高數(shù)考研指導方法下5

1、1第五講第五講 級數(shù)的收斂、求和與展開法級數(shù)的收斂、求和與展開法一一. 方法指導方法指導基本問題判別斂散求收斂域級數(shù)求和級數(shù)展開數(shù)項級數(shù) ; 冪級數(shù) ; 傅氏級數(shù)基本內(nèi)容 :( 包括包括 6-1 , 6-2 , 6-3 )1. 數(shù)項級數(shù)的判斂法數(shù)項級數(shù)的判斂法 （P371 - 384 )(1) 利用部分和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性常用求部分和的方法有兩種 : ( P372 )1) 利用等比數(shù)列求和公式利用等比數(shù)列求和公式12nnqaqaqaaSqqan1)1() 1(q2例如nkk12141nkkk1) 12)(12(1121121211kknk121121

2、n2) 利用拆項相消法利用拆項相消法( 也叫裂項法也叫裂項法 ) 求和求和 .)122(1kkknknk 1)21( )1(kk)12(nn)12(kk 12121nn3(2) 利用正項級數(shù)判斂法利用正項級數(shù)判斂法 (參考參考 P373 表表6-1 )必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1說明 (P374 說明說明) :比值法使用方便 , 根值法應(yīng)用廣些 .4積分判別法積分判別法: 設(shè) ( )kff ku xf在), 1 上非負非負單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則 1nf n與 1f x d

3、x有相同的斂散性。證明證明 不妨設(shè) xf是單減函數(shù)，于是當1kxk有 kfxfkf1從而有 111kkkuf kf x d x以及111nnkkku xdxfkk11nkku即11nSu xdxfn11nS于是，若 xdxf1收斂，表示 xdxf1為常數(shù)，1kk5有有1nS xdxfun111 11ufx d x可知nS有界，根據(jù)定理級數(shù)收斂。 xdxf1發(fā)散，因為 xf在), 1 上非負， xdxf1故當n .11xdxfn可推得nS無界，級數(shù)發(fā)散。只能有11nSu xdxfn11nS若6(3) 任意項級數(shù)判斂法任意項級數(shù)判斂法 ( P374 , 5 )級數(shù)1nnu收斂絕對收斂 : 1nnu

4、收斂條件收斂 : 1nnu發(fā)散( 可用正項級數(shù) 判斂法判別 )若,1nnuu且,0lim0nnu則級數(shù)收斂 .說明說明 : 證明1nnuu的方法: ( P375 ) 證;11nnuu 證;01nnuu 構(gòu)造函數(shù) f (x) 使 ,)(nunf證明 f (x) 在區(qū)間), 1上遞減 .交錯級數(shù))0() 1(11nnnnuu斂散性判別法 :萊布尼茲判別法72. 冪級數(shù)的收斂域及求和法冪級數(shù)的收斂域及求和法 ( P384 - P295 )1limlim,1nnnnnnuuu或(1) 求冪級數(shù)收斂域的方法求冪級數(shù)收斂域的方法 ( P384,1 )1) 對標準形式的冪級數(shù)nnnxa0先求收斂半徑再討論R

5、x處的斂散性。2) 對非標準形式 (缺項缺項或通項為復合式通項為復合式)的冪級數(shù)求收斂域有兩種方法 : 通過代換 轉(zhuǎn)化成標準形式討論但收斂域必須回到原變量 將 x 看作參數(shù) , 利用數(shù)項級數(shù)判斂法解不等式1limnnnaaRnnnRa lim1或級數(shù)收斂。8(2) 冪級數(shù)的和函數(shù)的求法冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 ( P.385 , 2 )1) 初等變形 分解套用已知公式 ;2) 分析變形 變換求和與求導或求積分的順序求和nnnxa0逐項求導或求積分)(*xS對和式積分或求導)(xS難在收斂區(qū)間內(nèi)進行4) 數(shù)項級數(shù)求和 直接求和: 直接變形 ,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值。求部分和等。3)

