工程力學(xué)-8扭轉(zhuǎn)

1、工程力學(xué)主 講：譚寧 副教授辦公室：教1樓北305工程力學(xué)21 1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。 Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)32 2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)方向盤連桿方向盤連桿工程力學(xué)43 3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)5二、扭轉(zhuǎn)的概念二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的

2、軸線。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿稱為：主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿稱為：軸軸。 Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)68. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)7功率功率P（ k W）與力偶矩）與力偶矩M（轉(zhuǎn)矩）（轉(zhuǎn)矩）關(guān)系：關(guān)系：6021000nMMPnPM9550n機(jī)器轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)機(jī)器轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/ /分）分）nPM9549或8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)8圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩扭矩。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法來確定。來確定。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)11TM

3、e Me ABAMe 11xT=Me0,0exMMT利用力偶矩在利用力偶矩在x x軸上投影之和為軸上投影之和為0得到：得到：工程力學(xué)9T = -Me0,0exMMT研究?jī)蓚€(gè)半段，得到的扭矩的研究?jī)蓚€(gè)半段，得到的扭矩的大小相等但方向相反。大小相等但方向相反。T 11TMe Me ABAMe 11x利用力偶矩在利用力偶矩在x x軸上投影之和為軸上投影之和為0得到：得到：11BMe x8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)10 右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向方向，若其矢量方向與截面的外法線方向相同與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)，

4、則扭矩規(guī)定為定為正值正值，反之為負(fù)值。，反之為負(fù)值。TAMe 11x8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(+)(-)AMe 11xT為了使截面法在同一截面上所得的扭矩符號(hào)一致，規(guī)定：為了使截面法在同一截面上所得的扭矩符號(hào)一致，規(guī)定：工程力學(xué)11 在需求內(nèi)力的截面處假想用截面將零件一分為二，在需求內(nèi)力的截面處假想用截面將零件一分為二， 并取其中一部分作為研究對(duì)象。并取其中一部分作為研究對(duì)象。 T背離截面設(shè)為正扭矩。背離截面設(shè)為正扭矩。根據(jù)研究對(duì)象的受力圖建立平衡方程，求出截面根據(jù)研究對(duì)象的受力圖建立平衡方程，求出截面 上的內(nèi)力值。上的內(nèi)力值。以以T T為縱坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，繪出扭矩沿軸線的分為橫坐標(biāo)，

5、繪出扭矩沿軸線的分 布圖布圖扭矩扭矩。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)12例例1：已知長(zhǎng)為已知長(zhǎng)為l的軸上作用一的軸上作用一10kNm的外力偶，試畫出該的外力偶，試畫出該軸的扭矩圖。軸的扭矩圖。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)解：利用截面法，在位置解：利用截面法，在位置1-1處處作截面。作截面。由平衡方程由平衡方程（-）l ：0 xM100TOxTT負(fù)扭矩。負(fù)扭矩。10TkN m xo10kNm11工程力學(xué)13 我們所謂的內(nèi)力的正負(fù)是根據(jù)內(nèi)力的矢量方向與構(gòu)我們所謂的內(nèi)力的正負(fù)是根據(jù)內(nèi)力的矢量方向與構(gòu)件截面的外法線方向作比較得到的。件截面的外法線方向作比較得到的。 在列平衡方程在列平衡方程Mx=0時(shí)，方程中各個(gè)

6、力偶矩的符時(shí)，方程中各個(gè)力偶矩的符號(hào)是力偶矩矢量在號(hào)是力偶矩矢量在x軸上的投影決定的。軸上的投影決定的。另一種方法：另一種方法： 從從x軸的正向看過去，各個(gè)力偶矩僅有兩個(gè)轉(zhuǎn)向，逆軸的正向看過去，各個(gè)力偶矩僅有兩個(gè)轉(zhuǎn)向，逆時(shí)針或順時(shí)針。也可以把平衡方程寫成：時(shí)針或順時(shí)針。也可以把平衡方程寫成： 逆時(shí)針力偶矩逆時(shí)針力偶矩= =順時(shí)針力偶矩順時(shí)針力偶矩。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)注意注意工程力學(xué)14ABCMCMBMAN.m10009550nPMBBN.m4009550nPMAAN.m6009550nPMCC8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)15110400N.mAATMTM220600N.mCCTMTM 0Tx

