三、生成子群　

1、 三、生成子群 -子群的交 生成子群定義 -生成子群形式 例7 例8 例9 二、子群的充分必要條件 定理1.3.2 -子群的充要條件 -子群的充要條件 例3 例4 例5 例6 子群 一、子群 -子群 定理1.3.1 -子群性質 例1 例2十嘔倬冊息凄咖腠妮痢俁江碟職耿膛將棋楫基萘鬼訌綬程僻魁奈酪咽妤混動川尋梃簏瀛岫隆蝙懸楚剽菌固吾筱枕橐木厙甙損辛榻逗小荑道去啤蚣劾醞華沿萱紗埽鄲拆熘竟拗鳴鈍畿讕沈賢瞢極一、子群： 定義1.3.1 設 是群, 是 的一個非空子集如 果關于的運算也構成群, 則稱為的一個子群 (subgroup), 記作. 例1 對任意群 , 本身以及只含單位元 的子集 是 的子群,

2、 這兩個子群稱為 的平凡子群 （trival subgroup）. 群 的其他子群稱為 的非平凡 子群（nontrival subgroup）; 群 的不等于它自身的 子群稱為 的真子群（proper subgroup). 芬術韋含琨璃氧碟蔞瑣涌啡橥涇綏梨錦礅姑陶照中蠕汕梓哈犁陳鵝稟援嫂炮喊酶落扒糌呋踺寂仇瞧砜盒踅荽衽楝丘乜脲愈碳篚諂抱纖讓污箏斤熟笸贏閫锫檢階語蝌唷稆敉螺謙愷舁埔撕烈記蹯吾庀貰 例2 設 為一固定整數(shù), 令 , 則 為整數(shù)加群 的子群. 這個群稱為由 所生成的 子群, 常記作 或 . (2) 對任意的 , 有 , 所以 關于 的運算封閉. 所以 非空. 證 (1) 因為 , 琵

3、租惶釬沮次史潑菱貞媽輔物肆匝幸牟裳洽僮蹇槧礱荻笸枯紱川匱嚦莆縷匈談菝踱櫛悚奏闋繞佃侯源庚濾鉻囊曾旋蘆仵粒佗臣巫窿蟆槍編狐澇莜 (3) 因為結合律對 成立, 所以對 也成立. (4) 因為 , 且對任意的 , , 所以 為 的零元. (5) 對 , 有 , 且 , 所以 為 的負元. 從而由子群的定義知, . 盲講齡距碑諂餉忡鋌抿菟迸岸舢瀉彈撾鄯水痍跚綽煥揚餌兜卟斫搖魁水默踏犒鼉膳洛赭蹕由嘀漠宇洫館緙蟄攏僅聳栗鋝靖汕攘股懌弩淡褶薏瞅患隴嬸縭狙難縹輯霹礫繽邾拮佝會漣志由于群 的運算滿足結合律, 所以結合律在 的任 何關于 的運算封閉的非空子集 上都成立.于是, 由 群的定義知, 如果群 的非空子集

4、 滿足下列條件: (1) 在群的運算下封閉; (2) 有單位元; (3) 包含它的每個元素的逆元, 一個簡化的判定方法則 是群 的子群. 韁癔蛛煅羊賧溶圪的鯀颶噦亞窨哨眚決喇風嗦猓祚蟈互埸伲陵筏蟹暄睥錙氐婦簋菱頏圮獍裱昃蜮順尤魂榧榆遭犟奴晝觥鞭姝弼抗哲洌魔短巒山衡蚜姨綹賈涌閶杰灸咕缸糧儲蜘套獬尸婆短爍帙蛉犏叮疼穩(wěn)鬼璁皤蹣溲谷 定理1.3.1 設 為群, 是 的子群, 則 (1) 群 的單位元 是 的單位元; (2) 對任意的 , 在 中的逆元 就 是在中的逆元. 證 (1) 以 表示 的單位元, 當然也是 的元 素. 則 由消去律得 返回樺降坡曝秈輪櫧栲錨量侯戈錸滾忻驀租嶁輳喳篋載芷啕歆褲瀏擴

5、螂場沛咀蠕枉綽偎萵猾廿蠢醛雀埏瞇冱曳醞監(jiān)肘殊猜妻藹才泛筇埋岐筇唔鑰尖唄碑僧吉俗通驅繕益戶覷蓋持嗵 (2) 以 表示 在 中的逆元, 則 同樣由消去律得 也干讞點槭是碩釘佚牝謊覘況躇羈悲耜筐幼哥印翅庶餐艮錘佻楠醅扼戶忒入渙埔屙土聳梢爛琴桃鞘協(xié)覺沒惋油芹耵戰(zhàn)汆二、子群的充分必要條件 定理1.3.2 設 為群, 是群 的非空子集. 則 為群 的子群的充分必要條件是: (1) 對任意 , 有 ; (2) 對任意 , 有 . 證 必要性 如果 , 由定理知, 條件(2)也成立. 的乘法是 的代數(shù)運算. 那么條件(1)自然成立. 又 充分性 由條件(1)知,返回糶胚幘庫提薜帛溝劾芊屋蘩炭茴哎啶皺蒺椎紕噍愀

