TU-4.10 布洛赫電子在恒定磁場中電子的運動-54

1、4.10 布洛赫電子在恒定磁場中的準(zhǔn)經(jīng)典運動4.10 在恒定磁場中電子的運動：在恒定磁場中電子的運動：一. 恒定磁場中的準(zhǔn)經(jīng)典運動二. 自由電子的量子理論三. 霍爾效應(yīng)四. 回旋共振 討論晶體電子在恒定磁場中的運動，是分析晶體許多重要物理效應(yīng)的理論基礎(chǔ)，有兩種方法：準(zhǔn)經(jīng)典近似和求解含磁場的Schrdinger方程，前一方法所得結(jié)果物理圖像清晰，但有一定的局限性。正確地解釋這些現(xiàn)象是能帶論的成功之作，而這些現(xiàn)象也能成為能帶論最有力的實驗證據(jù)。一一. 恒定磁場中的準(zhǔn)經(jīng)典運動恒定磁場中的準(zhǔn)經(jīng)典運動依然沿用準(zhǔn)經(jīng)典運動的兩個基本方程： 只考慮磁場中的行為，公式中沒有電場力，只有Lorentz 力，磁場對

2、電子的作用和電場不同，它不作功不改變電子的能量。該公式表明，在只涉及外力時，晶體動量起著普通動量的作用，我們假定只在z方向有磁場，先在波矢空間下討論Bloch電子的行為。dtdeEk kB Bk kv vF Fk kk kv vk k)()(1)(表明，沿磁場方向k 的分量不隨時間而變，即在k 空間中，電子在垂直于磁場B 的平面內(nèi)運動；又由于Lorentz力不做功， F v ，所以電子的能量E(k)不隨時間而變，即電子在等能面上運動。綜合以上兩點，可以看出： 電子在k 空間中的運動軌跡是垂直于磁場的平面與等能面的交線，即電子在垂直于磁場的等能線上運動。一般情形等能線形狀是很復(fù)雜的。Bkdtdd

3、tdek kB Bk kv v)(也可從公式出發(fā)直接說明此點：上式表明：磁場作用下，電子在k 空間運動，其位移dk 垂直于v 和B 所決定的平面，dk 垂直于B，這意味著電子的軌道處于與磁場垂直的平面內(nèi)，dk 還垂直于v ，因為v 垂直于k 空間的等能面，這意味著dk 處在這個等能面內(nèi)，綜合上述兩點可以確定：電子沿著垂直于磁場的等能線做旋轉(zhuǎn)運動，且對磁場而言是反時針旋轉(zhuǎn)。電子沿等能線運動，電子沿等能線運動，既不從磁場吸收能量既不從磁場吸收能量，也不把能量傳遞給，也不把能量傳遞給磁場，這與電磁學(xué)中磁場，這與電磁學(xué)中電荷和磁場相互作用電荷和磁場相互作用的規(guī)律是一致的。的規(guī)律是一致的。dtedBkv

4、k)()(1)(k kk kv vk kE所以，電子在k 空間中的運動是循環(huán)的，經(jīng)過一段時間后又回到出發(fā)的那一點。按照上式：電子回旋運動周期(推)：v取垂直于磁場的分量?；匦匦\動圓頻率運動圓頻率（Cyclotron frequency)：這里，微分dk 是沿回路周邊取的，一般情況形狀復(fù)雜，constEconstEconstEvkdeBkkddtTconstEcvkdeBT22dtdek kB Bk kv v)(對于自由電子：對于自由電子：有：或：電子的運動軌道為圓，如下圖在等能線上，k const.meBkkmeBvkdeBTconstEc2222)()(BkmedtkdmkkvmkE2)

5、(22k0dtdkkmeBdtdkkmeBdtdkzxyyxmkv)(k磁場作用下自由電子自由電子在k 空間中的運動軌道是圓。其回旋頻率：從前面討論中可以看出：Bloch 電子在磁場中雖然也在做回旋運動，但由于其等能電子在磁場中雖然也在做回旋運動，但由于其等能面的面的復(fù)雜復(fù)雜變化，變化，其其運動軌跡要運動軌跡要復(fù)雜得多復(fù)雜得多，因而，因而其旋頻率其旋頻率的表達(dá)式需要具體積分求出。在能帶底的表達(dá)式需要具體積分求出。在能帶底和能帶頂和能帶頂，情況，情況變得簡單，可以給出類似自由電子的表達(dá)式：變得簡單，可以給出類似自由電子的表達(dá)式：m* 是Bloch 電子的有效質(zhì)量.meBc*meBc由上面自由電子

