極限的產(chǎn)生與應(yīng)用

1、目錄摘 要 3 Abstract 4 引言 5 1極限思想的產(chǎn)生及發(fā)展 5 1.1極限思想的產(chǎn)生 5 1.2極限思想的發(fā)展 6 13極限思想的完善 7 2、極限思想的概念及其性質(zhì) 8 2.1極限的現(xiàn)代定義8 2.2函數(shù)極限的性質(zhì)8 3 極限思想在解題中的應(yīng)用8 3.1在開方方面的應(yīng)用 8 3.2 在求某一點(diǎn)的應(yīng)用 9 3.4 在解析幾何中的應(yīng)用 13 4 探索極限思想在各個領(lǐng)域的應(yīng)用16 4.1在物理學(xué)中的應(yīng)用 16 4.2 在化學(xué)中的應(yīng)用17 4.3在建筑學(xué)中的應(yīng)用18 4.4 在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 19 4.4.1計劃經(jīng)濟(jì)19 4.5 在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 21 4.5.1完全競爭市場21

2、 參考文獻(xiàn) 23 致謝 24 摘 要極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想，由遠(yuǎn)古的思想萌芽，到現(xiàn)在完整的極限理論，其漫長曲折的演變歷程布滿了眾多數(shù)學(xué)家們的勤奮、智慧、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、孜孜以求的奮斗足跡。極限思想的演變歷程，是數(shù)千年來人類認(rèn)識世界和改造世界的整個過程的一個側(cè)面反應(yīng)，是人類追求真理，始終不渝地求實(shí)、創(chuàng)新的生動寫照。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。極限思想是微積分理論的基礎(chǔ)，而微積分與經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、機(jī)械自動化等與生活息息相關(guān)的學(xué)科是密不可分的。尤其是對于經(jīng)濟(jì)學(xué)來說，是一個透過現(xiàn)象看本質(zhì)的必不可少的工具，經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心詞語

3、“邊際”便是一個將導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)化的概念。關(guān)鍵詞：極限思想；應(yīng)用；微積分；經(jīng)濟(jì)學(xué) Abstract Limit thought as a mathematical idea of the mankind from the ancient to the present limits of the full theory of the evolution of its long and tortuous journey filled with hard work of many mathematicians, intelligence, conscientiousness and pursued the

4、 struggle footprint. Limit the evolution of thought process that is thousands of years of human knowledge and transform the world's response to one aspect of the process, the human pursuit of truth, the pursuit of ideals, always realistic, vivid portrayal of innovation. Limit the production and

5、improvement of ideological and social needs of practice, it produces for the development of mathematics has added a new impetus, as the ideas and methods of modern mathematics foundation and starting point. Theoretical limit of thought is the basis of calculus, and calculus and economics, physics, m

6、echanical and automation disciplines and daily life are inseparable. Especially in economics, is a look at the nature of the phenomenon through the essential tools, the core of economics, the word "marginal" is one of the guide number of economic concepts. Key Words：Limit thought；Applicati

7、on；Calculus；Economics 極限思想的產(chǎn)生與應(yīng)用 引言數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)與形簡潔的、高效的、優(yōu)美的描述, 是有其內(nèi)部抽象和外部有效性的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)科學(xué)是知識和思想方法的有機(jī)組合。本文主要論述極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展，極限思想的概念及應(yīng)用。極限思想是荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心問題的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法時產(chǎn)生的。他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸謬的證明，而牛頓萊布尼茨對極限思想的建立作出了極創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。本文最后探討了創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。在1中主要論述了中國古代極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展，而2主要說明了極限思想在古代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，這對于探索當(dāng)代極限思想的應(yīng)用，指

8、明了方向。而3,4,5,6分別就極限在解題中的應(yīng)用做出了明確的證明和論述。分別解釋說明了極限思想在開方方面，在求解某一點(diǎn)問題，立體幾何以及解析幾何中的應(yīng)用。在本文中，除了探討極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展，在解題中的應(yīng)用海探索極限思想在其他方面的應(yīng)用。這其中包括在物理學(xué)建筑學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)化學(xué)中的應(yīng)用。1極限思想的產(chǎn)生及發(fā)展 1.1極限思想的產(chǎn)生 極限思想的產(chǎn)生和其他科學(xué)思想一樣，是必須經(jīng)過歷代古人的思考與實(shí)踐一步一步漸漸積累起來的，它也是社會實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明

