振動力學1單自由度系統自由振動

1、1主講：周利東太原科技大學機械工程學院2013.102單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動3 無阻尼自由振動令令 x 為位移，以質量塊的靜平衡位置為位移，以質量塊的靜平衡位置為坐標原點，為坐標原點，為靜變形。為靜變形。當系統受到初始擾動時，由牛頓第當系統受到初始擾動時，由牛頓第二定律，得：二定律，得： )(xkmgxm kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： 固有振動或自由振動微分方程固有振動或自由振動微分方程 ： 0 kxxm 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k0 x靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置mk4固有振動或自由振

2、動微分方程固有振動或自由振動微分方程 ： 0 kxxm 令令 ： mk0單位：弧度單位：弧度/秒（秒（rad/s） 020 xx 則有則有 ： 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx ：21,cc任意常數，由初始條件決定任意常數，由初始條件決定 )sin(0 tA2221ccA211cctg振幅振幅 ： 初相位初相位 ： 固有頻率固有頻率單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動50 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動xt0A00/2T60 kxxm

3、 mk0020 xx 2221ccA211cctg系統固有的數值特征，與系統是否正在振動著以及如系統固有的數值特征，與系統是否正在振動著以及如何進行振動的方式都毫無關系何進行振動的方式都毫無關系 ：0不是系統的固有屬性的數字特征，與系統過去所受到不是系統的固有屬性的數字特征，與系統過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統所處的狀態(tài)有關過的激勵和考察開始時刻系統所處的狀態(tài)有關 ：,A)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動7考慮系統在初始擾動下的自由振動考慮系統在初始擾動下的自由振動 )sin()cos()(0201tctctx)sin

4、(0 tA設設 的初始位移和初始速度為：的初始位移和初始速度為： 0t分別帶入：分別帶入： 有有 ： 10cx020 xc單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動00(0) (0)xxxx010200100200(0) ( )cos()sin()(0) ( )-sin()+cos()xxx tctctxxx tctct8零時刻的初始條件：零時刻的初始條件： 0)0(xx 0)0(xx22000 xAx0001xxtg )sin()cos()(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動：零初始條件下的自由振動： )sin(0 tA單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動9)sin()cos(

5、)(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動：零初始條件下的自由振動： )sin(0 tA無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。 0初始條件的說明：初始條件的說明： 初始條件是外界能量轉入的一初始條件是外界能量轉入的一種方式，有初始位移即轉入了種方式，有初始位移即轉入了彈性勢能，有初始速度即轉入彈性勢能，有初始速度即轉入了動能。了動能。 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動xt0A00/2T0 x10)sin()cos()(00000txtxtx 零

6、初始條件下的自由振動：零初始條件下的自由振動： )sin(0 tA無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。 0單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動初始條件：初始條件： 0, 200 xx固有頻率從左到右：固有頻率從左到右： 0003,2,時間時間位置位置11固有頻率計算的另一種方式：固有頻率計算的另一種方式： 0 kxxm mk0kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： gmk0則有：則有： 對于不易得到對于不易得到 m 和和 k 的系統，若能測出靜變形的系統，

7、若能測出靜變形 ，則用，則用該式計算是較為方便的該式計算是較為方便的 。單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k12例：例： 提升機系統提升機系統重物重重物重 量量NW51047. 1 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度 cmNk/1078. 54求：求：繩的上端突然被卡住時，（繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。）鋼絲繩中的最大張力。 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動Wv重物以重物以v=15m/min的速度勻速下降時的速度勻速下降時13解：解：sradWgk/6 .190振動頻率振動

8、頻率重物勻速下降時處于靜平衡位重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置住瞬時重物所在位置 則則 t=0 時，有：時，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx )sin()cos()(00000txtxtx 振動解：振動解： 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動W靜平衡位置靜平衡位置kxWv14)( )6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx 振動解：振動解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和的動張力之和 ：)(102

9、1. 2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 動張力幾乎是靜張力的一半動張力幾乎是靜張力的一半 由于由于 kmvvkkA0為了減少振動引起的動張力，應當降低升降系統的剛度為了減少振動引起的動張力，應當降低升降系統的剛度 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動Wv15例：例： 重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長梁長 L，抗彎剛度，抗彎剛度 EJ求：求：梁的自由振動頻率和最大撓度梁的自由振動頻率和最大撓度單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動mh0l/2l/216解：解：由材料力學由材料力學 ：自由振動頻率為自由振動頻率為 ： E

