力學(xué)-第一章(乙)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)11.1 引言引言 1.2 參考系、時(shí)間與空間參考系、時(shí)間與空間1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述1.6 平面極坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述平面極坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述目目 錄錄笫一章笫一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)21.1 引言引言一一力學(xué)的研究對(duì)象力學(xué)的研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)：運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，而不研究引起物體運(yùn)動(dòng)的原因。（位移，速度，加速度，軌跡等的描述和計(jì)算）動(dòng)力學(xué)：動(dòng)力學(xué)：研究受力物體的運(yùn)動(dòng)變化與作用力之間的關(guān)系。（運(yùn)動(dòng)

2、微分方程的建立和求解）靜力學(xué)：靜力學(xué)： 研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時(shí)也研究力的一般性質(zhì)和力系的簡(jiǎn)化方法等。（平衡方程的應(yīng)用和受力分析）經(jīng)典力學(xué)適用范圍：弱引力場(chǎng)中宏觀物體的低速運(yùn)動(dòng)。2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)31.1 引言引言二二時(shí)間、空間和牛頓力學(xué)的絕對(duì)量時(shí)間、空間和牛頓力學(xué)的絕對(duì)量子在川上曰：子在川上曰：“逝者如斯夫，不舍晝夜。逝者如斯夫，不舍晝夜。” 論語(yǔ)“上下四方曰宇，往古來(lái)今為宙上下四方曰宇，往古來(lái)今為宙” 戰(zhàn)國(guó).尸佼時(shí)間時(shí)間: 用以表述事物之間的順序用以表述事物之間的順序空間空間: 用以表述事件相互之間的位形用以表述事件相互之間的位形沒(méi)有滿(mǎn)意的“嚴(yán)格”的理論定義，并

3、不妨礙時(shí)間和空間二者在物理中的使用，因?yàn)椋锢韺W(xué)是一門(mén)基于實(shí)驗(yàn)的科學(xué)物理學(xué)是一門(mén)基于實(shí)驗(yàn)的科學(xué)，在考查物理學(xué)的概念或物理量的時(shí)候，首先應(yīng)當(dāng)注意它與實(shí)驗(yàn)之間是否有明確的、不含糊的關(guān)系。對(duì)于時(shí)間和空間這兩個(gè)基本概念來(lái)說(shuō)，首要的問(wèn)題似不是去追究它們的“純粹”定義，而是應(yīng)當(dāng)了解它們是怎樣量度怎樣量度的。 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)41.1 引言引言絕對(duì)時(shí)空觀絕對(duì)時(shí)空觀絕對(duì)空間，就其本性來(lái)說(shuō)，與任何外在的情況無(wú)關(guān)， 始終保持著相似和不變。絕對(duì)的、純粹的數(shù)學(xué)的時(shí)間，就其本性來(lái)說(shuō)，均勻地 流逝而與任何外在的情況無(wú)關(guān)。 牛頓牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理時(shí)間和空間的測(cè)量與物體的存在和運(yùn)動(dòng)沒(méi)有

4、任何關(guān)系時(shí)間和空間的測(cè)量與物體的存在和運(yùn)動(dòng)沒(méi)有任何關(guān)系在牛頓力學(xué)中，時(shí)間間隔和空間間隔時(shí)間間隔和空間間隔（長(zhǎng)度）被認(rèn)為是絕絕對(duì)量對(duì)量，是獨(dú)立于所研究對(duì)象（物體）和運(yùn)動(dòng)而存在的客觀實(shí)在。時(shí)間的流逝與空間位置無(wú)關(guān)，空間為歐幾里德幾何空間。2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)51.1 引言引言1.1.時(shí)間的測(cè)量時(shí)間的測(cè)量 ：l 任何具有重復(fù)性的過(guò)程或現(xiàn)象，都可以作為測(cè)量時(shí)間的一種鐘（例如，太陽(yáng)的升沒(méi)表示天；四季的循環(huán)稱(chēng)作年；月亮的盈虧是農(nóng)歷的月。其他的循環(huán)過(guò)程，如雙星的旋轉(zhuǎn)、人體的脈搏、吊燈的擺動(dòng)、分子的振動(dòng)等等，也都可以用作測(cè)時(shí)的工具）； l 1967年10月在第十三屆國(guó)際度量衡會(huì)議上規(guī)定： 位于海

