)波內(nèi)波 、船行波船行波、瞬變波瞬變波、破碎波破碎波及及無規(guī)則波無規(guī)則波等。等。2022-7-54 產(chǎn)生波動的

5、要素：產(chǎn)生波動的要素：介質(zhì)介質(zhì)擾動源擾動源恢復力恢復力水水 波波水水風、潮汐、地震、風、潮汐、地震、流場中的障礙物、流場中的障礙物、運動物體等運動物體等重力，表面張力重力，表面張力2022-7-55 2022-7-562022-7-572022-7-582022-7-592022-7-510 近岸波變形近岸波變形2022-7-511 波波浪浪破破碎碎2022-7-512 近近岸岸波波破破碎碎2022-7-5132022-7-514 波波浪浪傳傳播播折折射射與與反反射射及及繞繞射射2022-7-515 船船運運動動興興波波2022-7-516船船運運動動興興波波2022-7-5172022-7-

6、518 2. 波浪問題的一般概念波浪問題的一般概念 波浪問題研究的工程應用背景波浪問題研究的工程應用背景 - 海面上波浪最大高度可達二三十米，對船舶、采油平臺和港海面上波浪最大高度可達二三十米，對船舶、采油平臺和港口等海工設(shè)施可能產(chǎn)生較大的破壞，因而需對波浪載荷加以確口等海工設(shè)施可能產(chǎn)生較大的破壞，因而需對波浪載荷加以確定，對波浪的破壞作用加以預估。定，對波浪的破壞作用加以預估。 - 在設(shè)計海工結(jié)構(gòu)時，為確定波浪載荷，需確定使用期內(nèi)建筑在設(shè)計海工結(jié)構(gòu)時，為確定波浪載荷，需確定使用期內(nèi)建筑物可能遇到的最大海浪等波浪要素，為此需對海浪形成機理及物可能遇到的最大海浪等波浪要素，為此需對海浪形成機理及

7、海浪預報加以研究。海浪預報加以研究。 - - 波浪要素確定后，為確定波浪載荷還需研究波浪的流體波浪要素確定后，為確定波浪載荷還需研究波浪的流體運動規(guī)律，因而需要建立和完善各種波浪理論。運動規(guī)律，因而需要建立和完善各種波浪理論。 - - 應用各種波浪理論，可進一步研究波浪與物體的相互作應用各種波浪理論，可進一步研究波浪與物體的相互作用問題，從而為結(jié)構(gòu)的動力學特性分析提供重要數(shù)據(jù)。此外，用問題，從而為結(jié)構(gòu)的動力學特性分析提供重要數(shù)據(jù)。此外，波浪理論在波能利用問題研究中也十分重要。波浪理論在波能利用問題研究中也十分重要。 - - 波浪傳入淺水之后將引起海底泥沙運動，從而導致港口等波浪傳入淺水之后將引

8、起海底泥沙運動，從而導致港口等海岸建筑物附近海岸的淤積或沖刷及航道的淤積，甚至對岸堤海岸建筑物附近海岸的淤積或沖刷及航道的淤積，甚至對岸堤上建筑物的直接沖擊和破壞。因而近岸波浪作用理論的發(fā)展十上建筑物的直接沖擊和破壞。因而近岸波浪作用理論的發(fā)展十分必要。分必要。2022-7-519例例 大尺度海工結(jié)構(gòu)波浪作用研究大尺度海工結(jié)構(gòu)波浪作用研究 隨著人類對海洋開發(fā)的不斷增長，海隨著人類對海洋開發(fā)的不斷增長，海洋結(jié)構(gòu)物的建造尺度也在不斷增大。例如洋結(jié)構(gòu)物的建造尺度也在不斷增大。例如在海上石油鉆井平臺的設(shè)計中，很多都采在海上石油鉆井平臺的設(shè)計中，很多都采用大直徑圓柱結(jié)構(gòu)作為支撐物；在自升式用大直徑圓柱結(jié)

9、構(gòu)作為支撐物；在自升式重力平臺以及港口碼頭船錨錨碇的建造中，重力平臺以及港口碼頭船錨錨碇的建造中，通常采用大型沉塊結(jié)構(gòu)；在海洋半潛式平通常采用大型沉塊結(jié)構(gòu)；在海洋半潛式平臺如水上碼頭或水上休閑運動場所和海洋臺如水上碼頭或水上休閑運動場所和海洋網(wǎng)箱的建造中，都要用到浮筒結(jié)構(gòu)。網(wǎng)箱的建造中，都要用到浮筒結(jié)構(gòu)。 2022-7-520 此外，防波堤（包括固立式和浮動式）也屬此外，防波堤（包括固立式和浮動式）也屬于淺水海域中的大尺度近岸海工結(jié)構(gòu)物。例如于淺水海域中的大尺度近岸海工結(jié)構(gòu)物。例如前年啟動的一個千萬元級別的海洋工程重大項前年啟動的一個千萬元級別的海洋工程重大項目（目（20102010年國家海洋

10、公益性行業(yè)科研項目年國家海洋公益性行業(yè)科研項目“新新型浮式防波堤關(guān)鍵技術(shù)應用示范型浮式防波堤關(guān)鍵技術(shù)應用示范”）所涉及的）所涉及的結(jié)構(gòu)就屬于典型的大尺度海工物體。結(jié)構(gòu)就屬于典型的大尺度海工物體。2022-7-521海海洋洋石石油油鉆鉆探探平平臺臺2022-7-522 波波浪浪繞繞圓圓柱柱2022-7-5232022-7-5242022-7-5252022-7-526 波波浪浪繞繞防防波波堤堤2022-7-527 波波浪浪繞繞防防波波堤堤2022-7-528例例 波能利用波能利用 2121世紀是海洋的世紀，人類從大海中利用資源已世紀是海洋的世紀，人類從大海中利用資源已成為必然趨勢。其中海浪所蘊藏

