科技論文中的方法(五步法)

1、1.31.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性1.21.2、靈敏度分析、靈敏度分析主講：主講：朱家明朱家明 Mathematical model of five step method 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)1.11.1、五步方法、五步方法化化最最優(yōu)優(yōu)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)建建模模講講座座建建模模電話：電話：1822668271818226682718郵箱郵箱：2/252022-7-52022-7-51.11.1、五步方法、五步方法1 1、五步方法概要五步方法概要2 2、五步方法詳解五步方法詳解1.21.2、靈敏性分析、靈敏性分析1 1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出2 2、最佳售豬時(shí)間、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于關(guān)于價(jià)格下降速率價(jià)格下降

2、速率r的靈敏性的靈敏性3 3、最佳售豬時(shí)間、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于關(guān)于生長(zhǎng)率生長(zhǎng)率g的靈敏性的靈敏性4 4、靈敏、靈敏性性的相對(duì)改變量的相對(duì)改變量1.31.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性1 1、關(guān)于穩(wěn)鍵、關(guān)于穩(wěn)鍵性性2 2、r, gr, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響結(jié)果的影響1.41.4、小結(jié)、小結(jié)1.51.5、練習(xí)、練習(xí)題題3/252022-7-52022-7-51 1、五步方法概要五步方法概要 數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一般過(guò)程分五步，稱之?dāng)?shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一般過(guò)程分五步，稱之為為五步方法。五步方法。定義：定義：五個(gè)步驟：五個(gè)步驟：提出問(wèn)題；提出問(wèn)題；選擇建模方法；選擇建模方法；推

3、導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式；推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式；求解模型；求解模型；回答問(wèn)題?；卮饐?wèn)題。4/252022-7-52022-7-52 2、五步方法詳解、五步方法詳解例例1.1、一頭豬重一頭豬重200磅，每天增重磅，每天增重5磅，磅，飼養(yǎng)每天需花費(fèi)飼養(yǎng)每天需花費(fèi)45美分。豬的市場(chǎng)價(jià)格美分。豬的市場(chǎng)價(jià)格為每磅為每磅65美分，但每天下降美分，但每天下降1%，求出售，求出售豬的最佳時(shí)間豬的最佳時(shí)間。（。（1磅磅=0.454kg）提出問(wèn)題提出問(wèn)題: : 即如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)問(wèn)題。即如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)問(wèn)題。 列出問(wèn)題涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝?；寫出關(guān)于上述變量所做的假設(shè)，列出已知的或假設(shè)的這些變量之間的關(guān)系式

4、(等式和不等式)；用明確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出問(wèn)題的目標(biāo)的表達(dá)式。變量、單位、等式、不等式、假設(shè)和目標(biāo)表達(dá)式變量、單位、等式、不等式、假設(shè)和目標(biāo)表達(dá)式等構(gòu)成等構(gòu)成完整的問(wèn)題完整的問(wèn)題。5/252022-7-52022-7-5例例1.1中，全部的變量包括：中，全部的變量包括：豬的重量豬的重量w(磅磅)，從現(xiàn)在到出售豬期間經(jīng)歷的時(shí)間從現(xiàn)在到出售豬期間經(jīng)歷的時(shí)間t(天天),t天飼養(yǎng)豬的花費(fèi)天飼養(yǎng)豬的花費(fèi)C(美元美元), 豬的市場(chǎng)價(jià)格豬的市場(chǎng)價(jià)格p(美元美元/磅磅),售出生豬所獲得的收益售出生豬所獲得的收益R(美元美元),我們最終獲得的凈收益我們最終獲得的凈收益P(美元美元)。其他相關(guān)的參其他相關(guān)的參(非變非

5、變)量量:如豬的初始重量如豬的初始重量(200磅磅)等。等。寫出關(guān)于上述變量所做的假設(shè)，考慮到參量在模型寫出關(guān)于上述變量所做的假設(shè)，考慮到參量在模型中的影響。中的影響。豬的重量從初始的豬的重量從初始的200200磅磅按每天按每天5 5磅增加有磅增加有).)(5()200()(天天天天磅磅磅磅磅磅tw 這里把變量的單位帶進(jìn)去這里把變量的單位帶進(jìn)去, ,可以檢查所列式子的意義可以檢查所列式子的意義. .該問(wèn)題涉及到的其他假設(shè)包括該問(wèn)題涉及到的其他假設(shè)包括: :6/252022-7-52022-7-5)(01. 0()65. 0()(天天天天磅磅美元美元磅磅美元美元磅磅美元美元tp )(45. 0(

