4第四講 晶體對稱規(guī)律

1、第四講 晶體宏觀對稱（二）對稱組合定律及空間格子類型1 對稱要素組合定理 定理一： LnPLnnP 定理二： LnL2=LnnL2 定理三： Ln（偶次）PLnP C 定理四：當(dāng)n為奇數(shù)時： LinL2 （或P）LinnL2nP 當(dāng)n為偶數(shù)時：LinL2 （或P ）Linn/2L2 n/2 P 定理五：Ln Lm mLnnLm （當(dāng)L3 與L4 斜交時） 2 空間格子類型與晶體常數(shù)特點 （一）空間格子的劃分 （二）空間格子類型 （三）十四種布拉維格子 3 對稱型（點群）的國際符號11 對稱要素組合定理 回顧上次講課用到的模型：綠柱石： L66L27PC鋯石：L44L25PC螢石：3L44L36

2、L29PC從上面的結(jié)果可以看出什么規(guī)律？ 對稱要素組合不是任意的，必須符合對稱要素的組合定律； 當(dāng)對稱要素共存時，也可導(dǎo)出新的對稱要素。2對稱要素組合定理：定理一：LnL2LnnL2 (L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)逆定理： L2與L2相交，在其交點且垂直兩L2會產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2思考: 兩個L2相交30,交點處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸?3定理二：Ln P LnP C (n為偶數(shù))逆定理： Ln C LnP C (n為偶數(shù)) P C LnP C (n為偶數(shù))這一定理說明了

3、L2、P、C三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者。因為偶次軸包含L2 。45定理3：Ln P/ LnnP/（P與P夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）；逆定理：兩個P相交，其交線必為一Ln，其基轉(zhuǎn)角為P夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個包含Ln的P。 （定理3與定理2對應(yīng)）思考:兩個對稱面相交60,交線處會產(chǎn)生什么對稱軸?6定理4：Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n為偶數(shù)） Linn L2 nP/（n為奇數(shù)）7圖示說明例1：方解石：L33L23PC，此L3為Li3（有對稱中心）有一個L2是垂直Li3的（或有一個P是包含Li3的） 則：Li33L23PL33L23PC例2：四方四面體：有一個

4、Li4，有P包含Li4 （或L2垂直于 Li4）則其對稱型為：Li42L22P 8定理五：Ln Lm mLnnLm （當(dāng)L3 與L4 斜交時） 舉例：螢石晶體模型：3L44L36L29PC932種對稱型推導(dǎo)表102 空間格子類型與晶體常數(shù)特點 2.1空間格子的劃分 2.1.1平行六面體的選擇對于每一種晶體結(jié)構(gòu)而言，其結(jié)點(相當(dāng)點)的分布是客觀存在的，但平行六面體的選擇是人為的。11對于一個空間點陣，可以劃分出一個平行六面體作為一個基本單位，整個空間點陣可以由這個單位平行六面體在三維空間的平移而產(chǎn)生。劃分平行六面體的方式有很多，但應(yīng)遵循以下原則： 1）所選平行六面體的對稱性應(yīng)符合整個空間點陣的對

5、稱 性； 2）在不違反對稱的前提下，應(yīng)選擇棱與棱之間直角關(guān)系 為最多的平行六面體； 3）在遵循前二條件的前提下，所選平行六面體的體積應(yīng) 為最小； 4）當(dāng)對稱性規(guī)定棱間的交角不為直角時，則在遵循前三 個條件的前提下，應(yīng)選擇結(jié)點間距小的行列作為平行 六面體的棱，且棱間交角近于直角的平行六面體。12下面兩個平面點陣圖案中，請同學(xué)們畫出其空間格子： 4mm mm2134mm14 mm2引出一個問題：空間格子可以有帶心的格子；另外請思考：如果上面的圖案對稱為3m，該怎么畫？15a0c0b0平行六面體參數(shù)： a0、 b0、 c0和、對比晶體幾何常數(shù)16劃分7種平行六面體，對應(yīng)于7個晶系 形狀及參數(shù)？(七種

6、形態(tài))空間格子的劃分 172.1.2晶體常數(shù)特點依據(jù)晶體對稱特點、高次對稱軸及對稱軸的數(shù)量進行分類，各晶系晶體常數(shù)a、b、c及其夾角、的相互關(guān)系如下： 1）等軸晶系：a=b=c，；=90； 2）四方晶系：a=bc，=90； 3）六方晶系：a=bc，=90，=120； 4）三方晶系：a=b=c，=90； 5）斜方晶系：abc，=90； 6）單斜晶系：abc，= =90、90 7）三斜晶系：abc，9018三十二種對稱型及對稱分類晶族名稱晶系名稱晶體常數(shù)特點對稱特點對稱型種類低級晶族 （無高次軸）三斜晶系ab c 90 無對稱面 無對稱軸1.L1 2.C單斜晶系ab c = =90 90 L2 或

