力學-第一章(乙)質點運動學

1、2022-7-6第一章 質點運動學11.1 引言引言 1.2 參考系、時間與空間參考系、時間與空間1.3 描述質點運動的物理量描述質點運動的物理量1.4 運動學中的兩類問題運動學中的兩類問題1.5 自然坐標系中運動的描述自然坐標系中運動的描述1.6 平面極坐標系中運動的描述平面極坐標系中運動的描述目目 錄錄笫一章笫一章 質點運動學質點運動學2022-7-6第一章 質點運動學21.1 引言引言一一力學的研究對象力學的研究對象運動學：運動學：研究物體運動的幾何性質，而不研究引起物體運動的原因。（位移，速度，加速度，軌跡等的描述和計算）動力學：動力學：研究受力物體的運動變化與作用力之間的關系。（運動

2、微分方程的建立和求解）靜力學：靜力學： 研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時也研究力的一般性質和力系的簡化方法等。（平衡方程的應用和受力分析）經典力學適用范圍：弱引力場中宏觀物體的低速運動。2022-7-6第一章 質點運動學31.1 引言引言二二時間、空間和牛頓力學的絕對量時間、空間和牛頓力學的絕對量子在川上曰：子在川上曰：“逝者如斯夫，不舍晝夜。逝者如斯夫，不舍晝夜?！?論語“上下四方曰宇，往古來今為宙上下四方曰宇，往古來今為宙” 戰(zhàn)國.尸佼時間時間: 用以表述事物之間的順序用以表述事物之間的順序空間空間: 用以表述事件相互之間的位形用以表述事件相互之間的位形沒有滿意的“嚴格”的理論定義，并

3、不妨礙時間和空間二者在物理中的使用，因為，物理學是一門基于實驗的科學物理學是一門基于實驗的科學，在考查物理學的概念或物理量的時候，首先應當注意它與實驗之間是否有明確的、不含糊的關系。對于時間和空間這兩個基本概念來說，首要的問題似不是去追究它們的“純粹”定義，而是應當了解它們是怎樣量度怎樣量度的。 2022-7-6第一章 質點運動學41.1 引言引言絕對時空觀絕對時空觀絕對空間，就其本性來說，與任何外在的情況無關， 始終保持著相似和不變。絕對的、純粹的數(shù)學的時間，就其本性來說，均勻地 流逝而與任何外在的情況無關。 牛頓牛頓自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理時間和空間的測量與物體的存在和運動沒有

4、任何關系時間和空間的測量與物體的存在和運動沒有任何關系在牛頓力學中，時間間隔和空間間隔時間間隔和空間間隔（長度）被認為是絕絕對量對量，是獨立于所研究對象（物體）和運動而存在的客觀實在。時間的流逝與空間位置無關，空間為歐幾里德幾何空間。2022-7-6第一章 質點運動學51.1 引言引言1.1.時間的測量時間的測量 ：l 任何具有重復性的過程或現(xiàn)象，都可以作為測量時間的一種鐘（例如，太陽的升沒表示天；四季的循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農歷的月。其他的循環(huán)過程，如雙星的旋轉、人體的脈搏、吊燈的擺動、分子的振動等等，也都可以用作測時的工具）； l 1967年10月在第十三屆國際度量衡會議上規(guī)定： 位于海

5、平面上的銫-133原子的基態(tài)的兩個超精細能級在零磁場中躍遷輻射的周期T與1秒的關系為 1秒 = 9,192,631,770 T 這樣的時間標準稱為原子時 2022-7-6第一章 質點運動學61.1 引言引言l 用銫鐘作為計時標準，誤差若按一個周期計算，測量精度要比秒表作時計提高 倍，即誤差下降到秒表的 之一 l 自從人類發(fā)明機械計時的時鐘以來，400年來時間計量準確度的提高是驚人的，現(xiàn)代的原子鐘的計時誤差已小于 秒/天。目前，時間是測量得最準確的一個基本量 1010 101010102. 長度的單位和標準長度的單位和標準 1983年國際計量大會通過了“m”的新定義：“1m是光在真空中1/299

6、 792 458s的時間間隔內所經路徑的長度” 。1 299792458 smc2022-7-6第一章 質點運動學7思考題：龜兔賽跑和芝諾佯謬思考題：龜兔賽跑和芝諾佯謬芝諾論證：兔子永遠追不上烏龜v1 v2 v1v2 A1B1=LA1 B1 B2 B3要點：對時間的量度不同導致結論的不同解：普通時 t 和芝諾時 的對應關系1.1 引言引言nLLLLLLLtn 3 2 1 0 )vv(v1v , ,)vv(vv ,vvvv ,v 0, 112112121112111，：芝諾時芝諾時：普通時普通時 2022-7-6第一章 質點運動學81.1 引言引言)vv(1vv)vv(vv1v122111212

