計(jì)算方法誤差PPT課件

1、數(shù)值分析數(shù)值分析是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合的 一門(mén)學(xué)科，是利用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和方法，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。 第1頁(yè)/共38頁(yè)現(xiàn)代復(fù)雜工程技術(shù)問(wèn)題的解決步驟工程問(wèn)題上機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)模型結(jié)果分析問(wèn)題解答設(shè)計(jì)算法第2頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值分析涉及的主要內(nèi)容計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算和一些簡(jiǎn)單的函數(shù)計(jì)算（即使函數(shù)也是通過(guò)數(shù)值分析方法處理，轉(zhuǎn)化為四則運(yùn)算而形成的小型軟件包）1.數(shù)值代數(shù)：求解線性方程組和非線性方程組的解法，分直接方法和間接方法 2.插值和數(shù)值逼近。離散的點(diǎn)上的函數(shù)值，想辦法得到點(diǎn)之間的值 3.數(shù)值微分和數(shù)值積分。很多函數(shù)無(wú)法求出積分，利用數(shù)值方法求解 4.常微分方程和偏微分方程的數(shù)值

2、解法 第3頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值分析需要考慮哪些問(wèn)題1.計(jì)算速度 例如：求解一個(gè)20階線性方程組，20個(gè)未知量，用加減消原法需3000次乘法運(yùn)算，用行列式求解需進(jìn)行9.7*1020次運(yùn)算，如果用每秒1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬(wàn)年。 說(shuō)明了算法方法的重要性2. 存儲(chǔ)量。大型問(wèn)題有必要考慮 例如算法所需要保留的中間結(jié)果比較少，則可以省下為保留中間結(jié)果所需要的額外的存儲(chǔ)空間。第4頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值分析需要考慮哪些問(wèn)題3.數(shù)值穩(wěn)定性 在大量計(jì)算中，舍入誤差是積累還是能控制，這與算法有關(guān)。例：一元二次方程 299(101)100 xx其精確解為91210 ,1xx如用求根公式：21,242bbacxa 和字長(zhǎng)

3、為8位的計(jì)算器求解，有21891894104 101010bac 又9910110 ; 則9999912( 10 ) 10( 10 ) 1010 ,022xx 第5頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值分析需要考慮哪些問(wèn)題 2x 的值與精確解有天壤之別。若22299942242 101( 10 ) 10bbaccxabbac 與精確解相等第6頁(yè)/共38頁(yè)誤差的來(lái)源和基本概念誤差的來(lái)源1.模型誤差：在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中，不可能將所有因素都考慮，必然要進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，帶來(lái)了與實(shí)際問(wèn)題的誤差。不是數(shù)值方法考慮的問(wèn)題 2.測(cè)量誤差：測(cè)量已知參數(shù)時(shí)，數(shù)據(jù)帶來(lái)的誤差。也不是數(shù)值方法考慮的問(wèn)題 3.截?cái)嗾`差：在設(shè)計(jì)算法時(shí)，必然要

4、近似處理，尋求簡(jiǎn)化。這是計(jì)算數(shù)學(xué)考慮問(wèn)題 4.舍入誤差：計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的，每一步運(yùn)算均需四舍五入，由此產(chǎn)生的誤差稱(chēng)舍入誤差。 數(shù)值分析主要討論截?cái)嗾`差。測(cè)量誤差看成初始的舍入誤差，數(shù)值分析也要從整體上討論舍入誤差的影響 第7頁(yè)/共38頁(yè)誤差的基本概念 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限 X*是精確值，x是它的一個(gè)近似值，稱(chēng)e=x-x*是近似值x的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。絕對(duì)誤差可正可負(fù)，是有量綱的。誤差是無(wú)法計(jì)算的，但可以估計(jì)出它的一個(gè)上界。即 ：*,xxx稱(chēng) 是近似值 的誤差限*xxx即第8頁(yè)/共38頁(yè)例如： 有毫米刻度的尺子， 讀出的近似值的誤差，不會(huì)超過(guò)毫米的一半（半個(gè)毫米） 。 讀出 35 毫米代表

5、 34.5 到 35.5 之間。誤差是半個(gè)毫米，誤差限是末位的半個(gè)單位。 第9頁(yè)/共38頁(yè)相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限 相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限*exxxxx稱(chēng)為相近似值 的對(duì)誤差，記作re相對(duì)誤差是個(gè)相對(duì)數(shù)，是無(wú)量綱的，也可正可負(fù)。相對(duì)誤差的估計(jì)rrer相稱(chēng) 為對(duì)誤差限，即：*rxxxx實(shí)際計(jì)算中，x*未知，用x代替，兩者的差為： 222*rxxxxxxxx xx x 第10頁(yè)/共38頁(yè)例：用 3.14 作為的近似值，求其相對(duì)誤差。 解：四舍五入的近似值 3.14 的絕對(duì)誤差 限21102， 相 對(duì) 誤 差211020.159%3.14rx 第11頁(yè)/共38頁(yè)9.80,980gg22米 秒厘米 秒29.