10、Jmgl483g0單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動取平衡位置取平衡位置以梁承受重物時的靜平以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立衡位置為坐標原點建立坐標系坐標系靜變形靜變形348mlEJmh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置00kkgmmmgk17撞擊時刻為零時刻，則撞擊時刻為零時刻，則 t=0 時，有：時，有： 0 x則自由振動振幅為則自由振動振幅為 ：20020 xxA梁的最大擾度：梁的最大擾度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動h22ghx20mh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置18例：圓盤轉動例：圓盤轉動圓

11、盤轉動慣量圓盤轉動慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置半徑作為角位移的起點位置0kI Ik /0 扭振固有頻率扭振固有頻率020 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動為軸的扭轉剛度，定義為使得圓盤為軸的扭轉剛度，定義為使得圓盤產生單位轉角所需的力矩產生單位轉角所需的力矩)/(radmN kkI由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：19由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動角振動與與直線振直線振動動的數學描述是完全相同的。如果在彈簧質量系統中將的數學描述是完全相同的。如果在彈簧質量系統中將 m、k

12、稱為廣義質量及廣義剛度，則彈簧質量系統的有關結論完稱為廣義質量及廣義剛度，則彈簧質量系統的有關結論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質量系統是廣全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質量系統是廣義的義的 。0 kxxm mk /0單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動0kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k20從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統總包含著從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統總包含著慣性元件慣性元件和和彈性元件彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現為系統的質量或轉動

13、慣量，而彈性元件是產的元件，它表現為系統的質量或轉動慣量，而彈性元件是產生使系統恢復原來狀態(tài)的恢復力的元件，它表現為具有剛度生使系統恢復原來狀態(tài)的恢復力的元件，它表現為具有剛度或扭轉剛度的彈性體。同一個系統中，若慣性增加，則使固或扭轉剛度的彈性體。同一個系統中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k21單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動例：彈簧質量系統沿光滑斜面做自由振動例：彈簧質量系

14、統沿光滑斜面做自由振動斜面傾角斜面傾角 300質量質量 m=1kg彈簧剛度彈簧剛度 k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零開始時彈簧無伸長，且速度為零求：求： 系統的運動方程系統的運動方程m300k重力角速度取重力角速度取 9.822單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動解：解：x0以靜平衡位置為坐標原點以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系建立坐標系振動固有頻率：振動固有頻率：)/(70 1/1049 /20sradmk 振動初始條件：振動初始條件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考慮方向考慮方向)sin()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：

15、運動方程：運動方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k23單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動24 能量法對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統，也可以對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系建立自由振動的微分方程，或直接求出系統的固有頻率。統的固有頻率。無阻尼系統為無阻尼系統為保守系統保守系統，其，其機械能守恒機械能守恒，即動能，即動能 T 和勢能和勢能 V 之和保持不變之和保持不變 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動25彈簧質量系

16、統彈簧質量系統 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：mgx （重力勢能）（重力勢能）（彈性勢能）（彈性勢能）dxxkx0)(0VTdtd0)(xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 x 0 kxxm 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k26如果將坐標原點不是取在系統的靜平衡如果將坐標原點不是取在系統的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置位置，而是取在彈簧為自由長時的位置 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm

17、 設新坐標設新坐標 kmgxy0 kyym 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動221 kxmgx x0mx彈簧原長彈簧原長k27單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動28考慮兩個特殊位置上系統的能量考慮兩個特殊位置上系統的能量 靜平衡位置上，系統勢靜平衡位置上，系統勢能為零，動能達到最大能為零，動能達到最大0212maxmaxVxmT最大位移位置，系統動最大位移位置，系統動能為零，勢能達到最大能為零，勢能達到最大2maxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxx單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動maxmaxVTmax0max對于轉動：對