9、顯的“取極限”，而是借助于間接證法歸謬法來完成有關(guān)的證明1。 提到極限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖論一個困擾了數(shù)學(xué)界十幾個世紀(jì)的問題。阿基里斯悖論是由古希臘的著名哲學(xué)家芝諾提出的，他的話援引如下：“阿基里斯不能追上一只逃跑的烏龜，因?yàn)樵谒竭_(dá)烏龜所在的地方所花的那段時間里，烏龜能夠走開。然而即使它等著他，阿基里斯也必須首先到達(dá)他們之間一半路程的目標(biāo)，并且，為了他能到達(dá)這個中點(diǎn)，他必須首先到達(dá)距離這個中點(diǎn)一半路程的目標(biāo)，這樣無限繼續(xù)下去。從概念上，面臨這樣一個倒退，他甚至不可能開始，因此運(yùn)動是不可能的?！本褪沁@樣一個從直覺與現(xiàn)實(shí)兩個角度都不可能的問題困擾了世人十幾個世紀(jì)，直至十七世紀(jì)隨著微

10、積分的發(fā)展，極限的概念得到進(jìn)一步的完善，人們對“阿基里斯”悖論造成的困惑才得以解除。無獨(dú)有偶，我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)名著莊子記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭?！币簿褪钦f，從一尺長的竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時間的流逝，竿會越來越短，長度越來越趨近于零，但又永遠(yuǎn)不會等于零。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。我國古代的劉徽和祖沖之計算圓周率時所采用的“割圓術(shù)”則是極限思想的一種基本應(yīng)用。所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為R的圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n一倍一倍地增多，多邊形的面積就越來越接近于圓的面積R。在有限次的過程中，用正多邊形的面積來逼近圓的面積，只能達(dá)到近似的程度。但可以想象，

11、如果把這個過程無限次地繼續(xù)下去，就能得到精確的圓面積2。1.2極限思想的發(fā)展極限思想是到了16世紀(jì)才得以進(jìn)一步發(fā)展的，那時的極限思想是在歐洲資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量問題無法用初等數(shù)學(xué)解決的前提下，一批先進(jìn)數(shù)學(xué)家們才進(jìn)入極限思想的領(lǐng)域深入研究的，這時極限思想的發(fā)展與微積分的建立越來越緊密相連了。科學(xué)家們?yōu)榱双@得更高的生產(chǎn)力，不斷的進(jìn)入了極限思想的研究中，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。 牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴(yán)

12、格表述。 正因?yàn)楫?dāng)時缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到了人們的懷疑與攻擊。 英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。 這個事實(shí)表明，弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要的，而且有著認(rèn)識論上的重大意義。在極限思想的發(fā)展中，我們可以看出數(shù)學(xué)并不是自我封閉的學(xué)科，它與其他學(xué)科有著千絲萬縷的聯(lián)系。正如一位哲人所說：“數(shù)學(xué)不僅是一種方法，一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系?！痹谔?/p>

13、求極限起源與發(fā)展的過程中，我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)確實(shí)是一個美麗的世界，享受數(shù)學(xué)是一個美妙的過程。以前總是覺得數(shù)學(xué)枯燥艱澀，可是通過近段時間對極限思想的探究，我真切地感受到數(shù)學(xué)之美。在數(shù)學(xué)推理的過程中，我們可以盡情發(fā)散自己的思維，拋開身邊的一切煩惱，插上智慧的雙翼遨游于浩瀚無疆的數(shù)學(xué)世界。什么瑣事都不要想，全身心投入其中，享受智慧的自由飛翔，這種感覺真的很美。13極限思想的完善極限思想的完善的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯的“取極限”，而是借助于間接證法一一歸謬法來完成有關(guān)的證明.柯西被公認(rèn)為近代分析的主要奠基

14、人，事實(shí)上，他在19世紀(jì)20年代陸續(xù)發(fā)表了3本著作：工科學(xué)學(xué)分析教程、無限小計算概要和微積分講義，其中革新了微積分中長期沿襲下來的模糊的舊概念重整了他的理論，把它納入到一個新的嚴(yán)密的理論體系之中，柯西看出核心的問題是極限，他把極限概念理解為潛無限。并且定義“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終是變量和改定值之差要多小就多小”.這個定值就叫做所有其它值的極限，第一次使極限概念擺脫了與幾何和運(yùn)動直觀的任何牽連，給出了建立在屬于函數(shù)概念上清楚的定義.但是，柯西的極限概念并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義而是停留在直觀的描述上面，所以在他的著作的敘述中不是用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，他的函數(shù)概念并沒有完全脫離解

