數(shù)制與碼制(1)

1、 數(shù)制與碼制: “數(shù)”在計算機中怎樣表示。 邏輯代數(shù)基礎: 邏輯代數(shù)的基本概念、邏輯函數(shù)及其標準形式、邏輯函數(shù)的化簡。 組合邏輯電路: 組合電路的分析與設計。前前 言言 同步時序邏輯電路：觸發(fā)器、同步時序電路的分析與設計。 異步時序邏輯電路：脈沖異步電路的分析與設計。 采用中，大規(guī)模集成電路的邏輯設計。 1.模擬量：連續(xù)變化的物理量 2.數(shù)字量：模擬數(shù)字量 (A/D)3.數(shù)字系統(tǒng)：使用數(shù)字量來傳遞、加工、處理信息 的實際工程系統(tǒng)一、數(shù)字系統(tǒng)一、數(shù)字系統(tǒng)4.數(shù)字系統(tǒng)的任務:1) 將現(xiàn)實世界的信息轉(zhuǎn)換成數(shù)字網(wǎng)絡可以理解的二進制語言將現(xiàn)實世界的信息轉(zhuǎn)換成數(shù)字網(wǎng)絡可以理解的二進制語言僅用僅用0、1完成

2、所要求的計算和操作完成所要求的計算和操作將結(jié)果以我們可以理解的方式返回現(xiàn)實世界將結(jié)果以我們可以理解的方式返回現(xiàn)實世界 5.數(shù)字系統(tǒng)設計概況 1 ) 層次層次:從小到大從小到大,原語單元、較復雜單元、復雜單元、原語單元、較復雜單元、復雜單元、 更復雜單元更復雜單元 2）邏輯網(wǎng)絡：以二進制為基礎描述邏輯功能的網(wǎng)絡）邏輯網(wǎng)絡：以二進制為基礎描述邏輯功能的網(wǎng)絡 3）電子線路：物理構(gòu)成）電子線路：物理構(gòu)成 4）形式描述：用硬件描述語言（）形式描述：用硬件描述語言（HDL）描述數(shù)字系統(tǒng)的）描述數(shù)字系統(tǒng)的 行為行為 6.為什么采用數(shù)字系統(tǒng) 1）安全可靠性高）安全可靠性高 2）現(xiàn)代電子技術的發(fā)展為其提供了可能

3、）現(xiàn)代電子技術的發(fā)展為其提供了可能 7.數(shù)字系統(tǒng)的特點 1）二值邏輯（）二值邏輯（“0”低電平、低電平、“1”高電平）高電平） 2）基本門電路及其擴展邏輯電路（組成）基本門電路及其擴展邏輯電路（組成） 3）信號間符合算術運算或邏輯運算功能）信號間符合算術運算或邏輯運算功能 4）其主要方法為邏輯分析與邏輯設計（工具）其主要方法為邏輯分析與邏輯設計（工具為布爾代數(shù)、卡諾圖和狀態(tài)化簡）為布爾代數(shù)、卡諾圖和狀態(tài)化簡） 掌握二、十、八、十六進位計數(shù)制及相互換；掌握二、十、八、十六進位計數(shù)制及相互換； 掌握二進制數(shù)的原碼、反碼和補碼表示及其加掌握二進制數(shù)的原碼、反碼和補碼表示及其加減運算；減運算； 了解定

4、點數(shù)與浮點數(shù)的基本概念；掌握常用的了解定點數(shù)與浮點數(shù)的基本概念；掌握常用的幾種編碼。幾種編碼。數(shù)制數(shù)制：用一組統(tǒng)一的符號和規(guī)則表示數(shù)的方法 位置計數(shù)法位置計數(shù)法例例：123.45 讀作 一百二十三點四五 按權(quán)展形式按權(quán)展形式例例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2用來表示數(shù)的數(shù)碼的集合稱為基（09）, 集合的大小稱為基數(shù)(十進制10)。在十進制中，10的整冪次方稱為10進制數(shù)的權(quán)。對于任意一個二進制數(shù)N, 用位置記數(shù)法可表示為:(N)2=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)2用權(quán)展開式表示為(N)2 = an-12n-1+an-22n-2

