理論力學11—動量定理

1、11 動量定理 動量與沖量 動量定理 質心運動定理 用質點運動微分方程解決質點系動力學問題在數(shù)學上會遇到很大困難。在許多工程問題中并不需要求出每個質點的運動規(guī)律，而是只需知道質點系整體的運動特征就夠了。 動力學普遍定理包括動量定理、動量矩定理、動能定理。這些定理建立了表現(xiàn)運動特征的量（動量、動量矩、動能）和表現(xiàn)力作用效果的量（沖量、沖量矩、功）之間的關系。 在應用普遍定理解決實際問題時，不僅運算簡單，而且各個量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機械運動的規(guī)律。實際上的問題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。2、大量的問題中，不需要了解每一個質點的運 動,僅需要研究質點系整

2、體的運動情況。動力學普遍定理概述動力學普遍定理概述對質點質點動力學問題： 建立質點運動微分方程求解。對質點系質點系動力學問題： 理論上講，n個質點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。 從本章起, 將要講述解答動力學問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學普遍定理動力學普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理)。在應用普遍定理解決實際問題時，不僅運算簡單，而且各個量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機械運動的規(guī)律。 它們以簡明的數(shù)學形式， 表明兩種量 一種是同運動特征相關的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關的量(沖量、力 矩、功等) 之間的關系，

3、從不同側面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學問題非常方便簡捷 。 本章中研究質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理，建立了動量的改變動量的改變與力的沖量之間的關系與力的沖量之間的關系，并研究質點系動量定理的另一重要形式質心運動定理質心運動定理。11.1 動量與沖量11.1.1 動量1）質點的動量 質點的質量與速度的乘積稱為質點的動量，記為mv。 動量是矢量，方向與速度方向相同。動量的單位為kgm/s。2）質點系的動量 質點系中各質點動量的矢量和稱為質點系的動量。iim pv動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。3）質心及用質心速度求質點系動量i i

4、i iCimmmMrrr定義質點系質量中心(質心) C 的矢徑ddddd()diiiii iCCmmmttmmt rpvrrv則質點系的動量等于質質點系的動量等于質點系的質量與質心速點系的質量與質心速度的乘積。度的乘積。動量例例3、兩均質桿、兩均質桿OA和和AB質量為質量為m，長為，長為l，鉸接于，鉸接于A。圖示位。圖示位置時，置時，OA桿的角速度為桿的角速度為w w，AB桿相對桿相對OA桿的角速度亦為桿的角速度亦為w w。求此瞬時系統(tǒng)的動量。求此瞬時系統(tǒng)的動量。解：由剛體系統(tǒng)的動量公式解：由剛體系統(tǒng)的動量公式2211CCvmvmp其中：其中：w21lvCwwwlllvC2322wwwmllm

5、lmp2232方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wACACvvv22AB作平面運動作平面運動OA301w2wBCRevavrvA30BCO1w例例1 OA桿繞桿繞O軸逆時針轉動，均質圓軸逆時針轉動，均質圓盤沿盤沿OA桿純滾動。已知圓盤的質量桿純滾動。已知圓盤的質量m20 kg，半徑，半徑R100 mm。在圖示位。在圖示位置時，置時，OA桿的傾角為桿的傾角為30o，其角速度，其角速度w w1 11 rad/s，圓盤相對，圓盤相對OA桿轉動的角桿轉動的角速度速度w w2 24 rad/s，, 求求圓盤的動量。圓盤的動量。100 3mmOB 120.2 10.2m/s

6、0.1 40.4m/servOCvRww 3sin600.40.3464m/s2Carvvv于是于是所以所以20 0.34646.93N sCpmvp方向水平向右。方向水平向右。動量計算解解:取取C為動點，動系與為動點，動系與OA固連固連xyOtwCCAB1CBvm2Avm2Cvm1211 Cvm例例2、橢圓規(guī)機構的規(guī)尺、橢圓規(guī)機構的規(guī)尺AB的質量為的質量為2m1，曲柄，曲柄OC的質量為的質量為m1，滑塊，滑塊A和和B的的質量均為的的質量均為m2。已知。已知OCACCBl。曲柄和規(guī)尺均為均質細直桿。曲柄和規(guī)尺均為均質細直桿。曲柄以角速度曲柄以角速度w w轉動。求機構的動量。轉動。求機構的動量。

7、解解1 1：由質點系動量公式有：由質點系動量公式有111222CCABmmmmpvvvv建立如圖直角坐標系，則動量的投影為建立如圖直角坐標系，則動量的投影為tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpACCxwwwwwwwwwwsin)45(2sin2sin2sin2sinsin2212112111動量計算tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpBCCywwwwwwwwwwcos)45(2cos2cos2cos2coscos2212112111所以機構動量的大小和方向為所以機構動量的大小和方向為)45(22122mmlpppyxwtppipxwsincos),cos(xyOtwCCAB1C