15、析方式的束縛，在函數(shù)的連續(xù)性和可微性方面也欠明確等等.因此，他的微積分雖然具有近代的形式但它的基礎(chǔ)并不牢固.2、極限思想的概念及其性質(zhì)2.1極限的現(xiàn)代定義極限是指無限趨近于一個固定的數(shù)值。而極限又可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。學(xué)習(xí)微積分，就會有引入極限的必要性，因?yàn)榇鷶?shù)是無法處理“無限”的概念，所以為了要利用代數(shù)處理無限的量，于是就要構(gòu)造“極限”的概念。在“極限”的定義中,我們可以知道，極限的概念為了解決一個數(shù)除以0的麻煩，引入了一個過程小量可以取任意小， 只要滿足在的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意的小量，我們極限為該數(shù)，這樣的定義可能不夠信服力，但它的實(shí)用性證明，這個定義還是比較完善的，給出了正確的可能。

16、數(shù)列極限的標(biāo)準(zhǔn)定義：對數(shù)列 ，若存在常數(shù)，對于任意>0，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時， 成立，那么稱是數(shù)列 的極限。4 2.2函數(shù)極限的性質(zhì)定理2.1（唯一性） 若極限存在，則此極限是唯一的3。定理2.2（局部有限性）若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界。3 極限思想在解題中的應(yīng)用 3.1在開方方面的應(yīng)用九章算術(shù)開方術(shù)說“若開元不盡者，為不可開。當(dāng)以面命之?！边@就是說，凡開不盡的數(shù)，可以以面命之?！耙悦婷本褪怯鄶?shù)表示，即：其中，為被開方數(shù)A為其平方根的近似值，r為開方不盡的余數(shù)。在古代，為了表示開方不盡數(shù)的值。一般常用的方法是，加借算命分和不加借算命分。這兩種方法并不是理想的方法，

17、所以劉徽說，“令不加借算而命兮，則又徽分。其數(shù)不可得而定故堆以而命之，為不失和，就是說只有沒有誤差。但是由于這種表示方法不夠具體，于是劉徽利用極限思想創(chuàng)立了十進(jìn)制的表示法。他說：“不以面命之，加定法如前，求其徽數(shù)。徽數(shù)無名者以為分子，其一認(rèn)十為母，其再實(shí)以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)。則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不是言之也。”這就是：其中A為整數(shù)， 是平方根的十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分子都是一位整數(shù)。而 取近似值，則得：或因?yàn)楣糯怯谜叫蝸斫忉岄_平方的，所謂“朱冪”相當(dāng)于被開方數(shù)與近似平方根的平方之差。用現(xiàn)代符號表示：或而實(shí)際上，這就是極限在開方方面的應(yīng)用。 3.2 在求某一點(diǎn)的應(yīng)用 求解某一點(diǎn)的應(yīng)用問題, 包括求

18、某一點(diǎn)的切線問題、瞬時問題(瞬時速度、瞬時加速度、瞬時增長率、邊際問題), 可考慮采用 的極限的處理辦法求解, 即: 改變研究條件為由 變化到另一個點(diǎn), (或) (其中), 在區(qū)間 (或在) 中, 通過“常量代替變量”的辦法, 構(gòu)造 (或 ), 替代區(qū)間上的變量, 最后, 在 (或 ) 的條件下, 新構(gòu)造的 (或 ), 無限趨近最終所求量。如: 構(gòu)造出上的平均速度, 在的條件下, 平均速度無限趨近最終所求瞬時速度。 3.3在立體幾何中的應(yīng)用隨著極限進(jìn)入到中學(xué)教材，極限思想成為了解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的又一重要工具.極限思想作為一種思想，一種從有限認(rèn)識無限的數(shù)學(xué)思想，不僅在降低解題難度，尋找解題思路，

19、加深對問題的理解，探索發(fā)現(xiàn)新結(jié)論方面具有重大作用，而且對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和探索能力也大有裨益.已知正四棱錐 的側(cè)面與底面所成角為 ，相鄰兩側(cè)面所成角為 ，則 的值為 整個解題過程，讓我們深刻體會到極限思想在解題過程中簡化解題步驟，優(yōu)化解題方法的重大作用。同時，我認(rèn)識到極限思想在此題中的運(yùn)用給了我們進(jìn)一步思考的空間.反思一 ：設(shè)正棱錐底面與側(cè)面所成的角為，相鄰兩側(cè)面所成角為，求的值.是否可用極限思想解答？運(yùn)用極限思想方法推導(dǎo)：讓沿向上移動，當(dāng)時，有從而有；讓沿向下移動，當(dāng)時，有從而有.很明顯上述沿兩條不同的路徑得到的結(jié)果不一致，只有當(dāng)時運(yùn)用極限思想方法解答才成立，也就是說對于正棱錐（除正四棱