6、)(天天天天美元美元美元美元tC )()(磅磅磅磅美元美元美元美元wpR )()()(美美元元美美元元美美元元CRP 售價(jià)售價(jià)飼養(yǎng)成本飼養(yǎng)成本收益收益利潤(rùn)利潤(rùn)假設(shè)假設(shè) t t00目標(biāo)：求利潤(rùn)或凈收益目標(biāo)：求利潤(rùn)或凈收益P P的最大值。的最大值。為了便于參考，下面對(duì)第一步所得的結(jié)果進(jìn)行了為了便于參考，下面對(duì)第一步所得的結(jié)果進(jìn)行了如下的歸納（見下表）如下的歸納（見下表）7/252022-7-52022-7-5變量變量：t =時(shí)間時(shí)間(天天)w=豬的重量豬的重量(磅磅)p=豬的價(jià)格豬的價(jià)格(美元美元/磅磅)C=飼養(yǎng)飼養(yǎng)t天的花費(fèi)天的花費(fèi)(美元美元) R=售出豬的收益售出豬的收益(美元美元)P=凈收益

7、凈收益(美元美元)假設(shè)假設(shè)：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45t R=pwP=R-Ct0目標(biāo)目標(biāo)：求的最大值：求的最大值注意：第一部分三個(gè)階段(變量、假設(shè)、目標(biāo))的確定不需要按特定的順序。圖圖1-1 1-1 售豬問(wèn)題的售豬問(wèn)題的第一步的結(jié)果第一步的結(jié)果8/252022-7-52022-7-5選擇建模方法: 即如何用數(shù)學(xué)方法來(lái)獲得解。 許多問(wèn)題都可表成一個(gè)已有有效方法的標(biāo)準(zhǔn)形式.應(yīng)用數(shù)學(xué)的多數(shù)研究，包含確定問(wèn)題的一般類別，并提出解決該類問(wèn)題的有效方法。在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有許多的文獻(xiàn)，并且不斷取得許多新的進(jìn)展。一般很少有學(xué)生對(duì)選擇較好的建模方法有經(jīng)驗(yàn)或熟悉參考文獻(xiàn)。注意：下面除了極

8、少例外，一般都給定所用的建模方法。如例1.1可定位為單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題，或極大極小化問(wèn)題,建模方法為：設(shè)y=f(x)在xS處是可微的，若f(x)在x處達(dá)到極大或極小, 則f(x)=0。詳細(xì)可參閱微積分中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分的內(nèi)容. 9/252022-7-52022-7-5推導(dǎo)模型公式推導(dǎo)模型公式: : 即要把第一步得到的問(wèn)題應(yīng)用于即要把第一步得到的問(wèn)題應(yīng)用于第二步，寫成所選建模方法需要的標(biāo)準(zhǔn)形式，以第二步，寫成所選建模方法需要的標(biāo)準(zhǔn)形式，以于我們運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的算法過(guò)程求解。于我們運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的算法過(guò)程求解。 如：如：例例1.1把問(wèn)題中的變量名改換一下，在算法上把問(wèn)題中的變量名改換一下，在算法上就比較方便就比較方便

9、。 P=R-C = pw-0.45t =(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t記記y=P作為求最大值的目標(biāo)變量，作為求最大值的目標(biāo)變量， x=t作為自變量，作為自變量，我們的問(wèn)題就化為在集合我們的問(wèn)題就化為在集合S=x:x0上求下面函數(shù)的上求下面函數(shù)的最大值：最大值： y=f(x) =(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x. 這是我們最熟悉不過(guò)的求一元函數(shù)極值問(wèn)題。這是我們最熟悉不過(guò)的求一元函數(shù)極值問(wèn)題。 10/252022-7-52022-7-5利用第二步中確定的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程利用第二步中確定的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程求解求解這個(gè)這個(gè)模型模型。 如本例中即對(duì)如本例中即對(duì)y=f(x)=(

