武漢理工大學《流體力學》課件3流體運動學和動力學基礎1

1、動力學基礎動力學基礎流體力學基本方程流體力學基本方程 動量矩方程動量矩方程 能量方程能量方程第三章第三章 流體運動學和動力學基礎流體運動學和動力學基礎 3.1 研究流體運動的兩種方法 3.2 流體運動的基本概念 3.3 控制體與輸運公式 3.4 連續(xù)方程 3.5 動量方程和動量矩方程 3.6 伯努利能量方程及其應用 幾幾 個個 概概 念念1、流體運動學：從幾何學的觀點來研究流體運動所、流體運動學：從幾何學的觀點來研究流體運動所 遵循規(guī)律的流體力學分支。遵循規(guī)律的流體力學分支。2、流、流 場：流體運動所占據(jù)的空間；用歐拉法描場：流體運動所占據(jù)的空間；用歐拉法描 述的流體質(zhì)點運動，其流速、壓強等述

2、的流體質(zhì)點運動，其流速、壓強等 函數(shù)定義在時間和空間點坐標場上的函數(shù)定義在時間和空間點坐標場上的 流速場、壓力場等的總稱。流速場、壓力場等的總稱。3.1 研究流體運動的兩種方法描述流體運動就是表達流動參數(shù)在空間不同位置上隨時描述流體運動就是表達流動參數(shù)在空間不同位置上隨時間連續(xù)變化的規(guī)律。間連續(xù)變化的規(guī)律。流動參數(shù)：表征流體運動的主要物理量統(tǒng)稱為流體的流流動參數(shù)：表征流體運動的主要物理量統(tǒng)稱為流體的流動參數(shù)。包括：流動速度動參數(shù)。包括：流動速度u u、壓力、壓力P P 、位移、位移(x,y,z)(x,y,z)、密、密度、動量、動能等。度、動量、動能等。描述流體運動是從著眼于研究流體質(zhì)點的運動，

3、還是著描述流體運動是從著眼于研究流體質(zhì)點的運動，還是著眼于研究流場空間點上流動參數(shù)的變化出發(fā)，可分為：眼于研究流場空間點上流動參數(shù)的變化出發(fā)，可分為：拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）法和法和歐拉（歐拉（EulerEuler）法。法。 液體運動有兩個特征。一個是液體運動有兩個特征。一個是“多多”，即液體是由眾多質(zhì)點組成的連續(xù)介質(zhì)；另一即液體是由眾多質(zhì)點組成的連續(xù)介質(zhì)；另一個是個是“不同不同”，即不同液體質(zhì)點的運動規(guī)律，即不同液體質(zhì)點的運動規(guī)律各不相同。各不相同。 因此，液體運動的描述方法與理因此，液體運動的描述方法與理論力學中剛體運動的描述方法就不可能論力學中剛體運動的描述

4、方法就不可能相同。那么，這就給液體運動的描述帶相同。那么，這就給液體運動的描述帶來了困難。來了困難。 怎樣描述整個液體的運動規(guī)律呢？怎樣描述整個液體的運動規(guī)律呢？拉格朗日法拉格朗日法: 質(zhì)點系法質(zhì)點系法 以液體質(zhì)點作為研究對象，跟蹤所以液體質(zhì)點作為研究對象，跟蹤所有質(zhì)點，描述其運動過程，即可獲得有質(zhì)點，描述其運動過程，即可獲得整個液體運動的規(guī)律。整個液體運動的規(guī)律。 圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 設某一液體質(zhì)點設某一液體質(zhì)點 在在 t = t0 占據(jù)起始坐標（占據(jù)起始坐標（a，b，c） （a，b，c，t0） 圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOa

5、xbyzct0tMt0 ：質(zhì)點占據(jù)起始坐標：質(zhì)點占據(jù)起始坐標： （a，b，c）t ： 質(zhì)點運動到空間坐標：質(zhì)點運動到空間坐標： （x，y，z）（a，b，c，t0） （x，y，z，t） 圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 跟蹤這個液體質(zhì)點，跟蹤這個液體質(zhì)點，得到其運動規(guī)律為得到其運動規(guī)律為 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 改變液體質(zhì)點的初始坐標（改變液體質(zhì)點的初始坐標（a，b，c)，并跟蹤這，并跟蹤這個液體質(zhì)點，就可得到另一個液體質(zhì)點的運動規(guī)律。個液體質(zhì)點，就可得到另一個液

6、體質(zhì)點的運動規(guī)律。圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 這樣就得到液體整體的運動規(guī)律。這樣就得到液體整體的運動規(guī)律。反復改變液體反復改變液體質(zhì)點的初始坐質(zhì)點的初始坐標（標（a，b，c)，并跟蹤不同液并跟蹤不同液體質(zhì)點，就可體質(zhì)點，就可得到不同液體得到不同液體質(zhì)點的運動規(guī)質(zhì)點的運動規(guī)律，律，圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 現(xiàn)在看看數(shù)學上怎么能做到這一點現(xiàn)在看看數(shù)學上怎么能做到這一點 。 （a，b，c，t）= 拉格朗日變數(shù)拉格朗日變數(shù) ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zx

7、yOaxbyzct0tM ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM （a，b，c） 對應液體微團對應液體微團 或液體質(zhì)點起始坐標或液體質(zhì)點起始坐標圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM給定（給定（a，b，c），）， 該質(zhì)點軌跡方程該質(zhì)點軌跡方程不同（不同（a，b，c），）， 不同質(zhì)點軌跡方程不同質(zhì)點軌跡方程 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx圖圖3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tM 因此，用這個公式就可描述液體因此，用這個公式就可描述液體