5、 + a121+a020+a-1 2-1+a-22-2+a-m2-miinmia21上面兩式中，ai=0或1, n為整數(shù)部分的位數(shù), m為小數(shù)部分的位數(shù). 只有兩個數(shù)碼, 很容易用物理器件來實現(xiàn)。 運算規(guī)則簡單。 可使用邏輯代數(shù)這一數(shù)學工具。(N)r = an-1rn-1+an-2rn-2 + a1r1+a0r0+a-1 r-1+a-2r-2+a-mr-miinmira 1(N) r=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)r 節(jié)省設備1）設）設n是數(shù)的位數(shù)是數(shù)的位數(shù) R是基數(shù)是基數(shù) Rn-最大信息量最大信息量 nR-Rn個數(shù)碼所需設備量個數(shù)碼所需設備量 例：例：n=3，R

6、=10，(R)10n=103=1000 nR=310=30 而而Rn1000 R=2 2n1000 n=10 Rn=1024 nR=102=20 同樣為同樣為1000的信息量，二進制比十進制節(jié)省設備。的信息量，二進制比十進制節(jié)省設備。2）唯一性證明）唯一性證明 N=Rn （N為最大信息量）為最大信息量） LnN=nLnR 令令C=LnN C=nLnR 兩邊同乘兩邊同乘R，RC=nRLnR LnRRCnR 0)(LnRRCR=e=2.718lnR-1=0 按權(quán)展開式在按權(quán)展開式在十進制數(shù)域中計算十進制數(shù)域中計算例如：0123422021202121)101.11010(321212021125.

7、 05 . 0281610)626.26( 整數(shù)部分：除整數(shù)部分：除2取余法取余法例例：將(58)10轉(zhuǎn)換成二進制形式212110) ()58(onnaaaa011221122 22onnn-naaaaonnn-naaaa) 22(2132212 22)29(1322110onnn-naaaa得ao=02 22)2114(12423110aaaannn-n得a1=1則 (58)10 = (111010)2短除法：先求出的余數(shù)為低位。 小數(shù)部分：乘小數(shù)部分：乘2取整法取整法例：例：將(0.625)10轉(zhuǎn)換為二制形式)22(212)625. 0(112110mmaaa)22()25. 1 (112

8、110mmaaa得a-1=1)22()00. 1 (314310mmaaa得a-3=1210)101. 0()625. 0( 則注意：不能進行精確轉(zhuǎn)換的情況)22()5 . 0(213210mmaaa得a-2=0短乘法：先求出的整數(shù)為高位例：例：八進制： 2 5 7 0 5 5 4二進制：010 101 111 000 101 101 100十六進制：A F 1 6 C因此，(257.0554)8=(10101111.0001011011)2=(AF.16C)161、 直接用+和表示符號的二進制數(shù)，不能在機器使用.2、將符號數(shù)值化了的二進制數(shù),可在機器中使用。3、一般將符號位放在數(shù)的最高位。例

9、：例： +1011 0 1 0 1 11 1 0 1 1-1011 又稱又稱符號符號+數(shù)值表示數(shù)值表示, 對于正數(shù)對于正數(shù), 符號位為符號位為0, 對于負數(shù)、符號位為對于負數(shù)、符號位為1, 其余各位表示數(shù)值部分。其余各位表示數(shù)值部分。例：例： N1 = +10011 N2 = 01010 N1原= 010011N2原= 101010原碼表示的特點: (1)真值0有兩種原碼表示形式,即 +0反= 000 0反= 1 00 (2)表示范圍：-127+127（8位整數(shù)）原碼公式：原碼公式：01110NNNNN原整數(shù)：(含一位符號位）定點小數(shù)：(含一位符號位）02220111NNNNNnnn原對于正數(shù)