8、Bvm2Avm2Cvm1211 CvmxyOtwCCAB1C1p2pCCCOCBAABvmmvmvmmppppppp)45(212)(22112121解2：1122112()ABABCOCCppppmm vppmvwlvCwlmmp)45(2121方向為方向為C點速度的方向。點速度的方向。因為因為得得111 動量與沖量沖量是矢量，方向與力的方向一致。沖量的單位為沖量是矢量，方向與力的方向一致。沖量的單位為Ns，與動，與動量的量綱相同。量的量綱相同。常力的沖量tIF變力的沖量元沖量ddIt F 而力 在作用時間 內的沖量是矢量積分Ft0dttIF2沖量沖量 力與其作用時間的乘積稱為力的沖量力與其

9、作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內對物體作用的累積效應的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應。1 質點的動量定理質點動量的增量等于作用于質點上的力的元沖量。d()ddmtvFI微分形式11.2 動量定理在某一時間間隔內，質點動量的變化等于作用于質點的力在此段時間內的沖量。00dtmmtvvFI積分形式dd()ddmmmttvavF2 質點系的動量定理 設由n個質點組成的質點系。其中第i個質點的動量為mivi，作用在該質點上的外力與內力的合力為 與 ，由質點的動量定理有(e)iF(i)iF(e)(i)d()(1,2, )d

10、iiiimintvFF將n個方程相加，即得(e)(i)d()dmt vFF改變求和與求導次序，則得(e)(i)d()dmt vFF11.2 動量定理(e)ddddmtt pvF質點系的動量對于時間的導數(shù)等于作用于質點系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以寫成其中： ；由于內力成對出現(xiàn)，故所有內力的矢量和恒等于零，即 。于是可得m pv(i)0F(e)(e)dddt pFI質點系動量的增量等于作用于質點系的外力元沖量的矢量和。11.2 動量定理質點系動量定理的微分形式11.2.2 質點系的動量定理質點系動量定理的微分投影形式(e)(e)(e)ddddddyxzxyzpppFFFttt 0(

11、e)0ddptpt pF或(e)0 ppI質點系動量定理的積分形式在某一時間間隔內，質點系動量的改變量等于在這段時間內作用于質點系外力沖量的矢量和。質點系動量定理的積分投影形式( )( )( )000,eeexxxyyyzzzppIppIppI 例例11-1 11-1 電動機外殼固定在水平基礎上電動機外殼固定在水平基礎上, ,定子和外殼定子和外殼的質量為的質量為 , ,轉子質量為轉子質量為 . .定子和機殼質心定子和機殼質心 , ,轉子質轉子質心心 , , ,角速度角速度 為常量為常量. .求基礎的水平及鉛直求基礎的水平及鉛直約束力約束力. .1m2m1O2OeOO21wtemgmmFywwc

12、os)(2221temFxwwsin22得得empw2tempxwwcos2tempywwsin2解解: :12ddyypFm gm gtddxxpFt由由xtemwwsin22方向方向: :動約束力動約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動約束力附加動約束力本題的附加動約束力為本題的附加動約束力為ytemwwcos22方向方向: :電機不轉時電機不轉時, , , , 稱稱靜約束力靜約束力; ;電機轉動時的約束力稱電機轉動時的約束力稱動約束力動約束力, ,上面給出的是動約束上面給出的是動約束力力. .0 xFgmmFy)(21例例4 錘的質量錘的質量m3000 kg，從高度，從高度h1

13、.5 m 處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變形歷時形歷時 t 0.01 s ；求錘對工件的平均壓力。；求錘對工件的平均壓力。hyG*N解：以錘為研究對象，和工件接觸后受力如圖。工件解：以錘為研究對象，和工件接觸后受力如圖。工件反力是變力，在短暫時間迅速變化，用平均反力反力是變力，在短暫時間迅速變化，用平均反力 N*表示。表示。錘自由下落時間錘自由下落時間ght2yyyImvmv12NtG)(00) 121() 1(ghGtGNkNN1656) 18 . 95 . 1201. 01(8 . 93000 錘對工件的平均壓力與反力錘對工件的平均壓力與反力N*