5、平面上的銫-133原子的基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)在零磁場(chǎng)中躍遷輻射的周期T與1秒的關(guān)系為 1秒 = 9,192,631,770 T 這樣的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)稱(chēng)為原子時(shí) 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)61.1 引言引言l 用銫鐘作為計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)，誤差若按一個(gè)周期計(jì)算，測(cè)量精度要比秒表作時(shí)計(jì)提高 倍，即誤差下降到秒表的 之一 l 自從人類(lèi)發(fā)明機(jī)械計(jì)時(shí)的時(shí)鐘以來(lái)，400年來(lái)時(shí)間計(jì)量準(zhǔn)確度的提高是驚人的，現(xiàn)代的原子鐘的計(jì)時(shí)誤差已小于 秒/天。目前，時(shí)間是測(cè)量得最準(zhǔn)確的一個(gè)基本量 1010 101010102. 長(zhǎng)度的單位和標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的單位和標(biāo)準(zhǔn) 1983年國(guó)際計(jì)量大會(huì)通過(guò)了“m”的新定義：“1m是光在真空中1/299

6、 792 458s的時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長(zhǎng)度” 。1 299792458 smc2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)7思考題：龜兔賽跑和芝諾佯謬思考題：龜兔賽跑和芝諾佯謬芝諾論證：兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜v1 v2 v1v2 A1B1=LA1 B1 B2 B3要點(diǎn)：對(duì)時(shí)間的量度不同導(dǎo)致結(jié)論的不同解：普通時(shí) t 和芝諾時(shí) 的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.1 引言引言nLLLLLLLtn 3 2 1 0 )vv(v1v , ,)vv(vv ,vvvv ,v 0, 112112121112111，：芝諾時(shí)芝諾時(shí)：普通時(shí)普通時(shí) 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)81.1 引言引言)vv(1vv)vv(vv1v122111212

7、1nnLLt )vv(1vv1221 L1221vvlg)vv1lg(tL 或或普通時(shí)普通時(shí) t = t = L L/( /(v v1 1- -v v2 2) )，芝諾時(shí)芝諾時(shí) 即當(dāng) 時(shí)n 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)9參考物：選取的一個(gè)有固定大小和形狀的物體。 相對(duì)參考物，可以確定其它物體的位置。參考空間：沿左右、前后、上下三對(duì)方向無(wú)限擴(kuò)展， 構(gòu)成三維平直空間參考系：參考空間+測(cè)量時(shí)間的時(shí)鐘坐標(biāo)系：在參考空間中任選一點(diǎn)作為原點(diǎn)， 可建立各種坐標(biāo)系。 時(shí)間的零點(diǎn)也可任選一一質(zhì)點(diǎn)和參考系質(zhì)點(diǎn)和參考系1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系 zxyO2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)101.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系 坐

8、標(biāo)系: 固結(jié)在參考物上的一組有刻度的射線, 曲線 或角度. 坐標(biāo)系為參考物的數(shù)學(xué)抽象. 參考物選定后, 坐標(biāo)系還可任選.常用坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系（ x , y , z ） 球極坐標(biāo)系（ r, ） 柱坐標(biāo)系 （ , , z ） 自然坐標(biāo)系（ ）ntee、2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)11 運(yùn)動(dòng)本身是絕對(duì)的, 而對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的; 運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性決定描述運(yùn)動(dòng)必須選擇參考物; 參考物可任選, 不同的參考物物體的運(yùn)動(dòng)形式 （如軌跡、速度等）可以不同.參考物：描述物體運(yùn)動(dòng)而選作參考的物體或物體系.1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系 太陽(yáng)參考系（太陽(yáng) 恒星參考系） 地心參考系（地球 恒星參考系） 地面參考系或?qū)嶒?yàn)室

9、參考系 質(zhì)心參考系常用參考系2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)12由繁到簡(jiǎn)由繁到簡(jiǎn)將物體模型化為一個(gè)點(diǎn)將物體模型化為一個(gè)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)由簡(jiǎn)到繁由簡(jiǎn)到繁質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)突出物體具有質(zhì)量和占有位置兩個(gè)主要因素，忽略了形狀、大小及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)等次要因素。2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)13kzj yi xr 參考系的選擇是任意的，對(duì)于同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置，用不同參考系來(lái)描寫(xiě)時(shí)，則具有不同的位置矢量。就這一點(diǎn)，我們可以說(shuō)，位置是具有相對(duì)性的物理量。 1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系 質(zhì)點(diǎn)的位置矢量 （簡(jiǎn)稱(chēng)位矢）的大小為OP的長(zhǎng)度，而方向從O指向P。用這個(gè)矢量就完全確定了質(zhì)點(diǎn)P的位置 r其中 分別分別表示空間的三

