流體力學(xué)第六章

1、第六章 平面勢(shì)流和漩渦運(yùn)動(dòng)討論理想不可壓流體的二元運(yùn)動(dòng)：平面勢(shì)流和漩渦運(yùn)動(dòng)問(wèn)題基本解與運(yùn)動(dòng)疊加原理對(duì)研究粘性流體運(yùn)動(dòng)有 指導(dǎo)作用。意義：研究理想流體二元運(yùn)動(dòng)規(guī)律；歷史上發(fā)揮過(guò)重要作用，（如機(jī)翼繞流、升力等問(wèn)題）； 流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指 的流動(dòng)。0r0r 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體

2、一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。 粘性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看得出來(lái)的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的湍流運(yùn)動(dòng)，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。 園盤繞流園盤繞流尾流場(chǎng)中尾流場(chǎng)中的旋渦的旋渦機(jī)翼繞流機(jī)翼繞流（LES） 流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然

3、在工程上出現(xiàn)得較少，但無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單得多，因此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。 對(duì)工程中的某些問(wèn)題，在特定條件下對(duì)粘性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章先闡述有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二維平面勢(shì)流理論。 6-1 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析一.流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)與變形tyyutxxutyyvtxxvxyOOyyvxxvvvyyuxxuuuyyvvvyyuuuxxvvvxxuuuvvuuCCDDBBAA,n 線變形速度線變形速度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某方向的微元長(zhǎng)度在此方向的相對(duì)變化量。

4、,0limxtxuxx txuxx tx 同理可得yvyzwzn 角變形速度角變形速度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)在坐標(biāo)平面內(nèi)的兩條微元邊的夾角的減小量的一半。uy tuytyy vx tvxtxx 011lim22ztvutxy 同理可得12xwvyz12yuwzx222zyx旋轉(zhuǎn)角速度大小n 旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度：流體微團(tuán)單位時(shí)間內(nèi)繞與平面垂直的軸所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。011()lim22ztvutxy 同理可得1()2xwvyz1()2yuwzx流體微團(tuán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為904522當(dāng)流體微團(tuán)具有繞自身軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有旋有旋的，否則稱無(wú)旋無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。無(wú)旋運(yùn)動(dòng)必定存在勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)，故稱勢(shì)流勢(shì)流。無(wú)旋運(yùn)動(dòng)示

5、意如下：有旋運(yùn)動(dòng)示意如下：二.有旋流動(dòng)與無(wú)旋流動(dòng)102Vrr或0ijkxyzuvwVrvvr或yuxvxwyuzvyw,無(wú)旋流動(dòng)的充要條件0zyx（旋度=0）6-2 速度環(huán)量和漩渦強(qiáng)度一、速度環(huán)量一、速度環(huán)量cos()LLLLdVdsudxvdywdzdVs速度環(huán)量：速度V沿封閉曲線L的線積分。LdsV按照慣例，曲線積分的方向規(guī)定為逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。例題62二、漩渦（渦旋）強(qiáng)度二、漩渦（渦旋）強(qiáng)度AIn2AndAI2漩渦強(qiáng)度就是面積A上渦量的通量，簡(jiǎn)稱為渦通量渦通量。旋渦中某點(diǎn)渦量的大小是流體微團(tuán)繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的平均角速度的2倍，方向與微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線重合。AAnn三、斯托克斯定理

6、三、斯托克斯定理2nAIdAV ds斯托克斯定理是研究有旋流動(dòng)的一個(gè)重要定理。它將渦量的研究從面積分轉(zhuǎn)變?yōu)榫€積分，使計(jì)算方便。 或dIdAdxdyyuxvdz2通常求 比求 I 要容易。任意面積A上的漩渦強(qiáng)度I，等于該面積的邊界L上的速度環(huán)量，即：斯托克斯定律證明：以平面流動(dòng)為例來(lái)證明，如圖6-2所示，在平面XOY上取一微元矩形封閉曲線，其面積dA=dxdy，流體在A點(diǎn)的速度分量為u和v，則B、C和D點(diǎn)的速度分量分別為：xxuuudBxxvvvdByyuxxuuuddCyyvxxvvvddCyyuuudDyyvvvdD圖6-2 沿微元矩形的速度環(huán)量沿微元矩形的速度環(huán)量 xxuudxxvvdyy

