高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版必修一集合與函數(shù)概念 函數(shù)的最值 課件

1、1判斷正誤：(1)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)和(c，d)上均為增函數(shù)，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)(c，d)上也是增函數(shù)(2)假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在各自的定義域上均為增函數(shù)，那么f(x)g(x)在它們定義域的交集(非空)上是增函數(shù)答案(1)(2)2填空：(1)函數(shù)y|x|的單調(diào)增區(qū)間為(2)函數(shù)yaxb(a0)的單調(diào)區(qū)間為；函數(shù)y(a21)x為減函數(shù)，那么a的取值范圍是(3)函數(shù)yx2bxc在(，2上為增函數(shù)，那么b的取值范圍是0，)(，)(1,1)4，)3(1)一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在常數(shù)M滿(mǎn)足：對(duì)于任意的xI，都有f(x) M.存在x0I，使f(x0)

2、 M.那么M是函數(shù)yf(x)的最大值假設(shè)M是函數(shù)yf(x)的最小值又如何填寫(xiě)條件？(2)函數(shù)y2x1在2,3上的最小值為，最大值為5.5(4)函數(shù)yx22x3在2,0上的最小值為，最大值為 ；在2,3上的最小值為，最大值為 ；在1,2上的最小值為，最大值為 334500.本節(jié)重點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)的最值(或值域)本節(jié)難點(diǎn)：1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間討論1對(duì)于最大值定義的理解：(1)M首先是一個(gè)函數(shù)值，它是值域中的一個(gè)元素如f(x)x2(xR)的最大值為0，有f(0)0，注意對(duì)(2)中“存在一詞的理解；(2)對(duì)于定義域內(nèi)全部元素，

3、都有f(x)M成立，“任意是說(shuō)對(duì)每一個(gè)值都必須滿(mǎn)足不等式；(3)這兩條缺一不可，假設(shè)只有(1)，M不是最大值，如f(x)x2(xR)，對(duì)任意xR，都有f(x)1成立，但1不是最大值；否那么大于零的任意實(shí)數(shù)都是最大值了；最大值的核心就是不等式f(x)M，故不能只有(2)(4)假設(shè)將(1)中的“f(x)M改為“f(x)M，那么需將最大值定義中的“最大值改為“最小值這就是函數(shù)f(x)的最小值的定義2一次函數(shù)f(x)axb(a0)在閉區(qū)間m，n上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、f(m)，當(dāng)a0時(shí)，最大值和最小值那么為f(m)，f(n)3單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，應(yīng)用它可以解決許多函數(shù)問(wèn)題如判斷函

4、數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值、最小值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用函數(shù)單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小等4復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間討論(1)單調(diào)性定義中x1，x2的三個(gè)特征：一是任意性，即“任意取x1，x2，“任意二字決不能丟掉，證明單調(diào)性時(shí)更不可隨意以?xún)蓚€(gè)特殊值替換；二是有大小，通常規(guī)定x1x2；三是同屬一個(gè)區(qū)間三者缺一不可(2)由增函數(shù)(或減函數(shù))的定義可以得出(以增函數(shù)為例)：這兩個(gè)結(jié)果對(duì)于讀者深入理解單調(diào)函數(shù)及其性質(zhì)是有益的可由函數(shù)值大小比較自變量的大小可由自變量大小得出函數(shù)值的大小5二次函數(shù)在閉區(qū)間上必定有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得對(duì)于二次函數(shù)f(x

5、)a(xh)2k(a0)在區(qū)間m，n上最值問(wèn)題，有以下結(jié)論：假設(shè)hm，n，那么yminf(h)k，ymaxmaxf(m)，f(n)假設(shè)hm，n，那么yminminf(m)，f(n)，ymaxmaxf(m)，f(n)(a0時(shí)可仿此討論)例1設(shè)函數(shù)f(x)是(，)上的減函數(shù)，那么()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)f(a)分析由減函數(shù)的定義可知，只須比較各組函數(shù)值的自變量的大小a21a又f(x)在(，)上為減函數(shù)，f(a21)f(a)成立，應(yīng)選D. 總結(jié)評(píng)述：(1)此題為選擇題，故還可用排除法解之，如令a1，那么有f(a)f(2a)，f(a2)f(a)，

6、可排除A、B，令a0可排除C.(2)此類(lèi)問(wèn)題的解法依據(jù)是增函數(shù)、減函數(shù)的定義即假設(shè)f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，那么欲比較f(x2)與f(x1)的大小，(x1，x2I)，那么只須比較x1與x2的大小因此，比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小時(shí)，我們可將這兩個(gè)實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較大小假設(shè)函數(shù)yf(x)在R上單調(diào)遞增，且有f(a2)f(a)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)B(，1)(0，)C(0，) D(1,0)答案B例2畫(huà)出以下函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：點(diǎn)評(píng)1.一般地，含絕對(duì)值的函數(shù)可以先去掉絕對(duì)值號(hào)化為分段函數(shù)再畫(huà)圖應(yīng)注意區(qū)分y|f(x)|與yf(|x|)

