第七章通貨膨脹

1、在2004年，按年利率計算的6月期美國財政部證券利率剛剛超過1%，而10年期財政部證券的年利率為5.4%，高品質的公司債券平均收益率幾乎達7%。兩年后，上述債券的利率有了相當大的變化。名義利率是指公布或報出的金融資產的利率。實際利率則是根據(jù)實際購買力衡量的貸款人或投資者的收益率。通貨膨脹溢價：在某一特定的金融工具投資期間，市場中貸款人和投資者的預期通貨膨脹率。例：貸款1000美元給一家公司，為期1年，預期通貨膨脹率為10%，報出名義利率為12%，實際回報為2%,即20美元。若CPI為13%呢？一般而言，放款人設定的名義利率是在預期通貨膨脹率的基礎上，可貸資金能夠給他們帶來想要的實際回報率。預期

2、名義利率預期通貨膨脹溢價+通貨膨脹溢價+預期實際利率*通貨膨脹溢價哈羅德-凱恩斯效應:如果債券的名義回報率保持不變，當預期價格會更快上漲時，預期的實際利率會下降。3%13%名義利率真實利率+期望通貨膨脹率+通貨膨脹風險溢價納稅投資者的預期稅后實際回報率預期名義利率-預期名義利率*納稅人所得稅等級稅率-通貨膨脹溢價例：一位投資者的所得稅等級稅率為28%，其投資1年期應納稅證券的當前預期名義利率是12%，而下一年通貨膨脹溢價即預期通貨膨脹率為5%，則該投資者這一證券的預期稅后實際回報率為？假設預期通貨膨脹率從5%上升到6%，若投資者想得到相同的預期稅后實際回報率，則預期名義利率應為多少？結論：通貨

3、膨脹與名義利率正相關。名義利率的上升幅度低于預期通貨膨脹率的上升幅度，名義利率的下降幅度低于通貨膨脹率的下跌幅度。每股股票價格0)1 ()(tttrDEsp名義合同是指當事人之間的協(xié)議，如公司與其工人或客戶之間的協(xié)議，協(xié)議根據(jù)當前的美元價值（名義價值）固定某一規(guī)定時期間的價格或成本。代理效應：通貨膨脹和股票價格之間呈負相關關系，但這種關系是虛假的，不真實的。通貨膨脹保護債券（treasury inflation protection securities,TIPS)tPR)1 (例，通貨膨脹率為零，美國財政部發(fā)行一新品種的TIPS，其面值為1000美元并承諾5年內每年實際息標率為3.5%。如果

4、通貨膨脹維持在零，那么該債券將每年支付實際利息35美元，到期被財政部贖回時，其面值將仍保持為1000美元。若通貨膨脹率在債券發(fā)行日之后上升至4%，且將在債券到期的5年內持續(xù)，求1年期滿后的通貨膨脹調整名義值？5年期滿后？收益率曲線影響收益率曲線的因素利率的期限結構即期利率遠期利率期限結構理論STRIPS市場收益率曲線（yield curve）是用圖來描述到期收益率相對于到期時間或者風險度量，如某個市場（如財政證券）中債務證券的修正久期，相互關系的術語。收益率曲線綜合了市場中不同參與者的預期收益率曲線的形狀簡潔的抓住并總結了不同期限貸款的貸款成本收益率曲線是分析利率走勢和進行市場定價的基本工具，

5、也是進行投資的重要依據(jù)。不存在違約風險的收益率曲線形成了債券市場的“基準利率曲線”，其他債券和各種金融資產均在這個曲線基礎上，考慮風險溢價后確定適宜的價格。收益率曲線通常被分成三種類型：向上傾斜，水平，向下傾斜（或者反轉的）久期和凸性的局限性：假設利率期限結構是平坦的假設收益率曲線平行移動假設未來現(xiàn)金流不隨利率變化而變化什么是平行移動？為了更好的理解收益率曲線形狀及其變化模式，我們需要檢驗短期利率和長期利率的波動性。波動性（volatility）度量了變量圍繞其均值的變化。利率的波動性即利率相對于其期望平均水平的可變性。由歷史數(shù)據(jù)可以估計出波動性。傳統(tǒng)的估計波動率的方法是給定頻率（日，周，月等

6、）的一定數(shù)量的歷史信息，計算序列的標準差，然后將其年化，作為波動率的估計。也可以利用期權等衍生產品價格估計出隱含波動率。在固定收益市場中，價格和收益率的波動性都被使用。修正久期可以將兩者聯(lián)系起來：因此知道價格和收益率波動率其中的任何一個，都可以由此式算出另一個。)()(dyMDPdPdyMDPdP估計波動率的傳統(tǒng)方法例6-1：設Pt表示某國債在t日的價格，yt表示t日的收益率，t=0,1,2N1.計算樣本中每個日期t的價格比率的自然對數(shù)Rt=ln(Pt+1/Pt)，其中t=0,1,N。2.計算價格比率的自然對數(shù)的均值3.計算每個t對應的離差平方4.則日波動率估計為：5.年波動率為：NRNtt1

7、2)(ttRx111NxNii125211NxNii當考察不同期限利率的波動性時：1.短期波動一般高于長期波動2.波動性顯示出與利率水平，長短期價差有關。息票效應：高息票的證券一般收益率也較高，對短期債券和長期債券而言均成立。流動性效應：最新發(fā)行的證券（on-the-run）更具有流動性，價格較高，收益率較低。而已經發(fā)行的證券(off-the-run)由于流動性較低，因此需要支付流動性溢價，收益率較高，價格較低。Warga(1992)說明了與其他相同的債券相比，最近發(fā)行的債券的定價反映了每年大約55個基點的溢價。截止到目前我們均是用YTM來定價債券：對于每期的現(xiàn)金流來說，到期收益率均一樣，但是