18、于轉動：x 是廣義的是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk29例：如圖所示是一個倒置的擺例：如圖所示是一個倒置的擺擺球質量擺球質量 m剛桿質量忽略剛桿質量忽略 每個彈簧的剛度每個彈簧的剛度 2k求求:(1) 倒擺作微幅振動時的固有頻率倒擺作微幅振動時的固有頻率(2) 擺球擺球 時，測得頻率時，測得頻率 為為 ， 時，測時，測得頻率為得頻率為 ，問擺球質量為多少千克時恰，問擺球質量為多少千克時恰使系統處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？使系統處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ kgm9 . 0fHZ5 . 1kgm8 . 1HZ75. 0單自由度系統自由振動單自由度系

19、統自由振動lmak/2k/2參考文獻參考文獻 機械振動理論與應用機械振動理論與應用P1630解法解法1：廣義坐標廣義坐標動能動能2222121mlIT勢能勢能maxmaxUTmax0max220mlmglka 平衡位置平衡位置1cos1212122mglakV零平衡位置零平衡位置1單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動)(21 222mglka2221 112sin22kamgl22)(21 mglka lmak/2k/231解法解法2：平衡位置平衡位置2動能動能2222121mlIT勢能勢能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglka

20、ml 220mlmglka 零平衡位置零平衡位置2單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/232單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動k1Rk2M m 例：例：鉛垂平面內一個滑輪鉛垂平面內一個滑輪- -質量質量- -彈簧系統彈簧系統確定系統微振動的固有頻率確定系統微振動的固有頻率滑輪為勻質圓柱滑輪為勻質圓柱 ，繩子不可伸，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動，繩右下長，且與滑輪間無滑動，繩右下端與地面固結。端與地面固結。 33單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動解：解：k1Rk2M

21、m 廣義坐標：質量塊的垂直位移廣義坐標：質量塊的垂直位移 x動能：動能：x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU勢能：勢能：212)41(21xkk 34單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動解：解：k1Rk2M m 廣義坐標：質量塊的垂直位移廣義坐標：質量塊的垂直位移 x動能：動能：x2)83(21xMmT勢能：勢能：212)41(21xkkUmMkk83822120,maxmaxUTmMkk8382210max0maxxx35單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動36 瑞利法利用能量法

22、求解固有頻率時，對于系統的動能的計算只考慮利用能量法求解固有頻率時，對于系統的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質量所具有的動了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上限。這種簡化方法在能，因此算出的固有頻率是實際值的上限。這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質量因占系統總質量相當大的比例而不能忽略，否則算身的質量因占系統總質量相當大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。出的固有頻率明顯偏高。單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動mkx

23、037瑞利瑞利(Rayleigh)法法 彈性元件的質量實際是分布質量，為了在彈性元件的質量實際是分布質量，為了在動能計算中計入彈性元件的分布質量的動動能計算中計入彈性元件的分布質量的動能，可以首先對彈性元件在振動過程中的能，可以首先對彈性元件在振動過程中的形狀作出假設，稱之為形狀函數或振型。形狀作出假設，稱之為形狀函數或振型。利用動能計算將分布質量等效為集中質量，利用動能計算將分布質量等效為集中質量，加在原來的慣性元件的集中質量上，作為加在原來的慣性元件的集中質量上，作為單自由度系統處理，從而得到更精確的固單自由度系統處理，從而得到更精確的固有頻率的近似值，這種方法稱為瑞利法有頻率的近似值，這

24、種方法稱為瑞利法:38例如：彈簧質量系統例如：彈簧質量系統設彈簧的動能設彈簧的動能: 221xmTtt 系統最大動能：系統最大動能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統最大勢能：系統最大勢能： 2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk 0若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm0單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2max)(21xmmttm彈簧等效質量彈簧等效質量 mtmkx039單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動40 等效質量和等效剛度方法方法1：能量法：能量法選定廣義位移坐標后，將系統得動能、勢能寫成如下形式：選定廣義位移坐標后，將系統得動能、勢能寫成如下形

25、式： 221xMTe 221xKVe 當當 、 分別取最大值時：分別取最大值時：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：簡化系統的等效剛度：簡化系統的等效剛度Me：簡化系統的等效質量：簡化系統的等效質量 這里等效的含義是指簡化前后的系統的動能和勢這里等效的含義是指簡化前后的系統的動能和勢能分別相等能分別相等 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動41動能動能2221mlT 勢能勢能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/242單自由度系統自由振動單自