8、所有液體質(zhì)點的運動軌跡。所有液體質(zhì)點的運動軌跡。 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx 上式對上式對t 求導，得到液體質(zhì)點的速度求導，得到液體質(zhì)點的速度xyzx a b c tutxx a b c ty a b c tyy a b c tuttzz a b c tz a b c tutd ( , , , )d( , , , )dd ( , , , )( , , , )dd( , , , )d ( , , , )d xyzxxyyzx a b c tutxx(a b c t )y a b c tyy(a b c t ) utdtz z(a b c t )z a b c tut

9、x a b c tx a b c tautty a b c ty a buattz a b c tut222d ( , , , )d, , ,dd ( , , , ), , ,d, , ,d ( , , , )dd( , , , )d ( , , , )dddd ( , , , )d( ,ddd ( , , , )d zc ttz a b c tat222, , )dd( , , , )d 速度對速度對 t 求導，得到液體質(zhì)點的加速度求導，得到液體質(zhì)點的加速度 222222),(),(),(),(),(),(),(),(),( ),( ),(),(dttcbazdadttcbaydadttcb

10、axdadttcbadzudttcbadyudttcbadxudtddttcbadzudttcbadyudttcbadxutcbazztcbayytcbaxxdtdzyxzyxzyx 222222dttcbazdadttcbaydadttcbaxdadttcbadzudttcbadyudttcbadxutcbazztcbayytcbaxxzyxzyx),(),(),(),(),(),( ),( ),(),( 因此，用這些方程就能描述所有液體質(zhì)點的運動因此，用這些方程就能描述所有液體質(zhì)點的運動（軌跡、速度和加速度），也就知道了液體整體的（軌跡、速度和加速度），也就知道了液體整體的運動。運動。 問

11、題問題 l 每個液體質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點每個液體質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點l 數(shù)學上存在難以克服的困難數(shù)學上存在難以克服的困難l 實用上不需要知道每個質(zhì)點的運動情況實用上不需要知道每個質(zhì)點的運動情況 points fluid limited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx 問題問題 l 每個液體質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點每個液體質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點l 數(shù)學上存在難以克服的困難數(shù)學上存在難以克服的困難l 實用上不需要知道每個質(zhì)點的運動情況實用上不需要知道每個質(zhì)點的運動情況 points fluid li

12、mited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx 問題問題 l 每個液體質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點每個液體質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點l 數(shù)學上存在難以克服的困難數(shù)學上存在難以克服的困難l 實用上不需要知道每個質(zhì)點的運動情況實用上不需要知道每個質(zhì)點的運動情況例如：水從管中以怎樣的速度流出，風經(jīng)過門窗等等，只要知道一定地點（水例如：水從管中以怎樣的速度流出，風經(jīng)過門窗等等，只要知道一定地點（水龍頭處）一定斷面（門窗洞口斷面），而不需要了解某一質(zhì)點，龍頭處）一定斷面（門窗洞口斷面），而不需要了解某一質(zhì)點， 或某一流或某一流體集團的全部流動過程體

13、集團的全部流動過程 points fluid limited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx 問題問題 l 每個液體質(zhì)點的運動規(guī)律都不每個液體質(zhì)點的運動規(guī)律都不 同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點。同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點。l 數(shù)學上存在難以克服的困難。數(shù)學上存在難以克服的困難。l 實用上不需要知道每個質(zhì)點運實用上不需要知道每個質(zhì)點運 動情況，只需要知道關鍵之處。動情況，只需要知道關鍵之處。 points fluid limited ),( ),( ),(),( cbatcbazztcbayytcbaxx質(zhì)點太多質(zhì)點太多 做不到做不到 ！數(shù)學上困難數(shù)學上困難 做不到

14、做不到 ！實用上實用上 不必要！不必要！ 一般不用這個方法描述液體的運動，一般不用這個方法描述液體的運動，但對于一些特殊問題，要用這個方法，如但對于一些特殊問題，要用這個方法，如波浪運動、波浪運動、PIV測速（粒子成像測速）等。測速（粒子成像測速）等。歐拉法：歐拉法：流場法流場法核心是核心是研究運動要素的空間分布場研究運動要素的空間分布場 設一些固定空間點，其坐標為（設一些固定空間點，其坐標為（x, y, z)。 xz空間固定點空間固定點O 考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運動情考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運動情況，以此了解整個流動在空間的分布。況，以此了解整個流動在空間的分布

15、。 xz空間固定點空間固定點O 考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運動情考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運動情況。這句話包含兩層意思：況。這句話包含兩層意思： xz空間固定點空間固定點O “考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運動情況動情況”這句話，包含兩層意思：這句話，包含兩層意思：研究同一時刻研究同一時刻t1、不同固定點（、不同固定點（x，y，z）上液體質(zhì)）上液體質(zhì)點的運動，將各固定點的運動信息綜合，了解該時點的運動，將各固定點的運動信息綜合，了解該時刻流場。刻流場。xz空間固定點空間固定點Ot1 時刻時刻 “考察不同固定點上、不同液體質(zhì)

16、點通過時的運動情考察不同固定點上、不同液體質(zhì)點通過時的運動情況況”這句話，包含兩層意思：這句話，包含兩層意思：2. 研究不同時刻的流場，得到不同時刻的流場，如圖所研究不同時刻的流場，得到不同時刻的流場，如圖所示。再將各時刻流場疊加，就可知道各所有固定點在不示。再將各時刻流場疊加，就可知道各所有固定點在不同時刻、不同質(zhì)點通過時的流動參數(shù)，也就知道了流動同時刻、不同質(zhì)點通過時的流動參數(shù)，也就知道了流動中各質(zhì)點的運動軌跡。中各質(zhì)點的運動軌跡。xz空間固定點空間固定點Ot2 ， t3， t4 歐拉法：相當于在流場中設置許多固定觀察點歐拉法：相當于在流場中設置許多固定觀察點（x，y，z），對于液體運動的