11、的波浪能是一種取之不盡的可再成為必然趨勢。其中海浪所蘊藏的波浪能是一種取之不盡的可再生能源，有效利用巨大的海洋波浪能資源是人類幾百年來的夢想。生能源，有效利用巨大的海洋波浪能資源是人類幾百年來的夢想。 波浪能是以一種取之不竭的可再生清潔能源。波浪能是以一種取之不竭的可再生清潔能源。 海洋中有豐富的波海洋中有豐富的波浪能和水，波浪能是指海洋表面波浪所具有的動能和勢能，波浪浪能和水，波浪能是指海洋表面波浪所具有的動能和勢能，波浪能具有能量密度高，分布面廣等優(yōu)點。它是一種最易于直接利用、能具有能量密度高，分布面廣等優(yōu)點。它是一種最易于直接利用、取之不竭的可再生清潔能源。取之不竭的可再生清潔能源。 氣

12、氣動動式式波波浪浪發(fā)發(fā)電電設(shè)設(shè)施施2022-7-529波能試驗實例波能試驗實例 震蕩式波浪能發(fā)電裝置震蕩式波浪能發(fā)電裝置-裝置的原動力裝置的原動力為波浪沖擊載荷，在波浪沖擊載荷的作用下，通過門板與門板為波浪沖擊載荷，在波浪沖擊載荷的作用下，通過門板與門板后的擋板之間的相互配合使門板做往復運動。與門板固連的豎后的擋板之間的相互配合使門板做往復運動。與門板固連的豎軸與門板一起做往復轉(zhuǎn)動，該豎軸通過錐齒輪與水平橫軸連接軸與門板一起做往復轉(zhuǎn)動，該豎軸通過錐齒輪與水平橫軸連接將豎軸的往復轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換為水平軸的雙向轉(zhuǎn)動。水平軸的雙向轉(zhuǎn)將豎軸的往復轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換為水平軸的雙向轉(zhuǎn)動。水平軸的雙向轉(zhuǎn)動輸入通過本裝置的一套

13、棘輪機構(gòu)轉(zhuǎn)換為單向轉(zhuǎn)動輸出，單向動輸入通過本裝置的一套棘輪機構(gòu)轉(zhuǎn)換為單向轉(zhuǎn)動輸出，單向轉(zhuǎn)動輸出軸與鏈輪發(fā)條機構(gòu)連接，并將能量貯存在發(fā)條中，發(fā)轉(zhuǎn)動輸出軸與鏈輪發(fā)條機構(gòu)連接，并將能量貯存在發(fā)條中，發(fā)條由控制電路控制并通過鏈傳動與發(fā)電機相連最終實現(xiàn)本作品條由控制電路控制并通過鏈傳動與發(fā)電機相連最終實現(xiàn)本作品的發(fā)電的功能。的發(fā)電的功能。 30例例 洞室爆破涌浪形態(tài)及作用研究洞室爆破涌浪形態(tài)及作用研究 在水域旁進行洞室爆破，大量爆破拋擲體拋入水在水域旁進行洞室爆破，大量爆破拋擲體拋入水中時會產(chǎn)生涌浪。國內(nèi)有關(guān)資料有：中時會產(chǎn)生涌浪。國內(nèi)有關(guān)資料有：19901990年年5 5月惠州月惠州深水港通用碼頭深水

14、港通用碼頭640 t640 t定向拋擲爆破時，定向拋擲爆破時，“爆破拋擲爆破拋擲體掀起的涌浪高達體掀起的涌浪高達5 m5 m左右，并逐漸變低向外傳播，左右，并逐漸變低向外傳播，到到2.5 km2.5 km處約處約0.5 m0.5 m高，兩岸涌浪爬高高，兩岸涌浪爬高101013 m13 m，破，破壞了西側(cè)壞了西側(cè)350 m350 m珍珠養(yǎng)殖場的部分浮標，且有不少魚珍珠養(yǎng)殖場的部分浮標，且有不少魚被拋擲體及飛石砸死和被涌浪涌至岸上。被拋擲體及飛石砸死和被涌浪涌至岸上。”19911991年年1 1月惠州港油制氣碼頭月惠州港油制氣碼頭3300 t3300 t大爆破大爆破( (芝麻州島大爆破芝麻州島大爆

15、破) )時，時，“產(chǎn)生的涌浪高達產(chǎn)生的涌浪高達2 25 m5 m左右，并向前推進，當左右，并向前推進，當遇到高遇到高3 m3 m左右的碼頭時，涌浪爬高達左右的碼頭時，涌浪爬高達6 m6 m左右。涌浪左右。涌浪爬上碼頭后，有一股浪頭在碼頭上前進，將原留下的爬上碼頭后，有一股浪頭在碼頭上前進，將原留下的幾十座工棚全部推倒化為烏有。涌浪對海洋魚類也有幾十座工棚全部推倒化為烏有。涌浪對海洋魚類也有影響，有不少小魚被涌上碼頭，但位于碼頭西側(cè)距爆影響，有不少小魚被涌上碼頭，但位于碼頭西側(cè)距爆區(qū)約區(qū)約800 m800 m處的海洋生物實驗場卻安然無恙。處的海洋生物實驗場卻安然無恙。2022-7-531 實例：