8、實際中，投資者并非如此。每一個現(xiàn)金流將有它自己的折現(xiàn)率，折現(xiàn)率取決于該現(xiàn)金流發(fā)生的時間和定價時點的長度?？紤]一個息票率為6.5%，半年付息，4年到期的債券，其YTM=9.3%，價格為$91.795.因此：但是實際中的利率情況為：按照實際折現(xiàn)率：兩種算法得到同樣的債券價格$91.795.用第二種方法計算的時候就需要更好的理解利率的期限結構每一期息票的支付都可以看做是一個零息債券。利率的期限結構（利率的期限結構（term structure of interest term structure of interest ratesrates）是指無違約風險的零息債券的到期收益率與其期限之間的關系。無

9、違約風險的零息（純貼現(xiàn)）債券的到期收益率通常被稱為即期利率(spot rate of interest)。純貼現(xiàn)債券的即期利率與其期限之間的關系被稱為即期曲線（spot curve）。純貼現(xiàn)債券：T-bills（國庫券），strips（由美國財政證券剝離獲得的零息票債券）。為簡單起見，我們假設零息債券的面值為$1，還有j期到期的零息債券的價格為zj：yj為還有j期到期的零息債券的每期的即期利率。如果是半年付息，零息債券的價格為：jjjyz2)21 (1現(xiàn)實中零息債券的價格較少，較難獲得，但是付息債券的價格很容易獲得，因此我們可以從付息債券中算出零息債券的價格和即期利率。（系靴程序bootstr

10、apping procedure）例：考慮如下的三個付息債券首先，我們利用1年的付息債券來計算1年的即期利率和1年零息債券的價格。Pi為債券i的價格，Ci為債券i的息票支付，那么第1只債券的價格表示為：%53. 515 .9910511510050.9911001111yyyCP從而1年期的零息債券價格為：實際上：因此只要知道1年期付息債券的價格和息票，就可以得到1年期零息債券的價格的1年期即期利率的值。9476. 0%53. 5111111yz111110011CPyz接下來，我們來計算z2和y2：注意：在第1年支付的第1個息票C1，以1年期的即期利率折現(xiàn)；在第2年支付的最終支付100+C2

11、，以2年的即期利率折現(xiàn)。在上式中只有y2未知，因此帶入已知參數(shù)：222122)1 (1001yCyCP9015. 0)1 (1%32. 5)1 (61000553. 01625.101222222yzyy實際上：因此在算出來z1之后很容易就可以得到z2.最后，我們利用3年期的付息債券來得到3年期的即期利率和隱含的3年期零息債券的價格。2122222100)1 (1CzCPyz333223133)1 (100)1 (1yCyCyCP在上式中唯一的未知數(shù)就是3年期的即期利率y3，因此帶入P3，C3，y1和y2，可得：8159. 0)1 (1%02. 7)1 (7100)0553. 01 (7055

12、3. 01725.1003333332yzyy綜合所得：我們也可以利用矩陣的方法來計算：付息債券的信息表達為矩陣A：付息債券的價格向量：零息債券的價格向量：107770106600105A25.10025.10150.99P,321zzzb 那么零息債券價格和付息債券價格的關系為：P=A*b從而：PAb1業(yè)內常用的另外一個收益率曲線為平價債券收益率曲線（par bond yield curve）:以面值出售的債券的到期收益率與其到期時間之間的關系。因為平價債券的到期收益率等于其息票率，因此我們只要求出其息票率，就可以得到平價債券的收益率曲線。利用我們前例中求得的即期利率的結果。首先，我們從1年

13、期平價債券開始，設其息票為x1：帶入y1，可得x1=5.53。其次，我們計算2年期平價債券的息票率：帶入y1=5.53%，y2=5.32%，可得x2=5.327。最后，計算3年期平價債券的息票率：帶入y1=5.53%，y2=5.32%，y3=7.02%，可得x3=6.908。111100100yx22212)1 (1001100yxyx33322313)1 (100)1 (1100yxyxyx因此3年內的平價債券收益率曲線為：所謂遠期利率（forward rate of interest） 是指隱含在給定的即期利率（spot rate of interest）中從未來的某一個時點到另一個時點的

14、利率水平。以儲蓄利率為例：現(xiàn)行銀行儲蓄一年期存款利率為3.5%，二年期存款利率為4.4%，10000元存2年哪種的收益高？先存一年，到期后取出連本帶息再存一年？直接存2年定期？第一種方式在第二年末的本息和為：10000*(1+0.035)2=10712.25元，第二種方式在第二年末的本息和為:10000*(1+1.044)2=10899.36元第二種方式較第一種方式可以多得10899.36-10712.25=187.11元。之所以多得是因為放棄了第二年期間對第一年本息和10000*(1+0.035)=10350元的處置權。因此，較大的收益產生于第二年。如果第一年取3.5%的利率，那么第二年的利