17、分析可分為），對于液體運動的分析可分為（1）流場）流場（2）流場隨時間變化）流場隨時間變化 通過（通過（1）和（）和（2）綜合，可得液體運動的信息。）綜合，可得液體運動的信息。 歐拉法把任何一個運動要素表示為歐拉法把任何一個運動要素表示為空間坐標（空間坐標（x，y，z）和時間）和時間t 的函數(shù)。的函數(shù)。 液體質(zhì)點在液體質(zhì)點在t 時刻，通過任意空間固定點時刻，通過任意空間固定點 (x, y, z) 時的流速為時的流速為 ttzyxzuttzyxyuttzyxxuzyxd),(dd),(dd),(d式中，式中， (x, y, z, t ) : 歐拉變數(shù)歐拉變數(shù) (ux uy uz) : 通過固定點

18、的流速分量通過固定點的流速分量(a, b, c) : 質(zhì)點起始坐標質(zhì)點起始坐標 t : 任意時刻任意時刻(x, y, z) : 質(zhì)點運動的位置坐標質(zhì)點運動的位置坐標(a, b, c , t ) : 拉格朗日變數(shù)拉格朗日變數(shù)(x, y, z) : 空間固定點（不動）空間固定點（不動） t : 任意時刻任意時刻(x, y, z , t ) : 歐拉變數(shù)歐拉變數(shù)拉格朗日法拉格朗日法歐拉法歐拉法(a, b, c) : 質(zhì)點起始坐標質(zhì)點起始坐標 t : 任意時刻任意時刻 任意時刻任意時刻(x, y, z) : 質(zhì)點運動軌跡坐標質(zhì)點運動軌跡坐標 空間固定點（不動）空間固定點（不動）拉格朗日法拉格朗日法歐拉

19、法歐拉法 t = t0 給定時刻，（給定時刻，（x，y，z） 變數(shù)變數(shù) 同一時刻，不同空間點上液體質(zhì)點的流速分同一時刻，不同空間點上液體質(zhì)點的流速分布，即流場。布，即流場。 歐拉法歐拉法（x，y，z） 給定點，給定點，t 變數(shù)變數(shù) 不同液體質(zhì)點通過給定空間點的流速變化，流場不同液體質(zhì)點通過給定空間點的流速變化，流場隨時間的變化。隨時間的變化。歐拉法歐拉法 液體質(zhì)點通過任意空間坐標時的加流速液體質(zhì)點通過任意空間坐標時的加流速式中，式中， (ax , ay , az) 為通過空間點的加速度分量為通過空間點的加速度分量 ttzyxuattzyxuattzyxuazzyyxxd),(dd),(dd),

20、(d任一物理量任一物理量, 如壓強、密度，用歐拉法表示為如壓強、密度，用歐拉法表示為 ),(),(tzyxtzyxpp 一維流動，一維流動， 則則 ),(),(tspptsuu 從歐拉法來看，同一時刻不同空間位置上的流從歐拉法來看，同一時刻不同空間位置上的流速可以不同；同一空間點上，因時間先后不同，流速可以不同；同一空間點上，因時間先后不同，流速也可不同。因此，加速度分為速也可不同。因此，加速度分為 l 遷移加速度（位變加速度）遷移加速度（位變加速度）l 當?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）當?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）HABCD若若H H不變不變, , 則有則有 / / t=0t=0，即，即流動恒定流動恒定,

21、 , 或或定常流動定常流動, , 對等截面對等截面(A(A與與B), B), 位變導數(shù)為零位變導數(shù)為零, , 對非等截面對非等截面(C(C與與D), D), 位變導數(shù)一般不為零。位變導數(shù)一般不為零。若若H H是變化的是變化的, , 則則 / / t t不為零即不為零即非恒定流動非恒定流動, , 或或非定非定常流動，常流動，而對于位變導數(shù)而對于位變導數(shù), , 與上述結(jié)論相同。與上述結(jié)論相同。 利用復合函數(shù)求導法，將（利用復合函數(shù)求導法，將（x,y,z）看成是時間看成是時間 t 的函數(shù)，則的函數(shù)，則 zuuyuuxuutut) t , z , y, x(uazuuyuuxuutut) t , z

22、, y, x(uazuuyuuxuutut) t , z , y, x(uazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxdddddd從數(shù)學上分析，利用復合函數(shù)求導的方從數(shù)學上分析，利用復合函數(shù)求導的方法，將法，將（x,y,z）看成是時間看成是時間t的函數(shù)，則的函數(shù)，則有加速度分量的表達式有加速度分量的表達式 zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuux

23、uututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 時變加速度分量（三項）時變加速度分量（三項） 位變加速度分量（九項）位變加速度分量（九項）l 遷移加速度（位變加速度）遷移加速度（位變加速度） 同一時刻，不同空間點上流速不同，而同一時刻，不同空間點上流速不同，而產(chǎn)生的加速度。產(chǎn)生的加速度。l 當?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）當?shù)丶铀俣龋〞r變加速度） 同一空間點，不同時刻，流速不同，而同一空間點，不同時刻，流速不同，而產(chǎn)生的加速度。產(chǎn)生的加速度。xy0(8,6)例例3.1.1 質(zhì)點沿直線以速度質(zhì)點沿直線以速度V=3 (m/s)運動運動, 求質(zhì)點在