10、0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x在區(qū)間在區(qū)間x0上上求最大值。求最大值。 如圖可知如圖可知y=f(x)關(guān)于關(guān)于x是是二次的曲線圖，易得二次的曲線圖，易得f(x)=-0.1-0.1x+0.8則在點(diǎn)則在點(diǎn)x=8處處f(x)=0.由由f在區(qū)間在區(qū)間(- -, 8)上單升上單升,而在區(qū)間而在區(qū)間(8,+ +)上單減上單減.故點(diǎn)故點(diǎn)x=8是整體最大值點(diǎn)是整體最大值點(diǎn).且有且有f(8)=133.20,從而點(diǎn)從而點(diǎn)(x,y)=(8,133.20)是是f在整個(gè)實(shí)在整個(gè)實(shí)軸上的整體軸上的整體最大值點(diǎn)最大值點(diǎn), ,也也是區(qū)間是區(qū)間x0上上的最大值點(diǎn)。的最大值點(diǎn)。圖圖1-2 售豬問(wèn)題的凈收益售豬問(wèn)

11、題的凈收益f(x)關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間x的曲線圖的曲線圖05101520126128130132134xf(x)y=- -0.05x2+0.8x+130510152013013113213311/252022-7-52022-7-5回答問(wèn)題：回答問(wèn)題：回答第一步提問(wèn)回答第一步提問(wèn)“何時(shí)售豬可以達(dá)到何時(shí)售豬可以達(dá)到最大凈收益最大凈收益. . 由第四步我們得到的答案是在由第四步我們得到的答案是在8天之后，可以獲天之后，可以獲得凈收益得凈收益133.20美元。只要第一步假設(shè)成立，這一美元。只要第一步假設(shè)成立，這一結(jié)果就是正確的。結(jié)果就是正確的。 相關(guān)的問(wèn)題及其他不同的假設(shè)可以按照第一步相關(guān)的問(wèn)題及其他不

12、同的假設(shè)可以按照第一步中的做法調(diào)整得到。由于我們處理的是一個(gè)實(shí)際問(wèn)中的做法調(diào)整得到。由于我們處理的是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（題（一個(gè)農(nóng)民決定何時(shí)出售他飼養(yǎng)的生豬一個(gè)農(nóng)民決定何時(shí)出售他飼養(yǎng)的生豬），在第），在第一步中會(huì)有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素存在，因此通常有必要研一步中會(huì)有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，這一過(guò)程稱為究一些不同的可能，這一過(guò)程稱為靈敏性分析靈敏性分析。我。我們將在下一節(jié)進(jìn)行討論。們將在下一節(jié)進(jìn)行討論。 本節(jié)主要介紹五步方法本節(jié)主要介紹五步方法,下面將這一方法總結(jié)歸下面將這一方法總結(jié)歸納成如下圖表納成如下圖表, 以便以后參考以便以后參考. 12/252022-7-52022-7-5

13、第一步、提出問(wèn)題第一步、提出問(wèn)題. .列出問(wèn)題涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝涣谐鰡?wèn)題涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝? ;注意不要混淆了變量和常量注意不要混淆了變量和常量; ;列出你對(duì)變量所做的全部假設(shè)列出你對(duì)變量所做的全部假設(shè), ,包括等式和不等式包括等式和不等式; ;檢查單位從而保證你的假設(shè)有意義；檢查單位從而保證你的假設(shè)有意義；用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出問(wèn)題的目標(biāo)。用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出問(wèn)題的目標(biāo)。第二步、選擇建模方法第二步、選擇建模方法. .選擇你問(wèn)題的一個(gè)一般的求解方法；選擇你問(wèn)題的一個(gè)一般的求解方法；一般地，這一步的成功需要經(jīng)驗(yàn)、技巧的對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)有一般地，這一步的成功需要經(jīng)驗(yàn)、技巧的對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)有

