信號頻域與時域分析

1、第一章 概論與基礎(chǔ)知識信號頻域與時域分析何永琪何永琪北京大學(xué)電子學(xué)系北京大學(xué)電子學(xué)系Tel：62756700；Mobilemail：通信原理通信原理222/58通信系統(tǒng)基本問題n服務(wù)質(zhì)量服務(wù)質(zhì)量p信噪比信噪比/誤碼率性能誤碼率性能p抗干擾能力抗干擾能力p抵御抵御/補(bǔ)償線性補(bǔ)償線性/非線性失真能力非線性失真能力p糾錯能力糾錯能力n傳輸帶寬傳輸帶寬p帶寬資源帶寬資源p帶寬利用率帶寬利用率p色散與非線性效應(yīng)的抑制能力色散與非線性效應(yīng)的抑制能力n傳輸距離傳輸距離p傳輸損耗傳輸損耗p高發(fā)射功率高發(fā)射功率p高接收靈敏度高接收靈敏度n性價比性價比p系統(tǒng)實現(xiàn)復(fù)雜度系統(tǒng)實現(xiàn)復(fù)雜度p系統(tǒng)

2、單位比特成本系統(tǒng)單位比特成本通信原理主要通信原理主要研究對象研究對象322/58關(guān)于通信系統(tǒng)的研究n通信系統(tǒng)要求通信系統(tǒng)要求p足夠的帶寬足夠的帶寬p足夠的功率足夠的功率p帶寬與功率資源的充分利用帶寬與功率資源的充分利用n理論研究方法理論研究方法p研究信息的表達(dá)與度量研究信息的表達(dá)與度量p研究通信信號的時域和頻域特征研究通信信號的時域和頻域特征p研究信號與噪聲的功率（能量）研究信號與噪聲的功率（能量）p研究隨機(jī)信號的時域和頻域特征研究隨機(jī)信號的時域和頻域特征p研究信道的特征研究信道的特征422/58大綱n基本概念基本概念n信號頻域特性信號頻域特性n信號時域特性信號時域特性522/58基本概念1/

3、2n確知信號與隨機(jī)信號確知信號與隨機(jī)信號p確知信號：確知信號：定義：能以確定的時間函數(shù)表示的信號，在定義域內(nèi)任意時刻定義：能以確定的時間函數(shù)表示的信號，在定義域內(nèi)任意時刻都有確定的函數(shù)值都有確定的函數(shù)值示例：電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號示例：電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號p隨機(jī)信號：隨機(jī)信號：定義：不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，不能預(yù)測其未來任何定義：不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，不能預(yù)測其未來任何時刻的準(zhǔn)確值；具有統(tǒng)計規(guī)律性，可用概率統(tǒng)計方法來描述時刻的準(zhǔn)確值；具有統(tǒng)計規(guī)律性，可用概率統(tǒng)計方法來描述示例：半導(dǎo)體載流子隨機(jī)運(yùn)動所產(chǎn)生的噪聲，雷達(dá)信號，所有示例：半導(dǎo)體載流子隨機(jī)運(yùn)動

4、所產(chǎn)生的噪聲，雷達(dá)信號，所有的實際信號的實際信號n周期信號與非周期信號周期信號與非周期信號p周期信號：周期信號：p非周期信號非周期信號000000002coscos)(1)(tfttsTfTtTtsts示例：信號基頻：信號周期622/58基本概念2/2n信號功率與能量信號功率與能量p信號功率：電流在單位電阻（信號功率：電流在單位電阻（1 ）上消耗的功率，即）上消耗的功率，即p信號能量：信號能量：p信號平均功率：信號平均功率：n能量信號能量信號p定義：能量為有限值的信號定義：能量為有限值的信號p推論：能量信號的平均功率為零推論：能量信號的平均功率為零p示例：數(shù)字信號中的單個碼元為能量信號示例：數(shù)