20、錐）都不能運(yùn)用極限思想解答. 下面通過嚴(yán)格推理演算推導(dǎo)出，對于正棱錐，的值（為相鄰兩側(cè)面所成的角，為底面與側(cè)面所成的角如圖2所示：設(shè)底面正邊形的外接圓半徑為，正棱錐的側(cè)棱長，作，連則為兩側(cè)面所成二面角的平面角，記作.取的中點(diǎn)，連，則為側(cè)面 側(cè)面與底面所成角 相鄰兩側(cè)面所成角 所以 +=該通式說明了的值不僅與正邊形的角有關(guān)，而且還與底面正邊形外接圓半徑和正棱錐側(cè)棱長有關(guān)，進(jìn)一步闡明了正棱錐（除正四棱錐）運(yùn)用極限思想方法解答不成立. 反思二：在運(yùn)用極限思想方法推導(dǎo)過程中發(fā)覺在正棱錐發(fā)生變化時，其相鄰兩側(cè)面所成的二面角與有規(guī)律的發(fā)生著變化.對于正棱錐，運(yùn)用極限思想： 讓頂點(diǎn)沿垂線向上移動，當(dāng)時，正棱

21、錐就變成正棱柱，顯然這時相鄰兩側(cè)面所成二面角為.讓頂點(diǎn)沿著垂線向下移動，當(dāng)時，正棱錐變成平面圖形，這時相鄰兩側(cè)面所成二面角為.猜想正棱錐相鄰兩側(cè)面所成二面角的范圍是（.驗(yàn)證猜想：如圖3所示：設(shè)正棱錐的頂點(diǎn)為S，底面正邊形的邊長為，為底面的垂線，是底面正邊形的中心.過作，連，由對稱性可知. 則即為相鄰側(cè)面與側(cè)面所成二面角的平面角，記作.設(shè)，由于,所以.由三角形知識有 = < < >又 二面角的取值范圍為，而余弦函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù) > 又 <所以 3.4 在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何中，我們常常遇到這樣的問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知一點(diǎn)P(a,b)(不在坐標(biāo)軸上)，

22、過點(diǎn)P作直線L與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S，則符合條件的直線有 （ ）A1條B2條C3條 D4條 碰到這樣的問題，學(xué)生往往會采用以下方法進(jìn)行求解：解：由題設(shè)可知，直線L的斜率一定存在 故設(shè)直線L的方程為 則直線L與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、 構(gòu)成的三角形的面積 解上述方程，有幾解，則表示有幾條直線. 這樣求解，不但可以求出直線的條數(shù)，同時也把相應(yīng)的直線的方程求出.如若是解答題，這樣做的話倒也無可厚非，但若是在平時的測驗(yàn)或是高考中遇到這樣的問題，并且象上面這樣按部就班的去解的話，可能會花費(fèi)不少寶貴的時間，有點(diǎn)得不償失.下面我們一起來用運(yùn)動變化觀點(diǎn)和極限思想來解決這一問題：如圖（1），不妨假設(shè)

23、點(diǎn)P(a,b)位于第一象限（其它象限完全一樣），將直線L繞點(diǎn)P不斷旋轉(zhuǎn)，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線L位于圖(2)所示的兩個位置時必滿足題意，即符合題意的直線L至少有兩條，接下去就要考慮此直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所構(gòu)成的三角形的面積能否為S,如可以，又有幾條？由于此時三角形的面積具有最小值，且取得最小值時直線L的方程為L0:即=2,故我們只需將S與進(jìn)行比較，若S，在第一象限符合題意的直線有且只有條即L0.（如圖(3)）；若S>，在第一象限符合題意的直線有條.（如圖（4）；若S<，在第一象限符合題意的直線不存在.通過上述過程，我們可以看出，我們只需求出的值，然后比較S和的大小，即可得出符合題意的直線L