14、一定的熟悉程度；一定的熟悉程度；在本書中，我們通常會(huì)給定要用的建模方法。在本書中，我們通常會(huì)給定要用的建模方法。第三步、推導(dǎo)模型的公式第三步、推導(dǎo)模型的公式: : 把第一步中得到的問(wèn)題重新表達(dá)成第二步選定的建模把第一步中得到的問(wèn)題重新表達(dá)成第二步選定的建模 方法需要的形式；方法需要的形式；圖圖1-3 1-3 五步方法圖五步方法圖13/252022-7-52022-7-5你可能需要將第一步中的一些變量名改成與第二步所用你可能需要將第一步中的一些變量名改成與第二步所用的記號(hào)一致；的記號(hào)一致；記下任何補(bǔ)充假設(shè)，這些假設(shè)是為了使在第一步中描述記下任何補(bǔ)充假設(shè)，這些假設(shè)是為了使在第一步中描述的問(wèn)題與第二

15、步中選定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)而做的。的問(wèn)題與第二步中選定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)而做的。第四步、求解模型第四步、求解模型. 將第二步中所選方法應(yīng)用于第三步得到的表達(dá)式將第二步中所選方法應(yīng)用于第三步得到的表達(dá)式; 注意你的數(shù)學(xué)推導(dǎo)注意你的數(shù)學(xué)推導(dǎo),檢查是否有錯(cuò)誤檢查是否有錯(cuò)誤,答案是否有意義答案是否有意義; 采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù), 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、圖形、數(shù)值計(jì)算的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、圖形、數(shù)值計(jì)算的 軟件等都能擴(kuò)大你解決問(wèn)題的范圍軟件等都能擴(kuò)大你解決問(wèn)題的范圍,并減少計(jì)算錯(cuò)誤并減少計(jì)算錯(cuò)誤.第五步、回答問(wèn)題第五步、回答問(wèn)題. 用非技術(shù)性的語(yǔ)言將第四步中的結(jié)果重新表述；用非技術(shù)性的語(yǔ)言將第四步中的結(jié)果重新

16、表述； 避免數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語(yǔ)避免數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語(yǔ); 能理解最初提出問(wèn)題的人就應(yīng)該能理解你給出的解答能理解最初提出問(wèn)題的人就應(yīng)該能理解你給出的解答.圖圖1-3 1-3 五步方法圖（續(xù)）五步方法圖（續(xù)）14/252022-7-52022-7-51 1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出靈敏性分析靈敏性分析是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要方面，具體內(nèi)容是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要方面，具體內(nèi)容與所用的建模方法有關(guān)與所用的建模方法有關(guān), 關(guān)于它的討論貫穿本書關(guān)于它的討論貫穿本書,下面下面僅對(duì)單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行靈敏性分析僅對(duì)單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行靈敏性分析.上用售豬說(shuō)明五步法，圖上用售豬說(shuō)明五步法，圖1-1列出了求解的所有假列出了求解的所有假

17、設(shè)，雖然數(shù)據(jù)和假設(shè)都有非常詳細(xì)的說(shuō)明，但還要再設(shè)，雖然數(shù)據(jù)和假設(shè)都有非常詳細(xì)的說(shuō)明，但還要再嚴(yán)格檢查，由于嚴(yán)格檢查，由于數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)是由是由測(cè)量、觀察測(cè)量、觀察有時(shí)甚至完全是有時(shí)甚至完全是猜測(cè)猜測(cè)得到的，故要考慮數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確的可能性。得到的，故要考慮數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確的可能性。上概要介紹五步法上概要介紹五步法, 從假設(shè)開始從假設(shè)開始, 但難保證假設(shè)都正但難保證假設(shè)都正確確. 故要考慮結(jié)果對(duì)每一條假設(shè)的敏感程度即故要考慮結(jié)果對(duì)每一條假設(shè)的敏感程度即靈敏性靈敏性.可靠性高的數(shù)據(jù)可靠性高的數(shù)據(jù):生豬現(xiàn)在的重量、豬現(xiàn)在的價(jià)格、生豬現(xiàn)在的重量、豬現(xiàn)在的價(jià)格、每天飼養(yǎng)的花費(fèi)等易測(cè)量，確定性大；每天飼養(yǎng)的花費(fèi)等易測(cè)量