24、求質(zhì)點在(8,6)點的加速度點的加速度 22yx u=Vcos=3 =3xv=3y2222yxxyxax= u/ t+u u/ x+v u/ y=0+3x3+3y0=9x=72m/s2ay= v/ t+u v/ x+v v/ y=0+3y0+3y3=9y=54m/s2 22222/905472smaaayx解解:kzjyiyxV2223例例3.1.2 試求點試求點 (1, 2 , 3) 處流體加速度的三個分量處流體加速度的三個分量xduuuuuauvwdttxyz解解:ax= 0+x2y(2xy)-3y(x2)+2z2(0) = 2x3y2-3x2y = 2zvwyvvxvutvayay= 0

25、+x2y(0)-3y(-3)+2z2(0) = 9y = 18zwwywvxwutwazaz= 0+x2y(0) 3y(0) +2z2(4z) = 8z3 = 216 3.2 流體運動的基本概念流體運動的基本概念一一. .定常流動和非定常流動定常流動和非定常流動 流體運動過程中，若各空間點上對應的物理量不隨時間流體運動過程中，若各空間點上對應的物理量不隨時間而變化，這些物理量僅為空間點（而變化，這些物理量僅為空間點（x,y,zx,y,z）的函數(shù)，則稱此流）的函數(shù)，則稱此流動為定常流動，反之為非定常流動。動為定常流動，反之為非定常流動。二二. .均勻流動和非均勻流動均勻流動和非均勻流動 流體運動

26、過程中，若所有物理量皆不隨空間點坐標而變，流體運動過程中，若所有物理量皆不隨空間點坐標而變，這些物理量僅為時間這些物理量僅為時間t t的函數(shù)，則稱此流動為均勻流動，反之的函數(shù)，則稱此流動為均勻流動，反之為非均勻流動。為非均勻流動。四四. .跡線與流線跡線與流線 跡線跡線跡線是流體質(zhì)點在空間運動時描繪的軌跡。它給出了同一流體質(zhì)點在不同時刻的空間位置。跡線是流體質(zhì)點在空間運動時描繪的軌跡。它給出了同一流體質(zhì)點在不同時刻的空間位置。跡線的拉格朗日表示式跡線的拉格朗日表示式 跡線的歐拉表示式跡線的歐拉表示式或式中式中t t為自變量，為自變量，x,y,zx,y,z均為均為t t的函數(shù)。的函數(shù)。跡線的特點

27、：跡線的特點： 跡線是流場中實際存在的跡線是流場中實際存在的 跡線具有持續(xù)性（跡線具有持續(xù)性（t t是自變量）是自變量）流線流線 流線是指某一瞬時流場中一組假想的曲線，曲線上每一點流線是指某一瞬時流場中一組假想的曲線，曲線上每一點的切線都與速度矢量相重合。的切線都與速度矢量相重合。0kdxvdyvjdzvdxvidyvdzvsdvyxxzzy0 sdv由流線定義可推出流線的微分方由流線定義可推出流線的微分方程：空間點的速度與流線相切，程：空間點的速度與流線相切，即空間點的速度矢量即空間點的速度矢量v v與流線上微與流線上微元弧矢量元弧矢量dsds的矢量積為零。的矢量積為零。所以：所以：000d

28、xvdyvdzvdxvdyvdzvyxxzzyzyxvdzvdyvdx即：即： 上式即為流線微分方程。因為流體中一點不能同時有兩個上式即為流線微分方程。因為流體中一點不能同時有兩個速度方向，流線除在繞流中的駐點等特殊情況外，流線不速度方向，流線除在繞流中的駐點等特殊情況外，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折，只能是光滑曲線。能相交，也不能轉(zhuǎn)折，只能是光滑曲線。流線的特點：流線的特點： l 流線是假想的線流線是假想的線 l 流線具有瞬時性（流線具有瞬時性（t t是參數(shù)）是參數(shù)）l 在定常流場中流線與跡線重合在定常流場中流線與跡線重合zyxvdzvdyvdx例例3.2.1 已知流場速度為已知流場速度為 0,

29、2,22222wyxyqvyxxqu其中其中q為常數(shù)為常數(shù), 求流線方程。求流線方程。222222yxyqdyyxxqdxdx/x=dy/y 積分積分 lnx=lny+c, 即即 y=cx為平面點源流動。為平面點源流動。解解:例例3.2.2: 已知平面流場速度分布為已知平面流場速度分布為 u = 2yt+t3 v = 2xt 求時刻求時刻 t = 2 過點過點 (0,1) 的流線的流線解解:xtdytytdx2232x dx = 2ydy +t2dy t作為參量作為參量(常數(shù)常數(shù))處理處理積分積分 有有 x2 y2 = t2y +C 將將 t=2, x=0 , y=1 代入代入 得得 C =

30、-5所以有所以有 x2 y2 4y +5 =0五五. .流管和流束、流量、當量直徑流管和流束、流量、當量直徑流管流管：在流場中通過一任意的非流線的封閉曲線上每一點作流線所圍成的在流場中通過一任意的非流線的封閉曲線上每一點作流線所圍成的管狀面管狀面流管的特點：流管的特點： 具有流線的所有特點；具有流線的所有特點； 在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道。在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道。流束流束：流管內(nèi)的流體?？煽醋鳠o數(shù)流線的集束。：流管內(nèi)的流體。可看作無數(shù)流線的集束。當流束內(nèi)所有流線均相互平行時稱為當流束內(nèi)所有流線均相互平行時稱為平行流平行流；雖不完全平行，但流線；雖不完全平行，但流線之