6、的公式可以給出：磁場沿z 軸方向，有：（推導(dǎo)）在實空間中，沿磁場方向，vz是常數(shù)，即做勻速運動，電子的運動軌跡為一螺旋線。0dtdvvmeBdtdvvmeBdtdvzxyyx實空間中電子的運動圖象：沿磁場方向（實空間中電子的運動圖象：沿磁場方向（z方向），電子作方向），電子作勻速運動勻速運動，在垂直于磁場的平面內(nèi)，電子作勻速圓周運動。在垂直于磁場的平面內(nèi)，電子作勻速圓周運動?；剞D(zhuǎn)頻率：對于晶體中的對于晶體中的電電子子解為.sincos0000constvtvvtvvzyx2220yxvvvmeB0meB0BvFFvemdtd*1在主軸坐標(biāo)系中有若磁場方向取在z軸方向，BBZ，即可寫出其相應(yīng)的準(zhǔn)

7、經(jīng)典運動方程。這與普通物理中的結(jié)果是一致的。zzzyyyxxxFmdtdvFmdtdvFmdtdv*1,1,10*dtdvvmeBdtdvvmeBdtdvzxyyyxx二、自由電子二、自由電子的軌道量子化的軌道量子化在沒有磁場時，自由電子的哈密頓量為：當(dāng)有磁場存在時，電子運動的哈密頓量為A為磁場的矢勢， B = A若磁場B 沿z 方向，則可選取 A = (By, 0, 0)mpH22221ApemH22221zyxppeBypmH由于哈密頓算符中不含x 和z，波函數(shù)可以寫成代入波動方程根據(jù)量子力學(xué)，H 和px、pz 有共同本征態(tài)。設(shè)為其共同本征態(tài)，有zzxxkpkp對易。及與zipxipHxz

8、)()()(yezkxkizxrEH)()(212)(2)(22)(2)(212)()(2120222222222222222222222yyyymymymkEyykeBmeBmymymkEyeBykmymyEykpeBykmczxzxzyx上式是中心位置在y = y0，振動圓頻率為c的線性諧振子。其中meBcxkeBy0mkEz222解為Nn為歸一化因子，Hn(y)為厄密多項式。相應(yīng)的能量本征值為即：根據(jù)量子理論，電子在垂直于磁場平面內(nèi)的根據(jù)量子理論，電子在垂直于磁場平面內(nèi)的勻速圓周運動勻速圓周運動對應(yīng)于一種對應(yīng)于一種簡諧振動，其能量是量子化的。我們將簡諧振動，其能量是量子化的。我們將這種這

9、種量子化的能級稱為朗道能級量子化的能級稱為朗道能級（Landau level）。00002exp)(yymHyymNyynnon, 2 , 1 , 0,21nncn)()(0)(yyenzxizxkkrcznznmkmkE2122)(2222k公式說明沿磁場方向電子保持自由運動，在垂直磁場的x-y平面上，電子運動是量子化的，從準(zhǔn)連續(xù)的變?yōu)椋涸谶@種情況下，電子的能量由準(zhǔn)連續(xù)的能譜變成一維的分立的磁次能帶，每條次能帶都成拋物線形狀，如右圖所示。cn21)(2222yxkkm于是，磁場中的能態(tài)密度曲線和磁場為零時的能態(tài)密度曲線相比發(fā)生了巨大變化，形成了一系列的峰值，相鄰兩峰之間的能量差是 。 能態(tài)密

10、度變化的這種特點深刻地影響了晶體的物理性質(zhì)。 De HaasVanAlphen效應(yīng)就是這效應(yīng)就是這一性質(zhì)的具體反映。一性質(zhì)的具體反映。c4.11 布洛赫電子在相互垂直的電場和磁場中的運動三、霍爾三、霍爾（Hall）效應(yīng)效應(yīng) 將一通電的導(dǎo)體放在磁場中，若磁場方向與電流方向垂直，那么，在第三個方向上會產(chǎn)生電位差，這種現(xiàn)象稱為Hall效應(yīng)。背景知識：背景知識：E.H.Hall在1879年試圖確定磁場對載流導(dǎo)線的作用到底作用于導(dǎo)線上還是（按照現(xiàn)代的說法）作用在導(dǎo)線內(nèi)的電子上面?！癷f the current of electricity in a fixed conductor is itself a

11、ttracted by a magnet, the current should be drawn to one side of the wire, and therefore the resistance experienced should be increased”。Hall沒有測出額外的電阻磁致電阻，但是“The magnet may tend to deflect the current without being able to do so. It is evident that in this case there would exist a state of stress in