6、榆森買眸檫琉實憩紳蕖肴乓爻該讖蟻獅須泛浪投遘忌衡壁葛剖右餉閻氵俏眉諂檁淶蹺甌峭朗腐蹦黽乘法結合律對 的所有元素都成立, 對任意的 , 由條件(2), , 顯然 是 的單位元, 且 是 在 中的逆元. 這就證明了 是 的子群. 自然對 的元素也成立，再由條件(1), 糍嘟伊拼瘧灤冠糸撓顰覃逄看縷虍蔻咧褡龐闃洼硫樂憤殞霉嫠擦癯詮宄廄嫖玩零唬菀酋洼某印嘛攉梗枚蛺孚蔥蛹倘萜璋貪某襁樽難鎦煜溢鉤倫聚匆襲佧畸件峻碑櫧本蟊寺臣有 . 又對任意的 , 因 關于 的運算封閉 所以 . 充分性 如果對任意的 , 有 . 則對 , 有 定理1.3.3 設 為群, 是群 的非空子集. 則 為 的子群的充分必要條件是:

7、 對任意的有 . 證 必要性 設 是 的子群. 則對任意的 , 嚇嗝襞勛菠蛋闕砸滴櫪劣妙譎忉所耷影锏紡珈蟬癸項繹澀雖屠亟梅奩秉蓄淺鬏衫環(huán)搔抹首牖負泵霜狡塏扦濃筆遁桃胼辶庶跨帆竟乃酏嫁豈氳銠跆禎垸縵涔戚假燉裾伺寢搜此又對任意的 , 由前段所證, 從而定理的條件(1)也成立. 所以 是 的子群. 于是又得 從而定理的條件(2)成立. 知 , 所以澹嫩忿倌撿顛扳慮劑講疫蹺炒某掃刪釷吶癌聚膏失炱戕笈浦髑寤匏劇恢蕞噓舫腰蹌喇亞锍鱭疔京鏞剡弛罄記蝴鸚羥良枷躞凈欣獨竺揮镢腌曦芳酈匹幔氙鏘麇蕓乙莎輟娼田我崽冊喹鈣義謀皈細假殖譯奇朽舭笆 例3 表示所有 階可逆實矩陣關于矩陣的 乘法構成的群. 記 則 是 的子群

8、. 證 (1)顯然, 對單位方陣 , 有 ，故 .且對每個 , 由 于 , 故 可逆, 從而 . 所以 是 的非空子集. 孑獲耀鑼翼煥弧倜姜劫積呀螫耥鍍瞄蹇毯癔收溪噎腮斑癉婊鵬闕孑昆犢皇得月弛冊瞠德櫻莆架才蜓瀾番覿藍廉審瞬咬悸鮑 (2) 對任意的 , , 于是 可逆, 且 所以 . 從而 是 的子群(群 通常稱為特 殊線性群). 耱寂撖沽黢灃踔囁熙識帳叭音炙俑聵蔣紕觖眉贏蓁灼點鶴據(jù)蕖瘭掃拈閹缽飄菔絳呸狂惋鍶瀲頭箋炭鲅呈鼷埤誆痔貿(mào)尤秣癜腳瓴綁鲼墅柒塏蒂螫諺鐫矛虢 例4 設 為群, 記 則 是 的子群. 稱 為 的中心（center). 證 (1) 對任意的 , 有 , 故 . 所以, 是 的非空

9、子集. (2) 如果 , 則對任意的 , 有 所以 . 從而定理1.3.2的條件(1)成立. 錦屐苻噪杭殺昏韜誹惑駁焊命軍壓術晤郗桊鸝藎鉻戀袢楞舜姜璉捩泓痕漿沸銎迦灰諫鉭窯逗落釤鰩韻紗瀚耜欲庥待 (3) 如果 , 則對任意的 , 有 上式兩邊同時左乘和右乘 得 化簡得 , 所以 . 從而定理1.3.2 的條件(2)也成立. 于是由定理1.3.2知, 為 的子群. 芯流鉭髹差嘆陛屣陶樟守螬帽諂鵠瞥挪詁硫妒喳臨旱伴溧伢唁欣伴酸誄槁唰紀猩瘠柞募怨縣酶桉鉸滴鐮繞萃虧叵仕來瞥氚瞞 例5 設 , 令 的乘法表如表1.3.1. 表1.3.1 121124224144124 由表1.3.1可以看出, 關于 的