15、率為 (10899.36-10350)/10350*100%=5.3%，這個5.3%就是第二年的遠期利率。例子：某投資期為2年的債券投資者有以下兩種選擇：選擇1：購買1年期的零息債券，待其到期后，再購買另外一只1年期的零息債券；選擇2：購買2年期的零息債券。如果這兩種投資方法在2年后能帶來同樣的收益，那么投資者選擇哪一種債券都無關緊要。該投資者知道1年零息債券和2年期零息債券的即期利率。然而，他不知道1年以后購買1年期零息債券的收益率（遠期利率）。給定1年期零息債券和2年期零息債券的即期利率后，如何找出使得這兩種選擇一視同仁的1年期債券的遠期利率？假設1年期和2年期的即期利率分別為y1，y2，

16、1年以后的1年期遠期利率為f0(1,2)如果都是在2年末得到100美元，按照選擇1，在year0的投入為100/(1+y1)(1+f0(1,2)；如果選擇2，在year0的投入為100/(1+y2)2如果兩種選擇無差異的話，則初始投資應該一樣：即，如果投資者確信1年以后1年期零息債券的收益率為f0(1,2)，那么這兩種選擇對他來說沒有差別。用即期利率算出來的遠期利率也叫隱含的遠期利率（implied forward rate）1)1 ()1 ()2 , 1 ()1 ()2 , 1 (1)(1 ()1 (100)2 , 1 (1)(1 (100122022012201yyfyfyyfy推而廣之，

17、如何在t日鎖定始于T1，到期日為T2的遠期利率（T2T1t）？假設t時期限為T1的利率為y1，期限為T2的利率為y2.1)1 ()1 (),()1 (),(1 )1 (12122121112212211TTtTtTttTTTttTyyTTfyTTfy為什么投資者會關注遠期利率？最直接的原因就是即期利率中的隱含的遠期利率會對投資決策產生影響。例子：假設一位投資者打算做一項為期1年（2個6個月期）的投資。當前的6個月利率為7%，且1年（2個6個月期）利率為6%。使用遠期利率計算公式，該投資者會發(fā)現(xiàn)如果購買一只2期的證券，相當于簽署了一份6個月以后按5%的6個月利率借出資金的遠期合同。如果投資者確信

18、第2期的利率將高于5%，那么開始時只買1期的證券，然后在第1期結束時將本息所得再做一期投資，對他來說比較有利。用收益率曲線可以計算投資期內未來任何時間內的隱含遠期利率：f0(1,2),f0(1,3),f0(2,3)?關于利率的期限結構有大量的假說解釋，我們簡單介紹其中的幾種：1，預期假說:由?？怂梗℉icks，1946）和盧茨（Lutz，1940）提出，有很多版本，其中一個為無偏預期假說（unbiased expectation hypothesis）：當前的遠期利率是未來即期利率的無偏預期。如果ft(k,k+1)是t日鎖定的將來的日期k，k+1之間的1階段遠期利率，Rk*為k日的未來1階段的

19、即期利率，那么無偏預期假說認為： ft(k,k+1)=EtRk*按照預期理論，遠期利率代表了預期的未來利率，因此，某個特定時間的整個期限結構就反映了市場當前對未來短期利率的預期。上升的期限結構表明市場預期短期利率會在未來相應的時間段內上升；水平的期限結構反映了市場預期未來短期利率大體上是穩(wěn)定的；下降的期限結構則反應市場預期未來短期利率會穩(wěn)步下降。我們考察預期未來短期利率上升如何影響各種市場參與者的行為，從而形成上升的收益率曲線的情況。假設初始的利率期限結構為水平狀，并假定財經報道會使市場參與者預期利率會上升。那些原本對長期投資感興趣的投資者將不再愿意購買長期債券，因為他們預期收益率曲線遲早會上

20、升，會導致債券價格下降并帶來持有長期債券的資本損失，于是他們轉向短期債務工具。當預期利率會上升的投機者預期長期債券的價格將下降時，會賣出他們持有的所有長期債券或者“賣空”手頭現(xiàn)在沒有的長期債券。所有出售長期債券或者賣空債券取得的收入將投資于短期債務工具。想獲得長期借款的借款者將會選擇現(xiàn)在借款，因為根據(jù)預期，以后借款會更昂貴。所有這些原因將引起對長期債券凈需求的減少和長期債券供應的增加，這兩種反應將增加對短期債券的需求。市場均衡要求長期收益率相對于短期收益率呈上升趨勢；也就是說，投資者、投機者和借款者的這些行為將使期限結構上翹，直至它與預期的更高的未來利率一致。流動性溢價假說(liquidity

21、 theory of term structure)預期假說的缺陷在于沒有考慮與債券投資密切聯(lián)系的風險。但是在投資期內，持有長期債券是有風險的，并且這一風險將隨債券期限的延長而增加，因為期限與價格的波動性是直接相關的?？紤]到這些不確定性以及投資者的風險厭惡，流動性溢價假說認為：只有在長期債券提供的長期利率比平均預期利率高于足夠的部分，從而能夠補償投資期限較長帶來的風險時，投資者才會投資長期債券。并且該理論認為，遠期利率應當反映利率預期和流動性溢價兩部分內容，期限越長，溢價越大。 ft(k,k+1)=EtRk*+t(k,k+1)根據(jù)流動性理論，隱含的遠期利率并非一種市場對未來利率的無偏估計，因為