16、實例： 程高山位于浙江省淳安縣縣城中，周圍建筑物密程高山位于浙江省淳安縣縣城中，周圍建筑物密布。程高山土石方爆破工程為程高山安居工程前期場平工布。程高山土石方爆破工程為程高山安居工程前期場平工程中的開挖區(qū)爆破工程。在程高山洞室爆破中，有程中的開挖區(qū)爆破工程。在程高山洞室爆破中，有3 3次次( (一一區(qū)、三區(qū)和六區(qū)區(qū)、三區(qū)和六區(qū)) )因爆破破碎體拋入湖內(nèi)而出現(xiàn)了涌浪因爆破破碎體拋入湖內(nèi)而出現(xiàn)了涌浪。 一區(qū)洞室爆破平面布置示意圖一區(qū)洞室爆破平面布置示意圖 2022-7-532一區(qū)洞室爆破典型剖面圖一區(qū)洞室爆破典型剖面圖 2022-7-533一區(qū)前方水域縱深在一區(qū)前方水域縱深在700 m700 m以

17、上，側(cè)向岸線與拋擲方向垂直，由以上，側(cè)向岸線與拋擲方向垂直，由拋擲體形成的前向的涌浪能量受水面阻力的約束，在拋擲體形成的前向的涌浪能量受水面阻力的約束，在100 m100 m左右左右就衰減成波浪，而沿湖岸向側(cè)向發(fā)展的涌浪形成潮涌式的沿岸就衰減成波浪，而沿湖岸向側(cè)向發(fā)展的涌浪形成潮涌式的沿岸涌浪，以大約涌浪，以大約3 35 m5 ms s的速度順湖岸走向由南向北的速度順湖岸走向由南向北東東南南北向前推進，浪高北向前推進，浪高2 m2 m有余，場面壯觀。涌浪沿岸行進距離在有余，場面壯觀。涌浪沿岸行進距離在600 m600 m以上。以上。2022-7-534- (相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論)涌浪的傳播距離通常

18、比較遠，對水面船只、網(wǎng)箱的涌浪的傳播距離通常比較遠，對水面船只、網(wǎng)箱的影響比較大。影響比較大。 要考慮涌浪對岸堤的沖刷及可能引起要考慮涌浪對岸堤的沖刷及可能引起的岸堤上建筑物的陷落和破壞；涌浪上岸后水流對的岸堤上建筑物的陷落和破壞；涌浪上岸后水流對岸上建筑物的沖擊和破壞。必須預計和防范強度很岸上建筑物的沖擊和破壞。必須預計和防范強度很大的涌浪對建筑物的毀滅性破壞情況的出現(xiàn)。大的涌浪對建筑物的毀滅性破壞情況的出現(xiàn)。 2022-7-5352022-7-5362022-7-537波浪作用理論的研究發(fā)展與波浪實驗密切相關(guān)。波浪作用理論的研究發(fā)展與波浪實驗密切相關(guān)。2022-7-5382022-7-53

19、9Marine Basin2022-7-540 2. 波浪問題的一般概念波浪問題的一般概念 波浪特征參數(shù)波浪特征參數(shù) - - 波浪的基本特征參數(shù)包括波幅波浪的基本特征參數(shù)包括波幅A A、波高、波高H H 、波長、波長 、周期、周期T T、波速、波速c (c= /T) c (c= /T) 、波頻、波頻f ( f =1/T)f ( f =1/T)、圓頻率圓頻率( =2f ) ( =2f ) 、波數(shù)、波數(shù)k ( k =2/ ) k ( k =2/ ) 、波、波陡陡(H/) (H/) 、波面鉛垂位移、波面鉛垂位移等。等。 -波長波長：兩個相鄰波峰：兩個相鄰波峰( (谷谷) )間的距離間的距離; ; 周

20、期周期T T：相鄰波峰相鄰波峰( (谷谷) )通過一固定點的時間差通過一固定點的時間差; ; 波頻波頻f f：單位：單位時間內(nèi)出現(xiàn)的波的次數(shù)時間內(nèi)出現(xiàn)的波的次數(shù); ; 圓頻率圓頻率：單位時間內(nèi)繞過：單位時間內(nèi)繞過的弧度的弧度( (正弦波為最簡單實際的波形正弦波為最簡單實際的波形, ,一個周期對應的一個周期對應的波形對應弧度為波形對應弧度為2) ; 2) ; 波數(shù)波數(shù)k :k :單位距離內(nèi)含有波長單位距離內(nèi)含有波長的個數(shù)所對應的弧度。的個數(shù)所對應的弧度。 2022-7-541 波幅波幅(wave amplitude): A 靜水深靜水深(water depth): h波高波高(wave heig

21、ht): H = 2A 波傾角波傾角(wave slope): 波長波長(wave length): 波數(shù)波數(shù)(wave number): k = 2/ 波峰波峰(crest)波谷波谷(trough) crest wavelength Water depth h trough Wave height H SWL Wave amplitude A = H/2 Wave period T Wave slope水平面水平面2022-7-542 水波問題的基本假定條件：水波問題的基本假定條件：1）水是無粘性）水是無粘性 (不考慮水粘性不考慮水粘性)；2）水是不可壓縮流體；）水是不可壓縮流體；3）水波運

22、動流場是無旋的。）水波運動流場是無旋的。水波問題水波問題是是理想理想不可壓不可壓流體流體的的無旋無旋運動問題運動問題水波問題水波問題必須服從必須服從不可壓不可壓勢流勢流運動的基本控制方程運動的基本控制方程3. 基本方程與定解條件基本方程與定解條件2022-7-543 3. 基本方程與定解條件基本方程與定解條件 水的流體質(zhì)點運動方程水的流體質(zhì)點運動方程 1 1）拉格朗日形式）拉格朗日形式 - 2 2）歐拉形式）歐拉形式 -（利用（利用 ） pFa( . )DxyzvDttx ty tz tt ( .)pDvvFvvDtt2022-7-544 *拉格朗日流體質(zhì)點運動方程之推導拉格朗日流體質(zhì)點運動方