5、字信號中的單個碼元為能量信號n功率信號功率信號p定義：平均功率為有限值的信號定義：平均功率為有限值的信號p推論：功率信號的能量為無窮大推論：功率信號的能量為無窮大p示例：廣播信號近似認(rèn)為持續(xù)無限長時間，為功率信號示例：廣播信號近似認(rèn)為持續(xù)無限長時間，為功率信號 J)(2dttsE流波形為信號的電壓波形或電其中：)(W)(22222tstsIVRIRVPdttsTPTTT222)(1lim適用于確知信號適用于確知信號/隨機(jī)信號隨機(jī)信號722/58大綱n基本概念基本概念n信號頻域特性信號頻域特性n信號時域特性信號時域特性822/58能量信號頻譜密度與能量譜密度1/3n能量信號頻譜密度能量信號頻譜密

6、度p能量信號及其頻譜：能量信號及其頻譜：p能量信號頻譜特點能量信號頻譜特點S(f)為連續(xù)譜：能量信號能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)為連續(xù)譜：能量信號能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)分布于頻率軸分布于頻率軸實能量信號頻譜對稱性：正負(fù)頻譜振幅偶對稱、相位奇對稱實能量信號頻譜對稱性：正負(fù)頻譜振幅偶對稱、相位奇對稱 Hz/VV22dtetsfSdfefStsftjftj傅里葉變換對傅里葉變換對 *22fSfSdtetsdtetsftjftj922/58能量信號頻譜密度與能量譜密度2/3n能量信號頻譜密度示例能量信號頻譜密度示例p單位沖激函數(shù)頻譜密度單位沖激函數(shù)頻譜密度p單位階躍函數(shù)的頻譜密度？單位階

7、躍函數(shù)的頻譜密度？ 1sinsinlimlim00120000dtetftfdttttfdttttftttSatktktSaktttdttftjkk函數(shù)頻譜密度：函數(shù)性質(zhì)：為抽樣函數(shù)其中：函數(shù)：抽樣函數(shù)與函數(shù)定義： tt0 波形t ff01 頻譜密度t ttutttu01001022/58能量信號頻譜密度與能量譜密度3/3n能量信號能量譜密度能量信號能量譜密度p能量譜定義：能量譜定義：p實能量信號能量譜密度：實能量信號能量譜密度： dffGEfSts0)(2為偶函數(shù)為實函數(shù) dffGdffSdffSfSdtdfetsfSdfdtefStsdttsEftjftj)()()()()(2222信號能

8、量：Hz/J)()(2fSfG信號能量譜密度：1122/58功率信號頻譜與功率譜密度1/4n周期性功率信號頻譜周期性功率信號頻譜p信號頻譜信號頻譜p信號頻譜特點信號頻譜特點頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)Cn為離散值雙邊譜，雙邊譜中負(fù)頻譜僅有數(shù)學(xué)意義，為離散值雙邊譜，雙邊譜中負(fù)頻譜僅有數(shù)學(xué)意義，物理上不存在負(fù)頻率物理上不存在負(fù)頻率實信號（物理可實現(xiàn)）實信號（物理可實現(xiàn)） ：正負(fù)頻譜振幅偶對稱，相位奇對稱：正負(fù)頻譜振幅偶對稱，相位奇對稱 V12220020000njnTTTntjnnTntjneCdtetsTnfCCeCts周期性函數(shù)傅周期性函數(shù)傅里葉級數(shù)展開里葉級數(shù)展開 *2220222000000011nT

9、TTntjTTTntjnCdtetsTdtetsTC1222/58功率信號頻譜與功率譜密度2/4n周期性功率信號頻譜示例周期性功率信號頻譜示例p周期性方波信號周期性方波信號n非周期性功率信號：作為思考題？非周期性功率信號：作為思考題？ 為振幅為脈沖寬度，為周期，其中：周期性條件：其它信號表達(dá)式：VTTtststVts00t- 02 nTntjTntjTTTntjneTnTVtstttSaTnTVTnnVdtetsTdtetsTC0000020000022202220sinsinsinsin 11信號：為抽樣函數(shù)其中：頻譜：-T0T0002T0TV實偶信號的頻譜為實函數(shù)實偶信號的頻譜為實函數(shù)13