26、由度系統自由振動k1Rk2M m x動能動能勢能勢能2)83(21xMmT212)41(21xkkUmMkk83822120MmMe831241kkKe43方法方法2：定義法：定義法等效剛度：等效剛度：使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度等效剛度等效質量：等效質量：使系統在選定的坐標上產生單位加速度而需要在使系統在選定的坐標上產生單位加速度而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效質量的等效質量 單自

27、由度系統自由振動單自由度系統自由振動參考文獻參考文獻機械振動理論與應用機械振動理論與應用 （顧海（顧海明、周勇軍）明、周勇軍）P1944例：串聯系統例：串聯系統11kP22kP總變形：總變形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在質量塊上施加力在質量塊上施加力 P彈簧彈簧1變形：變形： 彈簧彈簧2變形：變形： 根據定義：根據定義： 或或 P mk1k2單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度施加的力，叫做系統在這個坐標上

28、的等效剛度45例：并聯系統例：并聯系統兩彈簧變形量相等：兩彈簧變形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在質量塊上施加力在質量塊上施加力 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根據定義：根據定義：21kkPKe 并聯彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和并聯彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和 P mk1k2單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動 mk1k2使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度46單自由度系統自由振動單自由度系統自由振

29、動47 阻尼自由振動前面的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統前面的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統的機械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振的機械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質阻動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質阻尼和結構阻尼。盡管已經提出了許多數學上描述阻尼的方尼和結構阻尼。盡管已經提出了許多數學上描述阻尼的方法，但是實際系統中阻尼的物理本質仍然極難確定。法，但是實際系統中阻尼的物理本質仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學模型是最常用的一種阻尼力學模型是粘性阻尼粘性阻尼。在流體中低速運。在

30、流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認為受到粘性阻尼。動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認為受到粘性阻尼。 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動48粘性阻尼力與相對速度稱正比，即：粘性阻尼力與相對速度稱正比，即： cvPdc：為粘性阻尼系數，或阻尼系數：為粘性阻尼系數，或阻尼系數 msN/單位：單位：0kxxcxm 動力學方程：動力學方程：02200 xxx 或寫為：或寫為：mk0kmc2固有頻率固有頻率相對阻尼系數相對阻尼系數 mkc單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動以靜平衡位置為原點，并受力分析以靜平衡位置為原點，并受力分析mxcxm x0kx參考文獻參考文獻振動力學振動力

31、學(倪振華倪振華)P61此時的此時的X，為相對平衡位置的距離，為相對平衡位置的距離49動力學方程：動力學方程：02200 xxx mk0kmc2令：令：tex特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 三種情況：三種情況：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動50第一種情況：第一種情況：1欠阻尼欠阻尼動力學方程：動力學方程：20020 xxx特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 1,20di 特征根：特征根：201d阻尼固有頻率阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率有阻尼的自由振動頻率 )sincos(

32、)(210tctcetxddt振動解：振動解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動兩個復數根兩個復數根511欠阻尼欠阻尼)sincos()(210tctcetxddt振動解：振動解：設初始條件：設初始條件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt則：則：)sin()(0tAetxdt或：或：200020)(dwxxxA10000dxtgxx單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動521欠阻尼欠阻尼振動解：振動解：201d阻尼固有頻率阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：阻尼自由振動周期：ddT2T0：無阻尼自由振動的周期：

33、無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt53tAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼欠阻尼響應圖形響應圖形單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動振動解：振動解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動=0 1時間時間位置位置541欠阻尼欠阻尼響應圖形響應圖形單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動振

34、動解：振動解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動1 =0 tAe0tAe0dTt)(txAA055不同阻尼，振動衰減的快慢不同不同阻尼，振動衰減的快慢不同單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動不同阻尼大小下的振動衰不同阻尼大小下的振動衰減情況減情況阻尼大，則振動衰減快阻尼大，則振動衰減快阻尼小，則衰減慢阻尼小，則衰減慢56評價阻尼對振幅衰減快慢的影響評價阻尼對振幅衰減快慢的影響1ii與與 t 無關，任意兩個相鄰振幅之比均為無關，任意兩個相鄰振幅之比均為 衰減振動的頻率為衰減振動的頻率為 ，振