6、800.5 10g2米 秒9800.5g 2厘米 秒例：重力加速度常數(shù)g。兩者均有三位有效數(shù)字后者的絕對(duì)誤差大，而相對(duì)誤差分別為20.5 100.59.80980和兩者相等，與量綱的選取無(wú)關(guān)第12頁(yè)/共38頁(yè)有效數(shù)字 若近似值x的絕對(duì)誤差限是某一位數(shù)的半個(gè)單位，則說(shuō) x 精確到該位，若從該位到 x的左面第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱(chēng)近似值x有n位有效數(shù)字。第13頁(yè)/共38頁(yè)0.005誤差限3.1415926535,60.5 10例：3.14有三位有效數(shù)字；3.1416有五位有效數(shù)字，誤差限為0.00005又例：0.003529是四位有效數(shù)字，0.00352900是六位有效數(shù)字。前者的誤差限為，

7、后者為80.5 10，寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)為：220.3529 100.352900 10，第14頁(yè)/共38頁(yè)1210.10 ,01290.mlnixa aaaaa為數(shù)字 ， ， ， ， ，1,laa是有效的。當(dāng)其中，有效數(shù)字的個(gè)數(shù)是l,即*0.5 10m lexx則第15頁(yè)/共38頁(yè)有效數(shù)字：由絕對(duì)誤差決定定義定義 設(shè)x*的近似值12x0.10mnx xx ，10 x ，若x的絕對(duì)誤差nm*x-x1021 則稱(chēng)近似值x為*x的有n位有效數(shù)字的近似值。 其中12,nx xx是x的有效數(shù)字。近似值x具有n位有效數(shù)字，它準(zhǔn)確到第n位。 第16頁(yè)/共38頁(yè)例：求 3.142 和 3.141 作為圓周率的

8、近似值有幾位有效數(shù)字。 解：313.1420.0004070.0005102，1m， 3,4mnn 。有 4 位有效數(shù)字。 213.1410.000590.005102，1m， 2,3mnn 。有 3 位有效數(shù)字。 第17頁(yè)/共38頁(yè)例： 以722作為圓周率的近似值有幾位有效數(shù)字。 解解:7223.142857， 3.141592。 2102100126. 0722。因?yàn)?m=1，m-n=-2 ，所以 n=3，有 3 位有效數(shù)字。 第18頁(yè)/共38頁(yè)有效數(shù)字與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差限、 相對(duì)誤差限、 有效數(shù)字三者關(guān)系。 和 n 的關(guān)系 1102m n 和r的關(guān)系 rx n 和r的關(guān)系有兩個(gè)定理。 第

9、19頁(yè)/共38頁(yè)定理 1： 若近似數(shù)120.10mnxx xx 具有 n 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限 (1)11102nrx 證 因120.10mnxx xx ，有1110mxx， 又，x有 n 位有效數(shù)字，即1*102m nxx，因此 (1)111110*1210*102m nnrmxxexxx，即(1)11102nrx 此定理說(shuō)明，相對(duì)誤差限是由有效數(shù)字決定。第20頁(yè)/共38頁(yè)例：用 3.14 作為的近似值，求其相對(duì)誤差。 解：四舍五入的近似值各位都是有效數(shù)字，即 n=3,由定理 (3 1)1100.17%2 3r 和前例比較，思考結(jié)果不同的原因。 第21頁(yè)/共38頁(yè)已知近似數(shù)x有兩位有效

10、數(shù)字，求其相對(duì)誤差限。 解解 因 n=2, (1)11102nrx第 1 位1x未給出， 11x (1)(1)11110105%22 1nnrx 91x (1)(1)11110100.56%229nnrx， 取 5%r。 第22頁(yè)/共38頁(yè)定理 2 若近似數(shù)12x0.10mnx xx ，的相對(duì)誤差限 (1)11102(1)nrx 則它至少具有n位有效數(shù)字。 證 12x0.10mnx xx 有11(1) 10mxx 則 xxxxxx(1)1111110(1)10102(1)2nmm nxx， 即它至少具有n位有效數(shù)字。 第23頁(yè)/共38頁(yè)例 已知近似數(shù)x的相對(duì)誤差限為0.25%， 問(wèn)x至少有幾位