7、1nnLLt )vv(1vv1221 L1221vvlg)vv1lg(tL 或或普通時普通時 t = t = L L/( /(v v1 1- -v v2 2) )，芝諾時芝諾時 即當 時n 2022-7-6第一章 質點運動學9參考物：選取的一個有固定大小和形狀的物體。 相對參考物，可以確定其它物體的位置。參考空間：沿左右、前后、上下三對方向無限擴展， 構成三維平直空間參考系：參考空間+測量時間的時鐘坐標系：在參考空間中任選一點作為原點， 可建立各種坐標系。 時間的零點也可任選一一質點和參考系質點和參考系1.2 質點和參考系 zxyO2022-7-6第一章 質點運動學101.2 質點和參考系 坐

8、標系: 固結在參考物上的一組有刻度的射線, 曲線 或角度. 坐標系為參考物的數(shù)學抽象. 參考物選定后, 坐標系還可任選.常用坐標系 直角坐標系（ x , y , z ） 球極坐標系（ r, ） 柱坐標系 （ , , z ） 自然坐標系（ ）ntee、2022-7-6第一章 質點運動學11 運動本身是絕對的, 而對運動的描述是相對的; 運動的相對性決定描述運動必須選擇參考物; 參考物可任選, 不同的參考物物體的運動形式 （如軌跡、速度等）可以不同.參考物：描述物體運動而選作參考的物體或物體系.1.2 質點和參考系 太陽參考系（太陽 恒星參考系） 地心參考系（地球 恒星參考系） 地面參考系或實驗室

9、參考系 質心參考系常用參考系2022-7-6第一章 質點運動學12由繁到簡由繁到簡將物體模型化為一個點將物體模型化為一個點質點質點由簡到繁由簡到繁質點質點質點系質點系質點質點突出物體具有質量和占有位置兩個主要因素，忽略了形狀、大小及內部運動等次要因素。2022-7-6第一章 質點運動學13kzj yi xr 參考系的選擇是任意的，對于同一個質點的位置，用不同參考系來描寫時，則具有不同的位置矢量。就這一點，我們可以說，位置是具有相對性的物理量。 1.2 質點和參考系 質點的位置矢量 （簡稱位矢）的大小為OP的長度，而方向從O指向P。用這個矢量就完全確定了質點P的位置 r其中 分別分別表示空間的三

10、個坐標方向（ 軸）上的單位矢量，稱為坐標基矢 zyx , ,kji , ,2022-7-6第一章 質點運動學14質點在運動中所經過的各點在空間連成一條曲線，這條曲線我們稱之為軌跡。 一般曲線方程可以表示成： 軌跡可以利用曲線方程來描寫。譬如，曲線方程： 0222zRyx就描寫了在平面上半徑為R的圓周運動的軌跡。 0),(0),(21zyxfzyxf1.2 質點和參考系二二軌跡和運動方程軌跡和運動方程2022-7-6第一章 質點運動學15 我們不僅應該知道軌跡，而且還應知道質點經過軌跡上各點的時刻。運動是在時間、空間里的現(xiàn)象，關鍵是把時間描寫和空間描寫聯(lián)系起來。直到牛頓之前不久，才特別強調了這一

11、點。 1.2 質點和參考系 在歷史上很長一個時期內，人們只注重軌跡形狀的研究，例如行星走圓形，落體走直線。 但質點運動是位置的變化，它涉及空間和時間兩方面。軌跡形狀只反映了運動的空間方面的性質，它對于研究運動還是不夠的，因為軌跡還沒有把質點運動的情況全部表述出來，特別是沒有表述它的動態(tài)性質。百米賽跑時，所有運動員的軌跡都是直線，但他們各自的運動情況并不全同，否則就分不出名次了。2022-7-6第一章 質點運動學16我們知道，可以利用矢量方法來描寫質點 M 的位置。質點的位置關于時間的函數(shù)稱為運動方程運動方程或運動解運動解，知道了這個方程等于知道了此質點運動的一切情況。質點的運動方程可以表示成：