10、，其反碼表示與原碼表示相同，對于負數(shù)，符號位為1，其余各位是將原碼數(shù)值按位求反。例：例： N1 = +10011 N2 = 01010 N1反= 010011N2反= 1 10101（1）真值0也有兩種反碼表示形式，即 +0反= 000 0反= 1 11 (2) 表示范圍：-127+127（8位整數(shù)）反碼公式：反碼公式：01)2210NNNNNm（反整數(shù)：(含一位符號位）定點小數(shù)：(含一位符號位）02) 12(2011NNNNNnnn反對于正數(shù)，其補碼表示與原碼表示相同，對于負數(shù)，符號位為1，其余各位是在反碼數(shù)值的末位加1.例：例： N1 = +10011 N2 = 01010 N1補= 01

11、0011N2補= 1 10110（1）真值0只有一種補碼表示形式，即 0補= 0反+1= 1 11+1= 1 0 0 0丟棄(2)表示范圍：-128+127（8位整數(shù)）補碼公式：補碼公式：01210NNNNN補整數(shù)：(含一位符號位）定點小數(shù)：(含一位符號位）0222011NNNNNnnn補同號數(shù)相加或異號數(shù)相減，運算規(guī)則為絕對值相加，取被加(減)數(shù)的符號。 (+A)-(+B)=(+A)+(-B) (-A)-(-B)=(-A)+(+B)2、設A、B表示絕對值，有下列兩類八種情況。 (+A)+(+B)=(+A)-(-B) (-A)+(-B)=(-A)-(+B)同號數(shù)相減或異號數(shù)相加。運算規(guī)則為絕對

12、值相減，取絕大值較大者的符號。1、符號位不參與運算,單獨處理。解解： N1 原10011， N2 原01011 求 N1 +N2原，絕對值相減，有 1 0 1 1) 0 0 1 11 0 0 0結(jié)果取N2的符號，即： N1 +N2原01000真值為： N1 +N21000例：例：N1 =0011，N2 = 1011求 N1 +N2原和 N1 N2原。 求 N1 N2原，絕對值相加，有 0 0 1 1) 1 0 1 11 1 1 0結(jié)果取N1的符號，即： N1 N2原11110真值為： N1 N21110可以證明有如下補碼加、減運算規(guī)則： N1 +N2補 N1補+ N2補 N1 N2補 N1補+

13、 N2補此規(guī)則說明補碼的符號位參與加減運算。N補補=N原例：例： N1 =0011，N2 = 1011求 N1 +N2補和 N1 N2補。解解： N1 補11101， N2 補01011, N2 補10101 N1 +N2補=11101+01011= 01000 1 1 1 0 1) 0 1 0 1 11 0 1 0 0 0丟棄真值為： N1 +N2=1000 N1 N2補=11101+10101 1 1 1 0 1) 1 0 1 0 11 1 0 0 1 0丟棄真值為： N1 N2=1110補碼加法減法運算：符號位有進位則丟棄。 N1 +N2反 N1反+ N2反 N1 N2反 N1反+ N2

14、反當符號位有進位時，應在結(jié)果的最低位再加“1”（循環(huán)進位）.N反反=N原例：例： N1 =0011，N2 = 1011求 N1 +N2反和 N1 N2反。解解： N1 反11100， N2 反01011, N2 反10100 N1 +N2反=11100+01011= 01000 1 1 1 0 0) 0 1 0 1 11 0 0 1 1 1)10 1 0 0 0真值為： N1 +N2=1000 N1 N2反 11100+10100 1 1 1 0 0) 1 0 1 0 01 1 0 0 0 0)11 0 0 0 1真值為： N1 N2=1110補碼的補充說明：補碼的補充說明： 數(shù)學上，補碼與其