6、轉(zhuǎn)化為方程求解 導出和函數(shù)滿足的方程端點收斂性可能變求部分和等nnnxa*9且在3. 函數(shù)的冪級數(shù)及付式級數(shù)展開法函數(shù)的冪級數(shù)及付式級數(shù)展開法 (P395 - P408 )(1) 函數(shù)的冪級數(shù)展開法函數(shù)的冪級數(shù)展開法 ( P.295 , 1 )1) 直接展開法利用泰勒公式適用于適用于: 在點0 x0 x)(xfnnnxxnxf)(!)(000)( ( 時 為麥克勞林級數(shù) )00 x10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR( 在 與 之間 ) 0 xx當 0)(limxRnn時 , “” 改為 “ = ” 號 . 難點: 求; )(0)(xfn 證明0)(limxRnn的某鄰域函數(shù)

7、的高階導數(shù)有界高階導數(shù)有界,的高階導數(shù)表達式有規(guī)律可尋表達式有規(guī)律可尋 10說明說明: 求 f (x) 的冪級數(shù)與把 f (x) 展開成冪級數(shù)不是0)0()(nf一回事. 前者不考慮收斂問題 , 用記號“” 表示,必須級數(shù)收斂于 f (x) , 用 “ = ” 號表示 .例如,)(xf,2xe0 x,00 x210(0)limxxefx),2, 1(n)(xf這說明只有 x = 0 時 f (x) 才能展成冪級數(shù) .nxnxx!0!20002后者2101lim0 xxxe11常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x3

8、31x441x1( 1)nnxn 212!nxxxexn x x1ln! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnn),(x),(x12mx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x) 1, 1(x x11 21nxxx 1x132) 間接展開法間接展開法 轉(zhuǎn)化為已知展式的函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知展式的函數(shù) ( P396 )變量代換法 . 例如)(111122xxnnnx20) 1(2xe20()!nnxn02!) 1(nnnx

9、n分解法例如分解,)()()(21xfxfxf且21, ff展式已知 .利用微分和積分變形展開nnnxa 求導或求積分nnnxa*)(*xf積分或求導)(xf難14(2) 函數(shù)的付氏級數(shù)展開法函數(shù)的付氏級數(shù)展開法 ( P397, 2 )主要注意以下三方面的問題:1) 付氏氏級數(shù)展開的基本公式 ( P 397 )說明說明: 展開式只對連續(xù)點成立 .2) 求付氏系數(shù)的技巧:若 f (x) 以 T 為周期 , 則有220( )( )( )TTa TTaf x dxf x dxf x dx3) 奇偶延拓及周期延拓的方法。利用周期性和奇偶性簡化計算.15(3) 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定

10、理定理 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且01( )(cossin)2nnnaS xanxbnx右端級數(shù)可逐項積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn, )(xf()(),2f xf x x 為間斷點 x 為連續(xù)點16, )(xxf周期延拓)(xF傅里里葉展開,)(在xf上的傅里里葉級數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法), , )(xxf, )2(kxf其它17(4) 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理定理 . 對周期為 2

11、的奇奇函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為周期為2的偶偶函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為余弦級數(shù)余弦級數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里葉系數(shù)為正弦級數(shù)正弦級數(shù),它的傅里里葉系數(shù)為18在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(x

12、xf)0,(),(xxf19設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理條件,則它的傅里里葉展開式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的連續(xù)點處)naxlxnxflbllndsin)(1其中4 、定理、定理l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n20例例1. 判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和。;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令,!nnnnneu 則nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級數(shù)1!nnnnne發(fā)散。( P375 例例1 )111)1 ()1 (nnnn

13、e11!(1)(1)nnen nn!nnne n二二. 實例分析實例分析21(2) 2211lnnn解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n2lnlimnnS, 故原級數(shù)收斂 , 其和為利用 “拆項相消”.2ln22解解 因分母的最高次數(shù)與分子的最高次數(shù)之差為用比較法！1321. 3nnnn673123則取671nvnnnnvulimnlim21316721nnnn116711nnnnv為 p 級數(shù)，

