理論力學(xué)11—動量定理

1、11 動量定理 動量與沖量 動量定理 質(zhì)心運動定理 用質(zhì)點運動微分方程解決質(zhì)點系動力學(xué)問題在數(shù)學(xué)上會遇到很大困難。在許多工程問題中并不需要求出每個質(zhì)點的運動規(guī)律，而是只需知道質(zhì)點系整體的運動特征就夠了。 動力學(xué)普遍定理包括動量定理、動量矩定理、動能定理。這些定理建立了表現(xiàn)運動特征的量（動量、動量矩、動能）和表現(xiàn)力作用效果的量（沖量、沖量矩、功）之間的關(guān)系。 在應(yīng)用普遍定理解決實際問題時，不僅運算簡單，而且各個量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機械運動的規(guī)律。實際上的問題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì)點的運 動,僅需要研究質(zhì)點系整

2、體的運動情況。動力學(xué)普遍定理概述動力學(xué)普遍定理概述對質(zhì)點質(zhì)點動力學(xué)問題： 建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系質(zhì)點系動力學(xué)問題： 理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。 從本章起, 將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學(xué)普遍定理動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。在應(yīng)用普遍定理解決實際問題時，不僅運算簡單，而且各個量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機械運動的規(guī)律。 它們以簡明的數(shù)學(xué)形式， 表明兩種量 一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力 矩、功等) 之間的關(guān)系，

3、從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷 。 本章中研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理。11.1 動量與沖量11.1.1 動量1）質(zhì)點的動量 質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積稱為質(zhì)點的動量，記為mv。 動量是矢量，方向與速度方向相同。動量的單位為kgm/s。2）質(zhì)點系的動量 質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和稱為質(zhì)點系的動量。iim pv動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。3）質(zhì)心及用質(zhì)心速度求質(zhì)點系動量i i

4、i iCimmmMrrr定義質(zhì)點系質(zhì)量中心(質(zhì)心) C 的矢徑ddddd()diiiii iCCmmmttmmt rpvrrv則質(zhì)點系的動量等于質(zhì)質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心速點系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。度的乘積。動量例例3、兩均質(zhì)桿、兩均質(zhì)桿OA和和AB質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為l，鉸接于，鉸接于A。圖示位。圖示位置時，置時，OA桿的角速度為桿的角速度為w w，AB桿相對桿相對OA桿的角速度亦為桿的角速度亦為w w。求此瞬時系統(tǒng)的動量。求此瞬時系統(tǒng)的動量。解：由剛體系統(tǒng)的動量公式解：由剛體系統(tǒng)的動量公式2211CCvmvmp其中：其中：w21lvCwwwlllvC2322wwwmllm

5、lmp2232方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wACACvvv22AB作平面運動作平面運動OA301w2wBCRevavrvA30BCO1w例例1 OA桿繞桿繞O軸逆時針轉(zhuǎn)動，均質(zhì)圓軸逆時針轉(zhuǎn)動，均質(zhì)圓盤沿盤沿OA桿純滾動。已知圓盤的質(zhì)量桿純滾動。已知圓盤的質(zhì)量m20 kg，半徑，半徑R100 mm。在圖示位。在圖示位置時，置時，OA桿的傾角為桿的傾角為30o，其角速度，其角速度w w1 11 rad/s，圓盤相對，圓盤相對OA桿轉(zhuǎn)動的角桿轉(zhuǎn)動的角速度速度w w2 24 rad/s，, 求求圓盤的動量。圓盤的動量。100 3mmOB 120.2 10.2m/s