12、 )(trr 當然，也可以用坐標系中三個坐標分量來描述運動 )()()(tzztyytxx并有關系式 ktzjtyitxtr)()()()( 從運動方程中消去時間 t 即得到軌跡的方程 1.2 質點和參考系2022-7-6第一章 質點運動學17 同一物體，相對于不同的參考系，顯示出不同的運動。風洞中的模型，相對于地面是靜止的，相對于空氣（風），模型卻在以高速度飛行。車刀，相對于車床的床座，僅僅作直線運動；相對于工件，刀刃卻在作螺旋運動。所以，研究運動，必須首先選定參考系，由于運動方程既包含質點的位矢，也包含時間，因而對于不同的坐標原點與時間原點的選取，運動方程的形式將有所不同。 在日常生活中，

13、我們習慣于認為地面是靜止的，在講到“靜止”、“運動”的時候總是對地面而言的?？墒?，大家知道，地球以大約30公里/秒的速度繞太陽公轉，根本不是靜止的。宇宙間沒有一個絕對靜止的物體。靜止和運動都是相對的，不存在“絕對靜止”的參考系，只存在描述某個運動較為方便的參考系。 1.2 質點和參考系2022-7-6第一章 質點運動學18一一位置矢量（或位矢）位置矢量（或位矢） 從坐標原點指向空間點的有向線段, 用來確定某時刻質點位置的矢量。l 位矢定義位矢定義ktzjtyitxr)()()( l 直角坐標系中的數(shù)學表示直角坐標系中的數(shù)學表示 )(trr 222)()()()(tztytxtrr 大?。悍较颍?/p>

14、rx cosry cosrz coso tx ty( )z tP( t )( )r t zix yjk1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學19 質點在一段時間內位置的改變叫做它在這段時間內的位移。二二位移矢量位移矢量)()(trttrr l 位移定義位移定義位移是位矢的增量，是時間和時間間隔的函數(shù)。 y z P2 P1oSxr tt( )r t r t 注意：位移不同于位矢；位移也不同于路程。1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學202.2.直角坐標系中的數(shù)學表示直角坐標系中的數(shù)學表示 kzjyixr1111 kzjyixr2222 kzj y

15、i xkzzjyyixxr )()()(121212222)()()(zyxr 大?。簉x cosry cosrz cos方向：1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學21三三速度矢量速度矢量tr v平均速度1.1.速度速度1.3 描述質點運動的物理量質點在 t1 = t 到 t2 = t +t 時間間隔內的平均速度平均速度 由圖可知，在t1 到t2 時間間隔內質點的運動方向并非總是沿著1到2的方向的，而是先從1向4、3方向運動，然后從3向2方向運動，這些運動方向并不平行于 1到2的方向。2022-7-6第一章 質點運動學221.3 描述質點運動的物理量 所以平均速度所指

16、的方向，只是質點真實運動方向的平均。即，平均速度不但對于運動快慢運動快慢的描寫是粗略的，而且對于運動的描寫是粗略的，而且對于運動方向的描寫也是粗略的方向的描寫也是粗略的。但當t減小時，矢量相繼從1，2變到1，3，變到1，4，在t0的極限情況下， r r的方向趨于軌跡曲線在點 1的切線方向，且位移與路程兩者的大小近似相等。則：瞬時速度的方向，就是軌跡曲線在相應點的切線方向；瞬時速度的大小，就是t0時平均速率的大小。 2022-7-6第一章 質點運動學231.3 描述質點運動的物理量路程函數(shù)s(t)：質點從 t1 =0 到 t2 = t 時刻所走過的路程長度 質點從 t1 = t 到 t2 = t

17、 +t 時間間隔內所走過的路程)()(12tstss 由此可以定義平均速率：tstttststt 1212)()(v212022-7-6第一章 質點運動學241.3 描述質點運動的物理量位移與路程不同于位矢，它們與坐標原點的選取無關。 位移不反映初位置到終位置中間的細節(jié)，也不反映初位置或終位置本身，僅反映兩者相對位置的改變。 由右圖可以看出，位移r與路程s有如下的異同點： 路程s是由M到M的曲線的實際長度，是一個標量。而位移是由始點至終點的有向線段，是一個矢量。而且位移的大小通常也不等于路程。 2022-7-6第一章 質點運動學251.3 描述質點運動的物理量dtrdtrttrttrtt 00