23、程之推導 -方程的一般形式：方程的一般形式： 式中式中, , 為作用于單位質(zhì)量流體上之體力。為作用于單位質(zhì)量流體上之體力。 分析：分析：采用微元分析法，如圖示，在采用微元分析法，如圖示，在x x軸方向由左右兩面軸方向由左右兩面 壓強差產(chǎn)生的合力為壓強差產(chǎn)生的合力為 同理，在同理，在y y和和z z軸方向由壓強差產(chǎn)生的合力應分別為軸方向由壓強差產(chǎn)生的合力應分別為 故作用于微元體上對應的總合力為故作用于微元體上對應的總合力為()()22p dxp dxpdydzpdydzxxpdxdydzx pFaF()()22()()22p dyp dyppdxdzpdxdzdxdydzyyyp dzp dzp

24、pdxdypdxdydxdydzzzz 2022-7-545設(shè)作用于微元體單位質(zhì)量的體力為設(shè)作用于微元體單位質(zhì)量的體力為 ，則作用于微元體上的總，則作用于微元體上的總體力為體力為 ，另微元體加速度為，另微元體加速度為 ，應用牛頓定律可得：，應用牛頓定律可得：即即*上式也可直接由流體的納維上式也可直接由流體的納維斯托克斯方程斯托克斯方程 (N-S方程方程)對于無粘流體，有對于無粘流體，有 ，故有歐拉方程，故有歐拉方程 ()pppijk dxdydzpdxdydzxyz FbF dxdydzFdxdydzpdxdydza dxdydzapFpaFa 2graddiv(2)grad( div )3D

25、vFpSvDt0,PpI gradDvpFpFaDt 2022-7-546連續(xù)方程連續(xù)方程 - 分析：分析： 由質(zhì)量守恒律由質(zhì)量守恒律:一個流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運動過程中保持一個流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運動過程中保持 不變。按雷諾輸運定理，即在一固定空間（控制體）中流體質(zhì)量不變。按雷諾輸運定理，即在一固定空間（控制體）中流體質(zhì)量 的減少率（單位時間內(nèi)控制體中流體質(zhì)量的減少）等于單位時間的減少率（單位時間內(nèi)控制體中流體質(zhì)量的減少）等于單位時間 內(nèi)通過控制體表面流出的流體凈質(zhì)量內(nèi)通過控制體表面流出的流體凈質(zhì)量,也即有也即有 對于不可壓流體對于不可壓流體,有有 ,故故 ,再由斯托克斯公式得再由斯托克

26、斯公式得 0vc47 調(diào)和方程調(diào)和方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程) - 分析：分析：引入亥姆霍茲定理（開爾文定理）：體力有勢的無粘正壓引入亥姆霍茲定理（開爾文定理）：體力有勢的無粘正壓流體流體,沿任一條由相同質(zhì)點構(gòu)成的封閉線沿任一條由相同質(zhì)點構(gòu)成的封閉線(流體線流體線)之環(huán)量不隨時之環(huán)量不隨時間變化，由此可知，流體若開始流動時處處無旋，則以后時刻間變化，由此可知，流體若開始流動時處處無旋，則以后時刻保持無旋。由此有：保持無旋。由此有： 故可取故可取 代入連續(xù)方程代入連續(xù)方程 ，得，得 伯努利方程（拉格朗日積分）伯努利方程（拉格朗日積分） - 20 udxvdywdzxyzddxdydz ( ,

27、 , )(,)xyzvu v w 0v20 2()02pgzt2()2022-7-548*參考件參考件-無旋條件推導無旋條件推導 開爾文定理開爾文定理2022-7-5492022-7-5502022-7-551 *伯努利方程（拉格朗日積分）推導伯努利方程（拉格朗日積分）推導 對于無粘流體對于無粘流體,引入歐拉方程引入歐拉方程 ,應用式應用式 ,則有則有再設(shè)體力再設(shè)體力 有勢有勢,則可定義一體力勢則可定義一體力勢 使使 。 當流體正當流體正壓時壓時,可設(shè)有可設(shè)有 ,即即 ,相應相應即即 gradDvFpDt2()()2vvvvv 2()()2DvvvvpvvvvFDttt FF 2()2vvvv

28、Pt dpPpP2()()0 ()2vvpPvvPt 52又流體運動無旋又流體運動無旋,即即 ,則則 且且 ,則有則有若令若令 ,則仍有則仍有 及及 ,故上式可改寫為故上式可改寫為3. 基本方程與定解條件基本方程與定解條件 定解條件定解條件1)邊界條件邊界條件 - 固定表面固定表面(如海底如海底): ; - 自由表面自由表面 : (i) 運動學條件運動學條件 (ii) 動力學條件動力學條件 ;若取若取 ,則仍有則仍有 及及 ,故可改寫為故可改寫為 ;若作一階近似有若作一階近似有 及及22()()()0( )22ppgzgzc ttt 0vgz v *0( )tcd 2*0 *v 2()02pg

29、zt0sn0 ()xxyyztfs 20()0 ()2fpgstfs*00( )tpcdt 2*0 *v 2()0 ()2fgst01zgt202()0zgtz 2022-7-553*固面條件及自由面運動學條件推導固面條件及自由面運動學條件推導( , , )( , , , )0 ()00 ()fxyzxxyyztfzx y tx y z tzsDuvwDttxyztxys 22222200.()()()()()()0(0)nsDuvwDttxyzuvwxyztv nvnxyzxyznt 222(,)/ ()()()nxyzxyz2022-7-554ztxxyy 自由面運動學條件中自由面位置自由