22、它包含了流動性溢價。因此，向上傾斜的收益率曲線既可反映未來利率上升的預期，也可反映未來利率水平不變（甚至下降）的預期；但是因為收益率曲線包含了隨期限延長增長足夠快的流動性溢價，結果形成了向上傾斜的形狀。市場分割假說認為不同期限的債券代表了具有各自供需壓力的不同市場。決定收益率曲線形狀的主要因素是資產/負債管理約束，及貸款人（借款人）將貸款（借款）限制在特定的期限品種上。局部期望假說(local expectations hypothesis)：局部期望假說認為所有的債券在極短的持有階段中都提供相同的期望回報率，因此這個假說可以表示為：ttTtTtrzzE1)1(剝離（separate trad

23、ing of registered interest and principal securities-STRIPS）指的是債券發(fā)行后，把該債券的每筆利息支付和最終本金的償還進行拆分，然后依據(jù)各筆現(xiàn)金流形成對應期限和面值的零息債券。例如：一只2000年6月18日發(fā)行的每年付息一次的10年期債券，票面利率為8%，發(fā)行金額為100萬元，到期日為2010年6月18日，則期間有10筆利息的支付和最終的一次本金償還。當該只債券轉換為本息分離債券后，每一筆利息支付和本金償還都分別成為一只單獨的債券，即可分離為10只金額為8萬元和1只金額為100萬元的零息債券。剝離市場產生的原因：1、付息債券利息在投資收益

24、不確定：受信息不對稱和交易成本的影響，投資者往往不能按時取出利息立即用于再投資；由于利率變動的不確定性，如果付息債券的利息收入流在到期時的再投資收益率低于購買時所預期的到期收益率，則投資者的再投資面臨著利率風險。2、零息債券的特點是現(xiàn)金流量的一次性，不必像普通的付息債券那樣周期性的支付票面利息，從而使投資者在到期日有一筆確定的現(xiàn)金流入，節(jié)約了再投資成本并避免了再投資風險，可以獲得穩(wěn)定的收益，滿足了偏好穩(wěn)定收益的投資者需求。3、零息債券還可以提供稅收方面的好處。美國稅法曾經規(guī)定利息在收到時才納稅，則由于零息債券在期末支付全部利息，利息稅收的繳納就被延遲，使投資者享有本應該繳納給稅收機關的那部分資

25、金的使用權。4、本息分離債券的出現(xiàn)增加了投資機會，滿足了投資者對于各種期限零息債券的需求。付息債券的久期隨著利率和到期時間的改變而改變，因此那些通過購買付息債券而匹配久期的投資者就不得不經常重新平衡其頭寸。但是零息債券的久期就等于其到期期限，這將顯著減少重新平衡頭寸的需要。根據(jù)債券定價模型，人們開發(fā)出了有關債券價格相根據(jù)債券定價模型，人們開發(fā)出了有關債券價格相對利率變化的靈敏度及其它很有用的指標，如對利率變化的靈敏度及其它很有用的指標，如久期久期（DurationDuration）和凸性（）和凸性（ConvexityConvexity）。）。前面我們注意到，所有債券（證券）都承擔利前面我們注意

26、到，所有債券（證券）都承擔利率風險，并且長期債券比短期債券對這些風險率風險，并且長期債券比短期債券對這些風險更為敏感。前面的圖和表均說明了這個問題。更為敏感。前面的圖和表均說明了這個問題。但是，這種說明和表達方式是不精確的。但是，這種說明和表達方式是不精確的。首先，期限的度量，忽視了債券中間時期的現(xiàn)首先，期限的度量，忽視了債券中間時期的現(xiàn)金流，僅僅是關注到期時的最后支付，利息支金流，僅僅是關注到期時的最后支付，利息支付（中間的現(xiàn)金流）對于利率風險是重要的，付（中間的現(xiàn)金流）對于利率風險是重要的，而且眾所周知，票息高的債券比那些票息低的而且眾所周知，票息高的債券比那些票息低的債券對利率的敏感性要

27、低。實質上，通過更快債券對利率的敏感性要低。實質上，通過更快的現(xiàn)金流回報，持有高息票債券的投資者比持的現(xiàn)金流回報，持有高息票債券的投資者比持有低息票債券的投資者可更快收回投資。上面有低息票債券的投資者可更快收回投資。上面的表的表2 2就是一個例證就是一個例證在上面的例子中，盡管三支債券的期限均相同，在上面的例子中，盡管三支債券的期限均相同，但三支債券表現(xiàn)出對利率變化不同的靈敏性。按但三支債券表現(xiàn)出對利率變化不同的靈敏性。按這里的期限，對三支債券對利率變化的相對靈敏這里的期限，對三支債券對利率變化的相對靈敏性的影響是有限的。性的影響是有限的。久期這個指標可以評價具有不同現(xiàn)金流方式的債久期這個指標

28、可以評價具有不同現(xiàn)金流方式的債券的相對承擔利率風險的成份，因為它既考慮到券的相對承擔利率風險的成份，因為它既考慮到了期末的現(xiàn)金支付又考慮到了期間的現(xiàn)金支付情了期末的現(xiàn)金支付又考慮到了期間的現(xiàn)金支付情況（它使債券定價定理況（它使債券定價定理5 5得以精確化）。得以精確化）。債券價值債券價值時間時間現(xiàn)現(xiàn)金金流流 1現(xiàn)現(xiàn)金金流流 2現(xiàn)現(xiàn)金金流流 3平均生命期平均生命期0 1 2 31、債券平均壽命期圖示：期限、債券平均壽命期圖示：期限3年，每年內現(xiàn)金流相同。年，每年內現(xiàn)金流相同?，F(xiàn)現(xiàn)金金流流 1現(xiàn)現(xiàn)金金流流 2現(xiàn)現(xiàn)金金流流 3 久久 期期債券價值債券價值時間時間0 1 2 3上圖中，債券的生命期為上