35、幅衰減的快慢取決于，振幅衰減的快慢取決于 ，這兩個重要，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部 d0di02, 1減幅系數減幅系數單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動定義為相鄰兩個振幅的比值：定義為相鄰兩個振幅的比值： )(00diiTttAeAedTe0)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA057ddiiTTttiieAeAe000 )(1減幅系數：減幅系數：含有指數項，不便于工程應用含有指數項，不便于工程應用實際中常采用實際中常采用對數衰減率對數衰減率 ：diiT

36、01lnln單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動tAe0tAe0dTt)(txAA058實驗求解實驗求解利用相隔利用相隔 j 個周期的兩個個周期的兩個峰值峰值 進行求解進行求解jiijiijln1得：得：20012diiT01lnln20122 ddT當當 較小時（較小時（ ） 2 . 02單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動)()(1211jijiiiiij2 dTiie01212tAe0tAe0dTt)(txAA059第二種情況：第二種情況：1 過阻尼過阻尼動力學方程：動力學方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 *02, 1 特

37、征根：特征根：120* 兩個不等的負實根兩個不等的負實根 振動解：振動解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定012*1212( )=()tttx tc ec eec chtc sht單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2xxeeshx2xxeechx601 過阻尼過阻尼振動解：振動解：設初始條件：設初始條件：0)0(xx0)0(xx則：則：)()(*2*10tshctchcetxt)()(*000*00tshxxtchxetxt一種按指數規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生一種按指數規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動響應圖形響應圖形)(tx0 x

38、t061第三種情況：第三種情況：1 臨界阻尼臨界阻尼動力學方程：動力學方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 02, 1 特征根：特征根：二重根，兩個相等的實根二重根，兩個相等的實根振動解：振動解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定)()(210tccetxt單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動62振動解：振動解：)()(210tccetxt1 臨界阻尼臨界阻尼0)0(xx0)0(xx則：則：仍然是按指數規(guī)律衰減仍然是按指數規(guī)律衰減的非周期運動，但比過的非周期運動，但比過阻尼衰減快些阻尼衰減快些 )()(00000txxxetxt k

39、mc2臨界阻尼系數臨界阻尼系數crckmccr2單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動設初始條件：設初始條件：響應圖形響應圖形)(tx0 xt063tx(t)2 . 014 . 1臨界也是按指數規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些臨界也是按指數規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：三種阻尼情況比較：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生過阻尼是一種按指數規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 64小結：小結：0kxxcxm 動力學方程動力學方程1欠阻尼

40、欠阻尼1過阻尼過阻尼1臨界阻尼臨界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt201d)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指數規(guī)律衰減的非周期蠕動按指數規(guī)律衰減的非周期蠕動 )()(00000txxxetxt kmccr2按指數規(guī)律衰減的非周期運動，比過阻尼衰減快按指數規(guī)律衰減的非周期運動，比過阻尼衰減快 振幅衰減振動振幅衰減振動65例：阻尼緩沖器例：阻尼緩沖器靜載荷靜載荷 P 去除后質量塊越過去除后質量塊越過平衡位置得最大位移為初始平衡位置得最大位移為初始位移的位移的 10 求：求：緩沖器的相對阻尼系數緩沖器的相對阻尼系數 單自由度系統自由振動單自由度系

41、統自由振動kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置參考文獻參考文獻振動力學振動力學(倪振華倪振華)P6766解：解：由題知由題知 0)0(x 設設0)0(xx00000( )(cossin)tdddxxx textt求導求導 ：textxdtdsin)(0020設在時刻設在時刻 t1 質量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：質量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為： 0sin)(102010textxdtddt1即經過半個周期后出現第一個振幅即經過半個周期后出現第一個振幅 x121010011)(exextxxt單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置參考文獻參考文獻振動力學振動力學(倪振華倪振華)P6767由題知由題知 %102101exx解得：解得：59. 021010011)(exextxxt單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動68例：例：單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動剛桿質量不計剛桿質量不計求：求：（1）寫出運動微分方程）寫出運動微分方程（2）臨界阻尼系數，阻尼固有頻率）臨界阻尼系數，阻尼固有頻率小球質量小球質量 mlakcmb69解：解：單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動阻尼固有頻率：阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：m廣義坐標廣義坐標0bbkaac