14、且 p1, 則原級數(shù)收斂。23例例2. 判斷下列級數(shù)的斂散性。;2cos) 1 (122nnnn(P377 例例2)nnnnn222cos0212nnn利用比值判斂法可知強級數(shù)收斂 , 于是根據(jù)比較判斂法知原級數(shù)收斂 。解解: (1) 由于24(2) 判別級數(shù)的斂散性 。解解: xdxxp2)(ln1xdxpln)(ln1212lnlnpx12)(ln111pxpp所以，當1p時，反常積分發(fā)散，原級數(shù)發(fā)散；時，反常積分收斂，原級數(shù)收斂。1p2)(ln1npnn25由于221(3);(ln )nn)2(ln1)(ln12nnnn相應(yīng)函數(shù)xxxfln1)(在),2非負單調(diào)遞減 ,利用比較判別法知原

15、級數(shù)發(fā)散。26由于21(4);ln !nn111(2)ln !lnlnnnnnnn利用比較判別法知原級數(shù)發(fā)散。11(5)lnnnn11(2)lnlnnnnnn利用比較判別法知原級數(shù)發(fā)散 。27（6）令1)11ln(1nnn11ln(1)nunn2211()2onn21,.2nunn1n2n11nn11n1)ln(易知：而收斂。221111()2onnnn收斂。所以ln(1) x11( 1),nnnxn11x28已知正項級數(shù) 收斂 ,1nna,)2, 0() ()tan() 1(21nnnann（A）絕對收斂 （B）條件收斂（C）發(fā)散 （D）收斂性與 有關(guān)( P485 例例2(4) )nnnta

16、nlimNn 當時有nnaann222tan收斂收斂 ,12nna則級數(shù)A故存在 N，( 7 ), )2, 0(再利用比較判別法.1nna提示：提示：因29(A) 發(fā)散； (B) 收斂性與 有關(guān)；(C) 絕對收斂； (D) 條件收斂。設(shè)0, 且12nna收斂，則級數(shù)) () 1(12nnnna(P504 題題30)1(21222nanann利用比較判別法應(yīng)選（C）C(8)提示：提示：因為30例例3. 若級數(shù)收斂，則級數(shù)（ ）1nna( 考研考研2001 ).A1nna.B1( 1)nnna.C11nnna a.D112nnnaa收斂；收斂；收斂； 收斂。D31例例4 4 已知級數(shù)11( 1)s

17、innnnn211( 1)nnnD01 2;1 21;13 2;3 22.11( 1)sinnnnn3 2211( 1)nnn2.D絕對收斂，條件收斂，則的取值范圍為（ ）；解解 考察的知識點是絕對收斂和條件收斂的定義及常見的p級數(shù)的收斂性結(jié)論，絕對收斂可知，則條件收斂可知，故選擇2012考研考研A、B、C、D、32例例5. 設(shè)1nna收斂 , 證明:121) 1 (nna發(fā)散 ;12)2(nna收斂 ;1)3(nnna收斂 .證證:由已知條件知 , 存在正整數(shù) N ,1na當 n N 時,(1) 當 n N 時, 112na因此原級數(shù)發(fā)散 ;(2) 當 n N 時,2nnaa由比較判別法知原

18、級數(shù)收斂 ;(3) 因nan,1212nan由比較判別法知原級數(shù)收斂 。33例例6 判斷下列級數(shù)是絕對收斂,條件收斂還是發(fā)散。; )1() 1() 1 (11nnnn)0()lnsin()2(2anann(P378 例例3) nnun1,011nn且,0limnnu,1nnuu121nun11n由比較判別法知原級數(shù)僅為條件收斂 。根據(jù)萊布尼茲判別法 , 原級數(shù)為收斂的交錯級數(shù) , 又 解解: (1) 34因)0()lnsin()2(2anannnanannlnsin) 1()lnsin(對充分大的 n ,又知) 1(lnsinlnsinnana0lnsinlimnan所以原級數(shù)收斂 , sin