7、uxxuuddyyvxxvvddyyuudyyvvd于是，沿封閉曲線反時(shí)針?lè)较駻BCDA的速度環(huán)量將uA、uB、uC 、uD和vA、vB、vC、vD各值代入上式，略去高于一階的無(wú)窮小各項(xiàng)，再將沿z軸的角速度分量表達(dá)式代入，得稱為微元面積上的斯托克斯定理微元面積上的斯托克斯定理。將上式對(duì)面積A積分，得 yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAdd d2dzvux yAdIxyAzd2于是得到平面面積平面面積A上的斯托克斯定理上的斯托克斯定理。對(duì)于空間任一曲面，可將曲面分割成許多微元曲面，分別推導(dǎo)微元曲面上的斯托克斯定理，再得到空間曲面上的斯托克斯定理空間曲面上的斯托克斯定理。=

8、 0 不一定是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，如圖。對(duì)強(qiáng)制線渦，包含渦的任意封閉曲線 L 有：但對(duì)不包含渦的封閉曲線 L 有：0220crdrc0L2L1rdrcrdrc 斯托克斯定理說(shuō)明：速度環(huán)量是否為零可以判斷流動(dòng)是速度環(huán)量是否為零可以判斷流動(dòng)是否有旋否有旋。如果任意一條封閉曲線上的速度環(huán)量都為零，則此區(qū)域的旋渦強(qiáng)度為零，即旋轉(zhuǎn)角速度為零，是無(wú)旋流動(dòng)。但是，如果有一條封閉曲線上的速度環(huán)量不為零，則此區(qū)域的旋渦強(qiáng)度不為零，是有旋流動(dòng)。討論：包圍某區(qū)域的速度環(huán)量為零，則此區(qū)域是否一定是無(wú)旋流動(dòng)？例題例題6-3 龍卷風(fēng)rr0的風(fēng)眼強(qiáng)迫漩渦流動(dòng)的速度分布：rr0的眼外自由漩渦流動(dòng)的速度分布：0,0,rrvrCvvrv根

9、據(jù)速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)速度之間的關(guān)系的斯托克斯公式判斷流動(dòng)是否有旋。解：在rr0處眼內(nèi)外速度相等，得20rC當(dāng)r0r2r1時(shí)，為強(qiáng)迫漩渦流動(dòng)區(qū)域，ABCDA封閉曲線的速度環(huán)量是：21212221()2ABBCCDDAvvrrrrA 可見(jiàn)，在強(qiáng)迫漩渦流動(dòng)區(qū)域是有旋流動(dòng)。r1r2r0 xyABCD當(dāng)r2r1r0時(shí)，為自由漩渦流動(dòng)區(qū)域，ABCDA封閉曲線的速度環(huán)量是：220021210ABBCCDDArrrrrr r0r1r2xyABCD可見(jiàn)，眼外部分為無(wú)漩流動(dòng)。另外：當(dāng)r=0時(shí)，自由漩渦速度變?yōu)闊o(wú)窮大，這時(shí)沿圓周的 速度環(huán)量為：CrdrC220可見(jiàn)，在圓心處是一個(gè)孤立的渦點(diǎn)，稱為奇點(diǎn)奇點(diǎn)。一一.平面流動(dòng)

10、平面流動(dòng)6-3 旋流與勢(shì)流、勢(shì)函數(shù)以一條曲線為底，以高度為1的垂線作母線的柱面，如果通過(guò)該曲線的流量等于通過(guò)上述柱面的流量，把這樣的流動(dòng)稱為平面流動(dòng)。即認(rèn)為流體流動(dòng)只在與xoy平行的平面內(nèi)進(jìn)行，在與z軸平行的直線上的所有物理量都相等。xvyzo任一時(shí)刻，流場(chǎng)中各點(diǎn)的流體速度都平行于某一固定平面的流動(dòng)，并且流場(chǎng)中的物理量（速度、壓強(qiáng)、密度等）在流動(dòng)平面的垂直方向上沒(méi)有變化。即所有決定運(yùn)動(dòng)的函數(shù)僅與兩個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間有關(guān)。二二.速度勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)函數(shù) 由數(shù)學(xué)分析可知， 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù) 稱為速度勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)。因此，也可以說(shuō)，存在速度勢(shì)函數(shù) 的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流

11、。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù) 的全微分可寫成 于是得0Vrzwyvxuddd)(tzyx，zzyyxxddddzwyvxu，（6-1） 即速度矢量是函數(shù) 的梯度Vu iv jw kijkxyy rvvvvvvn 速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)，速度勢(shì)）的性質(zhì)速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)，速度勢(shì)）的性質(zhì)無(wú)論是不可壓縮還是可壓縮，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，無(wú)旋必定有勢(shì)，有勢(shì)則無(wú)旋無(wú)旋必定有勢(shì)，有勢(shì)則無(wú)旋。無(wú)旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)，或簡(jiǎn)稱勢(shì)流或位流對(duì)有勢(shì)流動(dòng)yxxvyuyx22顯然成立。0V r不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，速度勢(shì)函數(shù)為調(diào)和函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。不可壓定常流連續(xù)性方程：則