18、，確定性大；可靠性低的數(shù)據(jù)可靠性低的數(shù)據(jù):豬的生長(zhǎng)率豬的生長(zhǎng)率g和價(jià)格的下降速率和價(jià)格的下降速率r.15/252022-7-52022-7-52 2、最佳售豬時(shí)間、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格下降速率關(guān)于價(jià)格下降速率r的靈敏性的靈敏性粗分析粗分析 前面我們假定前面我們假定r=0.01美元美元/天，現(xiàn)在假設(shè)天，現(xiàn)在假設(shè)r的實(shí)際值是不同的，對(duì)幾個(gè)不同的的實(shí)際值是不同的，對(duì)幾個(gè)不同的r值，重復(fù)前面值，重復(fù)前面的求解過(guò)程的求解過(guò)程, 我們會(huì)對(duì)問(wèn)題的解關(guān)于我們會(huì)對(duì)問(wèn)題的解關(guān)于r的敏感程度的敏感程度有所了解有所了解.即給定即給定r對(duì)對(duì)y=f(x)=(0.65- rx)(200+5x)-0.45x求導(dǎo)，令求導(dǎo)，令

19、f(x)=0，可得相應(yīng)可得相應(yīng)x值，下表值，下表1-1給出了選擇幾個(gè)不給出了選擇幾個(gè)不同的同的r值求出值求出x的計(jì)算結(jié)果。的計(jì)算結(jié)果。表表1-1 售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格的下降速率關(guān)于價(jià)格的下降速率r的靈敏性的靈敏性r (美元美元/天天)x (天天)r (美元美元/天天)x (天天)0.0080.0090.010.0110.01215.011.18.05.53.316/252022-7-52022-7-50.0080.0090.0110.01268101214 將上表將上表1-1中的數(shù)據(jù)繪制在如下圖中的數(shù)據(jù)繪制在如下圖1-4中。中。圖圖1-4 售售豬問(wèn)題中豬問(wèn)題中

20、最佳售豬最佳售豬時(shí)間時(shí)間x關(guān)關(guān)于價(jià)格的于價(jià)格的下降速率下降速率 r 的曲線的曲線x(天天)r(美元美元/天天)2468101214160.0080.0090.0100.0110.012我們可以看到售豬的最優(yōu)時(shí)間我們可以看到售豬的最優(yōu)時(shí)間 x 對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù) r 是很敏感的是很敏感的.x對(duì)價(jià)格下降速率對(duì)價(jià)格下降速率r靈敏性的系統(tǒng)分析靈敏性的系統(tǒng)分析將將r作為未知的參數(shù)作為未知的參數(shù),仍按前面的步驟求解仍按前面的步驟求解(見下頁(yè)見下頁(yè)):17/252022-7-52022-7-55101520100105110115120125130出售價(jià)格出售價(jià)格: p=0.65-rt ;目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù): y=

21、f(x)=(0.65- rx)(200+5x)-0.45x = 130+2.8x-200rx-5rx2 ;求導(dǎo)求導(dǎo) f(x)=2.8- 200r-10rx;使使f(x)=0的點(diǎn)為的點(diǎn)為 x=(7-500r)/25r .若要若要x0,只要只要00.014 ,在在0,+)上都有上都有 f(x)0,最佳售豬時(shí)間為最佳售豬時(shí)間為x=0. 圖圖1-5給出了給出了r =0.015的情況的情況.圖圖1-5 售豬問(wèn)題的凈收益售豬問(wèn)題的凈收益f(x)在在r=0.015關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間x的曲線圖的曲線圖0510152090100110120130 xf(x)y=-0.075x2-0.2x+13018/252022

22、-7-52022-7-54567-5510153、最佳售豬時(shí)間、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于生長(zhǎng)率關(guān)于生長(zhǎng)率g的靈敏性的靈敏性前面我們假定前面我們假定g=5磅磅/天，一般地天，一般地, 我們有如下步驟我們有如下步驟出售重量出售重量: w=200+gt ;目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù): y=f(x)=(0.65- 0.01x)(200+gx)-0.45x =130+0.65gx-2.45x-0.01gx2;求導(dǎo)求導(dǎo) f(x)=0.65g- 2.45-0.02gx;使使f(x)=0的點(diǎn)為的點(diǎn)為 x=5(13g-49)/2g.若要若要x0, 最佳售豬時(shí)間最佳售豬時(shí)間可由可由 x=5(13g-49)/2g 給出給出, 圖圖