7、600N.m400N.mABCMCMBMA1122BCMCMBAMAT1T28. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) ：由0 xM工程力學(xué)16N.m10009550nPMBBN.m4009550nPMAAN.m6009550nPMCC8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)ACMCMABMB工程力學(xué)17 ：由0 xM110400N.mAATMTM2201000N.mBBTMTM 將主動(dòng)輪裝在兩從動(dòng)輪之間更將主動(dòng)輪裝在兩從動(dòng)輪之間更合理！合理！T0 x1000N.m400N.mAMABMBT111228. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)ACMCMABMBT2工程力學(xué)18： 圖示傳動(dòng)軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、

8、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。ACBD8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)19ACBD經(jīng)由經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力偶矩分別為：輪傳遞的外力偶矩分別為：解：解：1095509550318.3N m300AAPmn29550955063.7N m300BBPmn,5 .95mNCmmN2 .159DMIIIIIIIIIIII8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)201T3159.2N mDTM2159.2N mBCTMM163.7N mBTM3TBmII2TBmCMIIIIDMIIIIIIACBDIIIIIIIIIIIIx8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)21ACBD7 .63（-）扭矩圖

9、扭矩圖2 .1592 .159（+）max159.2N mT（在（在CA段和段和AD段）段）xxT8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)22 給你一個(gè)火腿腸，如何在中間截為兩段？給你一個(gè)火腿腸，如何在中間截為兩段？（1）刀切開）刀切開（2）剪子剪）剪子剪（3）電鋸（輪或平）截）電鋸（輪或平）截（4）掰（彎）掰（彎）（5）拉）拉（6）扭）扭u 具體分析：具體分析：（1 1）、（）、（3 3）是動(dòng)載，因研究靜載，故不講了）是動(dòng)載，因研究靜載，故不講了（4 4）屬于彎曲，以后講）屬于彎曲，以后講（5 5）拉斷的位置不確定，也不講）拉斷的位置不確定，也不講（6 6）斷開面兩側(cè)相互錯(cuò)動(dòng)，實(shí)際上沿面內(nèi)有力作用）斷開

10、面兩側(cè)相互錯(cuò)動(dòng)，實(shí)際上沿面內(nèi)有力作用 剪力：扭矩轉(zhuǎn)化過來剪力：扭矩轉(zhuǎn)化過來 8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)23（2 2、用剪子剪）與（、用剪子剪）與（6 6、扭）的、扭）的共同點(diǎn)共同點(diǎn) 剪力作用剪力作用（2 2、用剪子剪）與（、用剪子剪）與（6 6、扭）的、扭）的不同點(diǎn)不同點(diǎn) （2 2）的剪切面相鄰兩側(cè)平行錯(cuò)動(dòng)）的剪切面相鄰兩側(cè)平行錯(cuò)動(dòng) （6 6）的剪切面相鄰兩側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)錯(cuò)動(dòng)）的剪切面相鄰兩側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)錯(cuò)動(dòng)u 具體分析具體分析：8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 可見扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象同剪切相關(guān)，與剪切應(yīng)力相關(guān)。可見扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象同剪切相關(guān)，與剪切應(yīng)力相關(guān)。工程力學(xué)24薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變平均半徑為平均

11、半徑為 R0、厚度為厚度為，且且 R0 。MeADB CMef fg g 受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受力變形時(shí)，直角的這種改變量（以弧度計(jì)）稱之為受力變形時(shí)，直角的這種改變量（以弧度計(jì)）稱之為切應(yīng)變切應(yīng)變。 由由圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對(duì)稱性可知，圓筒表面同圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對(duì)稱性可知，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個(gè)假設(shè)材料為均勻連續(xù)這個(gè)假設(shè)條件下條件下，圓筒橫截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各，圓筒橫

12、截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各點(diǎn)處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切點(diǎn)處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，是沿外圓周的切向。向平面可知，是沿外圓周的切向。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)25切應(yīng)力與切應(yīng)變切應(yīng)力與切應(yīng)變(1) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變相同薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變相同；(2) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等；薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等；(3) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向沿外周線的切線。薄壁圓筒圓周上各