31、間夾角很小時稱為之間夾角很小時稱為緩變流緩變流。處處與流線垂直的截面稱為。處處與流線垂直的截面稱為有效截面有效截面，平行流和緩變流的有效截面是平面。平行流和緩變流的有效截面是平面。有效截面為無限小的流束稱為有效截面為無限小的流束稱為微元流束微元流束；所有微元流束之總和稱為；所有微元流束之總和稱為總總流流。工程上常將管道或渠道壁所圍的流體流動稱為。工程上常將管道或渠道壁所圍的流體流動稱為總流總流。 流量：流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體量稱為流量。流體單位時間內(nèi)通過有效截面的流體量稱為流量。流體量可以用體積、質(zhì)量和重量表示，其相應的流量分別是體量可以用體積、質(zhì)量和重量表示，其相應的流量分別是體

32、積流量積流量q qv v（由于體積流量使用較多，故簡寫為（由于體積流量使用較多，故簡寫為q q） 、質(zhì)量、質(zhì)量流量流量q qm m和重量流量和重量流量q qG G。 對于元流，由于有效截面對于元流，由于有效截面dAdA非常小，可以近似認為元非常小，可以近似認為元流有效截面上各點的流速在同一時刻是相同的，因此元流流有效截面上各點的流速在同一時刻是相同的，因此元流的流量為的流量為 。式中。式中v v為點流速。為點流速。 總流的流量則為：總流的流量則為：vdAdq3(/ )AqvdAmsl s單位：或 平均流速：平均流速：作為一維流動，常采用作為一維流動，常采用有效截面有效截面平均速度值代平均速度值

33、代替各點的實際流速，稱為替各點的實際流速，稱為有效截面有效截面平均流速。平均流速是平均流速。平均流速是體積流量與體積流量與有效截面有效截面面積之比，即面積之比，即 水力半徑：水力半徑：在總流的在總流的有效截面有效截面上與流體相接觸的固體邊壁上與流體相接觸的固體邊壁周長稱為周長稱為濕周濕周，用，用表示。總流有效截面面積與濕周表示?？偭饔行Ы孛婷娣e與濕周之之比稱為水力半徑比稱為水力半徑R，即，即AudAAqvAAR 當量直徑當量直徑：總流總流有效截面有效截面面積的四倍與濕周之比。面積的四倍與濕周之比。Ade4常見常見有效截面有效截面的濕周、水力半徑和當量直徑的計算式的濕周、水力半徑和當量直徑的計算

34、式有效截面有效截面 r22rr2rcbdba 2cbdhba22rbaab2r2cbdhba2baab2Redabdbcah系統(tǒng)系統(tǒng): : 包含確定不變的物質(zhì)的集合稱為系統(tǒng)包含確定不變的物質(zhì)的集合稱為系統(tǒng)基本方程利用系統(tǒng)導出基本方程利用系統(tǒng)導出, , 可通過可通過輸運公式輸運公式, ,以控制體的形式以控制體的形式表達出來表達出來 3.3 控制體與輸運公式控制體控制體: :研究流體運動的連續(xù)的空間區(qū)域稱為控制體。研究流體運動的連續(xù)的空間區(qū)域稱為控制體。 相對于坐標系有固定位置、有任意確定形狀的空間區(qū)域，控制體的表相對于坐標系有固定位置、有任意確定形狀的空間區(qū)域，控制體的表面也稱為控制面，流體質(zhì)點

35、系可以按照自身運動規(guī)律穿越控制面自由面也稱為控制面，流體質(zhì)點系可以按照自身運動規(guī)律穿越控制面自由出入于控制體。出入于控制體?？刂企w與質(zhì)點系的區(qū)別控制體與質(zhì)點系的區(qū)別：質(zhì)點系相對于坐標系不但可以有位移，而且也可以有變形；但對于控質(zhì)點系相對于坐標系不但可以有位移，而且也可以有變形；但對于控制體，在運動過程中相對于坐標系的位置與形狀都是固定不變的。制體，在運動過程中相對于坐標系的位置與形狀都是固定不變的。t t時刻位于時刻位于(x, y, z)(x, y, z)的流體質(zhì)點，在的流體質(zhì)點，在t+t+ t t時刻移動至時刻移動至(x+(x+ x, y+x, y+ y, z+y, z+ z)z)處，其中滿

36、足處，其中滿足流體系統(tǒng)（質(zhì)量體）在流體系統(tǒng)（質(zhì)量體）在t t時刻占據(jù)空間（時刻占據(jù)空間（I+III+II）（總體以）（總體以 表示，取為控制體），表示，取為控制體），t+t+ t t時刻系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)點移動至（時刻系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)點移動至（I+IIII+III）體積中，見圖。設系統(tǒng)）體積中，見圖。設系統(tǒng)t t時刻攜帶的物理量為時刻攜帶的物理量為Q(x, Q(x, y, z, t)y, z, t)，則系統(tǒng)物理量，則系統(tǒng)物理量Q Q總和隨時間的變化率即稱為隨體總和隨時間的變化率即稱為隨體導數(shù)，可表示為導數(shù)，可表示為 twztvytuxIIItIIIt+tIIItIIIt+t由式取極限，得到輸運公式為由式

37、取極限，得到輸運公式為)()(1tIItIttIIIttIQQQQtQdDtD)()(1ttIIttIIItIIIttIIIQQQQtQdDtDAdAnVQdtQQdDtD)(AdAnVQdtQQdDtD)(0AndAVdtQ若流動定常若流動定常, ,則則00AnAndAVdAV不可壓不可壓, , 則則以上積分形式可以化為微分形式以上積分形式可以化為微分形式, , 亦可由微元亦可由微元六面體進行推導而得到六面體進行推導而得到3.4 3.4 連續(xù)方程連續(xù)方程YZXObdydzdxca2dxxuu2dxxuuu流出前表面的流出前表面的流體質(zhì)量流體質(zhì)量流進后表面的流進后表面的流體質(zhì)量流體質(zhì)量bdyd