10、個(gè)坐標(biāo)方向（ 軸）上的單位矢量，稱(chēng)為坐標(biāo)基矢 zyx , ,kji , ,2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)14質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過(guò)的各點(diǎn)在空間連成一條曲線，這條曲線我們稱(chēng)之為軌跡。 一般曲線方程可以表示成： 軌跡可以利用曲線方程來(lái)描寫(xiě)。譬如，曲線方程： 0222zRyx就描寫(xiě)了在平面上半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡。 0),(0),(21zyxfzyxf1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系二二軌跡和運(yùn)動(dòng)方程軌跡和運(yùn)動(dòng)方程2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)15 我們不僅應(yīng)該知道軌跡，而且還應(yīng)知道質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)軌跡上各點(diǎn)的時(shí)刻。運(yùn)動(dòng)是在時(shí)間、空間里的現(xiàn)象，關(guān)鍵是把時(shí)間描寫(xiě)和空間描寫(xiě)聯(lián)系起來(lái)。直到牛頓之前不久，才特別強(qiáng)調(diào)了這一

11、點(diǎn)。 1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系 在歷史上很長(zhǎng)一個(gè)時(shí)期內(nèi)，人們只注重軌跡形狀的研究，例如行星走圓形，落體走直線。 但質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是位置的變化，它涉及空間和時(shí)間兩方面。軌跡形狀只反映了運(yùn)動(dòng)的空間方面的性質(zhì)，它對(duì)于研究運(yùn)動(dòng)還是不夠的，因?yàn)檐壽E還沒(méi)有把質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況全部表述出來(lái)，特別是沒(méi)有表述它的動(dòng)態(tài)性質(zhì)。百米賽跑時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員的軌跡都是直線，但他們各自的運(yùn)動(dòng)情況并不全同，否則就分不出名次了。2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)16我們知道，可以利用矢量方法來(lái)描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn) M 的位置。質(zhì)點(diǎn)的位置關(guān)于時(shí)間的函數(shù)稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程或運(yùn)動(dòng)解運(yùn)動(dòng)解，知道了這個(gè)方程等于知道了此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切情況。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示成：

12、 )(trr 當(dāng)然，也可以用坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)分量來(lái)描述運(yùn)動(dòng) )()()(tzztyytxx并有關(guān)系式 ktzjtyitxtr)()()()( 從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間 t 即得到軌跡的方程 1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)17 同一物體，相對(duì)于不同的參考系，顯示出不同的運(yùn)動(dòng)。風(fēng)洞中的模型，相對(duì)于地面是靜止的，相對(duì)于空氣（風(fēng)），模型卻在以高速度飛行。車(chē)刀，相對(duì)于車(chē)床的床座，僅僅作直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)于工件，刀刃卻在作螺旋運(yùn)動(dòng)。所以，研究運(yùn)動(dòng)，必須首先選定參考系，由于運(yùn)動(dòng)方程既包含質(zhì)點(diǎn)的位矢，也包含時(shí)間，因而對(duì)于不同的坐標(biāo)原點(diǎn)與時(shí)間原點(diǎn)的選取，運(yùn)動(dòng)方程的形式將有所不同。 在日常生活中，

13、我們習(xí)慣于認(rèn)為地面是靜止的，在講到“靜止”、“運(yùn)動(dòng)”的時(shí)候總是對(duì)地面而言的?？墒牵蠹抑?，地球以大約30公里/秒的速度繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，根本不是靜止的。宇宙間沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)靜止的物體。靜止和運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的，不存在“絕對(duì)靜止”的參考系，只存在描述某個(gè)運(yùn)動(dòng)較為方便的參考系。 1.2 質(zhì)點(diǎn)和參考系2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)18一一位置矢量（或位矢）位置矢量（或位矢） 從坐標(biāo)原點(diǎn)指向空間點(diǎn)的有向線段, 用來(lái)確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置的矢量。l 位矢定義位矢定義ktzjtyitxr)()()( l 直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示 )(trr 222)()()()(tztytxtrr 大?。悍较颍?/p>