18、lim )()(limv某一點的導數(shù)將該點的函數(shù)某一點的導數(shù)將該點的函數(shù)值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起來來: : 求導求導 積分積分歷史上，正是由于牛頓在處理這類歷史上，正是由于牛頓在處理這類基本力學問題時需要一種適當?shù)臄?shù)基本力學問題時需要一種適當?shù)臄?shù)學工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。學工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。瞬時速度（簡稱速度）定義為： 速度的數(shù)值大?。ń^對值）稱為速率，由上式知： dttdststrtrttttt)(| | )(v| )(vlimlimlim000 2022-7-6第一章 質點運動學26kzj yi xkdtdzjdtdyidtdxdtrd v大?。?22

19、vvvvvzyx 方向：v/vcosv/vcosv/vcoszyx 注意： 速度的相對性和瞬時性 速度的矢量性（疊加性和分解性） 速度方向沿軌跡切線kjiktzjtyitxtrzyxvvvv 2.2.直角坐標系中的數(shù)學表示直角坐標系中的數(shù)學表示1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學27四四加速度矢量加速度矢量瞬時加速度220)(vvlimvv,0dtrddtrddtddtdtadtt 時時當當1、平均加速度ta v與與 方向相同方向相同v y z P2 P1 0 xv tt v t v t v tv tt1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學28

20、2.2.直角坐標系中的數(shù)學表示直角坐標系中的數(shù)學表示 注意： 加速度的相對性和瞬時性 加速度的矢量性（疊加性和分解性） 加速度的方向為速度變化的方向 大小dtddtdaavv 222zyxaaaa aaaaaazyx cos,cos,cos 方向kajaiakdtzdjdtydidtxdkdtdjdtdidtdazyxzyx vvv2222221.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學29v 質點做變速運動中各個時刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬時性 v 速度、加速度是矢量，它具有矢量性v 從運動學本身來考慮，沒有足夠的理由說明，為什么我們應當?shù)酱藶橹?，而不去討論加加?/p>

21、度、加加加速度。其中的原因在動力學，學過動力學后，我們將看到，對力學的討論幾乎全部是基于位置矢量、速度和加速度這三個量。 v 選取不同的參考系，質點的速度和加速度是不同的，它具有相對性小結：小結：1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學30運動方程: 質點位置坐標和時間的函數(shù)關系.五五運動方程運動方程ktzjtyitxtrr)()()()( 運動方程中包含了質點運動的全部信息。軌跡: 質點在運動中所經過的各點在空間中連成的一條曲線 zP( t )ix yojk( )r t或軌跡方程: 運動方程消去時間t 得到的位置坐標間的函數(shù)關系 )()()(tzztyytxx1.3 描

22、述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學31勻速直線運動方程變速直線運動方程討論幾種特殊的運動對應的運動方程： 上兩種情況運動都是一維的上兩種情況運動都是一維的, 可以用標量表示質點的運動可以用標量表示質點的運動.勻加速運動（加速度為常矢量）tadtrd 0vvdtdav tx0v dtdx v tdtxx00v tdtaddtad0vv0v v1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學32v 實際有些自由落體受空氣阻力很大, 如雨點, 最終運動是勻速運動，此時速率稱收尾速率（10m/s）20021vattxx 特例: 勻加速直線運動, 如自由落體 為常矢量，和

23、 在一條直線上，由以上兩式可得a0v trrttdtatdrd0000v20021vtatrr tdtadtrdtadtrd 00v vv)(2vv0202xxa 1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學33 拋體運動典型的勻加速運動，ga 原理：運動的獨立性和疊加性（實驗證明）運動平面在),v(0g內 sinvvcosvv00000000 yxyxgaayx已知： yxv0o由速度、加速度的分量表達式可以看到，描寫一個質點的復雜的曲線運動時，其方向1的坐標、速度和加速度與其它方向的坐標、速度和加速度無關；對方向2和方向3也有這種性質，即三個方向相互無關。這種性質稱為運動

24、的獨立性。1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學3420021vtatrr 20021sinvcosvgttytx 位置 gtyx sinvv,cosvv00ta 0vv速度 202cosv2tangxxy 軌跡方程1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學35j tRi tRj yi xr sincos 位矢Ryxr 22位矢大小位矢與x軸的夾角為ttttxy tancossintan222Ryx 軌道方程為解：例1.1：一質點在xoy平面內運動，其運動函數(shù)為x=Rcost 和y=Rsint，其中R和為正值常量。求質點的運動軌道以及任一時刻它的位矢

25、、速度和加速度。 xyR o(x, y)1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學36j tRi tRdtrd cossinv 速度速度分量式tRtRyx cosv,sinv 速率 Ryx 22vvvxyv(t) o r速度與x軸的夾角為22 ttctgttxy sincosvvtan1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學37思考：加速度中負號的含義?加速度j tRi tRdtda sincosv22 加速度分量式tRatRayx sin,cos22 加速度大小222 Raaayx rj tRi tRa22)sincos( 1.3 描述質點運動的物理