24、的條數(shù).即例過點(diǎn)P(1,1)作直線L與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10,直線L有（） A.1條 B.2條 C.3條 D.4條（略解）點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1)，故過點(diǎn)P且與X、Y軸正半軸所圍三角形面積最小時直線L的方程為,由結(jié)論故這樣的直線L有條，選（D）例設(shè)直線L經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1)，則當(dāng)點(diǎn)B(2,-1)與直線L距離最遠(yuǎn)時直線L的方程為_.（略解）點(diǎn)B到直線L的距離最遠(yuǎn) 由結(jié)論可知 直線L必與直線AB垂直 又直線AB的斜率為 直線L的方程為 即 例3直線L通過兩直線和的交點(diǎn)A，且與過點(diǎn)B(5,-2)的直線的距離為5，則直線L的方程為_.(略解) 兩直線和的交點(diǎn)A(2,2) 點(diǎn)A、B間的距離為5，

25、由結(jié)論可知 直線L直線AB，又直線AB的斜率為 直線L的方程為 即 例4在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，與A、B兩點(diǎn)距離等于1的直線至少有3條，則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D.(略解)由結(jié)論可知 由題設(shè)這樣的直線至少有3條， 由結(jié)論3得 故選（A）4 探索極限思想在各個領(lǐng)域的應(yīng)用 4.1在物理學(xué)中的應(yīng)用 極限法在物理學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用。開爾文把查理定律外推到零壓強(qiáng)這一極限情況，而引入了熱力學(xué)溫標(biāo)，使氣體實(shí)驗(yàn)定律的表述大大簡化。伽利略在研究自由落體運(yùn)動規(guī)律時，先證明從斜面上滾下的小球做勻變速運(yùn)動，后又把結(jié)論外推到斜面傾角增大到90°的極限情況-小球自由下落，從而用極限思維法間接證明了

26、自己對自由落體運(yùn)動規(guī)律的論斷是正確的。極限法(又稱極端法)在物理解題中有比較廣泛的應(yīng)用。若將貌似復(fù)雜的問題推到極端狀態(tài)或極限值條件下進(jìn)行分析，問題往往變得十分簡單。利用極限法可以將傾角變化的斜面轉(zhuǎn)化成平面或豎直面?？蓪?fù)雜電路變成簡單電路，可將運(yùn)動物體視為靜止物體，可將變量轉(zhuǎn)化成特殊的恒定值，可將非理想物理模型轉(zhuǎn)化成理想物理模型，從而避免了不必要的詳盡的物理過程分析和繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算，使問題的隱含條件暴露，陌生結(jié)果變得熟悉，難以判斷的結(jié)論變得一目了然。極限法常見的方法有三種：極限假設(shè)法、特殊值分析法和臨界狀態(tài)分析法。下面舉例說明。例1 物體A可在傾角為的斜面上運(yùn)動，如圖1所示，若A的初速度為

27、v0，它與斜面間的動摩擦因數(shù)為。在相同情況下，A上滑與下滑的加速度大小之比為A.sin-coscos-sin。B.sin+cossin-cos。C.+tan。D.cossin-cos。析與解 本題的常規(guī)解法，是先對A進(jìn)行受力分析，再應(yīng)用牛頓第二定律，分別求A上滑和下滑時的加速度表達(dá)式，最后求二者之比。這樣做，費(fèi)時費(fèi)力，容易出錯。今用極限假設(shè)法求解；則能迅速、準(zhǔn)確得出正確結(jié)論。假設(shè)斜面傾角為90°，即斜面變成豎直面，A物體的上滑和下滑，就等同于豎直上拋和自由落體。上滑、下滑加速度都是g，比值為1。對照四個供選答案，將=90°代入檢查，只有B答案能符合假設(shè)的要求。應(yīng)選B。點(diǎn)評

28、將斜面改成豎直面(即=90°)并未改變上滑減速、下滑加速這一運(yùn)動性質(zhì)。這樣的極端假設(shè)是合理的。若將斜面改成水平面(即=0°)，無論上滑還是下滑都變成減速運(yùn)動，就改變了題目中約定的運(yùn)動性質(zhì)。這種假設(shè)就是不合理的，當(dāng)然也得不出正確結(jié)果。對本題我們還可以做這樣的極端假設(shè)：認(rèn)為斜面是光滑的(即=0)，同樣可得到正確結(jié)果B。例2 如圖3所示，A物體和B物體由輕質(zhì)細(xì)線連接跨過定滑輪，A置于斜面上。A、B均靜止。且mAmB=32，斜面傾角=30°。若將一小物體C輕放在A上，A仍保持靜止，則這時A受到斜面給它的摩擦力可能是A.變大，方向沿斜面向下。B.變小，方向沿斜面向下。C.變