12、有0zwyvxu0222222zyx或02該式稱為“拉普拉斯方程拉普拉斯方程”，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，速度勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。任意曲線的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù)任意曲線的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù)之差，與形狀無(wú)關(guān)之差，與形狀無(wú)關(guān)。根據(jù)速度環(huán)量定義，沿任意曲線AB的線積分BABABABABAV dsudxvdywdzd 對(duì)無(wú)旋流動(dòng)，求環(huán)量問(wèn)題變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)之差的問(wèn)題。對(duì)平面不可壓流動(dòng)，不論是否有旋、是否有粘性vdyudx或0udyvdx均可構(gòu)造標(biāo)量函數(shù), yx使,uvyx 則0ddyydxxudyvdxyx,稱為流函數(shù)。且等流函數(shù)線就是流線且等流函數(shù)線就是

13、流線。三三. .流函數(shù)流函數(shù)yvxuyvxu或0流線方程：連續(xù)性方程：（充分必要條件）n 流函數(shù)性質(zhì)流函數(shù)性質(zhì)1）流函數(shù)自動(dòng)滿足連續(xù)性方程：2）對(duì)無(wú)旋流，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)：3）流場(chǎng)中不同流線其流函數(shù)值不同，但流函數(shù)的差值就是流線間單位寬度對(duì)應(yīng)的流量。4）三維流動(dòng)（除軸對(duì)稱流動(dòng)外）一般不存在流函數(shù)，但是存在流線。022xyyxyvxu222220uvyxxy 2222121111yxyxByxyxAQudyvdxdydxdyx（） （1）滿足柯西）滿足柯西-黎曼條件黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速 度勢(shì)和流函數(shù) 因此， 和 互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函

14、數(shù)這樣一種有力的工具求解此類問(wèn)題。 當(dāng)勢(shì)函數(shù) 和 流函數(shù)二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用上述求出，而至多相差一任意常數(shù)。四四.勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系對(duì)平面勢(shì)流xyvyxu且0yyxx 求出一個(gè)即可求出另一個(gè)，且由此可解得速度分布u、v，這是數(shù)值法的基礎(chǔ)。yxyx,（柯西-黎曼條件）（2）流線與等勢(shì)線正交流線與等勢(shì)線正交 是等勢(shì)線簇 常數(shù)和流線簇 常數(shù)互相正交的條件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一系列流線和等勢(shì)線，則它們必然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)，如圖6-1所示。 ），（yx），（yx圖6-1 流網(wǎng)0yyxx 【例例6-1】 有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為 。該平面流動(dòng)是否存在流函

15、數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)；若存在，試求出其表達(dá)式；若在流場(chǎng)中A（1m，1m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.4105Pa，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少？ 【解解】 （1）由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，流動(dòng)是存在的，存在流函數(shù)。 由于是平面流動(dòng) 該流動(dòng)無(wú)旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。 yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx 0442121yxxyyuxvz（2）由流函數(shù)的全微分得：積分 由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得：積分 （3）由于 ，因此，A和B處的速度分別為 由伯努里方程可得yxxyyuxvyyxxd4d4dddddCxy 4yyxxyvxuyyxxd4d4d

16、ddddCyx)( 222222vuV)(32) 14() 14(22222AsmV)( 464) 54() 24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8 .139740)46432(2 . 121104 . 1)(2152B2AABPaVVpp解：440vuVkkxy rvv故存在, yx為有勢(shì)流動(dòng)另外，設(shè)存在yx,則：yxuy4對(duì)y積分： xfyxyxfdyyx224對(duì)x求導(dǎo)： xyvxfyx4故 xdxdfxf4積分 cxxf22于是cxyxyyx2222,例：已知求：是否存在若存在，解出它們。xyvyxu4,4yxyx,可以令：0, 0yx處0則c=0, 于是2222,x