14、大小相等，方向相反，與錘的重量大小相等，方向相反，與錘的重量G29.4 kN比較，是它的比較，是它的56倍，可見這個力是相當大的。倍，可見這個力是相當大的。例例5 滑塊滑塊C的質量為的質量為m19.6 kg ，在力，在力P866 N的作用下沿傾角為的作用下沿傾角為30o的的導桿導桿AB運動。已知力運動。已知力P與導桿與導桿AB之間的夾角為之間的夾角為45o，滑塊與導桿的動摩擦，滑塊與導桿的動摩擦系數(shù)系數(shù)f0.2 ，初瞬時滑塊靜止，求滑塊的速度增大到，初瞬時滑塊靜止，求滑塊的速度增大到v2 m/s 所需的時間。所需的時間。 ABPgmCCNF3045xy解：以滑塊解：以滑塊C為研究對象，建立坐標

15、系。為研究對象，建立坐標系。由動量定理得由動量定理得0(cos45sin30)(1)mvPmgF t 00(sin45cos30 )(2)CPNmgt 由由(2)式得式得30cos45sinmgPNC)30cos45sin(mgPffNFC代入代入(1)式，求得所需時間為式，求得所需時間為cos45sin30( sin45cos30 )0.0941smvtPmgf Pmg從而摩擦力為從而摩擦力為例6 如圖所示，已知小車重為2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 運動。此時有一重為0.5 kN的鉛球垂直落入沙中后，測得箱在車上滑動0.2 s，不計車與地面摩擦，求箱與車之間的摩擦力

16、。1N2N0vx解：研究系統(tǒng)，建立坐標系。(e)0 xxFpcvgWWWvgWW321021代入已知數(shù)據(jù)，解得v3 m/s設沙箱滑動結束后車速為v，則有1N2N1WNFvx再以小車為研究對象，由動量定理有0 xxppFt FtvgWvgW011代入已知數(shù)據(jù)，解得 F0.5 kN1W3W2Wpp0 恒矢量若，則(e)0 xF11.2 動量定理如果作用于質點系的外力的主矢恒等于零，質點系的動量保持不變。如果作用于質點系的外力主矢在某一坐標軸上的投影恒等于零，質點系的動量在該坐標軸上的投影保持不變。pxp0 x 恒量11.2.3 質點系動量守恒定律Bvrv例例7 如圖所示，質量為如圖所示，質量為 m

17、A 的均質三棱柱的均質三棱柱A在重力作用下沿著質量為在重力作用下沿著質量為mB的大的大均質三棱柱均質三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱傾角為的斜面下滑，大三棱柱傾角為q q。設各處摩擦不計，初始時系。設各處摩擦不計，初始時系統(tǒng)靜止。求：統(tǒng)靜止。求：(1) B的加速度；的加速度；(2) 地面的支反力。地面的支反力。解：先對系統(tǒng)進行運動分析，建立如圖坐標，設B的速度為vB，A相對B的速度為vr，則rBAvvv于是于是cossinAxrBAyrvvvvvqq ABxyqByqAgmAgmBRx系統(tǒng)受力如圖。因SFx(e)0，且初始系統(tǒng)靜止，有 0)cos()(BrABBvvmvmqcos()(1)ArAB

18、Bm ammaq兩邊對t求導再以A為研究對象，受力如圖，由(e)(e)ddddyxxyppFFtt NAgmAxyNAgmAxyd(cos)sindd(sin )cosdArBArAmvvNtmvNm gtqqqq有有(cos)sin(2)(sin )cos(3)ArBArAmaaNmaNm gqqqq即即 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)式得式得gmmmaBAAB)sin(22sin2qqByqAgmAgmBRx最后以整體為研究對象，得最后以整體為研究對象，得d(sin )dArABm vRm gm gtq()sin()()ABArABBRmmgm ammga tgqq將（將（1）式代

19、入上式則得）式代入上式則得gmgmRamBArAqsin即即 例例8 圖示系統(tǒng)，重物圖示系統(tǒng)，重物A和和B的質量分別為的質量分別為m1、m2。若。若A下降的下降的加速度為加速度為a，滑輪質量不計。求支座，滑輪質量不計。求支座O的反力。的反力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。設設A下降的速度為下降的速度為vA，B上升的速度為上升的速度為vB，則由運動學關系得，則由運動學關系得ABvv21系統(tǒng)的動量在坐標軸上的投影為系統(tǒng)的動量在坐標軸上的投影為121210,()2xyABAppm

20、vm vmm v由質點系的動量定理由質點系的動量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到注意到adtdvA可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a11.3 質心運動定理11.3.1 質量中心i ii iCimmmMrrriiiiCiiiiiCiiiiiCim xm xxmmm ym yymmm zm zzmm11.3.2 質心運動定理(e)d()dCmt vF對于質量不變的質點系，上式可改寫為或(e)Cm aF質點系的質量與質心加速度的乘積等于作用于質點系外力的矢量和(外力的主矢)。(e)ddCmt vF形式上，形式上，質心運動定理與質點動力學基