6、0.1 40.4m/servOCvRww 3sin600.40.3464m/s2Carvvv于是于是所以所以20 0.34646.93N sCpmvp方向水平向右。方向水平向右。動量計算解解:取取C為動點，動系與為動點，動系與OA固連固連xyOtwCCAB1CBvm2Avm2Cvm1211 Cvm例例2、橢圓規(guī)機構(gòu)的規(guī)尺、橢圓規(guī)機構(gòu)的規(guī)尺AB的質(zhì)量為的質(zhì)量為2m1，曲柄，曲柄OC的質(zhì)量為的質(zhì)量為m1，滑塊，滑塊A和和B的的質(zhì)量均為的的質(zhì)量均為m2。已知。已知OCACCBl。曲柄和規(guī)尺均為均質(zhì)細(xì)直桿。曲柄和規(guī)尺均為均質(zhì)細(xì)直桿。曲柄以角速度曲柄以角速度w w轉(zhuǎn)動。求機構(gòu)的動量。轉(zhuǎn)動。求機構(gòu)的動量。

7、解解1 1：由質(zhì)點系動量公式有：由質(zhì)點系動量公式有111222CCABmmmmpvvvv建立如圖直角坐標(biāo)系，則動量的投影為建立如圖直角坐標(biāo)系，則動量的投影為tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpACCxwwwwwwwwwwsin)45(2sin2sin2sin2sinsin2212112111動量計算tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpBCCywwwwwwwwwwcos)45(2cos2cos2cos2coscos2212112111所以機構(gòu)動量的大小和方向為所以機構(gòu)動量的大小和方向為)45(22122mmlpppyxwtppipxwsincos),cos(xyOtwCCAB1C

8、Bvm2Avm2Cvm1211 CvmxyOtwCCAB1C1p2pCCCOCBAABvmmvmvmmppppppp)45(212)(22112121解2：1122112()ABABCOCCppppmm vppmvwlvCwlmmp)45(2121方向為方向為C點速度的方向。點速度的方向。因為因為得得111 動量與沖量沖量是矢量，方向與力的方向一致。沖量的單位為沖量是矢量，方向與力的方向一致。沖量的單位為Ns，與動，與動量的量綱相同。量的量綱相同。常力的沖量tIF變力的沖量元沖量ddIt F 而力 在作用時間 內(nèi)的沖量是矢量積分Ft0dttIF2沖量沖量 力與其作用時間的乘積稱為力的沖量力與其

9、作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應(yīng)。1 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點動量的增量等于作用于質(zhì)點上的力的元沖量。d()ddmtvFI微分形式11.2 動量定理在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點動量的變化等于作用于質(zhì)點的力在此段時間內(nèi)的沖量。00dtmmtvvFI積分形式dd()ddmmmttvavF2 質(zhì)點系的動量定理 設(shè)由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系。其中第i個質(zhì)點的動量為mivi，作用在該質(zhì)點上的外力與內(nèi)力的合力為 與 ，由質(zhì)點的動量定理有(e)iF(i)iF(e)(i)d()(1,2, )d

10、iiiimintvFF將n個方程相加，即得(e)(i)d()dmt vFF改變求和與求導(dǎo)次序，則得(e)(i)d()dmt vFF11.2 動量定理(e)ddddmtt pvF質(zhì)點系的動量對于時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以寫成其中： ；由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，故所有內(nèi)力的矢量和恒等于零，即 。于是可得m pv(i)0F(e)(e)dddt pFI質(zhì)點系動量的增量等于作用于質(zhì)點系的外力元沖量的矢量和。11.2 動量定理質(zhì)點系動量定理的微分形式11.2.2 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系動量定理的微分投影形式(e)(e)(e)ddddddyxzxyzpppFFFttt 0(

11、e)0ddptpt pF或(e)0 ppI質(zhì)點系動量定理的積分形式在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點系外力沖量的矢量和。質(zhì)點系動量定理的積分投影形式( )( )( )000,eeexxxyyyzzzppIppIppI 例例11-1 11-1 電動機外殼固定在水平基礎(chǔ)上電動機外殼固定在水平基礎(chǔ)上, ,定子和外殼定子和外殼的質(zhì)量為的質(zhì)量為 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 . .定子和機殼質(zhì)心定子和機殼質(zhì)心 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)轉(zhuǎn)子質(zhì)心心 , , ,角速度角速度 為常量為常量. .求基礎(chǔ)的水平及鉛直求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力約束力. .1m2m1O2OeOO21wtemgmmFywwc