13、點(diǎn)處切應(yīng)力的方向沿外周線的切線。 對(duì)于薄壁圓筒（對(duì)于薄壁圓筒（d d 很?。?，橫截面上其它各點(diǎn)處的切應(yīng)力可以很小），橫截面上其它各點(diǎn)處的切應(yīng)力可以認(rèn)為與外圓周處相同，即不沿徑向變化。于是可以認(rèn)為薄壁圓筒受扭認(rèn)為與外圓周處相同，即不沿徑向變化。于是可以認(rèn)為薄壁圓筒受扭時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。 即如圖中所示。即如圖中所示。薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)26切應(yīng)力的計(jì)算切應(yīng)力的計(jì)算 知道了切應(yīng)力知道了切應(yīng)力t t 的分布規(guī)律后的分布規(guī)律后 ，便可，便可以利用靜

14、力學(xué)關(guān)系以利用靜力學(xué)關(guān)系r r 切向力相對(duì)圓心的力臂切向力相對(duì)圓心的力臂, ,可可用平均半徑用平均半徑R0代替代替AATrtd則則AARART00dtt從而有從而有)2/()2/()/(20000ddtRTRRTART薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)27切應(yīng)力的計(jì)算切應(yīng)力的計(jì)算)2/(20dtRT 上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計(jì)算公式是在假設(shè)它上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計(jì)算公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。當(dāng)們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。當(dāng)d d /R0=10 ，其，其誤差為誤差為4.5。厚壁園

15、筒厚壁園筒 、實(shí)心圓柱如何處理？、實(shí)心圓柱如何處理？薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)28圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 橫截面之間發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即發(fā)生了剪切變形，故橫截橫截面之間發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即發(fā)生了剪切變形，故橫截面上有切應(yīng)力面上有切應(yīng)力;又因半徑的長(zhǎng)度不變，切應(yīng)力的方向必垂直于半徑。又因半徑的長(zhǎng)度不變，切應(yīng)力的方向必

16、垂直于半徑。由于相鄰截面之間的距離不變，所以橫截面上沒有正應(yīng)力。由于相鄰截面之間的距離不變，所以橫截面上沒有正應(yīng)力。工程力學(xué)298. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 在直圓軸上取一相距在直圓軸上取一相距dx的微段，兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角記為的微段，兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角記為d ，圓，圓軸表面處原來與圓周線正交的縱線傾斜的角度記為軸表面處原來與圓周線正交的縱線傾斜的角度記為。d /dx橫截面轉(zhuǎn)角沿軸線變化率橫截面轉(zhuǎn)角沿軸線變化率.xddg為該點(diǎn)到圓心的距離。為該點(diǎn)到圓心的距離。 xddrgrr工程力學(xué)30tggtG在彈性范圍內(nèi)在彈性范圍內(nèi): :剪切彈性模量剪切彈性模量8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)為該點(diǎn)到圓心的距離。為該點(diǎn)到圓心

17、的距離。 xGddrtr工程力學(xué)31全程本構(gòu)關(guān)系如何？全程本構(gòu)關(guān)系如何？ 要做純剪切實(shí)驗(yàn)要做純剪切實(shí)驗(yàn) （如薄壁圓管扭轉(zhuǎn)）得到（如薄壁圓管扭轉(zhuǎn)）得到g gt t圖圖 剪切比例極限應(yīng)力（線彈性階段）剪切比例極限應(yīng)力（線彈性階段） pt tst tbt t 剪切屈服極限應(yīng)力（進(jìn)入塑性階段）剪切屈服極限應(yīng)力（進(jìn)入塑性階段） 剪切強(qiáng)度極限應(yīng)力（破壞階段）剪切強(qiáng)度極限應(yīng)力（破壞階段） 其中其中 g gt tpt tst tbt t8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)328. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)338. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)ATAd r rt tr rpddGITx f f AAxGTddd2r rf f)dd(x