14、rx cosry cosrz coso tx ty( )z tP( t )( )r t zix yjk1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)19 質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的改變叫做它在這段時(shí)間內(nèi)的位移。二二位移矢量位移矢量)()(trttrr l 位移定義位移定義位移是位矢的增量，是時(shí)間和時(shí)間間隔的函數(shù)。 y z P2 P1oSxr tt( )r t r t 注意：位移不同于位矢；位移也不同于路程。1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)202.2.直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示 kzjyixr1111 kzjyixr2222 kzj y

15、i xkzzjyyixxr )()()(121212222)()()(zyxr 大?。簉x cosry cosrz cos方向：1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)21三三速度矢量速度矢量tr v平均速度1.1.速度速度1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量質(zhì)點(diǎn)在 t1 = t 到 t2 = t +t 時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度平均速度 由圖可知，在t1 到t2 時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向并非總是沿著1到2的方向的，而是先從1向4、3方向運(yùn)動(dòng)，然后從3向2方向運(yùn)動(dòng)，這些運(yùn)動(dòng)方向并不平行于 1到2的方向。2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)221.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量 所以平均速度所指

16、的方向，只是質(zhì)點(diǎn)真實(shí)運(yùn)動(dòng)方向的平均。即，平均速度不但對(duì)于運(yùn)動(dòng)快慢運(yùn)動(dòng)快慢的描寫(xiě)是粗略的，而且對(duì)于運(yùn)動(dòng)的描寫(xiě)是粗略的，而且對(duì)于運(yùn)動(dòng)方向的描寫(xiě)也是粗略的方向的描寫(xiě)也是粗略的。但當(dāng)t減小時(shí)，矢量相繼從1，2變到1，3，變到1，4，在t0的極限情況下， r r的方向趨于軌跡曲線在點(diǎn) 1的切線方向，且位移與路程兩者的大小近似相等。則：瞬時(shí)速度的方向，就是軌跡曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線方向；瞬時(shí)速度的大小，就是t0時(shí)平均速率的大小。 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)231.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量路程函數(shù)s(t)：質(zhì)點(diǎn)從 t1 =0 到 t2 = t 時(shí)刻所走過(guò)的路程長(zhǎng)度 質(zhì)點(diǎn)從 t1 = t 到 t2 = t

17、 +t 時(shí)間間隔內(nèi)所走過(guò)的路程)()(12tstss 由此可以定義平均速率：tstttststt 1212)()(v212022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)241.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量位移與路程不同于位矢，它們與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。 位移不反映初位置到終位置中間的細(xì)節(jié)，也不反映初位置或終位置本身，僅反映兩者相對(duì)位置的改變。 由右圖可以看出，位移r與路程s有如下的異同點(diǎn)： 路程s是由M到M的曲線的實(shí)際長(zhǎng)度，是一個(gè)標(biāo)量。而位移是由始點(diǎn)至終點(diǎn)的有向線段，是一個(gè)矢量。而且位移的大小通常也不等于路程。 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)251.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量dtrdtrttrttrtt 00

18、lim )()(limv某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)將該點(diǎn)的函數(shù)某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)將該點(diǎn)的函數(shù)值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起來(lái)來(lái): : 求導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分歷史上，正是由于牛頓在處理這類(lèi)歷史上，正是由于牛頓在處理這類(lèi)基本力學(xué)問(wèn)題時(shí)需要一種適當(dāng)?shù)臄?shù)基本力學(xué)問(wèn)題時(shí)需要一種適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。學(xué)工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱(chēng)速度）定義為： 速度的數(shù)值大小（絕對(duì)值）稱(chēng)為速率，由上式知： dttdststrtrttttt)(| | )(v| )(vlimlimlim000 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)26kzj yi xkdtdzjdtdyidtdxdtrd v大小：222

19、vvvvvzyx 方向：v/vcosv/vcosv/vcoszyx 注意： 速度的相對(duì)性和瞬時(shí)性 速度的矢量性（疊加性和分解性） 速度方向沿軌跡切線kjiktzjtyitxtrzyxvvvv 2.2.直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)27四四加速度矢量加速度矢量瞬時(shí)加速度220)(vvlimvv,0dtrddtrddtddtdtadtt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1、平均加速度ta v與與 方向相同方向相同v y z P2 P1 0 xv tt v t v t v tv tt1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)28