38、zdxca2dxxuu2dxxuuudxdydzxudydzdxxuudydzdxxuu)2()2(X方向:凈流量=流出-流進=dxdydzzwdxdydzyv同理y方向:Z方向:bdydzdxca2dxxuu2dxxuuu質(zhì)量守恒: 凈流量=流出-流進=微元體內(nèi)質(zhì)量的減少dxdydztdxdydzzwyvxu)(0zwyvxut0Vt0zwyvxut0Vt某些條件下, 連續(xù)性微分方程的具體形式(1) 恒定(定常)00Vzwyvxu(2) 不可壓縮流體 即 =const 00Vzwyvxu(3)不可壓縮平面(二維) 連續(xù)性方程有00Vyvxu由連續(xù)介質(zhì)的概念和質(zhì)量由連續(xù)介質(zhì)的概念和質(zhì)量守恒原理

39、出發(fā)，即可導出守恒原理出發(fā)，即可導出流速和過水斷面之間的關流速和過水斷面之間的關系式，即恒定總流連續(xù)方系式，即恒定總流連續(xù)方程。程。在恒定流條件下，元流的形狀和元流段的流體質(zhì)量在恒定流條件下，元流的形狀和元流段的流體質(zhì)量均不隨時間變化；流面上不可能有流體的流進或流均不隨時間變化；流面上不可能有流體的流進或流出；液流是連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部不存在空隙，據(jù)質(zhì)出；液流是連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部不存在空隙，據(jù)質(zhì)量守恒原理，得：量守恒原理，得： 常數(shù) 對于不可壓縮的流體， ，則 常數(shù) 常數(shù) 對上式積分，可得：對上式積分，可得：引入斷面平均流速得：引入斷面平均流速得： 對于不可壓管流對于不可壓管流 , 截面小流速大

40、截面小流速大, 截面大流速小截面大流速小而對于可壓縮管流而對于可壓縮管流, 情況要復雜得多情況要復雜得多注意：注意：對于有固定邊界的管流，即使是對于有固定邊界的管流，即使是非恒定流，對于同一時刻的兩過水斷面仍然非恒定流，對于同一時刻的兩過水斷面仍然適用。適用。適用于理想流體，也可用于實際流體。適用于理想流體，也可用于實際流體。若沿流程有流量的流進或流出，則應相若沿流程有流量的流進或流出，則應相應地加上或減去。應地加上或減去。 對于以上第三點，連續(xù)性方程在形式上應對于以上第三點，連續(xù)性方程在形式上應作相應的變化。作相應的變化。當有流量匯入時當有流量匯入時：當有流量分出時當有流量分出時 ：例題例題

41、1 1、有一變直徑圓管（如圖），已知、有一變直徑圓管（如圖），已知1-11-1斷面斷面直徑直徑d1=200mm, ,斷面平均流速斷面平均流速v1=0.5m/s；2-2斷面斷面直徑直徑d2=100mm。試求：。試求：（1 1）2-2斷面平均流速斷面平均流速v2；（2）管中流量）管中流量Q 。例題例題2 2、一分岔管路一分岔管路(如圖如圖),已知管徑已知管徑d1=d2=200mm,d3=100mm,斷面平均流速斷面平均流速v1=4m/s,v2=3m/s，試求斷面平均流速，試求斷面平均流速v3。 d2d12121例例3、管道中水的質(zhì)量流量為管道中水的質(zhì)量流量為Qm=300kg/s, 若若d1=300

42、mm, d2=200mm, 求流量和過流斷面求流量和過流斷面 1-1, 2-2 的平均流速。的平均流速。解解:smQQm/3 .010003003smdQAQV/24.43 .0413 .04122111smdQAQV/55.92.0413.041222223.5 動量方程和動量矩方程動量方程和動量矩方程 一、動量方程一、動量方程 動量方程是動量守恒定律在流體力學中的具體表達。本節(jié)動量方程是動量守恒定律在流體力學中的具體表達。本節(jié)討論流體作定常流動時的動量變化和作用在流體上的外力之討論流體作定常流動時的動量變化和作用在流體上的外力之間的關系。一般力學中動量定理表述為：物體動量的時間變間的關系。

43、一般力學中動量定理表述為：物體動量的時間變化率等于作用在該物體上的所有外力的矢量和。化率等于作用在該物體上的所有外力的矢量和。 vmkdtkdFvmtFdd上式是針對系統(tǒng)而言的，通常稱為拉格朗日型動量上式是針對系統(tǒng)而言的，通常稱為拉格朗日型動量方程方程.現(xiàn)應用控制體概念，將其轉(zhuǎn)換成歐拉型動量方現(xiàn)應用控制體概念，將其轉(zhuǎn)換成歐拉型動量方程。程。1212 在恒定總流中，取一流段在恒定總流中，取一流段進行研究，如圖所示，分析進行研究，如圖所示，分析其運動的變化。把這塊流體其運動的變化。把這塊流體加以放大，便于分析。加以放大，便于分析。A1A2dA1dA2u1u2121212121212經(jīng)過時間經(jīng)過時間

44、t 后，流體從后，流體從1-2運動至運動至1 21212112212121122 經(jīng)過時間經(jīng)過時間t 后，流體從后，流體從1-2運動至運動至1 212121221-21-21-21-22-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1KKKKKKKKKKKKKKKKKK d dt t 時間內(nèi)水流動量變化時間內(nèi)水流動量變化K K112121221-21-21-22-21-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKd dt t 時間內(nèi)水流動量變化時間內(nèi)水流動量變化K K1t+dtt12121221-21-21-2

