高三數(shù)列復(fù)習(xí)專題-證明不等式：函數(shù)放縮方向

1、高三數(shù)列復(fù)習(xí)專題證明不等式：函數(shù)放縮方向里水高中 蔡宏展題目 ?人教版必修5?第三章 不等式3.1不等關(guān)系與不等式習(xí)題3.1 A組題3，求證：說題意此題意在讓學(xué)生運(yùn)用不等式的性質(zhì)去證明不等式說此題意在結(jié)合不同的解法及拓展過程中，說清楚證明不等式的方法：構(gòu)造函數(shù)法；并且結(jié)合數(shù)列，說清楚與數(shù)列及前項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明方法，其中運(yùn)用到的知識(shí)點(diǎn)及思想方法在下面結(jié)合解法進(jìn)行具體闡述說思維和思路解法1解題思路由可得，而要證：即證：，即假設(shè)，那么即證：差比法即證：由，易得 所以，即分析法高中數(shù)學(xué)課本中，還有兩組習(xí)題： eq oac(,1)?人教版必修5?第三章 不等式3.1不等關(guān)系與不等式習(xí)題3.1 B組

2、題1：比擬以下各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?與； 2與；3當(dāng)時(shí)，與； 4與 eq oac(,2)?人教版選修22?第一章 不等式1.3 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)習(xí)題1.3 B組題1： 利用函數(shù)的單調(diào)性，證明以下不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗(yàn)證：1，； 2，3，； 4，證明不等式其中兩個(gè)常用思路，比擬法差比法及構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，其中主要涉及了不等式的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、比擬法/分析法/構(gòu)造法等知識(shí)，并且在其中運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)特別重視構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)這個(gè)思路以下先從正反兩個(gè)方向?qū)?gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行推廣，然后再結(jié)合數(shù)列不等式的證明進(jìn)行拓展推廣12021年北京卷設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線1求的方

3、程；2證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方變式122021年深圳一模，且直線與曲線相切假設(shè)對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍拓展13設(shè)函數(shù)，其中1當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；2證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立通過上述推廣及拓展，可以得出下面幾點(diǎn)結(jié)論：其一，證明不等式問題，常先適當(dāng)?shù)葍r(jià)轉(zhuǎn)化，然后選擇作差為切入點(diǎn)；其二，當(dāng)遇到超越函數(shù)時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值來證明不等式；其三，數(shù)列其實(shí)一個(gè)特殊的函數(shù)，可以把涉及數(shù)列的問題先轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題研究，然后在回歸數(shù)列問題解法2證明：由 所以假設(shè)，那么 因?yàn)?，所以所以假設(shè)，那么 所以在上述證明不等式過程中運(yùn)用了不等式的性質(zhì)，在想深一

4、點(diǎn)我們證明數(shù)列不等式常用的放縮法不就是不等式性質(zhì)的表達(dá)，數(shù)列相關(guān)題目常見形式為“通過遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式求數(shù)列的和證明與和相關(guān)的不等式，這里就出現(xiàn)了幾個(gè)命題的切入點(diǎn)，其一，直接方向數(shù)列不等式明顯即直接給出或求和容易，然后怎么證？采用不等式的性質(zhì)或構(gòu)造函數(shù)的方法是一個(gè)很好的選擇，其二，間接方向數(shù)列不等式不明顯，即求和不容易如何處理？采用適當(dāng)放縮轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求和是一個(gè)很好的選擇；其三，數(shù)列求和采用放縮也很難，如何處理？采用構(gòu)造函數(shù)放縮，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和的定義及同向不等式相加的性質(zhì)處理在做各位都是高手，本人就不班門弄斧了以下只以幾個(gè)題目進(jìn)行展示：推廣212021年佛山一模設(shè)，圓：與軸正半軸的交點(diǎn)為，與

5、曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為.1用表示和;2求證: ; 3略 點(diǎn)評(píng)推廣222021年江西卷正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足1求；2令，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：對(duì)任意的，都有點(diǎn)評(píng)1求和常規(guī)方法：裂項(xiàng)法；2假設(shè)，那么推廣232021年廣東卷設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,且、成等差數(shù)列1求的值；2求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3證明：對(duì)一切正整數(shù),有推廣242021年廣東卷設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.,.1求的值；2求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3證明:對(duì)一切正整數(shù),有.點(diǎn)評(píng)1放縮方向；常規(guī)數(shù)列；2假設(shè)，那么解法3運(yùn)用均值不等式，不展開本選題個(gè)人覺得如果從另外一個(gè)角度來看，可能有一些不同高考的題目來源于課本，而解法1中涉及的課本的習(xí)題明顯難度不夠，而不

6、等式問題常作為數(shù)列不等式中出現(xiàn)，那么能不能把這些函數(shù)作為放縮方法中的“函數(shù)放縮的構(gòu)造函數(shù)來用作為命題的切入點(diǎn)呢？它可以解決“其三，數(shù)列求和采用放縮也很難，如何處理？采用構(gòu)造函數(shù)放縮，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和的定義及同向不等式相加的性質(zhì)處理反思近幾年廣東高考數(shù)列不等式的證明題，其實(shí)“函數(shù)放縮是一個(gè)很值得關(guān)注的方法拓展2021年佛山一模設(shè)，圓：與軸正半軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為.1用表示和;2求證: ;3設(shè),求證:.1解題思路3由，易知 要證： 即證： 容易觀察到放縮不容易，那能否采取如下思路： 那么我們?nèi)缦乱鉀Q的問題只需證明 即證明 即證明 轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)證明 這就非常容易了，以下略拓展2021年深圳一模，且直線與曲線相切1假設(shè)對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2略；3求證：反思與小結(jié)此題如果只教會(huì)學(xué)生解題的方法，沒什么意義，但是如果作為高三回歸課本的題目，將問題設(shè)置在學(xué)生思維的最近開展區(qū)，結(jié)合高考考查內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)過探索后能解決問題并且在解題之后引導(dǎo)學(xué)生反思、變式，領(lǐng)會(huì)解題過程中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，并且發(fā)