10、22/58功率信號頻譜與功率譜密度3/4n功率信號功率譜密度功率信號功率譜密度p功率譜密度定義：功率譜密度定義：功率信號能量無窮大，能量譜密度不存在。功率信號能量無窮大，能量譜密度不存在。功率信號功率譜密度存在，需采用功率信號的截短信號計算。功率信號功率譜密度存在，需采用功率信號的截短信號計算。 量綱？信號功率譜密度：信號功率：信號功率：信號能量：其它定義：信號的截短信號222222222222)(1lim)(1limlim)(1)(1)()( 02fSTfPtsdffPdffSTPPtsdffSTdttsTPtsdffSdttsEtsTttstststsTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

11、TTT1422/58功率信號頻譜與功率譜密度4/4n功率信號功率譜密度（續(xù)）功率信號功率譜密度（續(xù)）p周期性功率信號功率：周期性功率信號功率：p周期性功率信號功率譜密度：周期性功率信號功率譜密度：dfnfffCCCCdtetsTCdteCtsTfTdttsTdttsTPnnnnnnTTTntjnTTnTntjnTTTTTT)()()(1)(1, )(1)(1lim022*2220222000222022200000000為基頻為周期離散譜表式離散譜表式連續(xù)譜表式連續(xù)譜表式 0)(0其它時當(dāng)其中：nffCfCn)()()(02nfffCfP1522/58大綱n基本概念基本概念n信號頻域特性信號頻

12、域特性n信號時域特性信號時域特性1622/58自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)n自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)p數(shù)學(xué)定義：數(shù)學(xué)定義：p數(shù)學(xué)含義：數(shù)學(xué)含義：s(t)及其時延及其時延 后的相關(guān)程度后的相關(guān)程度p對稱性：對稱性：n互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)p數(shù)學(xué)定義：數(shù)學(xué)定義：p數(shù)學(xué)含義：數(shù)學(xué)含義： s1(t)和和s2(t)時延時延 后的相關(guān)程度后的相關(guān)程度p對稱性：對稱性： dttstsR)()( RdxxsxsdttstsR)()()()( dttstsR)()(2112 tst0ts ts1t0ts2 21212112)()()()(RdxxsxsdttstsR1722/58能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)1/2n能量信

13、號自相關(guān)函數(shù)能量信號自相關(guān)函數(shù)p定義：定義：p信號能量：信號能量：p自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度的關(guān)系：自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度的關(guān)系： dttstsR)()( EdttsR)(02 dfefSRFFRfSfSfSdtetsfSdtedetstsdtdetstsdeRRFfjftjftjtfjfjfj221222222)()()()()(1822/58能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)2/2n能量信號互相關(guān)函數(shù)能量信號互相關(guān)函數(shù)p定義：定義：p互相關(guān)函數(shù)與互能量譜密度的關(guān)系：互相關(guān)函數(shù)與互能量譜密度的關(guān)系：p互能量譜密度：互能量譜密度： dttstsR)()(2112 dfefSdfefSfSRFFRfS

14、fSfSdtetsfSdtedetstsdtdetstsdeRRFfjfjftjftjtfjfjfj21222*112112122*1212222122121212)()()()()( fSfSfS2*1121922/58功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)1/2n功率信號自相關(guān)函數(shù)功率信號自相關(guān)函數(shù)p定義：定義：p信號平均功率：信號平均功率：p周期性功率信號自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系：周期性功率信號自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系： dttstsTRTTT22)()(1lim PdttsTRTTT222)(1lim0 deRRFfPdfefPdfenfffCeCCdteCtsTdttstsTRfjf

15、jnfjnTnjnnTTnTtnjnTT222022*2220220000000)(1)()(12022/58功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)2/2n功率信號互相關(guān)函數(shù)功率信號互相關(guān)函數(shù)p定義：定義：p周期性功率信號互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度的關(guān)系：周期性功率信號互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度的關(guān)系：p互功率譜密度：互功率譜密度： 對周期性功率信號dttstsTRdttstsTRTTTTT222101222211200)()(1)()(1lim dfenfffCeCeCCdtetsTeCdteCtsTdttstsTRnfjnTnjnTnjnnnTTTntjTnjnTTnTtnjnTT20122122,