15、真值構(gòu)成了以某一值（計算機的字長）為模的“模數(shù)系統(tǒng)”或“同余”結(jié)構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)。模：計量器的容量。例：計算機的字長為L，模數(shù)為2L。丟棄 1 0 0 1 8+ 1 0 0 0 9 1 0 0 0 1 17 在模16的系統(tǒng)中，17=1 （mod16）。同余：在某一模數(shù)系統(tǒng)中，模數(shù)為n，如果a、b的 余數(shù)相同，則稱a、b模n同余。補碼的應用：例：鐘表為模12的系統(tǒng)。12396順時針：+；逆時針：-由12點撥到3點：1）12+3=15=15-12=3（mod12)2) 12-9=3 12+（12-9）=3（mod12)在模n的系統(tǒng)中，N與n-N是一對互補的數(shù)，利用其特點可把減法變成加法運算。N補=2n

16、+N -2n-1 N 0取反加1則：12-9=12+3=31.3.6 十進制的補數(shù)十進制的補數(shù)為方便十進制減法運算而引進十進制的補數(shù)。對于十進制正數(shù)N，其對10的補數(shù)表現(xiàn)形式為： 符號位為0，數(shù)值部分為N本身。例: N=5493 N10補=05493例：N=-3250 N10補=105-3250=96750例：N=-0.3267 N10補=10-0.3267=9.6733對于十進制負數(shù)N，其對10的補數(shù)表現(xiàn)形式為： N10補=10n+N -10n-1 n0（n為N的整數(shù)部分的位數(shù)，含一位符號位。）對10的補數(shù)減法運算舉例：例：N1=72532，N2=33256，求：N=N1-N2N1-N210

17、補 =72532-3325610補 =7253210補+-3325610補 =072532+966744 0 7 2 5 3 2+）9 6 6 7 4 4 1 0 3 9 2 7 6丟掉N1-N210補= 039276N1-N2= 39276 對于十進制正數(shù)N，其對9的補數(shù)表現(xiàn)形式為：符號位為0，數(shù)制部分為N本身，與對10的補數(shù)相同。例: N=8954 N9補=08954對于十進制負數(shù)N，其對9的補數(shù)表現(xiàn)形式為： N9補=10n-10-m+N -10n-1n0（n為N的整數(shù)部分的位數(shù)，含一位符號位， M為N的小數(shù)部分的位數(shù)。）例：N = -3250 N9補=105-1-3250=96749例：

18、N = -25. 639 N9補=103-10-3-25.639=974.360對9的補數(shù)減法運算舉例：例：N1=5489，N2=3250，求：N=N1-N2N1-N29補 =5489-32509補 =54899補+-32509補 =05489+96749 0 5 4 8 9+）9 6 7 4 9 1 0 2 2 3 8N1-N29補= 02239N1-N2= 2239+） 10 2 2 3 9即小數(shù)點的位置固定不變, 一般可固定在任何位置, 但通常固定在數(shù)值部份的最高位之前或最低之后, 前者表示純小數(shù), 后者表示純整數(shù)。但機器中并沒有小數(shù)點, 僅僅是一種默認。1 1 1 0 1 1 0 1符

19、號 小數(shù)點n位數(shù)值1 1 1 0 1 1 0 1符號 小數(shù)點n位數(shù)值12|1 21|2nnnNN如果運算結(jié)果小于2-n(或1)，稱出現(xiàn)了下溢，一般作為0處理，結(jié)果大于1- 2-n(或2n-1)，稱出現(xiàn)了上溢，一般會停機或進入出錯處理程序。定點數(shù)的數(shù)域較小。若既要能表示很小的數(shù)，又要能表示很大的數(shù)，則采用浮點表示法比較合適。一般形式為一般形式為：N=2JS其中2J稱為N的指數(shù)部分，表示小數(shù)點的位置，S為N的尾數(shù)部分，表示數(shù)的符號和有效數(shù)字。規(guī)格化數(shù)：尾數(shù)最高數(shù)值位非0，. 1|21 S即規(guī)格化數(shù)可以提高運算精度。例如：01011. 021011. 021011101100如果尾數(shù)的數(shù)值部分只有4