29、為零。D.變小，方向沿斜面向上。析與解 若摩擦力恰好為零，A能靜止在斜面上，有mAgsin30°=T=mBg。即mAmB=21。今mAmB=32，說明A有沿斜面向上滑動的趨勢，A受到的靜摩擦力fs，方向沿斜面向下，若在A上放一小物體C，A仍保持靜止。則有三種可能：mA+mCmB=2,fs=0。mA+mCmB仍小于2，fs變小，仍沿斜面向下。mA+mCmB已大于2，fs變?yōu)檠匦泵嫦蛏希锌赡鼙仍璮s大，也有可能比原fs小。因此選B、C、D。 4.2 在化學(xué)中的應(yīng)用 對于可逆反應(yīng)而言，當(dāng)反應(yīng)達(dá)到平衡狀態(tài)后，其各組分的量均不可能為0。而在解決一些化學(xué)平衡問題時，尤其是關(guān)系取值范圍問題的解決

30、，我們卻可以借助完全反應(yīng)這一“極限思想”進(jìn)行。例如在一密閉容器進(jìn)行的可逆反應(yīng)：2SO2(g)O2(g) 2SO3(g)，已知某時刻SO2、O2、SO3的濃度分別為0.2mol/L、0.1mol/L、0.2mol/L，當(dāng)反應(yīng)達(dá)到平衡時，我們想知道這三種氣體的密度可能只在什么范圍之內(nèi)，這就需要我們運(yùn)用極限思想進(jìn)行分析。根據(jù)可逆反應(yīng)的特點(diǎn)可知，無論反應(yīng)向正向移動還是逆向移動，達(dá)到平衡時SO2、SO3濃度的取值范圍均為0<c<0.4mol/L，而O2的濃度為0<c<0.2mol/L。 4.3在建筑學(xué)中的應(yīng)用對于地下隧道的穩(wěn)定性評價一直缺乏一個合適的評判指標(biāo)，傳統(tǒng)方法無法算出地下

31、洞室工程的安全系數(shù)和威嚴(yán)的破壞面，僅憑應(yīng)力、位移、拉應(yīng)力區(qū)和塑性區(qū)大小很難確定地下洞室工程的安全度與破裂面。當(dāng)前工程上尚沒有隧道穩(wěn)定安全系數(shù)的概念，一般按照經(jīng)驗(yàn)對隧道圍巖的穩(wěn)定性先進(jìn)行分級。極限分析法通過對巖土體強(qiáng)度參數(shù)的折減，使巖土處于極限狀態(tài)，因而有可能使巖土體顯示潛在的破裂面，并求得安全系數(shù)，這在邊（滑）坡穩(wěn)定分析中取得了成功，但應(yīng)用于地下洞室工程中算出的塑性區(qū)往往是一大片，而不像邊（滑）坡巖土體內(nèi)存在明顯的剪切帶，因而要找出圍巖內(nèi)的破裂面比較困難。本文研究表明，隧道圍巖發(fā)生塑性應(yīng)變突變時的情況就是圍巖發(fā)生破壞流動的情況，因而只要找出圍巖塑性應(yīng)變發(fā)生突變時的塑性區(qū)各斷面中塑性應(yīng)變值最大的

32、點(diǎn)，并將其連成線，就可得到圍巖的潛在破壞面（如下圖所示），同時可求得地下洞室的安全系數(shù)，本文所說的隧道穩(wěn)定安全系數(shù)是指隧道整體安全系數(shù)，即把非等強(qiáng)度的真實(shí)巖體視為均質(zhì)等強(qiáng)的巖體，據(jù)此求出安全系數(shù)。 4.4 在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用近期我國居民消費(fèi)物價指數(shù)出現(xiàn)了快速上漲的現(xiàn)象，通貨膨脹壓力逐步顯現(xiàn)，已成為國家宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控的一個中心問題。本輪價格上漲發(fā)端于豬肉價格上漲，此后引發(fā)了食品價格的上漲和更大范圍的價格上升，食品價格相對于整體消費(fèi)價格上升非常突出。從結(jié)構(gòu)分解角度看，食品價格上漲主導(dǎo)了本次通貨膨脹的上升，且具有明顯的結(jié)構(gòu)性特征。圍繞中國目前通貨膨脹的形成核心原因以及如何治理目前的通貨膨脹等問題，大

