材力03第三章扭轉(zhuǎn)

1、31 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 32 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算33 純剪切純剪切34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算3-6 扭轉(zhuǎn)變形能扭轉(zhuǎn)變形能37 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算38 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡(jiǎn)介矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡(jiǎn)介主要內(nèi)容主要內(nèi)容31扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 軸軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)

2、角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（）：直角的改變量。mmOBA實(shí)例：汽車轉(zhuǎn)向軸、機(jī)械傳動(dòng)軸、絲錐等實(shí)例：汽車轉(zhuǎn)向軸、機(jī)械傳動(dòng)軸、絲錐等傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸32 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算一、傳動(dòng)軸的外力偶矩一、傳動(dòng)軸的外力偶矩m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P 功率，馬力（HP） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS3 扭矩的符號(hào)規(guī)定：扭矩的

3、符號(hào)規(guī)定： 二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 1 扭矩扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x把扭矩按右手螺旋法則表示成矢量與外法線方向一直為正與外法線方向相反為負(fù)4 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT例例已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2

4、m3 m1 m4解解：計(jì)算外力偶矩：計(jì)算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmTnA B C Dm2 m3 m1 m4繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險(xiǎn)截面。段為危險(xiǎn)截面。nA B C Dm2 m3 m1 m49.

5、56xT4.786.3733 33 純剪切純剪切 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、一、薄壁圓筒的剪切薄壁圓筒的剪切實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對(duì)外力偶施加一對(duì)外力偶 m m。薄壁圓筒的剪切薄壁圓筒的剪切2.實(shí)驗(yàn)后：實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。3.結(jié)論結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小

6、的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。 acddxbdy 無(wú)正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4. 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：二、薄壁圓筒剪應(yīng)力二、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大小：大?。?tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半徑所作圓的面積。剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理 0故dxdytdxdytmz該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直

7、于兩平面的交線，其然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz剪切虎克定律剪切虎克定律 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（限時(shí)（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。G 式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量， 剪切彈性模量、彈

8、性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：)1 ( 2EG等直圓桿橫截面應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力變形幾何方面變形幾何方面物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無(wú)伸縮；軸向無(wú)伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg1x

9、dd距圓心為距圓心為 任一點(diǎn)處的任一點(diǎn)處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pITOdA4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力

10、偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。 盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp對(duì)于實(shí)心圓截面：DdO對(duì)于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddOd 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕, 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。由公式pGITx dd 知：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l一段桿兩截

11、一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp三. 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面截面的抗扭剛度的抗扭剛度。35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算pIT由知：當(dāng)max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmax一一. .強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：tWTmax對(duì)于實(shí)心圓截面：332016D.DRIWpt對(duì)于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.D

12、RIWpt 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：maxmaxtWT強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實(shí)：433116 16 DDWt二二.剛度條件剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。例例某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑

13、 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解：扭矩如圖 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m由強(qiáng)度條件得：16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td 32 4 GTdIp由剛度條件得：500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm) mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一

14、直徑時(shí) mm851 dd 軸上的軸上的絕對(duì)值絕對(duì)值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)輪應(yīng) 該該換換位。位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時(shí)此時(shí), ,軸的最大直徑才軸的最大直徑才 為為 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.8143-6 扭轉(zhuǎn)變形能扭轉(zhuǎn)變形能 1扭矩作功扭矩作功mW212扭轉(zhuǎn)變形能和能密度扭轉(zhuǎn)變形能和能密度PPPGIlTGIlmGITlmmWU22212122lrtrmlrtmVUu222122121umm37 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算的應(yīng)力和變形計(jì)算 n當(dāng)螺旋角5時(shí)，可近似認(rèn)為簧絲的橫截面與彈簧軸線在同一平面內(nèi)，一般將這種彈簧稱為密圈螺旋彈簧 對(duì)于非圓截面等直桿對(duì)于非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)