29、圖中，債券的生命期為2 2年。然而，一個更為年。然而，一個更為精確的現(xiàn)金流生命的度量，應考慮到現(xiàn)金流的現(xiàn)精確的現(xiàn)金流生命的度量，應考慮到現(xiàn)金流的現(xiàn)值。在這種情況下，目標是用支付的現(xiàn)金流的現(xiàn)值。在這種情況下，目標是用支付的現(xiàn)金流的現(xiàn)值給每次支付加權，而不是簡單地用未加處理的值給每次支付加權，而不是簡單地用未加處理的支付額來計算平均時間。這種支付額來計算平均時間。這種用每次支付的現(xiàn)值用每次支付的現(xiàn)值為每次支付時間加權的度量被命名為久期為每次支付時間加權的度量被命名為久期d d，如，如上圖。由于較早的支付比較晚的支付現(xiàn)值高，因上圖。由于較早的支付比較晚的支付現(xiàn)值高，因此久期的期限將小與平均生命期。見

30、上圖。此久期的期限將小與平均生命期。見上圖。PkFCtkCkCkCdtn/)1 ()(.)1 (3)1 (2)1 (133221 上式是用現(xiàn)金流現(xiàn)值對現(xiàn)金流所發(fā)生的時間加上式是用現(xiàn)金流現(xiàn)值對現(xiàn)金流所發(fā)生的時間加權?，F(xiàn)金流入包括利息權?，F(xiàn)金流入包括利息C和贖回本金和贖回本金F，并且時間加，并且時間加權數(shù)是從權數(shù)是從1到到t。最后，現(xiàn)金流對時間加權后求和，。最后，現(xiàn)金流對時間加權后求和，再除以債券價格再除以債券價格P（債券估值公式中的（債券估值公式中的P）。）。 （1 1）公式：）公式： （2 2）債券）債券A A（折價債券）：（折價債券）：PkCkCkCd/)1 (3)1 (2)1 (13322

31、1年）（）（）（3 1000100030201 1000/)331. 1 (13313)21. 1 (02)10. 1 (01d（3 3）債券）債券B B（抵押債券）：（抵押債券）：（4 4）債券）債券C C（息票債券）：（息票債券）：年）（）（）（1.9)(1929/1000 1000301333123641 1000/)331. 1 (4003)21. 1 (0402)10. 1 (0401d年）（）（）（2.7)(2733/1000 10008273812901 1000/)331. 1 (11003)21. 1 (0102)10. 1 (0101d 注意：零息票折價債券的期限與久期相同

32、，這是注意：零息票折價債券的期限與久期相同，這是因為全部的現(xiàn)金流均在持有期末收到。另一方面，因為全部的現(xiàn)金流均在持有期末收到。另一方面，期間發(fā)生支付的債券其久期短于期限。因此息票債期間發(fā)生支付的債券其久期短于期限。因此息票債券券C C的久期為的久期為2.72.7年，小于期限年，小于期限3 3年。債券年。債券B B由于其由于其平均現(xiàn)金流而擁有更短的久期，為平均現(xiàn)金流而擁有更短的久期，為1.91.9年。年。問題的引出問題的引出 作為一種度量投資者投資回收期的方法，久作為一種度量投資者投資回收期的方法，久期同期限相比，其最明顯的優(yōu)勢是度量債券價格期同期限相比，其最明顯的優(yōu)勢是度量債券價格相對于到期收

33、益率變化的靈敏度上：久期使債券相對于到期收益率變化的靈敏度上：久期使債券定價定理定價定理2 2得以精確。通常認為，兩支不同期限得以精確。通常認為，兩支不同期限的債券，其到期收益率變化的債券，其到期收益率變化1 1，所帶來的債券，所帶來的債券價格變化，期限較長的變化大于期限較短的變化。價格變化，期限較長的變化大于期限較短的變化。然而，如果債券的息票不同，上述結論則不正確。然而，如果債券的息票不同，上述結論則不正確。在一般情況下，期限與價格靈敏度之間不存在一在一般情況下，期限與價格靈敏度之間不存在一種簡單的關系，而久期卻給出了一個更為接近的種簡單的關系，而久期卻給出了一個更為接近的方程。方程。 到

34、期收益率到期收益率變化久期價格變化百分比1根據(jù)上表中的息票債券根據(jù)上表中的息票債券C C，假定到期收益率從，假定到期收益率從1010增長到增長到1111。據(jù)此可得期望的價格變化：。據(jù)此可得期望的價格變化：注意：這個結果與前面表注意：這個結果與前面表2 2中計算出的實際價格下中計算出的實際價格下降降2.6%2.6%相比較，其誤差來自于這樣一個事實：久期相比較，其誤差來自于這樣一個事實：久期得出的度量在利率變化幅度較小時很有效，但一旦得出的度量在利率變化幅度較小時很有效，但一旦利率變化較大時，就會失去其精確性。我們認為，利率變化較大時，就會失去其精確性。我們認為，利率在短期內變化利率在短期內變化1

35、00100個基點是比較大幅度的變化，個基點是比較大幅度的變化，因而存在一定的誤差。因而存在一定的誤差。 %5 . 2)10. 101. 0(7 . 2)1(kkdPP下表給出了三種不同的到期收益率和四種不同息下表給出了三種不同的到期收益率和四種不同息票率條件下，五種不同到期期限的債券的久期變票率條件下，五種不同到期期限的債券的久期變化。化。表中列出了在三種不同的票息率表中列出了在三種不同的票息率1 2 %1 2 %、1 4 %1 4 %和和1 6 %1 6 %條件下不同期限債券的久期。注意：期限條件下不同期限債券的久期。注意：期限較長的債券通常比期限較短的債券擁有更大的久較長的債券通常比期限較