33、量學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)對此進(jìn)行了激烈的爭論。本文作者認(rèn)為，此次以糧食為主的物價上漲，除了自然災(zāi)害造成糧食減產(chǎn)的一部分原因外，還有一個不可忽視的原因是為應(yīng)對2008年金融海嘯各國實(shí)行擴(kuò)張性財政政策和貨幣政策多產(chǎn)生的副作用，在刺激增加GDP的同時，也造成了物價的上漲。這就讓我們再次開始考慮，一個國家運(yùn)用宏觀調(diào)控手段來影響經(jīng)濟(jì)是否是畫蛇添足，或者說這只“看得見的手”是否運(yùn)用得太過頻繁。為了研究這個問題，我們可以運(yùn)用極限思想，從宏觀經(jīng)濟(jì)體制的兩個極端來考慮，也就是一切生產(chǎn)都由國家控制的計劃經(jīng)濟(jì)和國家從不干涉的市場經(jīng)濟(jì)。4.4.1計劃經(jīng)濟(jì)計劃經(jīng)濟(jì)，或計劃經(jīng)濟(jì)體制，又稱指令型經(jīng)濟(jì)，是一種經(jīng)濟(jì)體制，而這種體系下，

34、國家在生產(chǎn)、資源分配以及產(chǎn)品消費(fèi)各方面，都是由政府或財團(tuán)事先進(jìn)行計劃，是有規(guī)劃、計劃地發(fā)展經(jīng)濟(jì)。從而避免了市場經(jīng)濟(jì)發(fā)展的盲目性、不確定性等問題，給社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成的危害。如：重復(fù)建設(shè)、企業(yè)惡性競爭、工廠倒閉、工人失業(yè)、地域經(jīng)濟(jì)發(fā)展不平衡、產(chǎn)生社會經(jīng)濟(jì)危機(jī)等問題。 計劃經(jīng)濟(jì)是共產(chǎn)主義的經(jīng)濟(jì)體系，它的建立為社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展提供科學(xué)的保證。只有實(shí)現(xiàn)計劃經(jīng)濟(jì)這一科學(xué)體系，社會經(jīng)濟(jì)才能消除資本主義市場經(jīng)濟(jì)所產(chǎn)生的不利影響，才能達(dá)到社會經(jīng)濟(jì)高速、平穩(wěn)和健康的發(fā)展。計劃經(jīng)濟(jì)又稱指令型經(jīng)濟(jì)，是對生產(chǎn)、資源分配以及產(chǎn)品消費(fèi)事先進(jìn)行計劃的經(jīng)濟(jì)體制。由于幾乎所有計劃經(jīng)濟(jì)體制都依賴于指令性計劃，因此計劃經(jīng)濟(jì)也被稱為指令

35、性經(jīng)濟(jì)。解決三個基本經(jīng)濟(jì)問題的是政府，所謂的三個經(jīng)濟(jì)問題是指:生產(chǎn)什么、怎樣生產(chǎn)和為誰生產(chǎn)。而其中大部份的資源是由政府所擁有的，并且由政府所指令而分配資源的，不受市場影響。 4.4.2市場經(jīng)濟(jì)市場經(jīng)濟(jì)（又稱為自由市場經(jīng)濟(jì)或自由企業(yè)經(jīng)濟(jì)）是一種經(jīng)濟(jì)體系，在這種體系下產(chǎn)品和服務(wù)的生產(chǎn)及銷售完全由自由市場的自由價格機(jī)制所引導(dǎo)，而不是像計劃經(jīng)濟(jì)一般由國家所引導(dǎo)。市場經(jīng)濟(jì)也被用作資本主義的同義詞。在市場經(jīng)濟(jì)里并沒有一個中央?yún)f(xié)調(diào)的體制來指引其運(yùn)作，但是在理論上，市場將會透過產(chǎn)品和服務(wù)的供給和需求產(chǎn)生復(fù)雜的相互作用，進(jìn)而達(dá)成自我組織的效果。市場經(jīng)濟(jì)的支持者通常主張，人們所追求的私利其實(shí)是一個社會最好的利益。