45、2-21-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKd dt t 時間內(nèi)水流動量變化時間內(nèi)水流動量變化K K1t+dtt)( )d( : flow steady afor 2121tKttK 1-21-21-22-21-21-21-11-21-21-22-21-21-11-22-21-1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKu1dA1A1A2d dt t 時間內(nèi)水流動量的變化時間內(nèi)水流動量的變化12121122dA2u2dtu1dtu2 d dt t 時間內(nèi)水流動量的變化時間內(nèi)水流動量的變化1u1dA1A1A22121122dA2

46、u2dtu1dtu2AdtuuuAdtuutQuVumKd d dd :body small infinitely anfor d dt t 時間內(nèi)水流動量的變化時間內(nèi)水流動量的變化1u1dA1A1A22121122dA2u2dtu1dtu2 AAAuudtAdtuuKdd :body entire anfor d dt t 時間內(nèi)水流動量的變化時間內(nèi)水流動量的變化111 22 KKK11221 11111112 222222AA2AAKu u dtdAdtu u dAKu u dtdAdtu u dA u1dA1A1A22121122dA2u2dtu1dtu2AAAAKu u dtdAdtu

47、 u dAKu u dtdAdtu uA11221 111111122222222d 因為斷面上的流速分布一般因為斷面上的流速分布一般不知道，所以上述積分不能完成。不知道，所以上述積分不能完成。如何解決這個積分問題？如何解決這個積分問題？tvQQvtAuvtAuvtAuutKAAAd d dd d)(d dd11111111111111111 1-1111 用斷面平均流速代替用斷面平均流速代替點流速分布，造成的誤差點流速分布，造成的誤差用一個動量修正系數(shù)用一個動量修正系數(shù) ( (常常系數(shù)）修正，則系數(shù)）修正，則 QvAuuQvAuuQvAuuQvAuutvQAuutKtvQtvQAuutKtv

48、QtvQAuutKAAAAAAA2222 flow varied gradually afor 222221111 flow varied gradually afor 1111122222222 2-211111111 1-1221111d dd dd dd dd dddd dd :way same the in 11111-1111111112-222222222111111111dd dddd dd dd ddd for a gradually varied flow AAAAAKtu u AQvtQvtKtu uAQvtQvtKt uu AQ v tu u Au u Av Qv Q 2

49、2222222for a gradually varied flow 222dd AAu uAu uAv Qv Q 11111-1111111112-222222222111111 111dd dddd dd dd ddd d for a gradAAAAAAKtu u AQvtQvtKtu uAQvtQvtKt uu AQ v tu u Au u Av Qv Quu AvQ dually varied flow Auu AvQ 按照動量原理按照動量原理2 21 1222111222111dddKKKQvtQvtF tQvQvF 按照動量原理按照動量原理2 21 1222111222111dd

50、dKKKQvtQvtF tQvQvF zzzyyyxxxF)vv(QF)vV(QF)vv(Q112211221122 Fx ,Fy ,Fz：作用于控制體上所有外力：作用于控制體上所有外力（不包括慣性力）（不包括慣性力）在三在三 個坐標方向的投影個坐標方向的投影： 動量修正系數(shù)，漸變流斷面取動量修正系數(shù)，漸變流斷面取1.021.05 ， 一般取為一般取為1 zzzyyyxxxF)vv(QF)vV(QF)vv(Q112211221122 過水斷面 zzzyyyxxxFvQvQFvQVQFvQvQ112211221122 流出項流出項流入項流入項外力項外力項不包括慣不包括慣性力性力不可改不可改動動的

51、的負負號號動量方程是輸出項減去輸入項，不可顛倒動量方程是輸出項減去輸入項，不可顛倒 動量方程推導時，要求流量沿程相等。但是，動量方程推導時，要求流量沿程相等。但是，實際應用時，流量沿程可不等（例如，有匯流或分實際應用時，流量沿程可不等（例如，有匯流或分叉情況），動量方程應改為下列形式叉情況），動量方程應改為下列形式 ziiziijzjjjyiiyiijjyjjxiixiijxjjjFvQvQFvQvQFvQvQ )()( )()( )()(121212 流出控制體的流出控制體的 j 股水流動量和股水流動量和流入控制體的流入控制體的 i 股水流動量和股水流動量和應用動量方程解題時要注意以下幾點：

52、應用動量方程解題時要注意以下幾點：動量方程是一個矢量方程，經(jīng)常使用投影式。注意外力、動量方程是一個矢量方程，經(jīng)常使用投影式。注意外力、速度和方向問題，它們與坐標方向一致時為正，反之為負。速度和方向問題，它們與坐標方向一致時為正，反之為負。在考慮外力時注意控制體外的流體通過進口斷面和出口斷在考慮外力時注意控制體外的流體通過進口斷面和出口斷面對控制體內(nèi)流體的作用力。面對控制體內(nèi)流體的作用力。外力中包含了壁面對流體作用力外力中包含了壁面對流體作用力 ，而求解問題中往往需，而求解問題中往往需要確定流體作用在壁面上的力要確定流體作用在壁面上的力 ，這兩個力按牛頓第三定，這兩個力按牛頓第三定理理 。動量修

53、正系數(shù)動量修正系數(shù)在計算要求精度不高時，常取在計算要求精度不高時，常取1.0。RRRRzzzyyyxxxvvqFvvqFvvqF112211221122方程中流速和作用力都是有方向的。寫動量方程中流速和作用力都是有方向的。寫動量方程之前，首先選擇坐標軸，并注明其正向。方程之前，首先選擇坐標軸，并注明其正向。 凡是和坐標軸方向一致的力和流速為正，反之，凡是和坐標軸方向一致的力和流速為正，反之，則為負。坐標軸是可以任意選擇的（但是必須是笛則為負。坐標軸是可以任意選擇的（但是必須是笛卡兒坐標），以計算方便為宜。卡兒坐標），以計算方便為宜。 坐標軸的選擇是有技巧的，坐標軸的選擇應使坐標軸的選擇是有技巧