7、的畫(huà)法不同2函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間一般不能并起來(lái)先畫(huà)出以下函數(shù)的圖象，再求其最大、小值(2)去絕對(duì)值號(hào)，化簡(jiǎn)得由這個(gè)函數(shù)的圖象(如右圖)知，,當(dāng)x1,2時(shí)，ymin3,當(dāng)x2或3時(shí)，ymax5 由這個(gè)函數(shù)的圖象(如以下圖)知：,當(dāng)x2時(shí)，ymin3當(dāng)x3時(shí)，ymax2應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，可以求函數(shù)的值域、解決與值域有關(guān)的問(wèn)題，也可以求函數(shù)的最大值與最小值例3(1)求函數(shù)y 的最小值(2)A1，b(b1)，對(duì)于函數(shù)f(x) (x1)21，假設(shè)xA時(shí)，f(x)A.求b的值分析解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是判明函數(shù)在定義域各區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題 整理得b24b30，解得b1或b3.b1

8、，b3.(2)此題要注意數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的含義，不妨將問(wèn)題具體化“假設(shè)xA時(shí)，f(x)A就是“假設(shè)x1，b時(shí)f(x)1，b，這樣就降低了題目的難度(3)有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，要特別注意二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是否在給定的區(qū)間上？應(yīng)該截取二次函數(shù)圖象的哪一局部？從而解決問(wèn)題答案(1)0(2)1,2(2)由f(x)(x1)22可知，f(1)2，又f(0)3，f(2)3，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)3，1a2.例4把長(zhǎng)為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()等腰梯形ABCD的兩底分別為AD2a，BCa，BAD45，作直線MNAD交AD于M，交折線ABCD于N，記AMx，試

9、將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域*例5(1)設(shè)函數(shù)f(x)x22x2(其中xt，t1，tR)的最小值為g(t)，求g(t)的表達(dá)式；(2)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值分析二次函數(shù)在閉區(qū)間m，n上既有最大值，也有最小值一種情形是不含參數(shù)，可直接由對(duì)稱(chēng)軸及開(kāi)口方向確定在m，n上的單調(diào)情況而得出結(jié)論；一種情形是軸定區(qū)間動(dòng)，如本例(1)，這時(shí)需分閉區(qū)間在軸左邊、右邊和包含軸三種情形討論；一種情形是軸動(dòng)區(qū)間定，如本例(2)，同樣分以上三種情形討論(軸與區(qū)間都含參數(shù)的情況我們不作要求)解決這一類(lèi)問(wèn)題的方法都是借助圖象，結(jié)合單調(diào)性，考察參數(shù)在三

10、種情形下的變化而得出結(jié)論解析(1)f(x)x22x2(x1)21，當(dāng)t11，即t0時(shí)，f(x)在t，t1上單調(diào)減，g(t)f(t1)t21；當(dāng)t1t1，即0t1時(shí)，f(x)在頂點(diǎn)處取最小值，g(t)f(1)1(見(jiàn)以下圖)；當(dāng)t1時(shí)，f(x)在t，t1上單調(diào)增，g(t)f(t)t22t2.綜上可知，(2)f(x)(xa)21a2，對(duì)稱(chēng)軸為xa.當(dāng)a0時(shí)，由以下圖可知，f(x)在0,2上單調(diào)增，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.當(dāng)0a1時(shí)，由以下圖可知，f(x)在0，a上單減，在a,2上單增，且2aa0，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.當(dāng)1a2時(shí)，

11、由以下圖可知，f(x)在0，a上單減在a,2上單增，且2a1討論即可習(xí)慣上，最大值用符號(hào)f(x)max表示，最小值用符號(hào)f(x)min表示.(1)求證f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值及最小值分析欲證(1)中f(x)為減函數(shù)，依定義，對(duì)x1x2必須證出f(x2)f(x1)0.利用單調(diào)性求f(x)在3,3上的最值，而將條件x0時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x2x1)0是此題的關(guān)鍵解析(1)f(0)f(0)f(0)，f(0)0又f(x)f(x)f(xx)f(0)f(x)f(x)設(shè)x1x2，那么f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x2x10，據(jù)題意有f(x2x1)0

12、f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)yf(x)在R上是減函數(shù)例7求以下函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：點(diǎn)評(píng)判斷函數(shù)的單調(diào)性的常用方法有：定義法、圖象法和復(fù)合函數(shù)法1在運(yùn)用定義法時(shí)，假設(shè)差f(x1)f(x2)的符號(hào)不確定時(shí)，要分類(lèi)(對(duì)參數(shù))或分段(對(duì)自變量)進(jìn)行討論2對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf(g(x)，xD，首先由f(u)的單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，找出對(duì)應(yīng)的x值，然后將區(qū)間D，按g(x)的單調(diào)分界點(diǎn)和前面求得的x值分段，在每一段上討論yf(g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間yfg(x)的單調(diào)性，如表(即同增異減)：解題步驟是：第一步：求出函數(shù)yf(g(x)的定義域D.第二步：考察f(u)的單調(diào)區(qū)間，令g(x)取f

13、(u)單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)的值，求出對(duì)應(yīng)x的值，連同ug(x)的單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)一起將D分區(qū)間函數(shù)單調(diào)性u(píng)g(x)yf(u)yf(g(x)第三步：在每一個(gè)區(qū)間上，考察g(x)的單調(diào)性和ug(x)的范圍，進(jìn)而考察f(u)的單調(diào)性，然后確定f(g(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性第四步：下結(jié)論一、選擇題1設(shè)f(x)為R上的減函數(shù)，那么f(2)、 f()、 f(3)的大小順序是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)答案B解析由于f(x)為R上的減函數(shù)，且23，所以f()f(2)f(3)，應(yīng)選B.答案D答案BA4 B3C4或3 D不存在答案B解析當(dāng)x1時(shí)，y2x13，當(dāng)x4，當(dāng)x1時(shí)，ymin3.5假設(shè)對(duì)任意xR，不等式|x|a