18、GGf fr rg gt tr rr r IppITr rt tr r 工程力學(xué)348. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律： 橫截面上一點(diǎn)處的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的半徑成正比，圓心處的切應(yīng)力為零，在周邊上的切應(yīng)力最大，且各點(diǎn)處的切應(yīng)力都垂直于半徑。 Tomaxt工程力學(xué)35：maxPPTRTIWtRIWPP橫截面上最大切應(yīng)力橫截面上最大切應(yīng)力整個(gè)圓軸上整個(gè)圓軸上等直桿：等直桿：maxmaxPTWt1 1、等直圓軸，、等直圓軸，2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)通過分析扭矩與應(yīng)力間的關(guān)系，得到：通過分析扭矩與應(yīng)力間的關(guān)系，得到：PTIrrt工

19、程力學(xué)36ddAAId2pr162/3ddIWpp)d2(202drrr324d2/04)2d4(rrrd2dA8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)37223d2Ddrr4344pp116162/DDdDDIWrrd2dA4432dD 44132DDd8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)AAId2pr工程力學(xué)38 一受扭圓軸一受扭圓軸,由實(shí)心桿由實(shí)心桿1和空心桿和空心桿2緊配合而成。整個(gè)桿受扭時(shí)兩緊配合而成。整個(gè)桿受扭時(shí)兩部分無相對(duì)滑動(dòng)部分無相對(duì)滑動(dòng),試?yán)L出切應(yīng)力沿水平直徑的變化圖，試?yán)L出切應(yīng)力沿水平直徑的變化圖， 若若 (1) 兩桿材料相同，即兩桿材料相同，即G1=G2=G； (2) 兩桿材料不同，即兩桿材料不同，

20、即G1=2G2。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)思考思考T12工程力學(xué)39答案：答案：TG1=G2=G21TG1=2G221兩倍關(guān)系！兩倍關(guān)系！8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)xGddrtr對(duì)于第二種情況，在兩軸的接觸處，切應(yīng)對(duì)于第二種情況，在兩軸的接觸處，切應(yīng)力有突變！力有突變！工程力學(xué)40例例5：已知已知P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力不得超過不得超過40MPa。設(shè)。設(shè)實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑d1 ；空心圓軸的外直徑；空心圓軸的外直徑D2，內(nèi)，內(nèi)外直徑之比外直徑之比 = 0.5。二軸長(zhǎng)度相同。二軸長(zhǎng)度相同。求求: 1）計(jì)算軸的直徑）計(jì)算軸的直徑d1和和D2； 2）確定二軸的重量之比。）確

21、定二軸的重量之比。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)4131616 716 20 045m=45mm40 10.dmax13P111640MPaTTWdtd20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234P221640MPa1TTWDt7.59550716.2 N m100T 8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)42確定實(shí)心軸與空心軸的重量確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比之比空心軸空心軸D246 mmd223 mm實(shí)心軸實(shí)心軸d1=45 mm長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15

22、. 01110461045122332222121DdAA8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)43PTlGIf對(duì)于階梯圓軸，或扭矩分段變化的情況，則應(yīng)先分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，對(duì)于階梯圓軸，或扭矩分段變化的情況，則應(yīng)先分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，再求其代數(shù)和。再求其代數(shù)和。PTlGIf8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)對(duì)于等截面、常扭矩、同材料的直圓軸，對(duì)于等截面、常扭矩、同材料的直圓軸，如果直圓軸長(zhǎng)度為如果直圓軸長(zhǎng)度為l，則，則稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角工程力學(xué)44PnmaxWMt tmax塑性材料塑性材料：t=（0.50.6)脆性材料脆性材料：t=（0.81.0)精密機(jī)械的軸精密機(jī)械的軸 : =0.250.50(m)一般

23、傳動(dòng)軸一般傳動(dòng)軸 : =0.51.0(m)精密度較低的軸精密度較低的軸 : =1.02.5(m)1 1、強(qiáng)度條件、強(qiáng)度條件：2 2、剛度條件、剛度條件：PnGIM )rad/m(maxmaxPnGIM )/m(180maxmax8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)45 例例6：傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪A 輸入功率輸入功率N1=400kW，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪B，C 分別輸出功率分別輸出功率N2=160kW，N3=240kW。已知。已知=70MPa， =1/m ，G=80GPa。 1eMACB2eM3eM1d2d8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) (1)試確定試確定AB 段的直徑段的