36、短的債券擁有更大的久期。期。例如例如1 4 %1 4 %利率水平下，一只利率水平下，一只2 02 0年的債券票息為年的債券票息為1 0 %1 0 %，其久期為，其久期為6 . 9 86 . 9 8，同樣條件下，同樣條件下1 01 0年債券年債券久期為久期為5 . 6 85 . 6 8，5 5年債券久期為年債券久期為3 . 73 . 7。同時要注意，高利率水平下的久期低于低利率水同時要注意，高利率水平下的久期低于低利率水平下的久期。平下的久期。例如：例如： 2 0 2 0年的債券在年的債券在1 4 %1 4 %利率水平下，久期為利率水平下，久期為6 . 9 86 . 9 8，而在，而在1 2 %

37、1 2 %利率水平下，久期為利率水平下，久期為7 . 7 47 . 7 4，在在1 6 %1 6 %利率水平下久期為利率水平下久期為6 . 3 06 . 3 0。通過對久期的分析，與本章前面討論到的證券的通過對久期的分析，與本章前面討論到的證券的風險因素相聯(lián)系起來，以對本節(jié)做出總結，這將風險因素相聯(lián)系起來，以對本節(jié)做出總結，這將是有指導意義的。是有指導意義的。我們注意到，在一個定價體制中，具有較大利率我們注意到，在一個定價體制中，具有較大利率風險的證券比具有較低利率風險的證券應有較高風險的證券比具有較低利率風險的證券應有較高的增溢或折現(xiàn)率。的增溢或折現(xiàn)率。本節(jié)的分析已經指出期限長的證券比期限短

38、的證本節(jié)的分析已經指出期限長的證券比期限短的證券對于利率變化的靈敏性要高。我們因此希望較券對于利率變化的靈敏性要高。我們因此希望較長期限的證券比較短期限的證券有著較大的折現(xiàn)長期限的證券比較短期限的證券有著較大的折現(xiàn)率以補償其較大的風險（在其他風險因素相等條率以補償其較大的風險（在其他風險因素相等條件下）件下）如上節(jié)分析所指出，利率和債券價格可以通過久如上節(jié)分析所指出，利率和債券價格可以通過久期以一種線性關系聯(lián)系起來。這種關系給出了一期以一種線性關系聯(lián)系起來。這種關系給出了一個債券價格變化精確的近似值，特別是在利率變個債券價格變化精確的近似值，特別是在利率變化很小的情況下。然而，當利率變化較大時

39、，這化很小的情況下。然而，當利率變化較大時，這種關系將失去其精確性。因為此時兩者的實際關種關系將失去其精確性。因為此時兩者的實際關系是一種曲線關系。由債券定價定理系是一種曲線關系。由債券定價定理4 4可知，債可知，債券價格隨利率下降而上升的數(shù)額要大于債券價格券價格隨利率下降而上升的數(shù)額要大于債券價格隨利率上升同樣幅度而下降的數(shù)額。由此可以說隨利率上升同樣幅度而下降的數(shù)額。由此可以說明這種關系的曲線性。這種價格反應的不對稱性明這種關系的曲線性。這種價格反應的不對稱性就是著名的凸性理論：就是著名的凸性理論： 債券價格隨著利率變化而變化的關系接近于一條債券價格隨著利率變化而變化的關系接近于一條凸函數(shù)

40、而不是一條直線函數(shù)。凸函數(shù)而不是一條直線函數(shù)。下圖對一個下圖對一個1010年期零息票到期收益率為年期零息票到期收益率為1010的的債券的已得價格變化和以久期為基礎對債券價格債券的已得價格變化和以久期為基礎對債券價格變化的預期相比較，說明了凸性對價格收益關系變化的預期相比較，說明了凸性對價格收益關系的影響。的影響。債券價值債券價值（美元）（美元）凸性曲線（價格變化對利率變化的實際關系）凸性曲線（價格變化對利率變化的實際關系）6506005505004504003503005084634223863222957 8 9 10 11 12 13 利率利率%圖圖5 利率變化對債券價值影響關系圖示利率變

41、化對債券價值影響關系圖示如前所述，零息票債券的久期與其期限相同。因如前所述，零息票債券的久期與其期限相同。因此圖中債券的久期與期限一樣也是此圖中債券的久期與期限一樣也是1010年，而且其年，而且其變化關系是一條直線，這條直線是當前到期收益變化關系是一條直線，這條直線是當前到期收益率為率為1010時價格變化曲線的切線。時價格變化曲線的切線。注意：在利率高于或低于注意：在利率高于或低于1010時，以久期為基礎時，以久期為基礎的估計與由利率導出的債券價格之間存在一定差的估計與由利率導出的債券價格之間存在一定差異，利率偏離異，利率偏離1010越遠差異越大。這是因為當利越遠差異越大。這是因為當利率不是率