16、2*, 1222102, 2222, 2102221012)()(1)(1)()(100000000000 012, 2*, 112nfffCCCCnn2122/58例題n求單位沖激序列求單位沖激序列 的傅里葉變換的傅里葉變換n解：解：p若若s(t)是周期為是周期為T的周期函數(shù)，則其可以作傅里葉變換：的周期函數(shù)，則其可以作傅里葉變換：p 為周期函數(shù)，因此：為周期函數(shù)，因此：p單位沖激序列的傅里葉變換為：單位沖激序列的傅里葉變換為： nTnTtt 2222)(1TTTntjnnTntjndtetsTTnCCeCts nnnnTntjnnTntjnTTnTTnCeFCeCFtF222222Tdte

17、tTdtetTCTTTntjTTTntjTn1)(1)(1222222 nTnTtt2222/58小結(jié)n信號類型：信號類型：p確知信號與隨機(jī)信號確知信號與隨機(jī)信號p能量信號與能量信號與功率信號功率信號能量信號：采用傅里葉變換分析方法。能量信號：采用傅里葉變換分析方法。能量信號：采用截短函數(shù)傅里葉變換分析方法。能量信號：采用截短函數(shù)傅里葉變換分析方法。n信號頻域特性信號頻域特性p能量信號頻譜密度與能量譜密度能量信號頻譜密度與能量譜密度p功率信號頻譜與功率譜密度功率信號頻譜與功率譜密度p能量信號頻譜密度與周期性功率信號頻譜的比較能量信號頻譜密度與周期性功率信號頻譜的比較能量信號連續(xù)譜：能量有限，平

18、均功率為零，頻譜連續(xù)分布能量信號連續(xù)譜：能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)分布功率信號離散譜：功率有限，能量無限，頻譜離散分布功率信號離散譜：功率有限，能量無限，頻譜離散分布n信號時域特性信號時域特性p能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)能量信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)p功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)功率信號自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)第一章 概論與基礎(chǔ)知識隨機(jī)過程基礎(chǔ)（1）何永琪何永琪北京大學(xué)電子學(xué)系北京大學(xué)電子學(xué)系Tel：62756700；Mobilemail：通信原理通信原理2422/58通信系統(tǒng)基本問題n服務(wù)質(zhì)量服務(wù)質(zhì)量p信噪比信噪比/誤碼率性能誤碼率性能p抗干擾能力抗干擾能

19、力p抵御抵御/補(bǔ)償線性補(bǔ)償線性/非線性失真能力非線性失真能力p糾錯能力糾錯能力n傳輸帶寬傳輸帶寬p帶寬資源帶寬資源p帶寬利用率帶寬利用率p色散與非線性效應(yīng)的抑制能力色散與非線性效應(yīng)的抑制能力n傳輸距離傳輸距離p傳輸損耗傳輸損耗p高發(fā)射功率高發(fā)射功率p高接收靈敏度高接收靈敏度n性價比性價比p系統(tǒng)實現(xiàn)復(fù)雜度系統(tǒng)實現(xiàn)復(fù)雜度p系統(tǒng)單位比特成本系統(tǒng)單位比特成本2522/58大綱n問題的提出問題的提出n隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念n高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程n隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲2622/58問題提出：如何處理噪聲1

20、/3n42.8 Gbit/s 1200km光纖傳輸系統(tǒng)測試眼圖（光纖傳輸系統(tǒng)測試眼圖（NRZ碼型，電吸收調(diào)制）碼型，電吸收調(diào)制）噪聲？信噪比？誤碼率？噪聲？信噪比？誤碼率？2722/58問題提出：如何處理噪聲2/3n帶噪聲的信號波形示例帶噪聲的信號波形示例10102030405060708090100-0.4-0.200.20.40102030405060708090100-0.4-0.200.20.40102030405060708090100-0.4-0.200.20.40102030405060708090100-0.3-0.2-0.100.10.22822/58問題提出：如何處理噪聲3