20、2.2.直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示 注意： 加速度的相對(duì)性和瞬時(shí)性 加速度的矢量性（疊加性和分解性） 加速度的方向?yàn)樗俣茸兓姆较?大小dtddtdaavv 222zyxaaaa aaaaaazyx cos,cos,cos 方向kajaiakdtzdjdtydidtxdkdtdjdtdidtdazyxzyx vvv2222221.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)29v 質(zhì)點(diǎn)做變速運(yùn)動(dòng)中各個(gè)時(shí)刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬時(shí)性 v 速度、加速度是矢量，它具有矢量性v 從運(yùn)動(dòng)學(xué)本身來(lái)考慮，沒(méi)有足夠的理由說(shuō)明，為什么我們應(yīng)當(dāng)?shù)酱藶橹?，而不去討論加加?/p>

21、度、加加加速度。其中的原因在動(dòng)力學(xué)，學(xué)過(guò)動(dòng)力學(xué)后，我們將看到，對(duì)力學(xué)的討論幾乎全部是基于位置矢量、速度和加速度這三個(gè)量。 v 選取不同的參考系，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度是不同的，它具有相對(duì)性小結(jié)：小結(jié)：1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)30運(yùn)動(dòng)方程: 質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.五五運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程ktzjtyitxtrr)()()()( 運(yùn)動(dòng)方程中包含了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全部信息。軌跡: 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過(guò)的各點(diǎn)在空間中連成的一條曲線 zP( t )ix yojk( )r t或軌跡方程: 運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t 得到的位置坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系 )()()(tzztyytxx1.3 描

22、述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)31勻速直線運(yùn)動(dòng)方程變速直線運(yùn)動(dòng)方程討論幾種特殊的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程： 上兩種情況運(yùn)動(dòng)都是一維的上兩種情況運(yùn)動(dòng)都是一維的, 可以用標(biāo)量表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).勻加速運(yùn)動(dòng)（加速度為常矢量）tadtrd 0vvdtdav tx0v dtdx v tdtxx00v tdtaddtad0vv0v v1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)32v 實(shí)際有些自由落體受空氣阻力很大, 如雨點(diǎn), 最終運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速率稱(chēng)收尾速率（10m/s）20021vattxx 特例: 勻加速直線運(yùn)動(dòng), 如自由落體 為常矢量，和

23、 在一條直線上，由以上兩式可得a0v trrttdtatdrd0000v20021vtatrr tdtadtrdtadtrd 00v vv)(2vv0202xxa 1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)33 拋體運(yùn)動(dòng)典型的勻加速運(yùn)動(dòng)，ga 原理：運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和疊加性（實(shí)驗(yàn)證明）運(yùn)動(dòng)平面在),v(0g內(nèi) sinvvcosvv00000000 yxyxgaayx已知： yxv0o由速度、加速度的分量表達(dá)式可以看到，描寫(xiě)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其方向1的坐標(biāo)、速度和加速度與其它方向的坐標(biāo)、速度和加速度無(wú)關(guān)；對(duì)方向2和方向3也有這種性質(zhì)，即三個(gè)方向相互無(wú)關(guān)。這種性質(zhì)稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)

24、的獨(dú)立性。1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)3420021vtatrr 20021sinvcosvgttytx 位置 gtyx sinvv,cosvv00ta 0vv速度 202cosv2tangxxy 軌跡方程1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)35j tRi tRj yi xr sincos 位矢Ryxr 22位矢大小位矢與x軸的夾角為ttttxy tancossintan222Ryx 軌道方程為解：例1.1：一質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)函數(shù)為x=Rcost 和y=Rsint，其中R和為正值常量。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道以及任一時(shí)刻它的位矢

25、、速度和加速度。 xyR o(x, y)1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)36j tRi tRdtrd cossinv 速度速度分量式tRtRyx cosv,sinv 速率 Ryx 22vvvxyv(t) o r速度與x軸的夾角為22 ttctgttxy sincosvvtan1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)37思考：加速度中負(fù)號(hào)的含義?加速度j tRi tRdtda sincosv22 加速度分量式tRatRayx sin,cos22 加速度大小222 Raaayx rj tRi tRa22)sincos( 1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理

26、量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)38例1.2: 離水平面高為h 的岸邊，有人用繩以恒定速率v0拉船靠岸。試求: 船靠岸的速度和加速度隨船至岸邊距離變化的關(guān)系式？對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到速度和加速度：idtdxdtrd vidtxddtda22v (1)(2)由題意知：dtdr 0v(3)jhi xj yi xr 解： 在如圖所示的坐標(biāo)系中，船的位矢為：yxohv0r1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)39由幾何關(guān)系：222hxr 對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)：dtdxxdtdrr22 dtdrxrdtdx (4)代入(3) 式得:xhxhrrx220220vvv yxohv0r1.3 描