12、os)(2221temFxwwsin22得得empw2tempxwwcos2tempywwsin2解解: :12ddyypFm gm gtddxxpFt由由xtemwwsin22方向方向: :動約束力動約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動約束力附加動約束力本題的附加動約束力為本題的附加動約束力為ytemwwcos22方向方向: :電機不轉(zhuǎn)時電機不轉(zhuǎn)時, , , , 稱稱靜約束力靜約束力; ;電機轉(zhuǎn)動時的約束力稱電機轉(zhuǎn)動時的約束力稱動約束力動約束力, ,上面給出的是動約束上面給出的是動約束力力. .0 xFgmmFy)(21例例4 錘的質(zhì)量錘的質(zhì)量m3000 kg，從高度，從高度h1

13、.5 m 處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變形歷時形歷時 t 0.01 s ；求錘對工件的平均壓力。；求錘對工件的平均壓力。hyG*N解：以錘為研究對象，和工件接觸后受力如圖。工件解：以錘為研究對象，和工件接觸后受力如圖。工件反力是變力，在短暫時間迅速變化，用平均反力反力是變力，在短暫時間迅速變化，用平均反力 N*表示。表示。錘自由下落時間錘自由下落時間ght2yyyImvmv12NtG)(00) 121() 1(ghGtGNkNN1656) 18 . 95 . 1201. 01(8 . 93000 錘對工件的平均壓力與反力錘對工件的平均壓力與反力N*

14、大小相等，方向相反，與錘的重量大小相等，方向相反，與錘的重量G29.4 kN比較，是它的比較，是它的56倍，可見這個力是相當(dāng)大的。倍，可見這個力是相當(dāng)大的。例例5 滑塊滑塊C的質(zhì)量為的質(zhì)量為m19.6 kg ，在力，在力P866 N的作用下沿傾角為的作用下沿傾角為30o的的導(dǎo)桿導(dǎo)桿AB運動。已知力運動。已知力P與導(dǎo)桿與導(dǎo)桿AB之間的夾角為之間的夾角為45o，滑塊與導(dǎo)桿的動摩擦，滑塊與導(dǎo)桿的動摩擦系數(shù)系數(shù)f0.2 ，初瞬時滑塊靜止，求滑塊的速度增大到，初瞬時滑塊靜止，求滑塊的速度增大到v2 m/s 所需的時間。所需的時間。 ABPgmCCNF3045xy解：以滑塊解：以滑塊C為研究對象，建立坐標(biāo)

15、系。為研究對象，建立坐標(biāo)系。由動量定理得由動量定理得0(cos45sin30)(1)mvPmgF t 00(sin45cos30 )(2)CPNmgt 由由(2)式得式得30cos45sinmgPNC)30cos45sin(mgPffNFC代入代入(1)式，求得所需時間為式，求得所需時間為cos45sin30( sin45cos30 )0.0941smvtPmgf Pmg從而摩擦力為從而摩擦力為例6 如圖所示，已知小車重為2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 運動。此時有一重為0.5 kN的鉛球垂直落入沙中后，測得箱在車上滑動0.2 s，不計車與地面摩擦，求箱與車之間的摩擦力

16、。1N2N0vx解：研究系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系。(e)0 xxFpcvgWWWvgWW321021代入已知數(shù)據(jù)，解得v3 m/s設(shè)沙箱滑動結(jié)束后車速為v，則有1N2N1WNFvx再以小車為研究對象，由動量定理有0 xxppFt FtvgWvgW011代入已知數(shù)據(jù)，解得 F0.5 kN1W3W2Wpp0 恒矢量若，則(e)0 xF11.2 動量定理如果作用于質(zhì)點系的外力的主矢恒等于零，質(zhì)點系的動量保持不變。如果作用于質(zhì)點系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，質(zhì)點系的動量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。pxp0 x 恒量11.2.3 質(zhì)點系動量守恒定律Bvrv例例7 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為 m