21、/3n帶噪聲的信號波形示例帶噪聲的信號波形示例20102030405060708090100-2-10120102030405060708090100-2-10120102030405060708090100-0.500.511.50102030405060708090100-0.500.511.50102030405060708090100-0.2-0.100.10.20.3050100150200250300350400450500-0.4-0.200.20.4有無規(guī)律可尋有無規(guī)律可尋?2922/58通信系統(tǒng)中的隨機(jī)信號n通信通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柣臼请S機(jī)信號系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柣臼请S機(jī)信號

22、n系統(tǒng)的系統(tǒng)的噪聲噪聲（熱噪聲、干擾噪聲、輻射噪聲、等（熱噪聲、干擾噪聲、輻射噪聲、等等）均為隨機(jī)的等）均為隨機(jī)的n隨機(jī)信號的分析方法隨機(jī)信號的分析方法p對確定信號行之有效的分析方法（如：信號與系統(tǒng)的對確定信號行之有效的分析方法（如：信號與系統(tǒng)的分析方法）分析方法）不一定能夠不一定能夠直接應(yīng)用于隨機(jī)信號分析直接應(yīng)用于隨機(jī)信號分析p研究隨機(jī)信號統(tǒng)計特性所采用的主要數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)研究隨機(jī)信號統(tǒng)計特性所采用的主要數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)過程過程3022/58大綱n問題的提出問題的提出n隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念n高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程n隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程

23、n正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲3122/58基本概念1/3n隨機(jī)變量隨機(jī)變量p定義：將觀察結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取定義：將觀察結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取值是隨機(jī)的，該變量稱為隨機(jī)變量值是隨機(jī)的，該變量稱為隨機(jī)變量p分類：離散隨機(jī)變量，連續(xù)隨機(jī)變量分類：離散隨機(jī)變量，連續(xù)隨機(jī)變量p描述方法：隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律用概率分布函數(shù)或概描述方法：隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述率密度函數(shù)來描述n樣本函數(shù)樣本函數(shù)p定義：樣本函數(shù)即為觀察結(jié)果的每次記錄（即一個確定義：樣本函數(shù)即為觀察結(jié)果的每次記錄（即一個確定的時間函數(shù)定的時間函數(shù)xi(t)）p含義：含義：樣本

24、函數(shù)具有確定性樣本函數(shù)具有確定性隨機(jī)變量的每次觀察結(jié)果出現(xiàn)哪個樣本函數(shù)是不可預(yù)知的隨機(jī)變量的每次觀察結(jié)果出現(xiàn)哪個樣本函數(shù)是不可預(yù)知的3222/58基本概念2/3n隨機(jī)過程隨機(jī)過程p定義：定義：通俗定義：隨機(jī)過程為全體樣本函數(shù)的集合通俗定義：隨機(jī)過程為全體樣本函數(shù)的集合 xi(t) , i=1,2,n 數(shù)學(xué)定義：對給定概率空間數(shù)學(xué)定義：對給定概率空間(, F, P)和一個參數(shù)集和一個參數(shù)集T R，若對，若對每一個每一個t T，均有定義在，均有定義在(, F, P)上的一個隨機(jī)變量上的一個隨機(jī)變量X( , t) （ ）與之對應(yīng)，稱依賴于參數(shù)）與之對應(yīng)，稱依賴于參數(shù)t的隨機(jī)變量族的隨機(jī)變量族X( ,

25、 t)為隨為隨機(jī)過程。機(jī)過程。：全體可能組成的集合：全體可能組成的集合F ：全體可觀測事件組成的事件族：全體可觀測事件組成的事件族P：F上定義的一個取值于上定義的一個取值于0，1區(qū)間的函數(shù)區(qū)間的函數(shù)p含義含義 通信理論中的隨機(jī)過程通常是時間通信理論中的隨機(jī)過程通常是時間t的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為 (t)，即即 (t) = xi(t) , i=1,2,n 在任意給定的時刻在任意給定的時刻t1T，隨機(jī)過程，隨機(jī)過程(t)的取值的取值(t1)是一個一維是一個一維隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述3322/58基本概