26、量2022-7-6第一章 質點運動學38例1.2: 離水平面高為h 的岸邊，有人用繩以恒定速率v0拉船靠岸。試求: 船靠岸的速度和加速度隨船至岸邊距離變化的關系式？對時間求導得到速度和加速度：idtdxdtrd vidtxddtda22v (1)(2)由題意知：dtdr 0v(3)jhi xj yi xr 解： 在如圖所示的坐標系中，船的位矢為：yxohv0r1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學39由幾何關系：222hxr 對時間t 求導：dtdxxdtdrr22 dtdrxrdtdx (4)代入(3) 式得:xhxhrrx220220vvv yxohv0r1.3 描

27、述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學40故得故得:ixhdtxdaixhdtxd32202220v1vv 分析船的運動特點： 雖然收繩速率是均勻的, 但船的前進方向并不是繩子的方向, 故其運動是變速的, 加速度也是變化的，且船速大于收繩的速度（？）。根據(jù)加速度定義32202222022vvxhdtdxhxxhdtxda 1.3 描述質點運動的物理量2022-7-6第一章 質點運動學41一一運動學中的兩類問題運動學中的兩類問題第一類：對時間求導第二類：對時間積分)(),(v)(trtta積分積分atr, v)(求導求導二二兩類問題的處理兩類問題的處理第二類：速度、加速度 運動方程

28、（局部 整體）。1.4 運動學的兩類問題)(taa 已知1.求速度v tdtad0vv0vdtdav dtad v tdta00vv第一類：運動方程 速度和加速度（整體 局部）；2022-7-6第一章 質點運動學42dxddtdxdxddtdxavvvv)( 兩端積分得： dxxa)(2vv2122已知)(xaa dtaddtda )v(vv)v(已知)v(aa 對方程兩端積分求解vv)( ddxxa 1.4 運動學的兩類問題2.求位矢r已知 ，如何求x(t).)(vvt 2022-7-6第一章 質點運動學43曲線運動中兩類問題的處理方法:v用運動的疊加原理將運動沿坐標軸分解；v用直線運動規(guī)律

29、對各分量運算；v結果疊加。 trrdtrd0v0兩邊積分 todtrrv0已知 ，如何求x(t).)(vvt dtrddtrdvv 由1.4 運動學的兩類問題2022-7-6第一章 質點運動學44例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：r, vjtitr223123 位置矢量為：20200200031v233vtdttdtyyttdtdtxxttyttx 根據(jù)積分公式，得解：tdtdtattxxx33vv000 得jti t23v 20002vvttdtdtattyyy a 是t 的函數(shù)，由公式得即該質點的運動方程即該質點的運動方程1.4 運動學的兩類問題0v, 0,2300 r

30、j tia例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tiar, v例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：r, v例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia2022-7-6第一章 質點運動學45一一自然坐標系表示法自然坐標系表示法 這種順著已知的質點運動軌跡建立起來的坐標系稱為自然坐標系自然坐標系（內稟坐標系、本性坐標系或路徑坐標系）。 運動方程)(tss 在自然坐標系中，質點運動的速度只有切向分速度只有切向分量量，沒有法向分量。 在已知的質點運動軌跡上，選定任意一點O為原點，用軌跡的長度 s 來描寫質點的坐標。為描

31、寫質點的運動，規(guī)定兩個依賴于質點位置的單位矢量：sPOn 問題：加速度是如何影響速度的？n和和 不不是是常常矢矢量量: 切向單位矢量, 指向自然坐標增大方向: 法向單位矢量, 指向軌道凹側 n1.5 自然坐標系中運動的描述速度 vvvvv nn2022-7-6第一章 質點運動學46二二切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度如圖，質點沿曲線從 P點運動Q點s( )v t n PQv ()v tt 12vv OQ2Q1Q3ttttt )(v)(vvtttttt )(v)( )(v)( )(v)(v)( )( )(v1tttttttttt tt 21vv（如圖，（如圖， ）232121v ,v

32、 QQQQ1.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學47s( )v t n PQv ()v tt 12vv OQ2Q1Q3( ) t()tt ( ) t 切向加速度切向加速度:質點速度大質點速度大 小變化快慢小變化快慢法向加速度法向加速度:質點速度方質點速度方 向變化快慢向變化快慢tttttttt )( )( lim)(vvlim010 ntttlim)(v0 ntstt1lim)(v0 nt)(v2 )( lim)(v)(vlimvlim0020tttttttttt )( )(vtdttd naandtddtdanvvv2 當時，當時，Q 接近接近 P 點點0 t1.5