12、 the conductor, the electricity pressing, as it were, toward one side of the wire “State of stress”，就是我們現(xiàn)在所熟知的橫向電勢差（ Hall電壓，Hall voltage）我們先采用自由電子模型說明：在如下圖所示配置下，導(dǎo)體中電荷e 受的洛倫茲力：在-y方向產(chǎn)生電場EH，平衡時應(yīng)有：BveFBveEexHBvExH 在外磁場的作用下，原來在-x 方向漂移的電子受到Lorentz力作用發(fā)生向下的偏轉(zhuǎn)，電子積累在晶體下（后）表面，產(chǎn)生凈負(fù)電荷，同時上（前）表面因缺少電子而出現(xiàn)凈正電荷，于是，這些正

13、負(fù)表面電荷形成了霍爾電場。定義： 為霍爾系數(shù)（Hall coefficient）霍爾電場與電流密度和磁場強度乘積成正比，其比例系數(shù)為霍爾系數(shù)。所以霍爾效應(yīng)成為測量晶體電子濃度霍爾效應(yīng)成為測量晶體電子濃度的權(quán)威的權(quán)威方法方法。xxvenj)(BjneExH1neRH1BvExH 測量了很多金屬的霍爾系數(shù)，和自由電子論預(yù)計的理論計算值相符，但也有一些金屬霍爾系數(shù)理論和實驗值不符（見下頁表），甚至符號也相反，存在正電荷導(dǎo)電的判斷已在能帶論中得到解釋。從公式不難看出，載流子濃度越低，Hall系數(shù)就越大，霍爾效應(yīng)就越明顯，因此，霍爾效應(yīng)在半導(dǎo)體的研究和應(yīng)有中有重要價值，由霍爾系數(shù)的測定可以由霍爾系數(shù)的測

14、定可以直接直接確確定半導(dǎo)體中載流子的濃度，它的符號可以確定定半導(dǎo)體中載流子的濃度，它的符號可以確定載流子的類型載流子的類型，是電子導(dǎo)，是電子導(dǎo)電還是空穴導(dǎo)電電還是空穴導(dǎo)電。 半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)也可以用于磁場測量。 當(dāng)晶體中同時有兩種導(dǎo)電載流子存在時，比如能帶有交迭，導(dǎo)電電子存在于上面的能帶，空穴存在于下面的能帶，可以證明其霍爾系數(shù)：其中Ree, ，Rhh分別為電子和空穴各自的霍爾系數(shù)和電導(dǎo)率。顯然霍爾系數(shù)的符號可正可負(fù)，取決于電子和空穴貢獻(xiàn)的相對大小。這就是有些多價金屬（例如Zn,Cd)表現(xiàn)出正霍爾系數(shù)值的原因。222hehheeHRRR 上述磁場輸運過程的討論中有一個推論值得注意，即x方向的電

15、流本身并不受磁場的影響，其電阻與磁場無關(guān)，其原因在于影響x 方向電流的Lorentz 力與霍爾電場力平衡，相互抵消了，使得電子沿水平方向流經(jīng)樣品時，“無視”該磁場的存在。磁致電阻為零。但實磁致電阻為零。但實驗結(jié)果并不是這樣，雖然驗結(jié)果并不是這樣，雖然很多很多金屬的磁致電阻都不大，但并不為零金屬的磁致電阻都不大，但并不為零。一些鐵磁金屬還會有較大的數(shù)值。近十幾年來，發(fā)現(xiàn)了一些磁致電阻特別大的材料，并獲得了巨大應(yīng)用?；魻栃?yīng)和磁致電阻P186霍爾效應(yīng)霍爾效應(yīng)霍爾效應(yīng)雙能帶模型（磁致電阻）低磁場近似高磁場近似磁致電阻磁致電阻開軌道和磁致電阻晶體電子在固定磁場和交變電場的運動行為四、電子四、電子回旋共

16、振（回旋共振（electron cyclotron resonance) 將一晶片垂直置于磁場中，若沿磁場方向輸入一頻率為 的交變電場， 電子做回旋運動，如圖所示：當(dāng) = c時，電子回旋與電場同步，電子吸收電場能量達(dá)到極大，這種現(xiàn)象稱為電子回旋共振電子回旋共振。從量子理論的觀點，電子吸收了電場的能量，相當(dāng)于實現(xiàn)了電子在朗道能級間的躍遷。測量回旋共振的頻率c ，即可算出電子（或空穴）的有效質(zhì)量m*。*meBc 電子電子回旋共振不僅可以測量載流子的有效質(zhì)量回旋共振不僅可以測量載流子的有效質(zhì)量m* ，還可以還可以根據(jù)出根據(jù)出射波的偏振方向來判斷電場的能量是被電子射波的偏振方向來判斷電場的能量是被電子