26、念3/3n隨機(jī)過程（續(xù)）隨機(jī)過程（續(xù)）p示例：示例：x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn (t)tk3422/58隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性1/3n隨機(jī)過程一維分布函數(shù)隨機(jī)過程一維分布函數(shù)p定義：定義：p局限性：局限性： 隨機(jī)過程的一維函數(shù)僅能隨機(jī)過程的一維函數(shù)僅能描述隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)描述隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，而不能描述隨機(jī)過程在不計特性，而不能描述隨機(jī)過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系 的概率為隨機(jī)變量其中：的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程111111111,xtxtPxtPtxFt 存在其中假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)的一維概率密度函數(shù)：隨機(jī)過程1111111

27、1111,xtxFxtxFtxft3522/58隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性2/3n隨機(jī)過程隨機(jī)過程n維分布函數(shù)維分布函數(shù)p定義：定義：n關(guān)于分布函數(shù)的維數(shù)：關(guān)于分布函數(shù)的維數(shù)：p維數(shù)維數(shù)n越大，隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述越充分越大，隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述越充分p維數(shù)維數(shù)n越大，數(shù)學(xué)描述與分析方法越復(fù)雜越大，數(shù)學(xué)描述與分析方法越復(fù)雜p實際應(yīng)用中需在維數(shù)和分析復(fù)雜性之間找平衡實際應(yīng)用中需在維數(shù)和分析復(fù)雜性之間找平衡 nixtxtxtxtPxtxtxtPtttxxxFntiinnnnnnn, 2 , 1,;,221122112121的概率為維分布函數(shù)：的 nnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxfnt2

28、121212121,;,;,維概率密度函數(shù)：的3622/58隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性3/3n隨機(jī)過程與隨機(jī)變量的對比隨機(jī)過程與隨機(jī)變量的對比隨機(jī)變量隨機(jī)過程概率分布函數(shù)概率密度函數(shù)11111x(tP,txF111xXPxF),(),(1111111txfxtxF)()(11111xfdxxdF3722/58數(shù)字特征1/3n均值（數(shù)學(xué)期望）均值（數(shù)學(xué)期望）n方差方差n相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) tadxtxxftE,1 2112222222,2dxtxxfdxtxfxtatEtattatEttatEtD 2121112212121,xddxttxxfxxttEttR 兩時刻所得隨兩時刻所得隨機(jī)變量的統(tǒng)計機(jī)變量的

29、統(tǒng)計相關(guān)性相關(guān)性 3822/58數(shù)字特征2/3n協(xié)方差協(xié)方差n協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系n互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)n互協(xié)方差互協(xié)方差 221121,tattatEttB 212121,tatattRttB 2121,ttEttR 221121,tattatEttR3922/58數(shù)字特征3/3隨機(jī)過程隨機(jī)過程（噪聲、信號）（噪聲、信號）相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)期望方差統(tǒng)計、觀測、計算統(tǒng)計、觀測、計算目標(biāo)：獲得某目標(biāo)：獲得某時刻的平均值、某時刻偏時刻的平均值、某時刻偏離平均值的程度、兩時刻間的相關(guān)離平均值的程度、兩時刻間的相關(guān)程度程度4022/58隨機(jī)過程的平穩(wěn)性1/3n平穩(wěn)隨機(jī)過程應(yīng)用廣泛，對

30、通信研究意義重大平穩(wěn)隨機(jī)過程應(yīng)用廣泛，對通信研究意義重大4122/58隨機(jī)過程的平穩(wěn)性2/3n狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程p定義：即為任何定義：即為任何n維概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)維概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)p含義：平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計特性與時間推移無關(guān)，從而含義：平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計特性與時間推移無關(guān)，從而隨機(jī)過程分析大大地簡化隨機(jī)過程分析大大地簡化p特例：特例：一維情況：一維分布函數(shù)與時間無關(guān)一維情況：一維分布函數(shù)與時間無關(guān)二維情況：二維分布函數(shù)只與時間間隔二維情況：二維分布函數(shù)只與時間間隔 =t2-t1有關(guān)有關(guān)nnnnnntttxxxftttxxxf,;,;,21212121 11111,