27、述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)40故得故得:ixhdtxdaixhdtxd32202220v1vv 分析船的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)： 雖然收繩速率是均勻的, 但船的前進(jìn)方向并不是繩子的方向, 故其運(yùn)動(dòng)是變速的, 加速度也是變化的，且船速大于收繩的速度（？）。根據(jù)加速度定義32202222022vvxhdtdxhxxhdtxda 1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)41一一運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題第一類(lèi)：對(duì)時(shí)間求導(dǎo)第二類(lèi)：對(duì)時(shí)間積分)(),(v)(trtta積分積分atr, v)(求導(dǎo)求導(dǎo)二二兩類(lèi)問(wèn)題的處理兩類(lèi)問(wèn)題的處理第二類(lèi)：速度、加速度 運(yùn)動(dòng)方程

28、（局部 整體）。1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題)(taa 已知1.求速度v tdtad0vv0vdtdav dtad v tdta00vv第一類(lèi)：運(yùn)動(dòng)方程 速度和加速度（整體 局部）；2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)42dxddtdxdxddtdxavvvv)( 兩端積分得： dxxa)(2vv2122已知)(xaa dtaddtda )v(vv)v(已知)v(aa 對(duì)方程兩端積分求解vv)( ddxxa 1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題2.求位矢r已知 ，如何求x(t).)(vvt 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)43曲線運(yùn)動(dòng)中兩類(lèi)問(wèn)題的處理方法:v用運(yùn)動(dòng)的疊加原理將運(yùn)動(dòng)沿坐標(biāo)軸分解；v用直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

29、對(duì)各分量運(yùn)算；v結(jié)果疊加。 trrdtrd0v0兩邊積分 todtrrv0已知 ，如何求x(t).)(vvt dtrddtrdvv 由1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)44例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：r, vjtitr223123 位置矢量為：20200200031v233vtdttdtyyttdtdtxxttyttx 根據(jù)積分公式，得解：tdtdtattxxx33vv000 得jti t23v 20002vvttdtdtattyyy a 是t 的函數(shù)，由公式得即該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程即該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題0v, 0,2300 r

30、j tia例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tiar, v例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：r, v例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)45一一自然坐標(biāo)系表示法自然坐標(biāo)系表示法 這種順著已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡建立起來(lái)的坐標(biāo)系稱(chēng)為自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系（內(nèi)稟坐標(biāo)系、本性坐標(biāo)系或路徑坐標(biāo)系）。 運(yùn)動(dòng)方程)(tss 在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度只有切向分速度只有切向分量量，沒(méi)有法向分量。 在已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上，選定任意一點(diǎn)O為原點(diǎn)，用軌跡的長(zhǎng)度 s 來(lái)描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。為描

31、寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，規(guī)定兩個(gè)依賴(lài)于質(zhì)點(diǎn)位置的單位矢量：sPOn 問(wèn)題：加速度是如何影響速度的？n和和 不不是是常常矢矢量量: 切向單位矢量, 指向自然坐標(biāo)增大方向: 法向單位矢量, 指向軌道凹側(cè) n1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述速度 vvvvv nn2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)46二二切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度如圖，質(zhì)點(diǎn)沿曲線從 P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)Q點(diǎn)s( )v t n PQv ()v tt 12vv OQ2Q1Q3ttttt )(v)(vvtttttt )(v)( )(v)( )(v)(v)( )( )(v1tttttttttt tt 21vv（如圖，（如圖， ）232121v ,v

32、 QQQQ1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)47s( )v t n PQv ()v tt 12vv OQ2Q1Q3( ) t()tt ( ) t 切向加速度切向加速度:質(zhì)點(diǎn)速度大質(zhì)點(diǎn)速度大 小變化快慢小變化快慢法向加速度法向加速度:質(zhì)點(diǎn)速度方質(zhì)點(diǎn)速度方 向變化快慢向變化快慢tttttttt )( )( lim)(vvlim010 ntttlim)(v0 ntstt1lim)(v0 nt)(v2 )( lim)(v)(vlimvlim0020tttttttttt )( )(vtdttd naandtddtdanvvv2 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，Q 接近接近 P 點(diǎn)點(diǎn)0 t1.5