54、的，坐標軸的選擇應使得未知數(shù)數(shù)目越少越好，最好一個方程一個。得未知數(shù)數(shù)目越少越好，最好一個方程一個。 運用動量方程的解題要點運用動量方程的解題要點取一個控制體。控制體可任意選擇，通常由下列取一個控制體?？刂企w可任意選擇，通常由下列部分組成部分組成: : 底部、側(cè)部：底部、側(cè)部： 固體邊壁，例如，管壁，渠底固體邊壁，例如，管壁，渠底 表面：表面： 自由水面等自由水面等 橫向邊界：橫向邊界： 漸變流過水斷面漸變流過水斷面 控制體控制體控制體取出后，在控制面上畫出未知力控制體取出后，在控制面上畫出未知力例如，明渠水流：控制體包括有底板、側(cè)邊界，自例如，明渠水流：控制體包括有底板、側(cè)邊界，自由水面，過

55、水斷面由水面，過水斷面 做出受力圖，圖上畫上所有受力、流量、流速、做出受力圖，圖上畫上所有受力、流量、流速、壓力等矢量。壓力等矢量。 未知力的方向可以假定，若計算為正值，則說明假未知力的方向可以假定，若計算為正值，則說明假定正確；反之，則說明實際力的方向和假定相反。定正確；反之，則說明實際力的方向和假定相反。 動量方程只能求解三個未知數(shù)（或者三個分量），動量方程只能求解三個未知數(shù)（或者三個分量），如果未知數(shù)的數(shù)目多于三，必須聯(lián)合其他方程（連如果未知數(shù)的數(shù)目多于三，必須聯(lián)合其他方程（連續(xù)方程、或能量方程）方可求解。續(xù)方程、或能量方程）方可求解。 1 1 選擇坐標軸，并注明其正向選擇坐標軸，并注明

56、其正向2 2 取一個控制體取一個控制體3 3 做受力圖，畫上受力、流量、流速、壓力等矢量做受力圖，畫上受力、流量、流速、壓力等矢量4 4 動量方程是流出項減去流入項，不可顛倒動量方程是流出項減去流入項，不可顛倒5 5未知力的方向可假定未知力的方向可假定6 6 動量方程只能求解三個未知數(shù)。未知數(shù)數(shù)目多于三，須聯(lián)合動量方程只能求解三個未知數(shù)。未知數(shù)數(shù)目多于三，須聯(lián)合 連續(xù)方程、或能量方程，方可求解。連續(xù)方程、或能量方程，方可求解。7 7 有匯流或分叉情況，動量方程形式改變有匯流或分叉情況，動量方程形式改變平面彎管平面彎管 l 彎管水流對平面管壁的作用力彎管水流對平面管壁的作用力 1122RxRzR

57、v1v2p1p2A1A2 取控制體，畫受力圖取控制體，畫受力圖yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2p2= 0yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2p2= 0yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2列出沿列出沿 x、y 方向的動量方程方向的動量方程 2211112221111(cos ) cos(0sin ) sinxyQvvp Ap ARQvp AR 2211=,=AQvAQvyxO sinsincos)cos(111222111221ApAQRApApAAQRyx1122RxRyRv1v2p1p2A1A2 yxRApvQRApApvvQ sin)sin(cos

58、)cos(111122211112202211AQv ,AQv yxOz1122 zxOl 彎管水流對立面管壁的作用力彎管水流對立面管壁的作用力 有一垂直立面有一垂直立面90 彎管，軸線弧長彎管，軸線弧長 L=3.14m，兩斷面高程，兩斷面高程差差 z = 2m，11 斷面斷面中心壓強中心壓強 p1 = 117.6 kN/m2 ，水頭損失，水頭損失hw = 0.1m，管徑，管徑 d = 0.2m，Q = 0.06 m3/s，試求水，試求水流對彎管的作用力。流對彎管的作用力。 11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R

59、-111222:(0) :(0) xxzzxQvFPRzQvFPGR 11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R221122121222()wwpvpvzzhggppzh = = = = -12:(0) :(0) xxzzxQvFPRzQvFPGR 11 zxO22 p1 p2 v2 v1 G Rz Rx R21112222 444xzpdRPQ vQ vpddRPGQ vLQ v = =v0Rxvv001122yO000000QvRRQ v v00.5Q0.5Q 從噴嘴中噴出的水流，以速度從噴嘴中噴出的水流，以速度v0 射向與水射向與水流方向垂直的固定平面壁，當水流被平面阻

60、擋流方向垂直的固定平面壁，當水流被平面阻擋后對稱分開。若流動在一個水平面內(nèi)，求射流后對稱分開。若流動在一個水平面內(nèi)，求射流對壁面的沖擊力。對壁面的沖擊力。l 水流對垂直固定平面壁的沖擊力水流對垂直固定平面壁的沖擊力 從噴嘴中噴出的水流，以速度從噴嘴中噴出的水流，以速度v0 射向與水射向與水流方向垂直的固定平面壁，當水流被平面阻擋流方向垂直的固定平面壁，當水流被平面阻擋以后，對稱地分開。沿壁面的流速為以后，對稱地分開。沿壁面的流速為v，若所，若所考慮的流動在一個水平面內(nèi)上，則重力不起作考慮的流動在一個水平面內(nèi)上，則重力不起作用，求此時射流對壁面的沖擊力。用，求此時射流對壁面的沖擊力。v0Rxvv