30、面運動學條件中自由面位置 z = 和速度勢均為未知，因和速度勢均為未知，因此它是一個非線性方程，且與自由面的時間變化有關(guān)。更為困此它是一個非線性方程，且與自由面的時間變化有關(guān)。更為困難的是，自由面運動學條件要在未知的自由面上滿足，而自由難的是，自由面運動學條件要在未知的自由面上滿足，而自由面位置本身是需要求解的面位置本身是需要求解的。流體速度分量流體速度分量波面傾斜度波面傾斜度()z2022-7-555 邊界條件邊界條件(boundary conditions)歸納歸納： 水底部條件水底部條件(在在 z = -h 上上) 自由面運動學條件自由面運動學條件( (在在 z = 上上) )0zztx

31、xyy 自由面動力學條件自由面動力學條件( (在在 z = 上上) )2()02gt20 加上此方程構(gòu)成定解問題加上此方程構(gòu)成定解問題2022-7-5562)2)初始條件初始條件 -初始位移初始位移: : 流體質(zhì)點在重力作用下產(chǎn)生波動流體質(zhì)點在重力作用下產(chǎn)生波動 ; ; 在有在有勢力作用下勢力作用下, ,流場保持無旋。流場保持無旋。 -初始速度初始速度: : 如瞬時附加壓強（一陣風等），其停止如瞬時附加壓強（一陣風等），其停止時刻即為初始時刻，由此產(chǎn)生初始速度分布，由其產(chǎn)生的時刻即為初始時刻，由此產(chǎn)生初始速度分布，由其產(chǎn)生的波動仍保持無旋。波動仍保持無旋。分析：分析：0000010000000

32、00100000()( .)( .)0( .)() (0,)() ()tttttttt tppDvvpvvvFdtvv dtFdtdtDtttvt vvt Ft vvpdtvtt 574. 邊值問題的近似提法（邊值問題的近似提法（Stokes一階與二一階與二階波問題提法）階波問題提法）/H20 0z2022-7-558()zztxxyy 2()0 ()2gzt？2022-7-55960222222211()0 ()() 0 ()2211() ()221. () 0 ()(. )2zDgzgztDttDDggDtDttttDztDtt 分析：分析：1 1）自由面條件的變換式）自由面條件的變換式其

33、中其中( , , )(. )0.0.0.1zDDzzzx y tzuvwDtDtt 進進一一步步可可有有22222222222222211(). () 0 ()2211(). () 0 ()221(). () 0 ()2111()0 ()222zzzzgztttgztttgzttgzttxxyyzz 2022-7-562222222211(). () 0 ()22111()0 ()222zzgztttgzttxxyyzz 比較比較另有：另有：*比較比較在在z=0處展開處展開63211() 0 ()2zgt另有：另有：2 2）泰勒展開定理）泰勒展開定理( ) 0 ()f zz在在0z處展開為：處

34、展開為：220021( )(0)0()2!zzfff zfzzzzz21( ( )(0)(0)(0)2!f xffxfx2221( )0 (0)2!fff zzzz3 3）第一、二階波勢自由面條件式）第一、二階波勢自由面條件式1 1）自由面條件的變換式）自由面條件的變換式222111()0 ()222zgzttx xy yzz 分析：分析：2022-7-564代入代入2022-7-565662221( )0 (0)( )2!fff zzAzz4 4）第二階波勢自由面條件推導）第二階波勢自由面條件推導（1 1）222111( )()0 ()222f zgztztx xy yz z 應用應用可令可

35、令( )0 ()f zz在在0z處展開：處展開：代入上式，再由代入上式，再由(A)(A)，歸并，歸并 項可分別得：項可分別得：22221111220)ggztztzt2=-+-()=0 (z將將212 2和和212 672221( )0 (0)( )2!fff zzAzz211( )() 0 ()2f zzgt 應用應用再令再令( )0 ()f zz在在0z處展開為：處展開為：代入上式，再由代入上式，再由(A)(A)，歸并，歸并 項可分別得：項可分別得：222121111() (0)2zgtz t 將將212 2和和212 0z4 4）第二階波勢自由面條件推導）第二階波勢自由面條件推導（2 2

36、）2022-7-568直接求解水波邊值問題十分困難的，因為：直接求解水波邊值問題十分困難的，因為： 1. 1. 自由面運動學和動力學條件都是非線性的。自由面運動學和動力學條件都是非線性的。 2. 2. 自由面運動學和動力學條件必須在未知的自由面上滿足。自由面運動學和動力學條件必須在未知的自由面上滿足。 1. 1. 非線性的非線性的自由面運動學和動力學條件可以線性化自由面運動學和動力學條件可以線性化。 2. 2. 自由面運動學和動力學條件可以固定在靜水面上滿足。自由面運動學和動力學條件可以固定在靜水面上滿足。微幅波微幅波(也稱也稱Airy波，即波幅與波長相比為小量，波，即波幅與波長相比為小量，

37、)1A 1.水波邊值問題的線性化水波邊值問題的線性化第二章第二章 微幅波理論微幅波理論2022-7-569 在微幅波情況下，波面起伏在微幅波情況下，波面起伏 是小量是小量，波浪中流體質(zhì)點，波浪中流體質(zhì)點的運動速度也是小量，它們自乘或互乘所得的二階以上的項的運動速度也是小量，它們自乘或互乘所得的二階以上的項可作為高階小量而略去。由于可作為高階小量而略去。由于 是小量，原來要在未知的自是小量，原來要在未知的自由面由面 z = 上滿足的邊界條件也可以改在靜水面上滿足的邊界條件也可以改在靜水面 z= 0 上來滿上來滿足。因此：足。因此： 自由面運動學條件自由面運動學條件( (在在 z =上上) )zt