17、A 的均質(zhì)三棱柱的均質(zhì)三棱柱A在重力作用下沿著質(zhì)量為在重力作用下沿著質(zhì)量為mB的大的大均質(zhì)三棱柱均質(zhì)三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱傾角為的斜面下滑，大三棱柱傾角為q q。設(shè)各處摩擦不計，初始時系。設(shè)各處摩擦不計，初始時系統(tǒng)靜止。求：統(tǒng)靜止。求：(1) B的加速度；的加速度；(2) 地面的支反力。地面的支反力。解：先對系統(tǒng)進行運動分析，建立如圖坐標(biāo)，設(shè)B的速度為vB，A相對B的速度為vr，則rBAvvv于是于是cossinAxrBAyrvvvvvqq ABxyqByqAgmAgmBRx系統(tǒng)受力如圖。因SFx(e)0，且初始系統(tǒng)靜止，有 0)cos()(BrABBvvmvmqcos()(1)ArAB

18、Bm ammaq兩邊對t求導(dǎo)再以A為研究對象，受力如圖，由(e)(e)ddddyxxyppFFtt NAgmAxyNAgmAxyd(cos)sindd(sin )cosdArBArAmvvNtmvNm gtqqqq有有(cos)sin(2)(sin )cos(3)ArBArAmaaNmaNm gqqqq即即 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)式得式得gmmmaBAAB)sin(22sin2qqByqAgmAgmBRx最后以整體為研究對象，得最后以整體為研究對象，得d(sin )dArABm vRm gm gtq()sin()()ABArABBRmmgm ammga tgqq將（將（1）式代

19、入上式則得）式代入上式則得gmgmRamBArAqsin即即 例例8 圖示系統(tǒng)，重物圖示系統(tǒng)，重物A和和B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1、m2。若。若A下降的下降的加速度為加速度為a，滑輪質(zhì)量不計。求支座，滑輪質(zhì)量不計。求支座O的反力。的反力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。設(shè)設(shè)A下降的速度為下降的速度為vA，B上升的速度為上升的速度為vB，則由運動學(xué)關(guān)系得，則由運動學(xué)關(guān)系得ABvv21系統(tǒng)的動量在坐標(biāo)軸上的投影為系統(tǒng)的動量在坐標(biāo)軸上的投影為121210,()2xyABAppm

20、vm vmm v由質(zhì)點系的動量定理由質(zhì)點系的動量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到注意到adtdvA可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a11.3 質(zhì)心運動定理11.3.1 質(zhì)量中心i ii iCimmmMrrriiiiCiiiiiCiiiiiCim xm xxmmm ym yymmm zm zzmm11.3.2 質(zhì)心運動定理(e)d()dCmt vF對于質(zhì)量不變的質(zhì)點系，上式可改寫為或(e)Cm aF質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和(外力的主矢)。(e)ddCmt vF形式上，形式上，質(zhì)心運動定理與質(zhì)點動力學(xué)基

21、本方程完全相似，質(zhì)心運動定理與質(zhì)點動力學(xué)基本方程完全相似，因此質(zhì)心運動定理也可敘述如下：因此質(zhì)心運動定理也可敘述如下：質(zhì)點系質(zhì)心的運動，可以質(zhì)點系質(zhì)心的運動，可以看成一個質(zhì)點的運動，設(shè)想此質(zhì)點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量看成一個質(zhì)點的運動，設(shè)想此質(zhì)點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量及其所受的外力。及其所受的外力。由質(zhì)心運動定理可知，質(zhì)點系的內(nèi)力不影由質(zhì)心運動定理可知，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運動。響質(zhì)心的運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運動。 質(zhì)心運動定理直角坐標(biāo)投影式(e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF 自然軸上的投影式2(e)(e)(e)tnbd,0dCCvvmF