17、還是被還是被空穴吸收的?？昭ㄎ盏摹?在自由電子情形，可以算出： 當(dāng)B =1KGs 時，fc = 2.8 GHz （千兆赫）屬于微波波段微波波段。根據(jù)回旋共振吸收根據(jù)回旋共振吸收曲線曲線確定出回旋頻率確定出回旋頻率代入代入公式即可計算出公式即可計算出有效有效質(zhì)量，質(zhì)量，其精度取決于交變場頻率和磁場的測量精度。右圖是吸收系數(shù)與頻率關(guān)系圖zBGfccH8 . 22 電子電子回旋共振常被廣泛地用來測定半導(dǎo)體導(dǎo)帶底回旋共振常被廣泛地用來測定半導(dǎo)體導(dǎo)帶底電子電子或價帶頂空穴的或價帶頂空穴的有效質(zhì)量，研究其能帶結(jié)構(gòu)有效質(zhì)量，研究其能帶結(jié)構(gòu)。 在半導(dǎo)體的導(dǎo)帶底或價帶頂附近，其等能面一般為橢球面，在主軸坐標(biāo)系

18、中，有當(dāng)發(fā)生電子回旋共振時，這里，m*為電子回旋共振的有效質(zhì)量，與外加磁場的方向有關(guān)。)(2)(*2*2*22zzyyxxmkmkmkEk*meBc其中，、為磁場在主軸坐標(biāo)系中的方向余弦。 由于電子在運動過程中會受到聲子、晶格缺陷以及雜質(zhì)的散射，因此，為了能觀察到回旋共振現(xiàn)象，必須為了能觀察到回旋共振現(xiàn)象，必須滿足滿足c 1，其中，其中 是電子在相鄰兩次是電子在相鄰兩次碰撞間的平均自由時間碰撞間的平均自由時間。通常。通常，實驗都必須在極低溫度（液，實驗都必須在極低溫度（液He溫度）下，溫度）下，選用高純選用高純的單晶的單晶樣品，以提高樣品，以提高 值，同時加強磁場以提高值，同時加強磁場以提高c

19、 。近年來。近年來，利，利用用紅外激光為交變訊號源，可以觀測到非常清晰的共振線。紅外激光為交變訊號源，可以觀測到非常清晰的共振線。*2*2*2*1zyxzyxmmmmmmm能帶結(jié)構(gòu)的幾種實驗方法介紹性質(zhì)能帶結(jié)構(gòu)的實驗方法從前面的討論中已經(jīng)知道，通過晶體的能帶結(jié)構(gòu)，能夠理解晶體的各種物理性質(zhì)，雖然已經(jīng)有了許多計算晶體能帶的方法，但必須得到實驗的驗證才行。能夠證明晶體中出現(xiàn)能帶的實驗是很多的，且已經(jīng)發(fā)展了多種測定晶體能帶結(jié)構(gòu)的實驗方法，不但有效地驗證了能帶計算模型和方法的符合程度，而且也成為探知晶體能帶結(jié)構(gòu)，理解晶體性質(zhì)的重要手段。能帶實驗研究依然要從晶體的熱、電、磁及光學(xué)性質(zhì)的測量入手，經(jīng)常使用

20、的實驗方法有：電子熱容測量；軟X射線的發(fā)射與吸收；光吸收與磁光吸收；回旋共振與Azbel-Kaner 共振；反常趨膚效應(yīng)；De Hass-van Alphen 效應(yīng)；磁場電效應(yīng)（磁致電阻效應(yīng)）；超聲衰減；磁聲幾何效應(yīng)等。一、軟X 射線的發(fā)射與吸收二、光吸收三、角分辨光電子能譜（ARPES）四、掃描隧道顯微鏡 （略）一. 軟X射線發(fā)射譜： 當(dāng)晶體被一束高能電子轟擊時，低能帶的一些電子被激發(fā)，會留下一些空能級，如果電子從價帶或?qū)淙脒@些空能級，就會發(fā)射出一個軟X射線范圍的光子，記錄下這些光子的能量范圍和強度變化即可探知價帶或?qū)щ娮臃植记闆r。 K：外層電子落入空的1s態(tài)而發(fā)射的X射線； L1：外