19、,lnlnaannn 但因因此原級數(shù)僅為條件收斂。原級數(shù)化為交錯級數(shù) ,2ln0nan 充分大35例例7 設(shè)正項數(shù)列na單調(diào)減少, 且1) 1(nnna發(fā)散 ,試問級數(shù)111nnna是否收斂 ? 說明理由 .解解: 由于正項數(shù)列na單調(diào)減少有下界, 故存在lim0nnaa若 a = 0 , 則由萊布尼茲法則知1) 1(nnna收斂 ,與題設(shè)矛盾 , 故 a 0 .因nnnulim11a1由根值判斂法知所問級數(shù)收斂。11limnna( 98考研考研, P409 題題2(4) )36例例8 8 設(shè)120 (1,2,3,),nnnanSaaa nS naB0na nS nSlimnnSlimnna1

20、lim()0nnnSS nS na na nS1na nanSn.B則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的（ ）；充分必要條件； 充分非必要條件；必要非充分條件； 非充分也非必要條件。，所以數(shù)列單調(diào)不減，若有界，則存在，即數(shù)列有界是數(shù)列收斂的充分條件，反之收斂，則不一定有界，例如取，則收斂且無上界，故選擇解解 因為A、B、C、D、2012考研考研37例例9. 設(shè))(xf在0 x的某個鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導數(shù)，且,0)(lim0 xxfx證：證：0)(lim0 xxfx0)0(f0)0( f利用麥克勞林公式：)(xf231!2)()1(nfnfn )0(fxf)0( 2!2)(xf 231nM（下證收斂，略）證 絕

21、對收斂。1)1(nnfn38例例10. 設(shè) f (x) 在 x = 0 的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù) , 且,0)(lim0 xxfx證明級數(shù)1)1(nnf絕對收斂 。證證: 由,0)(lim0 xxfx得,0)0()0( ff設(shè) f (x) 在x時具有二階連續(xù)導數(shù) ,2( )( )(0)(0)(01)2!ff xffxx取,0 a則在,aa上有,)(Mxf )1(nf211( )2fn212 nM( 94年考研年考研 ; P381例例6 )則由于122nnM收斂, 由比較判斂法知1)1(nnf絕對收斂 。39例例11. 設(shè)方程證證: 設(shè)( 04考研考研 )1,nxnxnx11nnx( )nfx

22、1nxnx0 x 1( )0nnfxnxn( )nfx(0,)(0)10 ,nf (1)0nfn1nxnx.nx其中n為正整數(shù)，證明此方程，并證明當時，級數(shù)收斂。當 時，故在上單調(diào)增加,由零點定理知存在唯一正實根存在唯一正實根而證證: 由1,nxnx0nx 110nnnxxnn110( )nxn11nn11nnx又 得 故當時 則當時，級數(shù)收斂。有收斂，40例例12設(shè)xdxunn40tan(2) 求 )(121nnnuun的值 ;(3) 試證級數(shù))0(1nnnu收斂 . 40(1)tannnuxdx4220tannnuxdxxdxxn)1sec(tan240nun11又2nuxdxxn240t

23、antanxdxntan40nu解解( 1999 考研考研 )（1）判定級數(shù)的斂散性；41例例12設(shè)xdxunn40tan(2) 求 )(121nnnuun的值 ; (3) 試證級數(shù))0(1nnnu收斂 . ( 1999 考研考研 )(2)利用112nuunn(3) 利用,11nun) 1(1nnnun11n而1) 1(21nn發(fā)散 , 據(jù)比較判斂法原級數(shù)發(fā)散。12(1)nun211nnnuuun42例例1. 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間。;) 1ln() 1 (11nnxnn; )0,0()2(1nnnnbabax( P387 例例1 )解解: (1) 收斂半徑1limnnnaaR)2(ln) 1