21、本方程完全相似，質心運動定理與質點動力學基本方程完全相似，因此質心運動定理也可敘述如下：因此質心運動定理也可敘述如下：質點系質心的運動，可以質點系質心的運動，可以看成一個質點的運動，設想此質點集中了整個質點系的質量看成一個質點的運動，設想此質點集中了整個質點系的質量及其所受的外力。及其所受的外力。由質心運動定理可知，質點系的內力不影由質心運動定理可知，質點系的內力不影響質心的運動，只有外力才能改變質心的運動。響質心的運動，只有外力才能改變質心的運動。 質心運動定理直角坐標投影式(e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF 自然軸上的投影式2(e)(e)(e)tnbd,0dCCvvmF

22、mFFt 11.3.2 質心運動定理 如果作用于質點系的外力主矢恒等于零，則質心作勻速直線運動；若系統(tǒng)開始靜止，則質心位置始終保持不變。 如果作用于質點系的所有外力在某軸上的投影的代數(shù)和恒等于零，則質心速度在該軸上的投影保持不變；若開始時速度投影等于零，則質心沿該軸的坐標保持不變。 以上結論，稱為質心運動守恒定理。11.3.3 質心運動守恒定理例例11-5 11-5 均質曲柄均質曲柄AB長為長為r r, ,質量為質量為m1, ,假設受力偶作用假設受力偶作用以不變的角速度以不變的角速度轉動轉動, ,并帶動滑槽連桿以及與它固連的活并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞塞D, ,如圖所示如圖所示. .滑槽

23、、連桿、活塞總質量為滑槽、連桿、活塞總質量為m2, ,質心在點質心在點C . .在活塞上作用一恒力在活塞上作用一恒力F F . .不計摩擦及滑塊不計摩擦及滑塊B的質的質量量, ,求求: :作用在曲柄軸作用在曲柄軸A A處的處的最大水平約束力最大水平約束力Fx . .tmmmmrtxaCCxwwcos2dd2121222tmmrFFxwwcos2212212max2mmrFFw顯然顯然,最大水平約束力為最大水平約束力為應用質心運動定理應用質心運動定理,解得解得FFammxCx2121211coscos2mmbrmrmxC解解:如圖所示如圖所示 xy例例9 如圖所示，電動機外殼固定在水平基礎上，定

24、子、轉子的質量分別為如圖所示，電動機外殼固定在水平基礎上，定子、轉子的質量分別為m1、m2。設定子質心位于轉軸中心。設定子質心位于轉軸中心O1，由于制造誤差，轉子質心，由于制造誤差，轉子質心O2 到到O1的距離為的距離為e，已知轉子以勻角速度，已知轉子以勻角速度w w 轉動。求：轉動。求： (1) 質心運動方程；質心運動方程；(2) 基基礎對電機總的水平和鉛垂反力；礎對電機總的水平和鉛垂反力；(3) 若電機沒有螺栓固定，各處摩擦不計，若電機沒有螺栓固定，各處摩擦不計，初始時電機靜止，求轉子以勻角速度初始時電機靜止，求轉子以勻角速度w w轉動時電動機外殼的運動。轉動時電動機外殼的運動。解：解：(

25、1) 建立如圖坐標，任一瞬時，建立如圖坐標，任一瞬時，q qw w t，即有，即有11220,0cos,sinxyxetyetww故質心運動方程為故質心運動方程為212212cossinCCm etxmmm etymmww1O2Oewq (2) 以系統(tǒng)為研究對象以系統(tǒng)為研究對象(e)(e),CxxCyymaFmaF 121212()()CxCymmxFmmyFm gm g22122212cossinCCm extmmm eytmmwwww 222212cossin()xyFmetFmetmm gwwww xygm2gm11O2OewqyFxFOM由質心運動定理由質心運動定理因因故故得得（3）以

26、系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。）以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。21CCxx在圖示坐標下，設初始時在圖示坐標下，設初始時xC1a，當轉子轉，當轉子轉過過q q，定子向右移動距離，定子向右移動距離s，則，則21212)cos()(mmseamsamxCq所以所以2121)cos()(mmseamsamaq解得解得tmmemmmemswqcoscos212212由此可見，電動機在水平面上作往復運動。此時由此可見，電動機在水平面上作往復運動。此時xygm2gm1asNF1O2Oeq由于由于S SFx(e)0 ，所以，所以2min122()NFmmgmew若若 ，則，則 。因此如電動機無螺栓固定，它將會跳起來。因此如電動機無螺栓固定，它將會跳起來。emgmm221)(w0minN 例例10 質量為質量為 m 長