31、xftxf;,;,21221212xxfttxxf4222/58隨機(jī)過程的平穩(wěn)性3/3n廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（弱平穩(wěn)、寬平穩(wěn)過程）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（弱平穩(wěn)、寬平穩(wěn)過程）p平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值與時間無關(guān)，即為常數(shù)均值與時間無關(guān)，即為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，即自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，即p定義：滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程即為廣義平穩(wěn)隨定義：滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程即為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程機(jī)過程p理解：狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程必是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，反理解：狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程必是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，反之不一定成立之不一定成立p適用性：通信系統(tǒng)中的信號與噪聲通常可視為平穩(wěn)隨適用性：通

32、信系統(tǒng)中的信號與噪聲通?？梢暈槠椒€(wěn)隨機(jī)過程機(jī)過程 RttR11,4322/58隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1/4n問題的提出問題的提出p隨機(jī)過程的分析是基于其所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，隨機(jī)過程的分析是基于其所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但大量樣本的公測實際上很難實現(xiàn)但大量樣本的公測實際上很難實現(xiàn)p能否從一次觀測所得樣本函數(shù)確定隨機(jī)過程數(shù)字特征能否從一次觀測所得樣本函數(shù)確定隨機(jī)過程數(shù)字特征4422/58隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性2/4n概念：各態(tài)歷經(jīng)性過程的數(shù)字特征完全可由任一概念：各態(tài)歷經(jīng)性過程的數(shù)字特征完全可由任一實現(xiàn)的時間平均值確定實現(xiàn)的時間平均值確定n條件：條件：p假設(shè)假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程

33、(t)的任意一個實現(xiàn)（樣本）的任意一個實現(xiàn)（樣本）,其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別為其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別為p若平穩(wěn)隨機(jī)過程使下式成立，則其具有各態(tài)歷經(jīng)性若平穩(wěn)隨機(jī)過程使下式成立，則其具有各態(tài)歷經(jīng)性 2/2/2/2/11limlimTTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa RRaa 4522/58隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3/4n物理意義：物理意義：p從隨機(jī)過程得到任一實現(xiàn)，均經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有從隨機(jī)過程得到任一實現(xiàn)，均經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)可能狀態(tài)p只須作一次考察就可求時間平均，無需作無限多次考只須作一次考察就可求時間平均，無需作無限多次考察來求統(tǒng)計平均察來求統(tǒng)計平均p具有

34、各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 但但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的n適用性：適用性：p確定隨機(jī)過程是否各態(tài)歷經(jīng)通常很困難。實際上，可確定隨機(jī)過程是否各態(tài)歷經(jīng)通常很困難。實際上，可以通過直覺來判斷時間平均和集總平均可不可以互換以通過直覺來判斷時間平均和集總平均可不可以互換p在分析沒有暫態(tài)效應(yīng)的大多數(shù)通信信號時，可以假設(shè)在分析沒有暫態(tài)效應(yīng)的大多數(shù)通信信號時，可以假設(shè)隨機(jī)波形的均值和自相關(guān)函數(shù)為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)波形的均值和自相關(guān)函數(shù)為各態(tài)歷經(jīng)p通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲， 一般均能

35、滿足一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件各態(tài)歷經(jīng)條件4622/58隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性示例4/4n隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用：隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用： 0 22xacdcxacdcdcRPPPPaPtxEaX歸一化總平均功率歸一化交流平均功率歸一化直流功率信號直流分量隨機(jī)信號的平隨機(jī)信號的平均功率問題得均功率問題得以解決以解決4722/58數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R（t ，t+ ）隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)（噪聲、信號）（噪聲、信號）數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(t)方差方差D(t)統(tǒng)計、觀測、計算統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)如果平穩(wěn)與時間起點無關(guān)與時間起點無關(guān)E(t)=aD(t)=2 R（ ）如果各態(tài)歷經(jīng)如果各態(tài)歷經(jīng)用時