24、(ln1limnnnnn1當 x = 1 時, 因,)2(1) 1(lnnnnn故級數(shù)發(fā)散 ;當 x = 1 時, 可用萊布尼茲判別法判別交錯級數(shù)11) 1ln() 1(nnnn收斂 , 因此原級數(shù)的收斂區(qū)間為. )1,143;)0,0()2(1nnnnbabax設(shè),ab因111limlimnnnnnnnnaabRbaab當xb 時 , 因()limlim1()nnnnnnbuab 不滿足級數(shù)收斂的必要條件 ,故原級數(shù)的收斂區(qū)間為(,).b b因此級數(shù)在此二點發(fā)散 ,44（3）13( 1) nnnnxn 解解 利用根值判別法nnna lim3( 1) limn nnnn 414R 其收斂半徑1

25、.4R kn2nnna lim3( 1) limn nnnn 212R21nk45例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)域;) 3() 1 (122nnnx1)11(12) 1()2(nnnxxn( P389 例例2 )解解: (1) 令,)3(2 xy得標準形式冪級數(shù),12nnny易求出它的收斂區(qū)間為,1y因此原級數(shù)的收斂區(qū)間為4,2,13 x(2)(xun)()(lim1xuxunnnxx11當111xx即 x 0 時原級數(shù)收斂 ; 當 x = 0 時為收斂的交錯級數(shù) , 因此原級數(shù)的收斂域為. ),0即46例例3. 求冪級數(shù)0)12(nnxn的收斂域 , 并求其和函數(shù) 。( P390 例例3 )

26、解法解法1: 1limnnnaaR3212limnnn1當1x時, ( 1 , 1 ) . 其和函數(shù)為0)12()(nnxnxS20(21)nnnt20()nntt2()1tt2221(1)tt)1, 1(,)1(12xxx210()nnt級數(shù)的通項極限不為 0因此原級數(shù)收斂區(qū)間為xt47例例3 . 求冪級數(shù)0)12(nnxn的收斂域 , 并求其和函數(shù) 。( P390 例例3 )解法解法2: 1limnnnaaR3212limnnn1當1x時, ( 1 , 1 ) . 其和函數(shù)為0)12()(nnxnxS12nnxn1)(2nnxxx11)1(2xxxx11)1, 1(,)1(12xxx0nn

27、x級數(shù)的通項極限不為 0,因此原級數(shù)收斂區(qū)間為1nnnxx48例例4. 求冪級數(shù)的收斂域 , 并求其和函數(shù) 。(08 考研考研 )解解 1R 當1x時,有 1 , 1 。 其和函數(shù)為收斂區(qū)間為121( 1)21nnnxn21lim1,nnnuxu11( 1)21nnn121( 1)( )21nnnS xxn12201( 1)xnnnxxdx2101()xnnxxdx200() xnnxxdx2011xxdxxarctanxx為交錯級數(shù)收斂，49例例5. 求冪級數(shù)111( 1)(1)(21)nnnn( 1,1),1220012( 1)xxnnndxxdx的收斂區(qū)間及(08 考研考研 )解解 當1

28、x時,發(fā)散，收斂區(qū)間為1limnnnuu1211( 1)(1)(21)nnnxnn和函數(shù) 。22(1)(21) 1(21)lim1(1)(21)(21) 1nnnnnxxnnnn( )S x121( 1)22 (21)nnnxnn22 arctanln(1)xxx) 1(x200121xxdx dxx 20002( 1)xxnnnxdx dx 02arctanxxdx( )f x50例例5. 求冪級數(shù)( 1,1)x 的收斂區(qū)間(08 考研考研 )解解 和函數(shù)1211( 1)(1)(21)nnnxnn及和函數(shù) 。( )S x121( 1)22 (21)nnnxnn0( )2arctanxS xt

29、dt22 arctanln(1)xxx21221( 1)1nnnxxx又22( )( )1xf xS xx2222 arctanln(1)1xxxxx( 1,1)x 從而 ( )f x51例例6 6、求級數(shù)( 11)x 22044321nnnnxn( ).S x2443(0,1,2,)21nnnann1lim1nnnaa1.R 1x 2044321nnnn( 1,1).220443( )21nnnnS xxn20(21)nnnx20221nnxn20(21)nnnx210()nnx2()1xx2221(1)xx的收斂域及和函數(shù)解解 記 ，則收斂半徑當 時，級數(shù) 發(fā)散，所以該級數(shù)的收斂域為記 由