42、不是1010時，估計的直線將在債券價格變化的時，估計的直線將在債券價格變化的曲線之下。曲線之下。為了調整因凸性現(xiàn)象而產生的對債券價格變化為了調整因凸性現(xiàn)象而產生的對債券價格變化預期的誤差，我們可以增加一個凸性項來表示預期的誤差，我們可以增加一個凸性項來表示基礎的久期利率靈敏度公式。下式就是除久期基礎的久期利率靈敏度公式。下式就是除久期外，將凸性因素考慮在內了。外，將凸性因素考慮在內了。2)1()1(kkcvkkdPP注意：這個等式是一個二次方程，它能使我們更注意：這個等式是一個二次方程，它能使我們更充分地表現(xiàn)債券價格與利率之間的關系。公式中充分地表現(xiàn)債券價格與利率之間的關系。公式中的第一項與久

43、期有關，其表現(xiàn)了直線的斜率，并的第一項與久期有關，其表現(xiàn)了直線的斜率，并給出了利率變化的一階影響。余項與凸性有關，給出了利率變化的一階影響。余項與凸性有關，是一個二次項，表現(xiàn)了線的曲度并反應了利率變是一個二次項，表現(xiàn)了線的曲度并反應了利率變化的二階影響。從數(shù)學上講，久期項是債券價格化的二階影響。從數(shù)學上講，久期項是債券價格利率關系對利率變化的一階導數(shù)，而凸性項利率關系對利率變化的一階導數(shù)，而凸性項是對利率變化的二階導數(shù)。久期的公式前面已有是對利率變化的二階導數(shù)。久期的公式前面已有定義，凸性的定義公式如下：定義，凸性的定義公式如下：01)1 () 1()21(PkCttcvTttt同久期的計算相

44、似，導出凸性價值其實是用時間因素同久期的計算相似，導出凸性價值其實是用時間因素t(t+1)t(t+1)給現(xiàn)金流（息票和面值）加權，即上面公式中給現(xiàn)金流（息票和面值）加權，即上面公式中的分子，這個值再除以債券當前價格或現(xiàn)值。整個表的分子，這個值再除以債券當前價格或現(xiàn)值。整個表達式再乘以達式再乘以1/21/2加以標準化。加以標準化。舉例：一支利率為舉例：一支利率為1010的零息票債券。假設利率由的零息票債券。假設利率由1010現(xiàn)在下降到現(xiàn)在下降到9 9，即，即100100個基點。隨著利率下降，債個基點。隨著利率下降，債券價格由到期收益率券價格由到期收益率1010時的時的386386美元上升到了到期

45、美元上升到了到期收益率為收益率為9 9時的時的422422美元，價格上升了美元，價格上升了9.33%9.33%。 首先，計算利率變化引起的與久期有關的影響。首先，計算利率變化引起的與久期有關的影響。這里的價格變化為這里的價格變化為9.09%9.09%，小于所導出的，小于所導出的9.33%9.33%的變化幅度。這個未預料出的的變化幅度。這個未預料出的9.33%-9.33%-9.09%=0.24%9.09%=0.24%的變化就表現(xiàn)了凸性的影響。即：的變化就表現(xiàn)了凸性的影響。即：或9.09 0909. 0)10. 101. 0)(10()%101%10%9)(10()1(kkdPP55386)10.

46、 1 ()1000)(11(10)21()1 () 1()21(1001PkCttcvTtTT把凸性估計和利率變化結合起來，我們得到一個把凸性估計和利率變化結合起來，我們得到一個與凸性有關的債券價格變化估計量：與凸性有關的債券價格變化估計量：將凸性調整與上面討論過的公式中以久期為基礎將凸性調整與上面討論過的公式中以久期為基礎的估計聯(lián)在一起，我們得到一個債券價格變化的的估計聯(lián)在一起，我們得到一個債券價格變化的總的估計：總的估計：0045. 0)10. 101. 0(55)1(22kkcv9.54% 0.09540.00450.0909 )1()1(2或價格變化kkcvkkdPP一個例子：假設一個

47、債券的到期收益率為一個例子：假設一個債券的到期收益率為1010。下表給出了隨著債券期限變化和息票變化對凸性下表給出了隨著債券期限變化和息票變化對凸性的影響。的影響。凸性的決定因素：票息和期限凸性的決定因素：票息和期限 從表中看出：（從表中看出：（1 1）長生命期的債券（如前面的）長生命期的債券（如前面的永續(xù)年金圖形）與息票利率變化之間的關系具有永續(xù)年金圖形）與息票利率變化之間的關系具有明顯的凸性性質；（明顯的凸性性質；（2 2）短期債券（如前面的）短期債券（如前面的3 3年年期債券）的價格利率關系幾乎是一條直線，只期債券）的價格利率關系幾乎是一條直線，只有適度的彎曲；因此短期債券的凸性最小。（

48、有適度的彎曲；因此短期債券的凸性最小。（3 3）凸性隨著票息的降低而增大，隨著票息的上升而凸性隨著票息的降低而增大，隨著票息的上升而降低。（降低。（4 4）低利率水平下的凸性大于高利率水）低利率水平下的凸性大于高利率水平下的凸性。（平下的凸性。（5 5）債券價格與利率關系在曲線）債券價格與利率關系在曲線的低利率部分更加彎曲。的低利率部分更加彎曲。 在定位一個有關期限的投資組合時，債券經理們在定位一個有關期限的投資組合時，債券經理們習慣上采用三種方法：習慣上采用三種方法：（1 1）期限集中法；）期限集中法；（2 2）梯形法；）梯形法；（3 3）杠鈴法。）杠鈴法。當經理們對利率有確定的看法時，使用