36、間平均代替集平均用時間平均代替集平均aa 22 )()( RR 通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件*4822/58相關(guān)函數(shù)性質(zhì)1/4 歸一化平均交流功率歸一化平均直流功率歸一化平均功率定義 -0 022RRtEtEtEttERttERttER這里利用了當(dāng)這里利用了當(dāng)T時，時，(t)與與(t+T)沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨立，立， 且認(rèn)為且認(rèn)為(t)中不含周期分量中不含周期分量時域性質(zhì)時域性質(zhì)4922/58相關(guān)函數(shù)性質(zhì)2/4n時域性質(zhì)（續(xù)）時域性質(zhì)（續(xù)） 上界偶函數(shù)定義RRRRttER0 思考：相關(guān)是一個廣泛

37、的概念，不僅可以用于隨機(jī)思考：相關(guān)是一個廣泛的概念，不僅可以用于隨機(jī)信號，也可以用于確知信號，對于確知信號，可以信號，也可以用于確知信號，對于確知信號，可以認(rèn)為是某一樣本以概率為認(rèn)為是某一樣本以概率為1出現(xiàn)的出現(xiàn)的“特殊特殊”的隨機(jī)的隨機(jī)過程，此時，樣本統(tǒng)計已經(jīng)沒有意義，同時，該隨過程，此時，樣本統(tǒng)計已經(jīng)沒有意義，同時，該隨機(jī)過程也非平穩(wěn)隨機(jī)過程。因此，對于確知信號，機(jī)過程也非平穩(wěn)隨機(jī)過程。因此，對于確知信號，相關(guān)函數(shù)是指時間上的統(tǒng)計平均相關(guān)函數(shù)是指時間上的統(tǒng)計平均5022/58相關(guān)函數(shù)性質(zhì)3/4n時域分析：隨機(jī)信號的平均值、偏離平均值的程時域分析：隨機(jī)信號的平均值、偏離平均值的程度（方差）歸

38、一化的直流交流功率，統(tǒng)計相關(guān)程度（方差）歸一化的直流交流功率，統(tǒng)計相關(guān)程度，都已經(jīng)清晰的描述度，都已經(jīng)清晰的描述n頻域分析：對通信系統(tǒng)理論分析至關(guān)重要頻域分析：對通信系統(tǒng)理論分析至關(guān)重要還差什么？還差什么？頻率特性！頻率特性！*5122/58相關(guān)函數(shù)性質(zhì)4/4n頻域性質(zhì)：維納頻域性質(zhì)：維納-欣欽（欣欽（Wiener-khintchine）定理）定理 PRdePRdeRPFourierjj21 若若隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的，可用自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的，可用自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得到其的傅立葉變換得到其功率譜密度功率譜密度 PttRFourier,對于對于非平穩(wěn)過程，用時間平均的非平穩(wěn)過程，用

39、時間平均的代替代替R(R( ),),該該定理同樣成立定理同樣成立 5222/58數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R（t ，t+ ）隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)（噪聲、信號）（噪聲、信號）數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(t)方差方差D(t)統(tǒng)計、觀測、計算統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)如果平穩(wěn)與時間起點無關(guān)與時間起點無關(guān)E(t)=mD(t)=2 R（ ）如果各態(tài)歷經(jīng)如果各態(tài)歷經(jīng)用時間平均代替集平均用時間平均代替集平均aa 22 )()( RR 最終求出功率譜，從而獲得了頻率域上的功率分最終求出功率譜，從而獲得了頻率域上的功率分布，獲得其帶寬、功率性能，達(dá)到了研究通信系布，獲得其帶寬、功率性能，達(dá)到了研究通信系統(tǒng)的目的統(tǒng)的目的*5322/58例題1/4n設(shè)有正弦波設(shè)有正弦波 ，角頻率，角頻率 0為為常數(shù)，相常數(shù)，相位位 為均勻