概率論與數(shù)理統(tǒng)計：3-2二維 r-v-的條件分布

1、3.2 二維 r.v.的條件分布設(shè)二維離散型 r.v. ( X ,Y )的分布若則稱為在 X = xi 的條件下, Y 的條件分布律二維離散 r.v.的條件分布律 3.2離散條件分布 若則稱為在 Y = yj 的條件下X 的條件分布律類似乘法公式類似于全概率公式例1 把三個球等可能地放入編號為 1, 2, 3 的三個盒子中, 每盒可容球數(shù)無限. 記 X 為落入 1 號盒的球數(shù), Y 為落入 2 號盒的球數(shù)，求例1(1) 在Y = 0 的條件下，X 的分布律；(2) 在 X = 2 的條件下，Y 的分布律.解 先求聯(lián)合分布，其聯(lián)合分布與邊緣分布如下表所示XY pij0 1 2 301230000

2、00pi1p j X 0 1 2 3將表中第一行數(shù)據(jù)代入得條件分布(1) Y 0 1(2) 當(dāng) X = 2 時，Y 只可能取 0 與 1.將表中第三列數(shù)據(jù)代入下式得Y 的條件分布解例2例2 已知一射手每次擊中目標概率為 p ( 0 p 0, 則稱為Y = y 時，X 的條件分布函數(shù), 記作定義類似地, 稱為X = x 的條件下Y 的條件分布函數(shù); 為 X = x 的條件下Y 的條件 p.d.f.稱為 Y = y 的條件下 X 的條件 p.d.f.稱注意y是常數(shù), 對每一 fY (y) 0 的 y 處, 只要相仿論述.僅是 x 的函數(shù), 類似于乘法公式：符合定義的條件, 都能定義相應(yīng)的函數(shù).類似

3、于全概率公式類似于Bayes公式例3 已知(X,Y )服從圓域 x2 + y2 r2 上的均勻分布,求r解x-r=例3同理，邊緣分布不是均勻分布！當(dāng) r y r 時，y 這里 y 是常數(shù)，當(dāng)Y = y 時，當(dāng) r x r 時， 這里 x 是常數(shù)，當(dāng)X = x 時，x事實上正態(tài)性質(zhì)3正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布正態(tài)分布性質(zhì)3同理，例5 設(shè)求解y = x11例5y = x11當(dāng)0 y 1 時，y當(dāng)0 x 0 時，即 0 x 1 時，當(dāng)f X(x) = 0 時，f (x,y) = 0故x + y =11y = x10.5y = x110.5y = x110.5設(shè)(X,Y )為二維 r.v. 若對任

4、何則稱 r.v. X 和Y 相互獨立 兩個 r.v. 的相互獨立性 將事件獨立性推廣到 r.v.實數(shù) x, y 都有3.3定義由定義知二維 r.v. ( X, Y ) 相互獨立X與Y 獨立即連續(xù)型二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布對一切 i , j 有離散型X與Y 獨立對任何 x ,y 有二維連續(xù) r.v. ( X,Y ) 相互獨立設(shè)離散 r.v. X ,Y 相互獨立, 且服XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5問題從同一分布, 是否有 X = Y ？為簡單計不妨假設(shè)-1 1 -1 10.25 0.250.25 0.250.5 0.50.5 0

5、.5XY 由X ,Y 獨立性問題故不能說 X = Y .由上表易得:（即使概率為1的事件未必是必然事件）證對任何 x, y 有取X與Y 相互獨立正態(tài)分布性質(zhì)4(必要性)正態(tài)性質(zhì)4故充分性 將代入即得例1 已知 ( X, Y ) 的聯(lián)合 d. f.為(1)(2)討論X ,Y 是否獨立？例1解(1) 由圖知邊緣 d.f. 為11顯然，故 X ,Y 相互獨立(2) 由圖知邊緣 d. f. 為顯然，故 X ,Y 不獨立11判獨立的一個重要命題 設(shè) X ,Y 為相互獨立的 r.v. u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù), 則 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也相互獨立.即獨立 r.v.的連續(xù)函數(shù)仍獨立

6、.若 X ,Y 為相互獨立的 r.v.則a X + b, cY + d 也相互獨立；X 2, Y 2 也相互獨立；隨機變量相互獨立的概念可以推廣到 n 維隨機變量若則稱 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互獨立由命題知算出罪犯的身高. 這個公式是 公安人員根據(jù)收集到的罪犯腳印，通過公式 由腳印估計罪犯身高 如何推導(dǎo)出來的?估身高顯然，兩者之間是有統(tǒng)計關(guān)系的，故設(shè)一個人身高為 ,腳印長度為 . 由于影響人類身高與腳印的隨機因素是大量的、相互獨立的，且各因素的影響又是微小的,可以疊加的. 故應(yīng)作為二維隨機變量 來研究. 由中心極限定理知 可以近似看成服從二維正態(tài)分布其中參數(shù) 因區(qū)域、民族、生活習(xí)慣的不同而有所變化 ，但它們都能通過統(tǒng)計方法而獲得.密度為現(xiàn)已知罪犯的腳印長度為 , 要估計其身高就需計算條件期望 , 條件 的密度函數(shù), 因此 這正是正態(tài)分布