38、xxyy zt ( (在在 z = 0 上上) )2022-7-570 自由面動力學條件自由面動力學條件( (在在 z= 上上) ) ( (在在 z = 0 上上) )202gt1gt 220gzt 由自由面運動學和動力學條件由自由面運動學和動力學條件( (在在 z = 0上上) )可以得到：可以得到： ( (在在 z = 0 上上) )2022-7-571流場動力學條件及壓力分布公式：流場動力學條件及壓力分布公式：202pgztpgzt 動壓力動壓力(dynamic pressure)靜壓力靜壓力(hydrostatic pressure)2022-7-572 上面三個方程求解，可采用分離變

39、量法對速度勢進行求解上面三個方程求解，可采用分離變量法對速度勢進行求解 (separation of variables)。Airy波波速度勢的求解結(jié)果為：速度勢的求解結(jié)果為：coshsin()2coshkzhgHkxtkckh 當水深趨于無限，即當水深趨于無限，即 ，此時的速度勢為：，此時的速度勢為：h sinkzgAekxt 2.微幅波問題的數(shù)學解微幅波問題的數(shù)學解732 2）邊值問題的求解（分離變量法）邊值問題的求解（分離變量法）可令可令 ，代入方程分離變量，代入方程分離變量, ,可得可得進一步設(shè)進一步設(shè) ，為方便計，將，為方便計，將 仍取仍取 ，令，令可得：可得：1 1）定解（邊值）問

40、題的提法）定解（邊值）問題的提法2222220 ( );0 (0);10 ();(0)vgzxztzzhzzgt 分析：分析：( ) ()Z z F xct ()( )F xctZ zFZ1xxct右行波右行波1xx( )( )F xZ zFZ( )( )0( )( )0F xF xZ zZ z周期函數(shù)周期函數(shù)74分析（續(xù)）：分析（續(xù)）：對于對于 中的第一個方程，考慮中的第一個方程，考慮 為周期函數(shù)，故須取為周期函數(shù)，故須取 ，由此解得：，由此解得： 進一步求解進一步求解 ，可得：，可得： 代入代入 可得：可得： 右行波右行波111( )cossin( )cossin()cos ()sin (

41、)F xAkxBkxF xAkxBkxF xctAk xctBk xct( )( )0( )( )0F xF xZ zZ z2 2）邊值問題的求解）邊值問題的求解2(0)kk2( )( )0Zzk Z z( )coshsinhZ zCkzDkz0 ()zhz( )F xsinhcosh0tanh( )(coshtanhsinh)cosh ()( )coshCkhDkhDCkhZ zCkzkhkzk zhZ zCkh75分析（續(xù)）：分析（續(xù)）：故最終可得故最終可得 再令再令 則則 可取可取 ，再引入，再引入 ，代入條件，代入條件得：得： ，即，即 11sin ,cos ,AABB2 2）邊值問題

42、的求解）邊值問題的求解( ) ()cosh () cos ()sin ()coshZ z F xctk zhAk xctBk xctkh 1cosh () cos ()sin ()coshcosh ()sin ()coshk zhAk xctBk xctkhk zhAk xctkh 01(0)zg t10,00,0,01cosh ()(0)cos ()22coshxtxtzAkcHHk z hzk x ctgtgkh12HgAkccosh ()sin () ()2coshgHk zhk xctkckckh 2022-7-576coshcoscoshpgztk zhgzAgkxtkh 由動力學條

43、件，可得由動力學條件，可得Airy波流場壓力分布為：波流場壓力分布為： 由自由面動力學條件，可得由自由面動力學條件，可得Airy波面為：波面為：01coszAkxtgt cosh ()sin () ()2coshgHk zhk xctkckckh 2022-7-577 對對Airy波波的解，涉及四個參數(shù)的解，涉及四個參數(shù) (A, k, c,) ，實際上由于色，實際上由于色散關(guān)系和波速公式，散關(guān)系和波速公式，k和和及及(k, c,)是相互關(guān)聯(lián)的，因此只有是相互關(guān)聯(lián)的，因此只有兩個參數(shù)兩個參數(shù)(A, k) 需要確定：需要確定： (1) Airy波是二維余弦曲線，因此也稱為線性簡諧波。波是二維余弦曲

44、線，因此也稱為線性簡諧波。coscosAkxkctAkxt A 就是就是波幅波幅(wave amplitude)，它的兩倍就是，它的兩倍就是波高波高 H = 2A (wave height)。兩個相鄰。兩個相鄰波峰波峰(crest)(或或波谷波谷(trough)之間的距之間的距離稱為離稱為波長波長(wave length)。AH2022-7-578 (2) k 是是波數(shù)波數(shù)(wave number)。cos;Akx 對簡諧波，令對簡諧波，令 t = 0，可得空間上周期變化的余弦函數(shù)：，可得空間上周期變化的余弦函數(shù)： 利用一個周期對應波長利用一個周期對應波長 x =，可推得，可推得k即為波數(shù)即為

45、波數(shù) （一個周（一個周期期2內(nèi)所含波的個數(shù)）：內(nèi)所含波的個數(shù)）：22kkcoscosAkxkctAkxt對于對于2022-7-579 (3) 是是圓周頻率圓周頻率(frequency)。 對簡諧波，令對簡諧波，令 x = 0，可得時間上周期變化的余弦函數(shù)：，可得時間上周期變化的余弦函數(shù)： 利用一個周期利用一個周期 (period) t = T = 1/f，可知，可知即為圓周頻率即為圓周頻率 （一個周期（一個周期2內(nèi)波的振動次數(shù)）內(nèi)波的振動次數(shù)）22kcTTcTkTcoscos;AkctAt = frequency = 2/T T-1, e.g. rad/sec T對于對于coscosAkxkc