17、yxyyx說(shuō)明存在流函數(shù)。用完全類似的方法，可求得：242,22yxyxyx作圖：412tg坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，消去x,y項(xiàng)之后等線，0 時(shí)為以實(shí)軸x/對(duì)稱的雙曲線； 0 時(shí)為以實(shí)軸x對(duì)稱的雙曲線； 0， 故=VQr20VQy2過(guò)駐點(diǎn)的流線方程：22sinQQrV二、螺旋流二、螺旋流22)(22nrQnrQ22點(diǎn)匯與點(diǎn)渦的疊加速度：為平面螺旋運(yùn)動(dòng)，如水輪機(jī)的引水室、水泵（蝸殼）。rrurQrur212三、偶極子流三、偶極子流相距r的點(diǎn)匯和點(diǎn)源的疊加:( )() 22iQQW znzn zzzre zMezzznnzzWiMrQrz2)(2erQ)(i00lim不變當(dāng)r0，使Q 并使r .Q =，則：稱為

18、偶極子流偶極子流，M稱為偶極子強(qiáng)度偶極子強(qiáng)度。令：= ，則： 2222yxiyxMzMzw22222 ,2yxMyyxMx流線方程：2121244cMcMyx為圓心半徑14, 0cM14 cM的圓周簇。同理，等勢(shì)線方程：2222244cMycMx亦為圓周簇。注意：偶極子的方向由點(diǎn)匯指向點(diǎn)源，而流體的流動(dòng)方向是沿流線由點(diǎn)匯指向點(diǎn)源。四、無(wú)環(huán)量圓柱繞流四、無(wú)環(huán)量圓柱繞流均勻直線流與偶極子（x負(fù)向）疊加：流線方程：或可見(jiàn)是以（0，0）為圓心，半徑為的圓周?？傻茫夯騣ireMreVzMzVzw122)(cos)2(rMrVsin)2(rMrV012122yxVMyVVMyxy20222102VMr2s

19、in2cos1220220rrVvrrVusin1cos1220220rrVvrrVur（零流線方程零流線方程）221 4sin12pppcV 速度環(huán)量：220201sin0rv dsV rdr 圓柱面上（r=r0）壓力分布：22221()21(14sin)2ppVvpV取壓強(qiáng)系數(shù)：阻力：升力：表明：無(wú)環(huán)量繞流中，阻力與升力均為零，而實(shí)際測(cè)量圓柱繞流有阻力，稱為達(dá)朗貝爾佯謬達(dá)朗貝爾佯謬（1744），反映了理想流體假定的局限性。2222200001cos2sincos02xFrPVdVrd 2030220200sin2sin21drVdVPrFy五、有環(huán)量圓柱繞流五、有環(huán)量圓柱繞流nzizrzV

20、zW2)()(2020()cos2rVrr2021(1)sin2ruVrrr 02sin20rVuur勻速直線流+偶極子+點(diǎn)渦（順時(shí)針）速度：圓柱面上：)4sin(212122rVVpp壓力分布：200sinVdprFL升力：庫(kù)塔庫(kù)塔儒柯夫斯基定律儒柯夫斯基定律2102VMr阻力：0DF202(1)cosrruVrr1) 04Vr0時(shí)， 駐點(diǎn)脫離圓柱。駐點(diǎn)位置：Vr04sin駐(有兩解，A、B)。202004423rVrVrr駐駐 【例例6-2】 設(shè)把蒙古包做成一個(gè)半徑為R的半圓柱體，因受到正面來(lái)的速度為U0的大風(fēng)襲擊，屋頂有被掀起的危險(xiǎn)，其原因是屋頂內(nèi)外有壓差。試問(wèn)：通氣窗口的角度為多少時(shí)，

21、可以使屋頂受到的升力為零。0()sin ()LsFppRd方向向下sinpp0()sin 2()LininFppRdR pp（方向向上）屋頂圓柱面內(nèi)（含表面）的靜壓強(qiáng)為pin，它與通氣窗口處的壓強(qiáng)相等，即：其中p為無(wú)窮遠(yuǎn)處壓強(qiáng)，ps為圓柱外表面上的壓強(qiáng)。內(nèi)壓強(qiáng)產(chǎn)生的升力為【解解】 屋頂圓柱面外表面受到的升力： 引入壓強(qiáng)系數(shù)：220sin4121UppCsP0220()sin 2 ()(1 4sin)sin 2(1 4sin)sinppRdR ppd 要使圓柱面屋頂?shù)纳榱?，則：LLFF即0()sin 2 ()sinppRdR pp則30024sin2,sin351 4sin354.74dd 作業(yè) 615 622 626 6326-7 理想流體旋渦運(yùn)動(dòng)理想流體旋渦運(yùn)動(dòng)渦量渦量：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的二倍,渦管渦管：由一組渦線構(gòu)成的管狀通道。一、渦線和渦管一、渦線和渦管渦線方程為：渦線渦