33、 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學48對一段曲線 PQ ，如圖，其曲率為：故sOn PQ方法二：矢量微商法dsdsks 0lim1當時，當時，0 t的方向一致；的方向一致；方向與方向與：n 大小大小 dsndnd dtddtddtddtda vv) v(v ndtdsdtd1vv naandtdnvv2 1.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學49三三圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述1. 角位置角位置 和角位移和角位移 2. 運動方程運動方程)(t 用自然坐標系描述質點運動的優(yōu)點： 速度只有切向分量, 沒有法向分量; 曲線“ 直線化”.oRP

34、1P2xy 3.3.角速度和角加速度角速度和角加速度dtdtt 0lim220limdtddtdtt rad rad.s-1 rad.s-21.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學50例.對于勻速圓周運動的運動學公式: 221202200ttttt因此用角量可以完全描述質點的圓周運動4.4.線量與角量之間的關系線量與角量之間的關系圓周運動只有兩個轉動方向，逆時針轉動為正；反之，為負方向。 2 ,v RaRaRn1.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學515.5.圓周運動的矢量描述法圓周運動的矢量描述法 角速度矢量 的大小為 ，方向按右手系指向平行

35、于轉軸的方向. dtd/ 如圖所示，當坐標原點選在轉軸上時，有rdtrd vdtrdrdtddtda v)()(vrrdtdardtrd )(r r r OP1.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學52無限小角位移矢量無限小角位移矢量kdd 初、末態(tài)矢量與轉動正方向滿足右手螺旋法則無限小角位移與有限角位移的區(qū)別？dk)(tr)(ttr1.5 自然坐標系中運動的描述有限角位移不是矢量不滿足矢量加法的交換律2022-7-6第一章 質點運動學53角速度kdtd角加速度kdtkdkdtddtddk)(v t角速度和角加速度都沿轉軸的方向無限小角位移是矢量無限小角位移是矢量1.5

36、 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學54vv RdtRdRdtddtda轉動引起的無限小位移RdRd加速度速度RRdtddtRd vd)(v tRRdkRaa 切切心心 , v1.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學55小結小結:自然坐標系自然坐標系自然坐標系的兩個正交基矢aaan加速度在自然坐標系中的分解dtdadtdldlddtdanvvvv2 沿速度方向切向單位矢量n指向曲率圓的圓心法向單位矢量vn1.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學561.5 自然坐標系中運動的描述計算曲率半徑的運動學方法計算曲率半徑的運動學方法

37、（1）假設一種沿曲線的簡單運動（2）計算各點的速度（3）計算各點的加速度（4）計算與速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）計算曲率半徑心心a2v 2022-7-6第一章 質點運動學57例1.4 鉛球以10m/s的速度向斜上方拋出, 上升3.2m高度后開始下降. 設空氣阻力忽略不計, 則鉛球上升至最大高度時的曲率半徑?ghyy2v0v202 解: 在最高點Am8 . 32v20 ggh 2v na而在最高點A xnga0vvOAanv0h得 ghghxy2vv2v200201.5 自然坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學58質點的運動方程質點的軌道方程r r 一一平面極坐標

38、系平面極坐標系 在所研究的平面內，取固定于參考物的一點O為原點（極點），從它出發(fā)引出一條有刻度的射線為極軸，即建立起平面極坐標系. 用 兩個坐標表示質點的位置。其單位矢量分別記 。 、r , rOxr MNr 需要注意的是， 并不是常矢量，它們的位置隨質點所在位置的不同而不同。 、r0),( rf)( )(ttrr 1.6 平面極坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學59二二位矢、速度、加速度的極坐標表示位矢、速度、加速度的極坐標表示位矢：速度： 如圖，在 時間間隔內質點的位移可表示為t trtrtrttt 10200limlimlimvOxr r r 1r 2r Q A Pr rr 2112rrrrr )(trOPOA 1.6 平面極坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運動學60加速度： 直接利用矢量求導法得徑向速度徑向速度橫向速度橫向速度當 時0 t 12rdrrdrr vvv rrr rdtdrrdtdrr)(v rr rdtddtda dtdrrrdtrdrr r 1.6 平面極坐標系中運動的描述2022-7-6第一章 質點運