20、位，則后一種表示將產(chǎn)生誤差。階符階碼尾符尾數(shù)例：機器零：浮點數(shù)的尾數(shù)為零或階碼為最小數(shù)上溢：數(shù)的階碼大于機器所能表示的最大階碼下溢：數(shù)的階碼小于機器所能表示的最小階碼N=210 0.1010浮點數(shù)的運算：1112SNJ2222SNJ)(221211SSNNJ1)加減法：若 J1 =J2 若J1 J2 則需要先對階再按上式進行計算例：N1=211*0.1011 N2=201*0.1100對階：使J1=J2=11則2=211*0.0011)0011. 01011. 0(21121 NN2)乘除法：)(21)(2121SSRNNJJ)(21)(2121SSRNNJJ簡稱為二十進制碼或BCD碼，即用若

21、干位二進制數(shù)來表示一位十進制數(shù)。簡稱8421碼。按4位二進制數(shù)的自然順序，取前十個數(shù)依次表示十進制的09，后6個數(shù)不允許出現(xiàn)，若出現(xiàn)則認為是非法的或錯誤的。8421碼是一種有權(quán)碼，每位有固定的權(quán)，從高到低依次為8, 4, 2, 1，如 :8421碼0111=08+14+12+11=78421碼的特點：1）與四位二進制數(shù)的表示完全一樣2）10101111為冗余碼3）8421碼與十進制的轉(zhuǎn)換關系為直接轉(zhuǎn)換關系例:（0001 0011.0110 0100)8421BCD=(13.64)104) 運算時按逢10進1的原則,并且要進行調(diào)整調(diào)整原則: 有進位或出現(xiàn)冗余碼時, 加法+6調(diào)整; 減法 -6調(diào)整

22、.8421碼運算舉例:例: 8+9=17 1 0 0 0+) 1 0 0 1 1 0 0 0 1 進位+) 0 1 1 00 1 1 1例: 7+6=13 0 1 1 1+) 0 1 1 0 1 1 0 1 +) 0 1 1 01 0 0 1 1丟棄由8421碼加3形成。4）如果兩個余3碼相加沒有進位，則和數(shù)要減3，否則和數(shù)要加3。1)是一種無權(quán)碼。2)有六個冗余碼。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）3）對9的自補碼。例：(4)余3碼=0111; (5)余3碼 =1000 (0111)9補=1000 即0111按位取反。 0 1 0 0) 0 1 1 01 0 1

23、0)0 0 1 10 1 1 1例如：例如：0100+0110=0111 1 0 0 0) 1 0 0 11 0 0 0 1+)0 0 1 11 0 1 0 01000+1001= 1 0 1 0 0簡稱2421碼。按4位二進制數(shù)的自然順序，取前8個數(shù)依次表示十進制的07，8和9分別為1110和1111。其余6個數(shù)不允許出現(xiàn)，若出現(xiàn)則認為是非法的或錯誤的。這只是2421碼的一種編碼方案。2421碼是一種有權(quán)碼，每位有固定的權(quán)，從高到低依次為2, 4, 2, 1，如 : 2421碼0111=02+14+12+11=72421碼1110=12+14+12+01=82421碼的編碼方案：碼的編碼方案

24、： 代碼代碼方案方案1方案方案2方案方案3/4000000000000010001000100012001010000010/10003001110010011/10014010010100100/10105010110111011/01016011011001100/01107011111011101/011181110111011109111111111111對九自補能減少錯誤，發(fā)現(xiàn)錯誤，甚至糾正錯誤的編碼稱為可靠性編碼。在一組數(shù)的編碼中，如果任意相鄰的代碼只有一位二進制數(shù)不同，即為格雷碼。 典型二進制格雷碼編碼規(guī)則：11nnBG1iiiBBG1 1 0 11 0 1 1 例：13的格雷碼： 十進制十進制 二進制二進制GREY1步進碼步進碼GREY20000000000000000001000100010000100012001000110001100113001100100011100104010001100111101105010101111111111106011001011111010107011101001110010118100011001100010019100111011000010001010101111111011111012110010101311