30、于 2012考研考研52例例6 6 求級數(shù)( 11)x 22044321nnnnxn( ).S x220443( )21nnnnS xxn20(21)nnnx20221nnxn20(21)nnnx2221(1)xx的收斂域及和函數(shù)解解 由于 2021nnxn210121nnxxn2001()xnntdtx20111xdtxt11ln,21xxx01x(0)3S222111ln01( )1(1)30 xxxS xxxxx又 所以和函數(shù) 53例例7. 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。10d1xnnxttn;1) 1 (1nnxnn( P392 例例5 )解解: (1) 易求出收斂域為 ( 1 ,

31、1 ) ,在其上和函數(shù)為11)(nnxnnxSxx1101nxntdtxxx1011xtdtxtxx1)1(ln11xx當 x = 0 時 , 原級數(shù)收斂于 0 , 因此)(xS10,)1(ln111xxxx,00 x111) 1(nnxnn0lim ( )0 xS x5402!)2()2(nnnx解解: 級數(shù)收斂域為 ,),(設(shè)20( )(2 ) !nnxS xn1xe1xe),(,2)(xeexSxxx!22x!nxnx!22x!) 1(nxnn2461;2!4!6!xxx 55例例8. 求下列數(shù)項級數(shù)的和20( 1) (1);2nnnnn( P393 例例6 )解解: 易知冪級數(shù) nnx

32、nn02) 1()1 , 1()(xSnnxnn02) 1(nnxnn2) 1(0nnx)(22 nnxxx11)(22 nnxxx11)1(22 xxxx1122)1 (2xx,11x)1, 1(x)21(2) 1() 1(02Snnnnn2722的收斂域為56例例9 9 求級數(shù)1(1)( 1)2nnnn nn 1( )(1)nnf xnx222,1(1)xxxx111( )3,22nnnf0113ln22nnn 1111133ln222nnnnnn的和。 于是 原式解解 令則211()()1nnxxx12年數(shù)學競賽年數(shù)學競賽57例例10. 將函數(shù)23)(2xxxxf分別在點 x = 0 及

33、 x = 2展成泰勒級數(shù) , 并求出收斂區(qū)間 。 ( P398 例例 1 )解解: 將 f (x) 分解成部分分式2211)(xxxf在在 x = 0 展開展開:xxf11)(211x0nnxnnnx)2() 1(002) 1(1nnnnx收斂區(qū)間為 ( 1, 1 )5823)(2xxxxf2211xx)2(11)(xxf2411212 1xx0)2() 1(nnnxnnnx)42() 1(2100)2(4122) 1(nnnnx其收斂區(qū)間為 ( 1, 3 )。在在 x = 2 展開展開:59例例11 . 將函數(shù)2( )2xf xxx展開為x的冪級數(shù)。( 考研考研2010 )解解:2111(

34、)3 231f xxx11131()12xx 001( 1)32nnnnnxx1011( 1),132nnnnxx 60例例12. 將)(xf(2)xxe展開成1x的冪級數(shù) .解解:1) 1() 11()(xexxf) 1( 1) 1() 1(xxeexe!) 1() 1(!) 1() 1() 1( 100nnnnnnnxnxxeRxxnenennn10) 1(! ) 1()2() 1(161( 考研考研2001 )0(2)nnnax0 x 4x 0(3)nnnax(1,5在處收斂，處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為 ；例例13 13 已知冪級數(shù)在62例例14. 將)(xf0,arctan12xxxx0,1x展開成x的冪級數(shù) , 并求級數(shù)1241) 1(nnn的和。解解:( 考研考研2001 )211x,) 1(02nnnx,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn6302212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f.214641111n例例15. 判別下列級數(shù)的斂散性:) 1(1) 1 (1021xdxxnn.arctan)2(110 xdxxn