24、直徑d1 和和BC 段的直徑段的直徑d2； (2)若若AB和和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d；工程力學(xué)4611400955095507640N m500ePMnmN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解： 1.1.計(jì)算力偶矩計(jì)算力偶矩 1eMACB2eM3eM1d2d8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)47 2.2.扭矩圖扭矩圖 8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)1eMACB2eM3eM1d2d1122117460N meTM 234580N meTM T1T2mN4580mN7640d1d2工程力學(xué)48mm2 .821d按剛度條件按剛度條件 mm4

25、 .861d3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件 mm4 .861d 1max3116Tdtt 1max4132180TGdmN4580mN7640d1d28. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)49 按剛度條件按剛度條件 4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件 3221669.3mm Tdt42223218076mm TdGmm762d5.5.選同一直徑時(shí)選同一直徑時(shí)mm4 .861 dd8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)mN4580mN7640d1d2工程力學(xué)50例例7: 某汽車傳動(dòng)軸用某汽車傳動(dòng)軸用45號(hào)鋼無縫鋼管制成，其外徑號(hào)鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,

26、壁厚壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為，使用時(shí)最大扭矩為M=1500 N.m.8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(1) 試校核此軸的強(qiáng)度。試校核此軸的強(qiáng)度。(2) 已知已知t t=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑D1為多少為多少？工程力學(xué)51由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：)1 (1643DWp)2(1 1643DtDD3m61024.29軸的最大剪應(yīng)力軸的最大剪應(yīng)力maxPTWtMPa3 .511024.2915006MPa60t所以此軸安全。所以此軸安全。解：解：8.

27、8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)52若此軸改為實(shí)心軸，而依然有若此軸改為實(shí)心軸，而依然有max151.3MPaPTWt31116DWp此時(shí)式中此時(shí)式中max316160.053m51.3 10TD8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)53實(shí)心軸的橫截面面積為實(shí)心軸的橫截面面積為2mm22054211DA空心軸的橫截面面積為空心軸的橫截面面積為2mm687)(4222dDA空心軸與實(shí)心軸的重量之比：空心軸與實(shí)心軸的重量之比：%3122056871212AAGG在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、經(jīng)濟(jì)。在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、經(jīng)濟(jì)。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)54采用空心軸可有效地

28、減輕軸的重量，節(jié)約材料。采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。因?yàn)橐驗(yàn)?根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律，軸心附近處的應(yīng)力很小，對(duì)實(shí)心軸而言，軸心附近處的應(yīng)力很小，對(duì)實(shí)心軸而言，軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用；軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用； 從截面的幾何性質(zhì)分析，從截面的幾何性質(zhì)分析，橫截面面積相同的條件下，空心軸材橫截面面積相同的條件下，空心軸材料分布遠(yuǎn)離軸心，其極慣性矩料分布遠(yuǎn)離軸心，其極慣性矩Ip必大于實(shí)心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)必大于實(shí)心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp也比較大，強(qiáng)度和剛度均可提高；也比較大，強(qiáng)度和剛度均可提高； 8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)55例例8：圖示階梯狀圓軸，A

29、B段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。MA MBMC ACB1122x解解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖1T122kN mT 118. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)562214扭矩扭矩圖圖（kNm）MA MBMC ACB22x11222T214kN mT xT8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)57BC段段622,max3p214 10 N mm71.3MPa100mm16TWtAB段段11,maxp1TWt2 2、計(jì)算軸橫截面上的

30、最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度MPamm16mmN8 .64120102236該軸滿足強(qiáng)度條件。該軸滿足強(qiáng)度條件。2214扭矩扭矩圖圖（kNm）xTMPa80t8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)58 例例9：圖示傳動(dòng)軸系鋼制實(shí)心圓截面軸。圖示傳動(dòng)軸系鋼制實(shí)心圓截面軸。已知：已知：M1=1592Nm，M2=955Nm，M3=637Nm；lAB=300mm ，lAC=500mm。軸的直徑軸的直徑d =70mm, 剪切彈性模量剪切彈性模量G =8104 MPa 。試求截面試求截面C對(duì)對(duì)B的扭轉(zhuǎn)角。的扭轉(zhuǎn)角。M3M1 dABlABCAClM28. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)598.