49、期限集中投當經理們對利率有確定的看法時，使用期限集中投資組合。資組合。 期限集中投資組合，即子彈型組合。就是集中投資期限集中投資組合，即子彈型組合。就是集中投資中等期限的債券，由于中間突出，所以叫子彈型。中等期限的債券，由于中間突出，所以叫子彈型。 什么是梯形投資法？梯形投資法是什么意思？什么是梯形投資法？梯形投資法是什么意思？梯形投資法，又稱等期投資法，就是每隔一段時梯形投資法，又稱等期投資法，就是每隔一段時間，在國債發(fā)行市場認購一批相同期限的債券，間，在國債發(fā)行市場認購一批相同期限的債券，每一段時間都如此每一段時間都如此, ,接連不斷，這樣，投資者在以接連不斷，這樣，投資者在以后的每段時間

50、都可以穩(wěn)定地獲得一筆本息收入。后的每段時間都可以穩(wěn)定地獲得一筆本息收入。梯形投資法就是將全部投資資金平均投放在各種梯形投資法就是將全部投資資金平均投放在各種期限的證券上的一種組合方式。具體的做法是買期限的證券上的一種組合方式。具體的做法是買入市場上各種期限的證券，每種期限購買數(shù)量相入市場上各種期限的證券，每種期限購買數(shù)量相等，當期限最短的證券到期后，用所兌現(xiàn)的資金等，當期限最短的證券到期后，用所兌現(xiàn)的資金再購買新發(fā)的證券，這樣循環(huán)往復，投資者始終再購買新發(fā)的證券，這樣循環(huán)往復，投資者始終持有各種到期日證券，并且各種到期日的數(shù)量都持有各種到期日證券，并且各種到期日的數(shù)量都是相等的。這種情況反映在

51、圖形上，形似間距相是相等的。這種情況反映在圖形上，形似間距相等的階梯，故稱等的階梯，故稱“ “梯形投資法梯形投資法” ”。這種方法的特點。這種方法的特點是計算簡單，收益穩(wěn)定，便于管理，但不便于根是計算簡單，收益穩(wěn)定，便于管理，但不便于根據(jù)市場利率變動轉換證券。據(jù)市場利率變動轉換證券。杠鈴投資法杠鈴投資法是將是將證券證券投資資金集中投放在短期證投資資金集中投放在短期證券與長期證券兩類證券上，并隨市場券與長期證券兩類證券上，并隨市場利率利率變動不變動不斷調整資金在兩者之間的分配，以保持證券斷調整資金在兩者之間的分配，以保持證券頭寸頭寸的一種投資組合方法。的一種投資組合方法。大家應該都看見過杠鈴，閉

52、上眼設想一下杠鈴的大家應該都看見過杠鈴，閉上眼設想一下杠鈴的模樣，是不是兩頭大、中間細。在模樣，是不是兩頭大、中間細。在債券債券投資中也投資中也有一種叫杠鈴型投資的方法，這種投資模型是集有一種叫杠鈴型投資的方法，這種投資模型是集中將資金投資于債券的兩個極端：為了保證債券中將資金投資于債券的兩個極端：為了保證債券的流動性而投資于短期債券，為確保債券的收益的流動性而投資于短期債券，為確保債券的收益性而持有長期債券，不買入中期債券。性而持有長期債券，不買入中期債券。 投資者可根據(jù)自己的流動性要求確定長期、短期投資者可根據(jù)自己的流動性要求確定長期、短期債券的持有比例。對流動性的要求高，可提高短債券的持

53、有比例。對流動性的要求高，可提高短期債券的合理比例；要求低，則降低短期債券的期債券的合理比例；要求低，則降低短期債券的持有比率。持有比率。 投資者也可以根據(jù)市場利率水平的變化而變更長、投資者也可以根據(jù)市場利率水平的變化而變更長、短期債券的持有比例。當市場利率水平上升時，短期債券的持有比例。當市場利率水平上升時，可提高長期債券的持有比率；利率水平下降時，可提高長期債券的持有比率；利率水平下降時，可降低長期債券的持有比例。可降低長期債券的持有比例。 杠鈴投資法具杠鈴投資法具體操體操作方法是：當長期利率看跌引作方法是：當長期利率看跌引起長期證券價格看漲時，即賣出部分短期證券，起長期證券價格看漲時，即

54、賣出部分短期證券，買進長期證券；當長期利率看漲引起長期證券看買進長期證券；當長期利率看漲引起長期證券看跌時，即將長期證券賣出跌時，即將長期證券賣出 ，購回短期證券。同理，購回短期證券。同理，短期市場利率的升降也可決定長短期證券的進出。短期市場利率的升降也可決定長短期證券的進出。這種方法的關鍵在于對市場長、短期利率變化的這種方法的關鍵在于對市場長、短期利率變化的準確準確預測預測。杠鈴投資法必須建立在準確預測基礎上，需要對杠鈴投資法必須建立在準確預測基礎上，需要對市場上各種期限和類型的債券進行大量的觀察和市場上各種期限和類型的債券進行大量的觀察和預測并作出反映，因此，投資者要耗費大量人力預測并作出反映，因此，投資者要耗費大量人力和物力，對于小投資者來說，往往得不償失。和物力，對于小投資者來說，往往得不償失。例如，當一個經理預期利率將下降時，他將集中長例如，當一個經理預期利率將下降時，他將集中長期限的債券，因為這種債券價格上漲最多。相反，期限的債券，因為這種債券價格上漲最多。相反，當預期利率上升時，將集中短期限債券以防止債券當