23、1-6 給出了最佳售豬時(shí)給出了最佳售豬時(shí)間和生長(zhǎng)率間和生長(zhǎng)率g之間的關(guān)系之間的關(guān)系.圖圖1-6 售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間售豬問(wèn)題中最佳售豬時(shí)間關(guān)于生長(zhǎng)率關(guān)于生長(zhǎng)率g的曲線圖的曲線圖34567-10-50510gxx=5(13g-49)/2g1519/252022-7-52022-7-54、靈敏、靈敏性性的相對(duì)改變量的相對(duì)改變量意義意義: 相對(duì)改變量比絕對(duì)改變量更自然相對(duì)改變量比絕對(duì)改變量更自然、更實(shí)用更實(shí)用, 例如例如r的的10%下降導(dǎo)致了下降導(dǎo)致了x的的39%的增加的增加, g的的10%下下降導(dǎo)致了降導(dǎo)致了x的的34%的下降的下降. x對(duì)對(duì)r的靈敏性的靈敏性:./lim),(0 xrdrdxr

24、rxxrxSr 對(duì)售豬問(wèn)題中對(duì)售豬問(wèn)題中, 由由x=(7-500r)/25r 可得在點(diǎn)可得在點(diǎn)r=0.01.28002572 rdrdx. 5 . 3801. 02800),( xrdrdxrxS即若即若r增加增加1%,則導(dǎo)致了則導(dǎo)致了x的的3.5%下降下降.即即r 對(duì)對(duì)x的彈性的彈性20/252022-7-52022-7-5x對(duì)對(duì)g的靈敏性的靈敏性:./lim),(0 xgdgdxggxxgxSr 對(duì)售豬問(wèn)題中對(duì)售豬問(wèn)題中, 由由x=5(13g-49)/2g可得在點(diǎn)可得在點(diǎn)g=5.9 . 422452 gdgdx.0625. 3859 . 4),( xgdgdxgxS若若g增加增加1%,則則

25、x上升上升3.0625%, 即多等侍約即多等侍約3%的時(shí)間的時(shí)間.即即g 對(duì)對(duì)x的彈性的彈性注意注意: 靈敏性分析的成功應(yīng)用要有好的判斷力靈敏性分析的成功應(yīng)用要有好的判斷力,即即不可能也不必要對(duì)模型中每個(gè)參數(shù)都進(jìn)行靈敏性分不可能也不必要對(duì)模型中每個(gè)參數(shù)都進(jìn)行靈敏性分析析,要選擇較大不確定的參數(shù)要選擇較大不確定的參數(shù); 對(duì)靈敏性的解釋要對(duì)靈敏性的解釋要依賴于參數(shù)的不確定程度依賴于參數(shù)的不確定程度; 原始問(wèn)題中的數(shù)據(jù)的原始問(wèn)題中的數(shù)據(jù)的不確定程度也會(huì)影響我們對(duì)答案的自信度不確定程度也會(huì)影響我們對(duì)答案的自信度.如售豬問(wèn)如售豬問(wèn)題中題中,豬的生長(zhǎng)率豬的生長(zhǎng)率g比價(jià)格下降率比價(jià)格下降率r更可靠更可靠.2

26、1/252022-7-52022-7-51、關(guān)于穩(wěn)鍵、關(guān)于穩(wěn)鍵性性穩(wěn)鍵穩(wěn)鍵性性: 一個(gè)數(shù)學(xué)模型不完全精確，但由其導(dǎo)出一個(gè)數(shù)學(xué)模型不完全精確，但由其導(dǎo)出的結(jié)果仍是正確的，我們稱這個(gè)模型有穩(wěn)鍵的結(jié)果仍是正確的，我們稱這個(gè)模型有穩(wěn)鍵性性.研究的理由：研究的理由：實(shí)際問(wèn)題中，我們不會(huì)有絕對(duì)準(zhǔn)確實(shí)際問(wèn)題中，我們不會(huì)有絕對(duì)準(zhǔn)確的信息，即使建立一個(gè)完美的精確的模型，也可能的信息，即使建立一個(gè)完美的精確的模型，也可能采用較簡(jiǎn)單和易于處理的近似方法。采用較簡(jiǎn)單和易于處理的近似方法。數(shù)據(jù)假設(shè)與其它假設(shè)：數(shù)據(jù)假設(shè)與其它假設(shè)：靈敏性分析的過(guò)程靈敏性分析的過(guò)程(數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的相關(guān)變化相關(guān)變化), 是一種根據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)提出的假