7、 P 不多于1個3.L2 4.P 5.L2PC斜方晶系 (正交晶系)ab c = 90 L2 或 P 多于1個6.3L2 7.L22P 8.3L23PC中級晶族 （只有一個高次軸）四方晶系a=b c = 90 有一個L4 或Li49.L4 ; 10. L44L2 ; 11. L4PC 12. L44P ; 13. L44L25PC 14.Li4 ; 15. Li42L22P三方晶系a=b c =90; =120 有一個L316.L3 ; 17. L33L2 ; 18. L33P 19.L3C ; 20. L33L23PC六方晶系有一個L6 或Li621. Li6 ; 22.Li63L23P ;

8、 23. L6 24. L66L2 ; 25. L6PC ; 26. L66P 27. L66L27PC高級晶族 （有多個高次軸）等軸晶系a=b = c = 90 有四個L328. 3L24L3 ; 29. 3L24L33PC 30. 3Li44L36P ; 31. 3L44L36L2 32. 3L44L36L29PC192.2平行六面體中結(jié)點的分布（即格子類型）1）原始格子（P）：結(jié)點分布于平行六面體的八個角頂上。2）底心格子（C、A、B）：結(jié)點分布于平行六面體的角頂及某一對面的中心。3）體心格子（I）：結(jié)點分布于平行六面體的角頂和體中心。4）面心格子（F）：結(jié)點分布于平行六面體的角頂和三對

9、面的中心。 20 其中底心、體心、面心格子稱帶心的格子，我們在前面畫格子的例子中已經(jīng)知道有帶心格子的存在，這是因為有些晶體結(jié)構(gòu)在符合其對稱的前提下不能畫出原始格子，只能畫出帶心的格子。212.3 十四種布拉維格子 七個晶系-七套晶體常數(shù)七種平行六面體種形狀。每種形狀有四種類型，那么就有74=28種空間格子？ 但在這28種中，某些類型的格子彼此重復(fù)并可轉(zhuǎn)換，還有一些不符合某晶系的對稱特點而不能在該晶系中存在，因此,只有14種空間格子，也叫14種布拉維格子。（A.Bravais于1848年最先推導(dǎo)出來的）22舉例說明：1、四方底心格子可轉(zhuǎn)變?yōu)轶w積更小的四方原始格子 ；2、在等軸晶系中，若在立方格子

10、中的一對面的中心安置結(jié)點，則完全不符合等軸晶系具有4L3的對稱特點，故不可能存在立方底心格子。23例1：四方底心格子 四方原始格子24例2：立方底心格子不符合等軸晶系對稱思考：立方底心格子符合什么晶系的對稱？25晶系原始格子（P）底心格子（C）體心格子（I）面心格子（F）三斜C=II=FF=P單斜I=FF=C斜方2627小結(jié)：平行六面體中4種結(jié)點類型： 原始格子(primitive, P) 體心格子(body-centered, I) 面心格子(face-centered, F) 底心格子(end-centered, C, A, B)283 對稱型（點群）的國際符號 對稱型相當(dāng)于一個公式法，將

11、所有的對稱要素按一定規(guī)則羅列起來；而國際符號就是將對稱型的表示加以簡化，只寫其中的基礎(chǔ)對稱要素；因為可以根據(jù)這些基礎(chǔ)對稱要素，通過對稱要素組合定理將其所有的對稱要素推導(dǎo)出來；各晶系晶體的國際符號組成分別有13個規(guī)定的方向，即： 對稱型的國際符號很簡明， 1）它不將所有的對稱要素都寫出來, 2）并且可以表示出對稱要素的方向性, 3）但它不容易看懂. 特點是:凡是可以派生出來的對稱要素都省略了.29 對稱要素的標(biāo)記： 在國際符號中，以1、2、3、4、6和 分別表示各種軸次的對稱軸和倒轉(zhuǎn)軸；以m表示對稱面， Li6的國際符號寫為 而不是3/m；C的國際符號寫為 。 若對稱面與對稱軸垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔 開。如L4PC的國際符號寫為4/m；L2PC以2/m表示。 (由此可以看出，對稱中心C就不必再表示出來了， 因為偶次軸垂直對稱面定會產(chǎn)生一個C)。 30具體的寫法為:設(shè)置三個序號位(最多只有三個),每個序