33、 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)48對(duì)一段曲線 PQ ，如圖，其曲率為：故sOn PQ方法二：矢量微商法dsdsks 0lim1當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0 t的方向一致；的方向一致；方向與方向與：n 大小大小 dsndnd dtddtddtddtda vv) v(v ndtdsdtd1vv naandtdnvv2 1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)49三三圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述1. 角位置角位置 和角位移和角位移 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程)(t 用自然坐標(biāo)系描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)： 速度只有切向分量, 沒(méi)有法向分量; 曲線“ 直線化”.oRP

34、1P2xy 3.3.角速度和角加速度角速度和角加速度dtdtt 0lim220limdtddtdtt rad rad.s-1 rad.s-21.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)50例.對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式: 221202200ttttt因此用角量可以完全描述質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)4.4.線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系圓周運(yùn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之，為負(fù)方向。 2 ,v RaRaRn1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)515.5.圓周運(yùn)動(dòng)的矢量描述法圓周運(yùn)動(dòng)的矢量描述法 角速度矢量 的大小為 ，方向按右手系指向平行

35、于轉(zhuǎn)軸的方向. dtd/ 如圖所示，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)選在轉(zhuǎn)軸上時(shí)，有rdtrd vdtrdrdtddtda v)()(vrrdtdardtrd )(r r r OP1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)52無(wú)限小角位移矢量無(wú)限小角位移矢量kdd 初、末態(tài)矢量與轉(zhuǎn)動(dòng)正方向滿(mǎn)足右手螺旋法則無(wú)限小角位移與有限角位移的區(qū)別？dk)(tr)(ttr1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述有限角位移不是矢量不滿(mǎn)足矢量加法的交換律2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)53角速度kdtd角加速度kdtkdkdtddtddk)(v t角速度和角加速度都沿轉(zhuǎn)軸的方向無(wú)限小角位移是矢量無(wú)限小角位移是矢量1.5

36、 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)54vv RdtRdRdtddtda轉(zhuǎn)動(dòng)引起的無(wú)限小位移RdRd加速度速度RRdtddtRd vd)(v tRRdkRaa 切切心心 , v1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)55小結(jié)小結(jié):自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系的兩個(gè)正交基矢aaan加速度在自然坐標(biāo)系中的分解dtdadtdldlddtdanvvvv2 沿速度方向切向單位矢量n指向曲率圓的圓心法向單位矢量vn1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)561.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述計(jì)算曲率半徑的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法計(jì)算曲率半徑的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法

37、（1）假設(shè)一種沿曲線的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)（2）計(jì)算各點(diǎn)的速度（3）計(jì)算各點(diǎn)的加速度（4）計(jì)算與速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）計(jì)算曲率半徑心心a2v 2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)57例1.4 鉛球以10m/s的速度向斜上方拋出, 上升3.2m高度后開(kāi)始下降. 設(shè)空氣阻力忽略不計(jì), 則鉛球上升至最大高度時(shí)的曲率半徑?ghyy2v0v202 解: 在最高點(diǎn)Am8 . 32v20 ggh 2v na而在最高點(diǎn)A xnga0vvOAanv0h得 ghghxy2vv2v200201.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)58質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)的軌道方程r r 一一平面極坐標(biāo)

38、系平面極坐標(biāo)系 在所研究的平面內(nèi)，取固定于參考物的一點(diǎn)O為原點(diǎn)（極點(diǎn)），從它出發(fā)引出一條有刻度的射線為極軸，即建立起平面極坐標(biāo)系. 用 兩個(gè)坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)的位置。其單位矢量分別記 。 、r , rOxr MNr 需要注意的是， 并不是常矢量，它們的位置隨質(zhì)點(diǎn)所在位置的不同而不同。 、r0),( rf)( )(ttrr 1.6 平面極坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)59二二位矢、速度、加速度的極坐標(biāo)表示位矢、速度、加速度的極坐標(biāo)表示位矢：速度： 如圖，在 時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移可表示為t trtrtrttt 10200limlimlimvOxr r r 1r 2r Q A Pr rr 2112rrrrr )(trOPOA 1.6 平面極坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)60加速度： 直接利用矢量求導(dǎo)法得徑向速度徑向速度橫向速度橫向速度當(dāng) 時(shí)0 t 12rdrrdrr vvv rrr rdtdrrdtdrr)(v rr rdtddtda dtdrrrdtrdrr r 1.6 平面極坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述2022-7-6第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)