22、mFFt 11.3.2 質(zhì)心運動定理 如果作用于質(zhì)點系的外力主矢恒等于零，則質(zhì)心作勻速直線運動；若系統(tǒng)開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。 如果作用于質(zhì)點系的所有外力在某軸上的投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變；若開始時速度投影等于零，則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。 以上結(jié)論，稱為質(zhì)心運動守恒定理。11.3.3 質(zhì)心運動守恒定理例例11-5 11-5 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄AB長為長為r r, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m1, ,假設(shè)受力偶作用假設(shè)受力偶作用以不變的角速度以不變的角速度轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, ,并帶動滑槽連桿以及與它固連的活并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞塞D, ,如圖所示如圖所示. .滑槽

23、、連桿、活塞總質(zhì)量為滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2, ,質(zhì)心在點質(zhì)心在點C . .在活塞上作用一恒力在活塞上作用一恒力F F . .不計摩擦及滑塊不計摩擦及滑塊B的質(zhì)的質(zhì)量量, ,求求: :作用在曲柄軸作用在曲柄軸A A處的處的最大水平約束力最大水平約束力Fx . .tmmmmrtxaCCxwwcos2dd2121222tmmrFFxwwcos2212212max2mmrFFw顯然顯然,最大水平約束力為最大水平約束力為應(yīng)用質(zhì)心運動定理應(yīng)用質(zhì)心運動定理,解得解得FFammxCx2121211coscos2mmbrmrmxC解解:如圖所示如圖所示 xy例例9 如圖所示，電動機外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定

24、子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為如圖所示，電動機外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心O1，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2 到到O1的距離為的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度w w 轉(zhuǎn)動。求：轉(zhuǎn)動。求： (1) 質(zhì)心運動方程；質(zhì)心運動方程；(2) 基基礎(chǔ)對電機總的水平和鉛垂反力；礎(chǔ)對電機總的水平和鉛垂反力；(3) 若電機沒有螺栓固定，各處摩擦不計，若電機沒有螺栓固定，各處摩擦不計，初始時電機靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度初始時電機靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w w轉(zhuǎn)動時電動機外殼的運動。轉(zhuǎn)動時電動機外殼的運動。解：解：(

25、1) 建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時，建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時，q qw w t，即有，即有11220,0cos,sinxyxetyetww故質(zhì)心運動方程為故質(zhì)心運動方程為212212cossinCCm etxmmm etymmww1O2Oewq (2) 以系統(tǒng)為研究對象以系統(tǒng)為研究對象(e)(e),CxxCyymaFmaF 121212()()CxCymmxFmmyFm gm g22122212cossinCCm extmmm eytmmwwww 222212cossin()xyFmetFmetmm gwwww xygm2gm11O2OewqyFxFOM由質(zhì)心運動定理由質(zhì)心運動定理因因故故得得（3）以

26、系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。）以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。21CCxx在圖示坐標(biāo)下，設(shè)初始時在圖示坐標(biāo)下，設(shè)初始時xC1a，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過過q q，定子向右移動距離，定子向右移動距離s，則，則21212)cos()(mmseamsamxCq所以所以2121)cos()(mmseamsamaq解得解得tmmemmmemswqcoscos212212由此可見，電動機在水平面上作往復(fù)運動。此時由此可見，電動機在水平面上作往復(fù)運動。此時xygm2gm1asNF1O2Oeq由于由于S SFx(e)0 ，所以，所以2min122()NFmmgmew若若 ，則，則 。因此如電動機無螺栓固定，它將會跳起來。因此如電動機無螺栓固定，它將會跳起來。emgmm221)(w0minN 例例10 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 長