31、8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)解：由截面法得解：由截面法得，兩段內(nèi)扭兩段內(nèi)扭矩分別為矩分別為T = 955 Nm, T = 637 Nm 。假假想此時(shí)想此時(shí)A不不動(dòng)。動(dòng)。分別計(jì)算分別計(jì)算B ，C截面對(duì)截面對(duì)A之扭轉(zhuǎn)之扭轉(zhuǎn)角角f fAB， f fAC , M3M1 dABlABCAClM2因?yàn)橐驗(yàn)?2/4pdI 955637xTx工程力學(xué)60M3M1 dABlABCAClM2rad1052.1107)32/(10803 .09553849 ABf frad1069. 13ACf 由于假想截面由于假想截面A固定不動(dòng)，故截面固定不動(dòng)，故截面B、C相對(duì)于截面相對(duì)于截面A的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)分別與扭轉(zhuǎn)力偶矩應(yīng)分別與扭

32、轉(zhuǎn)力偶矩M2、M3的轉(zhuǎn)向相同，從而的轉(zhuǎn)向相同，從而f fAB和和f fAC的轉(zhuǎn)向相同。的轉(zhuǎn)向相同。由此可見，截面由此可見，截面C對(duì)對(duì)B的扭轉(zhuǎn)角的扭轉(zhuǎn)角f fBC應(yīng)是：應(yīng)是：rad107 .14 ABACBCf ff ff f8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)61低碳鋼的扭轉(zhuǎn)破壞低碳鋼的扭轉(zhuǎn)破壞 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞為什么鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，斷口沿著與軸線約呈為什么鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，斷口沿著與軸線約呈4550度的斜面，而低碳鋼的扭轉(zhuǎn)斷口基本平齊？度的斜面，而低碳鋼的扭轉(zhuǎn)斷口基本平齊？8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)62 為了分析圓桿受扭時(shí)發(fā)生破壞的原因，我們需要研究為了分析圓桿受扭時(shí)發(fā)生破壞的原因，我們需要

33、研究斜截面上的應(yīng)力。斜截面上的應(yīng)力。ttdxdydzxyztttt8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)xyz純剪切純剪切工程力學(xué)630cossinsincos t t t t dAdAdAt2sin t t t t 2cos0,9090min90 t t t t t t 04545min45 t tt t xztt t0 nFnttt04545max45 t tt t 0 tF0sinsincoscos t t t t t t dAdAdA000max0 t t t t t t 90 t t t t8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)AMM斷裂線斷裂線工程力學(xué)64試根據(jù)切應(yīng)力互等定理，判斷圖中所示的各單元體上的切應(yīng)力是否正確

34、。8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)工程力學(xué)65竹、木材：竹、木材：抗拉強(qiáng)度抗拉強(qiáng)度=抗壓強(qiáng)度抗剪強(qiáng)度抗壓強(qiáng)度抗剪強(qiáng)度抗壓強(qiáng)度抗壓強(qiáng)度 抗剪強(qiáng)度抗拉強(qiáng)度抗剪強(qiáng)度抗拉強(qiáng)度橫向抗剪強(qiáng)度縱向抗剪強(qiáng)度橫向抗剪強(qiáng)度縱向抗剪強(qiáng)度 沿橫截面沿橫截面沿沿45斜截面斜截面沿纖維、木紋方向沿纖維、木紋方向8. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)拉應(yīng)力是脆性材料破壞的主要原因拉應(yīng)力是脆性材料破壞的主要原因工程力學(xué)668. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)超靜定問題的求解步驟超靜定問題的求解步驟：2 2、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形幾何方程。變形幾何方程。3 3、根據(jù)、根據(jù)物理關(guān)系物理關(guān)系寫出補(bǔ)充方程。寫出補(bǔ)充方程。4 4、聯(lián)立靜力方程與補(bǔ)充方程求出所有的未知力。、聯(lián)立靜力方程與補(bǔ)充方程求出所有的未知力。1 1、根據(jù)平衡條件列、根據(jù)平衡條件列平衡方程平衡方程（確定超靜定的次數(shù)）（確定超靜定的次數(shù)）。工程力學(xué)678. 8. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件21工程力