11、有效數(shù)字？ 解解 由0.25%r，根據(jù)定理，有 (1)110.25%102(1)nx x1的取值范圍是 1 到 9，由于x1未給出，取 x1=1，n= 3 x1=9，n=2 按最不利情況，x至少有 2 位有效數(shù)字。 第24頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播1. 對(duì)函數(shù)的計(jì)算：22*( ( )( )( *),( )1( ( )( )(*)( )(*)21( ( )( )( )( )( )2( ( )( )( )xxe f xf xf xf xe f xfx xxfxxe f xfxe xfexe f xfxe x設(shè) 是的近似值。如果可微,由泰勒公式得:故：忽略高項(xiàng)階后可以得：第25頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值

12、計(jì)算中誤差的傳播2. 對(duì)多元函數(shù)的計(jì)算：1212*1212121( ,),( ,)( ( ,)()nnnnnnkkkf x xxx xxx xxf x xxf x xxxx對(duì)多元函數(shù)若分別是的近似值，則第26頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播3. 四則運(yùn)算中誤差的傳播：121212122112211222()()();()()()()()xxxxx xxxxxxxxxxxx第27頁(yè)/共38頁(yè)證明第二條如下：*1212121212*122211*121222111221()()()()()()e x xx xx xx xx xx xxx xxe x xx xxxxxxxxx第28頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值計(jì)

13、算中的若干準(zhǔn)則1. 關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法 一個(gè)程序往往需要進(jìn)行大量的四則運(yùn)算才能得出結(jié)果，每一步的運(yùn)算均會(huì)產(chǎn)生舍入誤差。在運(yùn)算過(guò)程中，舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法稱(chēng)之為數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則就稱(chēng)之為不穩(wěn)定的算法。第29頁(yè)/共38頁(yè)110110010213243546576870,1,2,1,1.0.632110.3679,1 20.26421 30.2074,1 40.17041 40.1480,1 50.11201 60.2160,1 70.72nxnnnIex e dxnInIIeIIIIIIIIIIIIIIIII 例：，用分部積分公式得遞推式：用四位有效數(shù)字計(jì)算：80第30頁(yè)/共38頁(yè)

1404600.12500.04090.11110.5 1040320 ,4neInnIIIeIee可以估計(jì)出：故：這是由于如果 有誤差不計(jì)中間再產(chǎn)生的舍入誤差，該誤差隨著計(jì)算過(guò)程分別乘以2,3, ,7,8，到 時(shí)已經(jīng)變成8!誤差擴(kuò)大了 萬(wàn)倍，因?yàn)樵撍惴ú环€(wěn)定第31頁(yè)/共38頁(yè)17650701(1),0.1124,0.6321,117!5040nnIIInIIIIeIee如果遞推式改為由逐步計(jì)算直到。計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，如果 有誤差 其傳播到所引起的誤差僅為，故該算法穩(wěn)定第32頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值計(jì)算中的若干準(zhǔn)則22511.759760110.1318 100.1316 1

15、00.2 10759760例：用四位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算解：結(jié)果只有一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成相對(duì)誤差擴(kuò)大。這是由兩個(gè)比較接近的數(shù)相減造成的5611110.1734 10759760759 7600.5768 10結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說(shuō)明算法設(shè)計(jì)的重要性2. 注意避免兩個(gè)相近數(shù)的減法第33頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值計(jì)算中的若干準(zhǔn)則255x255248163264128xxx x x x x x x3. 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)例：計(jì)算 的值。 只需14次乘法。100111)111()1(11000110001 nnnnnn又如：第34頁(yè)/共38頁(yè)采用“秦九韶算法”0111)(axaxaxaxpnnnnn 0121)()(axaxaxaxaxpnnnn 例：計(jì)算多項(xiàng)式只需n次乘法和n次加法。01 1 2nkknkuauuxak,n一般要注意，能在循環(huán)外計(jì)算就不要放在循環(huán)內(nèi)計(jì)算第35頁(yè)/共38頁(yè)數(shù)值計(jì)算中的若干準(zhǔn)則4. 避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值377311