36、市場營銷要求根據(jù)市場需求，廣泛利用各種市場資源，在極其廣闊的時空范圍內(nèi)進(jìn)行生產(chǎn)，而不是像傳統(tǒng)小農(nóng)那樣局限在一個家庭范圍內(nèi)，使用家庭資源，為滿足家庭需要而進(jìn)行生產(chǎn)。從而使經(jīng)濟(jì)市場經(jīng)營由封閉走向開放，廠商經(jīng)營規(guī)模越來越大，最終勢必突破國家疆界，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)全球化。而且，市場經(jīng)濟(jì)使人們?yōu)榱双@得更多的利潤，而實(shí)行生產(chǎn)的機(jī)械化、科學(xué)化，大大提高了生產(chǎn)效率。從歷史發(fā)展來看，世界各地小農(nóng)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)治數(shù)千年間并不曾發(fā)明過任何一臺最簡單的機(jī)器，而15世紀(jì)末以來，隨著市場經(jīng)濟(jì)逐漸成為世界經(jīng)濟(jì)的主流，人們便開始嘗試發(fā)明這樣那樣的機(jī)器，特別是自18世紀(jì)下半葉以來短短二三百年時間，人們便便發(fā)明了無數(shù)精巧絕倫、神通廣大的機(jī)器，各

37、行各業(yè)都普遍實(shí)現(xiàn)了機(jī)器化。由于面向市場經(jīng)營，使用機(jī)器大生產(chǎn)，這就要求人們改變以往小農(nóng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下那種憑經(jīng)驗(yàn)靠估計的做法，而代之以科學(xué)的定量測試、計算和分析。同時，面對巨大的市場需要，僅靠家庭勞動力顯然是無法滿足的，必須大量引入家庭外勞動力，這樣就大大增加了就業(yè)。由于市場分配成為最基本的分配形式，一切生產(chǎn)要素和產(chǎn)品都要通過市場來分配，于是千千萬萬的廠商和個人便在市場上圍繞有限的市場資源展開了廣泛而激烈的市場競爭，使每一個人和每一家廠商都隨時面臨嚴(yán)酷的市場壓力，從而推動科技的進(jìn)步和市場經(jīng)濟(jì)不斷向前發(fā)展。由于市場經(jīng)營通行等價交換原則，從本質(zhì)上來講，要求人與人平等協(xié)商，這樣就形成一種基本的人類行為模式，

38、反映到政治上，就要求自由、平等和民主。同時，市場把個人、企業(yè)與社會緊密地聯(lián)系到了一起，這使得每一個社會成員都有強(qiáng)烈的動機(jī)關(guān)心和參與社會公共事務(wù)，人們普遍具有濃厚的民主意識。市場經(jīng)濟(jì)是一個由千千萬萬的廠商和個人參與的過程，因此必然要求對人們的行為作出嚴(yán)格的規(guī)范，包括國家法律制度、廠商內(nèi)部的管理制度、各種技術(shù)性操作規(guī)范以及產(chǎn)品和服務(wù)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)等。 4.5 在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用市場是指從事物品買賣的交易場所或者接洽點(diǎn)。一個市場可以是一個有形的買賣物品的交易場所，也可以是利用現(xiàn)代化通訊工具進(jìn)行物品交易的接洽點(diǎn)。從本質(zhì)上講，市場是物品買賣雙方互相作用并得以決定其交易價格和加以數(shù)量的一種組織形式或者制度安

39、排。在經(jīng)濟(jì)分析中，每個行業(yè)根據(jù)市場上場上的數(shù)目；廠商所生產(chǎn)的產(chǎn)品的差別程度；單個廠商對市場價格的控制程度；廠商進(jìn)入或退出一個行業(yè)的難易程度四個方面不同的市場結(jié)構(gòu)特征，將市場劃分為完全競爭市場、壟斷市場、壟斷競爭市場和寡頭市場。其中前兩者是市場的極限情況，我們要對市場進(jìn)行分析研究，就要從這兩種市場類型開始。 4.5.1完全競爭市場完全競爭市場具備的條件。第一, 市場上有大量的買者和賣者。在市場上有大量的參與者, 從而任何買者或賣者都無法具有市場力量, 無法改變既定的市場價格, 只是價格接受者, 第二,資源的完全自由流動。當(dāng)外部條件發(fā)生變化時, 所有資源都可在各廠商和各行業(yè)之間完全自由地流動, 不存在任何障礙。這樣, 任一資源都可及時投向能獲得最大利潤的生產(chǎn)。第三, 市場上每一個廠商提供的商品都是同質(zhì)的。在消費(fèi)者眼里, 產(chǎn)品沒有任何差別, 完全同質(zhì), 完全可替代。第四, 信息是完全的。在完全競爭市場上,所有與