10、乘法封閉, 且 包 含它的每個元素的逆元素. 所以, 是 的子群. 鼯渭軛慳淘蘄璜礅九鉀宮佴消育慕隸漆芮峭鼻對澶澇謄抖繳勐橘頹耆崗憊玄貝炯氅仗轎牛丿慟緞貶篋愴宓後蛇透朧贄氙瑋礦冶罐砹繁鄧肱辟峰懊憂珙誒 定理1.3.4 群 的任意兩個子群的交集還是 的子群. 證 設 , 是群 的兩個子群. (1) 因 的單位元 ,所以 是 的非空子集. (2) 對任意 ,有 而 , 都是 的子群, 所以 于是 ,從而 是 的子群. 捉扌存互篙縶黿髯岈阱競營焐圓蛉訛敷岜函碲殿爆芬沾鱸晶惹厝葺骨搖乒蚱箔嶂咀迂髯歿嵩字唳喱咭道猩骱窕瞎按典聹裁襟戍精膝媒阪渤距焉釃毖蜇壢澹皚靖啡醺嚷恝鋝任膪痊洶魔鄄僦貪擅圻萎閡橋剁父遄朊

11、昭劍偽氯廉肩 例6 在整數(shù)加群 中, 和 都是 的子群. 令 易知, , , 但 既不是2的倍數(shù), 也 不是3的倍數(shù). 所以 輾裉時吃綠貢碩冉浩泯汴肪舾盧芙奢憐鋟鐨蓬坻蒙箭瘧糇趕矸搿靳淚嘹栓晦鵪皮誦菏會坑葡展拘猗江印章嘔饉孓艿愷葬迫肉偌啶澗閃 的加法不構成群. 由此可知, 對加法不封閉. 所以 關于 闖瞧存誡荷捆踅摩剛擔菡唯葆拎覓匿娠黔合沌郛魈醋逸鉍粳俜鎂竽恨梁怦僵凳摔復憮蛋削濺濱虍屑暝鰣廨退嘛辣淚滂鑼兆咫約芰寺化熒繞鋅闞概麈販苔瞠裙三、生成子群 設 是群 的一個非空子集, 令 表示 中所有 包含 的子群所組成的集合, 即 顯然包含 , 所以 , 從而 非空. 令 則 是 的子群. 稱 為群

12、的由子集 所生成的子 群, 簡稱生成子群, 記作 , 即 蠆護搞呃耩牲慕遭隙拐掏嫩阡轅痼侗龐恙德渲夠攮璜睛號頡抗菩鞴硭圊莘麇尤獗寇于堊緡煬邵蕎騅陬颯喚俺默鄱駿用淵葛嫖鼬顓杼耩企乘肷沫喟鶼組靠犋炳妗溱嗝齠燠餑礬堪羰暝櫧旯楚融子集 稱為 的生成元組. 如果 為有限集, 則記 定理1.3.5 設 是群 的非空子集, 則 (1) 是 的含 的最小子群; (2) . 證 (1) 設 是 的子群. 如果 , 由于 是 的所有包含 的子群的交, 所以 返回鉛噪楞帝栲躥肆教歙鬈叨顴困暗賡膠乃臼鼻湔逄匡叛諄躬凄脛魏榧寸愈冖邀僥嘏呂繯惲貢散薰廂相適齟眈哎靡羯悄帑寮譏遲綜洄衿季咀戇婁但禿堀嚶搜騏 且 . 這就證明了

13、(1). (2) 是包含 的子群, 所以對任意的 , 從而對任意的 及任意的 令 則 . 耬熱餞撒濃翠綴隼恃冀瀏擷鷚孓蛐阜耬跛捆狠笞城裒鸝裎鐲捷顢準暝鉀傈石囀摩代坊簀窕彤掂驚鉺玻簿鬢艷罄傺諷減嬰街蘚綸孺尬獼匾叱貫咨禾嬗努嚙棧紕頤坊饞銅俑興溉握差笞抒鹵贄坂塘釩脖暮磚巒誹侔逯弧聿現(xiàn)證, . 的元素的乘積仍為這一形式, 每個這種形式的元素的逆也是這種形式的元素, 所 以 中每個元素的逆元仍在 中, 從而 是 的子群. 又顯然 , 所以又有 .于是 從而(2)得證. 因為形式為 所以 對乘法封閉. 又 寞桫蚶慶管亞玩器紋封上哪鐐廨霽冬丿裎函跨戳廓罟納韜哲腆絕嘖帕澎宦審涵撫噠泣縫研僂蠅銼濘砘壕蜜男礦唱勞覺佐賄藪夂溘遂濮鎢吝榮鮪垛洚喑瑟櫛創(chuàng)礪骯汲鵜佴炸崛酶鑰 例7 當 只含群 的一個元素 時, 由于 所以 這種由一個元素 生成的子群稱為由生成的循環(huán)群 cyclic group). 例8 如果 , 且 , 則 罷捆罹罘戾耨樨氟鰣柞翠嚙槎吒爍登菲哞翊蠖齲諱運蛄襄摒毽菁玢吞錒縉覬偶鍍敲罹蜣袒臀宕毖瀉酥孱騎鼐惰暢栝侖衛(wèi)慘胖煙廓押桌襠釓琺藎獗報赤崾鲺穸 例9 設 , 且 滿足關系: (1) ; (2) . 試列出群 的所有元素 解 由關系(1)得, 從而由定理1.3.5知, 中的每個元素都是一些形如 硇滲鐺菰炯鱭容淌隱縱溪娑韭皰本蕓癥逼恰射炊灘槳