27、設(shè)來(lái)評(píng)估模是一種根據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)提出的假設(shè)來(lái)評(píng)估模型的穩(wěn)鍵型的穩(wěn)鍵性性的方法。在提出問(wèn)題中，還有其它假設(shè)的方法。在提出問(wèn)題中，還有其它假設(shè)要檢查。由于數(shù)學(xué)處理的方便和簡(jiǎn)化的目的，常要要檢查。由于數(shù)學(xué)處理的方便和簡(jiǎn)化的目的，常要做一些假設(shè)，建模者有責(zé)任考察假設(shè)是否特殊，會(huì)做一些假設(shè)，建模者有責(zé)任考察假設(shè)是否特殊，會(huì)導(dǎo)致建模結(jié)果的無(wú)效。導(dǎo)致建模結(jié)果的無(wú)效。22/252022-7-52022-7-5對(duì)售豬問(wèn)題：對(duì)售豬問(wèn)題：圖圖1-1列出了全部假設(shè)，除了數(shù)據(jù)的列出了全部假設(shè)，除了數(shù)據(jù)的取值外，主要的假設(shè)是豬的重量和價(jià)格都是時(shí)間的線取值外，主要的假設(shè)是豬的重量和價(jià)格都是時(shí)間的線性函數(shù)。這顯然是做了簡(jiǎn)化，不可能

28、嚴(yán)格滿足的。性函數(shù)。這顯然是做了簡(jiǎn)化，不可能嚴(yán)格滿足的。比如：比如：由線性假設(shè)，一年后，豬的重量是由線性假設(shè)，一年后，豬的重量是 w=200+5t=200+5365= 2025 磅磅一年后價(jià)格為一年后價(jià)格為 p=0.65-0.01t=0.65-0.01365=-3美元美元/磅磅顯然：顯然：線性假設(shè)不合理，更實(shí)際的模型既要考慮函數(shù)線性假設(shè)不合理，更實(shí)際的模型既要考慮函數(shù)的非線性性，又要考慮隨時(shí)間的不確定性的增加。的非線性性，又要考慮隨時(shí)間的不確定性的增加。若假設(shè)錯(cuò)誤，模型怎能給出正確答案？若假設(shè)錯(cuò)誤，模型怎能給出正確答案？雖然模型力求雖然模型力求完美，但這難以達(dá)到。確切地說(shuō)：完美，但這難以達(dá)到。

29、確切地說(shuō)：數(shù)學(xué)模型力求接近數(shù)學(xué)模型力求接近完美。完美。好模型有穩(wěn)鍵好模型有穩(wěn)鍵性性，是指雖然它給出的答案不完，是指雖然它給出的答案不完全精確，但足夠近似從而可以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用。全精確，但足夠近似從而可以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用。23/252022-7-52022-7-52、r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響考察售豬問(wèn)題中的線性假設(shè)考察售豬問(wèn)題中的線性假設(shè)重量重量:w=200+rt w = w(t)價(jià)格價(jià)格: :p=0.65-gt p = p(t) 收益收益: : P(t)=pw-0.45t令令 P (t)=0 p w + p w = 0.45每天利潤(rùn)的增值每天利潤(rùn)的增值 每天投入的資金每天投入的資金 其中其中 p w 代表因價(jià)格下降而損失的價(jià)值代表因價(jià)格下降而損失的價(jià)值; ; p w 代表由于豬增重而增加的價(jià)值。代表由于豬增重而增加的價(jià)值。保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售24/252022-7-52022-7-5考察售豬問(wèn)題中的非線性假設(shè)考察售豬問(wèn)題中的非線