46、tAkxt2022-7-580 *波浪特征參數(shù)波浪特征參數(shù) - - 波浪的基本特征參數(shù)主要包括波幅波浪的基本特征參數(shù)主要包括波幅A A、波高、波高H H 、波長波長 、周期、周期T T、波速、波速c (c= /T) c (c= /T) 、波頻、波頻f ( f f ( f =1/T)=1/T)、圓頻率、圓頻率( =2f ) ( =2f ) 、波數(shù)、波數(shù)k ( k =2/ k ( k =2/ ) ) 、波陡、波陡(H/) (H/) 、波面鉛垂位移、波面鉛垂位移等。等。 -波長波長：兩個相鄰波峰：兩個相鄰波峰( (谷谷) )間的距離間的距離; ; 周期周期T T：相鄰波峰相鄰波峰( (谷谷) )通過

47、一固定點的時間差通過一固定點的時間差; ; 波頻波頻f f：單位：單位時間內(nèi)出現(xiàn)的波的次數(shù)時間內(nèi)出現(xiàn)的波的次數(shù); ; 圓頻率圓頻率：單位時間內(nèi)繞過：單位時間內(nèi)繞過的弧度的弧度( (正弦波為最簡單實際的波形正弦波為最簡單實際的波形, ,一個周期對應的一個周期對應的波形對應弧度為波形對應弧度為2) ; 2) ; 波數(shù)波數(shù)k :k :單位距離內(nèi)含有波長單位距離內(nèi)含有波長的個數(shù)所對應的弧度。的個數(shù)所對應的弧度。 2022-7-581 (4) 波速波速 (wave velocity)，也稱，也稱相速相速(phase velcoity)。 波速波速 c 的定義：波長與波周期的比值，即在一個波周期內(nèi)，的定義

48、：波長與波周期的比值，即在一個波周期內(nèi)，完成經(jīng)歷一個波長距離的速度，其公式為：完成經(jīng)歷一個波長距離的速度，其公式為：22kcTckcTT2022-7-582 可得：可得： 將將Airy波波的速度勢代入線性化的自由面條件，即將的速度勢代入線性化的自由面條件，即將coshsin2coshkzhgHkxtkh 220gzt Airy波波速度勢速度勢 代入線性化自由面條件代入線性化自由面條件(z = 0)2coshsinh0khgkkh2sinhtanhcoshkhgkgkkhkh 此即色散關(guān)系：此即色散關(guān)系： 3.色散關(guān)系色散關(guān)系(dispersion relationship)2022-7-583

49、 通過色散關(guān)系，如果通過色散關(guān)系，如果知道水深和波數(shù)，求圓周頻率比較容易；知道水深和波數(shù)，求圓周頻率比較容易；但如果知道圓周頻率和水深，要求解波數(shù)就比較困難。可采用下但如果知道圓周頻率和水深，要求解波數(shù)就比較困難。可采用下面兩條函數(shù)曲線相交的方法來求解。把色散關(guān)系改寫成：面兩條函數(shù)曲線相交的方法來求解。把色散關(guān)系改寫成： 2tanhhCkhkhgtanhCkhkh 1 kh =f(c) kh tanh kh khC 311/252022-7-584 色散關(guān)系建立了水深、波長、波速、波數(shù)、圓周頻率的關(guān)系色散關(guān)系建立了水深、波長、波速、波數(shù)、圓周頻率的關(guān)系,反映了水波的重要特征，是水波的重要關(guān)系式

50、。反映了水波的重要特征，是水波的重要關(guān)系式。 以下對它再作進一步討論：以下對它再作進一步討論：2tan hhCkhkhgtanh,Ckhkh2022-7-585*深淺水條件范圍劃分及對應的色散關(guān)系深淺水條件范圍劃分及對應的色散關(guān)系2022-7-586 由于波速由于波速 ， 波數(shù)波數(shù) ，可以進一步把，可以進一步把色散關(guān)系寫成：色散關(guān)系寫成： 先固定水深先固定水深 h，來討論，來討論上面色散關(guān)系。即在一定的水深上面色散關(guān)系。即在一定的水深 h 情情況下，色散關(guān)系建立了圓周頻率況下，色散關(guān)系建立了圓周頻率() 與波數(shù)與波數(shù)(k) 的關(guān)系，的關(guān)系，圓周頻率圓周頻率()波數(shù)波數(shù)(k)ck2k22222t

51、anh(tanh)2ghcgkkhk 因此因此通過色散關(guān)系，可建立波速通過色散關(guān)系，可建立波速(c) 與波長與波長() 的關(guān)系，即的關(guān)系，即在一定的水深在一定的水深 h 情況下，情況下，波速波速(c)波長波長()87 因此可以得到：因此可以得到： 現(xiàn)在看水深變化情況。先討論現(xiàn)在看水深變化情況。先討論深水波深水波(deep water waves)。tanh1kh 2gk2222dggckk22Tg;kTc當當當 如果如果 ，即，即 ，也就是，也就是 ，那么，那么kh2h2h 因此因此深水波的色散關(guān)系深水波的色散關(guān)系為：為： 由于由于 ，因此深水波也稱為，因此深水波也稱為短波短波(short w

52、aves)。12h2(tanh)gkkh色散波色散波88 現(xiàn)在看現(xiàn)在看淺水波淺水波(shallow water waves)情況。情況。tanh khkh22ghk22Tgh222scghk 因此可以得到：因此可以得到： ;kTc當當與波長無關(guān) 如果如果 ，即，即 ，也就是，也就是 ，一般認為，一般認為當當 就是水深足夠小，此時有就是水深足夠小，此時有1kh 21hh/ 20(/10)hkh 因此因此淺水波的色散關(guān)系淺水波的色散關(guān)系為：為： 由于由于 ，因此淺水波也稱為，因此淺水波也稱為長波長波(long waves)。120h2(tanh)gkkh非色散波非色散波2022-7-5892222

53、sinhtanhcosh2tanhtanh2khgkgkkhkhgghckhckkk1/ 202hh深 水 ：淺 水 ：2022-7-590 對于一定的波長，對于一定的波長， 是恒定的，隨著水深是恒定的，隨著水深 h 增加，增加，波速波速 c 增加。增加。 因此因此 深水波的傳波速度快，淺水波的傳波速度慢。深水波的傳波速度快，淺水波的傳波速度慢。scgh 對于一定的水深，對于一定的水深， 是恒定的，隨著波長是恒定的，隨著波長增加，增加，波速波速 c 增加。增加。 因此因此 長波的傳播速度快，短波的傳播速度慢。長波的傳播速度快，短波的傳播速度慢。 2dgc2 h2tanh2ghck2022-7-

54、591222222sinhtanhcoshtanh2tanh2khgkgkkhkhgckhTkkghck當水深一定，當水深一定，c隨波長增隨波長增加而增加加而增加另當波另當波長一定，長一定，c隨水隨水深增加深增加而增加而增加2022-7-592 通過速度勢和色散關(guān)系，可以求得流場速度：通過速度勢和色散關(guān)系，可以求得流場速度：coshsin,2coshk zhgHkxtkh coshcos2coshcoshcos2sinhkzhHgkukxtxkhkzhHkxtkh2tanhgkkhsinhsin2coshsinhsin2sinhk zhHgkvkxtzkhk zhHkxtkh 4.流場速度流場

55、速度(fluid velocity field)93coshcos2sinhsinhsin2sinhkzhHukxtkhkzhHvkxtkhzxx=x =/2波傳播方 向O2k01c o szAk xtgt 2022-7-594coshcos2sinhsinhsin2sinhkzhHukxtkhkzhHvkxtkh34tT32t2022-7-595 在在 z = 0 上的速度為：上的速度為：01cos,2tanhHUkxtkh0sin2c)os2(HVkxtkxtHt 由此把速度改寫成：由此把速度改寫成：0cosh,coshkzhuUkh0sinhsinhkzhvVkhcoshcos2sinh

56、sinhsin2sinhk zhHukxtkhk zhHvkxtkh2022-7-596 對對深水波深水波， ，有：，有：kh0cosh,coshkzkzhueUkh0sinhsinhkzkzhveVkhcoshcoshkzkhkzkhkzkhkhkzhe eeeekheegckgck2022-7-597 對對淺水波淺水波， ，有：，有：0cosh1,coshkzhuUkh0sinh1sinhk zhvzVkhh10kh22cos,2()Hgukxtkhhghk1sin2Hzvkxthcoshcos2sinhsinhsin2sinhk zhHukxtkhk zhHvkxtkh 幾個常用函數(shù)的特

57、征：幾個常用函數(shù)的特征： 深水深水 淺水淺水1kh1fkh1kh0tanhfkh 1coshcoshkzhfzkhkze 2coshsinhkzhfzkhkze1kh 3sinhsinhkzhfzkhkze1zh99 Airy波波特征：特征： 深水深水 淺水淺水色散關(guān)系色散關(guān)系流場速度流場速度kh1kh 2gk22dggck22ghk2scgh0kzueU0kzveV01uU01vzVh100 設(shè)水質(zhì)點設(shè)水質(zhì)點 P 的坐標為的坐標為 ，( ),( )x tz t 它的平均位置為它的平均位置為 ，,x z 因此因此 P 點位置可以表示為：點位置可以表示為：( )( ),x txx t( )( )

58、z tzz t 由位移速度關(guān)系并根據(jù)泰勒展開定理：由位移速度關(guān)系并根據(jù)泰勒展開定理：, , ,( , , ), ,u x z tu x z tdxu x y tu x z txzdtxz忽略小量并積分：忽略小量并積分：cosh, ,cos2sinhcoshsin2sinhk zhHxxu x z t dtxkxt dtkhk zhHxkxtkh 5.水質(zhì)點的運動軌跡水質(zhì)點的運動軌跡 (particle orbit)coshcos2sinhuk zhHkxtkh2022-7-5101 同理可得：同理可得：,v x z tv x z tdzvv x z txzdtxz 積分后得：積分后得：sinh

59、, ,sin2sinhsinhcos2sinhk zhHzzv x z t dtzkxt dtkhk zhHzkxtkh 在靜水面的平衡位置，有在靜水面的平衡位置，有 ，得到：，得到：0z cos2Hzkxtsinhsin2sinhk zhHvkxtkh102 水質(zhì)點水質(zhì)點 P 的運動軌跡的運動軌跡 (particle orbit)為：為：22221xxzzab 其中：其中：cosh,2sinhkzhHakhsinh2sinhkzhHbkh 水質(zhì)點的運動軌水質(zhì)點的運動軌跡是一個橢圓，隨跡是一個橢圓，隨著水深增加，橢圓著水深增加，橢圓兩個軸長減少。兩個軸長減少。coshsinhsin,cos2s

60、inh2sinhk zhk zhHHxxkxtzzkxtkhkh 02Hzb0zhb 103 對對深水波深水波， ，橢圓的，橢圓的兩個軸兩個軸長變?yōu)橐粋€：長變?yōu)橐粋€：2k zHabe 水質(zhì)點的運動軌跡水質(zhì)點的運動軌跡為一個圓，隨著水深為一個圓，隨著水深增加，圓半徑減少。增加，圓半徑減少。在自由面上的水質(zhì)點在自由面上的水質(zhì)點的運動軌跡圓的半徑的運動軌跡圓的半徑正好是波幅。正好是波幅。1kh coshsinh,2sinh2sinhk zhk zhHHabkhkh,0zab 深水深水 淺水淺水fkh1kh coshsinhkzhkhkze1/ khsinhsinhkzhkhkze1/z h2022-