最詳細(xì)概率統(tǒng)計(jì)期末總復(fù)習(xí)

1、概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)各各 章章 比比 重重第第一一章章(20)第第二二章章(16)第第三三章章(14)第第四四章章(14)第第五五章章(2)第第六六章章(14)第第七七章章(10)第第八八章章(10)概率概率(66)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)(34) 題題 型型 題題 量量 單項(xiàng)選擇題單項(xiàng)選擇題 (15) 填空題填空題 (18) 計(jì)算題計(jì)算題 (57) 證明題證明題 (10) 各各 章章 要要 點(diǎn)點(diǎn)第第一一章章1. 概率性質(zhì)概率性質(zhì) 古典概率古典概率2.條件概率條件概率 乘法公式乘法公式全全、貝公式貝公式3.事件獨(dú)立性事件獨(dú)立性第第二二章章1.分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)分布函數(shù)、分布

2、律、密度函數(shù)2.六個(gè)常用分布六個(gè)常用分布3.一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第第三三章章2. 邊緣分布邊緣分布3. 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性第第四四章章1. 期望期望 方差定義方差定義 性質(zhì)性質(zhì)2. 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 相關(guān)性相關(guān)性3. 不相關(guān)與獨(dú)立之間的關(guān)系不相關(guān)與獨(dú)立之間的關(guān)系1.聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律 、分布函數(shù)、密度、分布函數(shù)、密度4. 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第第五五章章1. 大數(shù)定律大數(shù)定律2. 中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用 第第六六章章1. 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 總體總體 樣本樣本2. 常用常用“三大分布三大分布”定義定義 性質(zhì)性質(zhì) 各

3、分布分位點(diǎn)定義及查表各分布分位點(diǎn)定義及查表第第七七章章 點(diǎn)估計(jì)的兩種方法點(diǎn)估計(jì)的兩種方法 及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)2. 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（重點(diǎn)：參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（重點(diǎn)： 單正態(tài)總體）單正態(tài)總體） 第第八八章章1. 假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)概念假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)概念2.參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（重點(diǎn)：參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（重點(diǎn)： 單正態(tài)總體）單正態(tài)總體）假設(shè)檢驗(yàn)步驟(三部曲三部曲) 其中其中)(VVPq 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所關(guān)心的內(nèi)容根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所關(guān)心的內(nèi)容, ,建立建立H H0 0與與H H1 1q 在在H H0 0為真時(shí)為真時(shí), ,選擇合適的統(tǒng)計(jì)量選擇合適的統(tǒng)計(jì)量V V, ,由由H H1 1確確給定顯著性水平給定顯著性水平 , ,其對(duì)

4、應(yīng)的拒絕域其對(duì)應(yīng)的拒絕域)()(221VVVV雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn))(1VV左邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)定拒絕域形式定拒絕域形式q 根據(jù)樣本值計(jì)算根據(jù)樣本值計(jì)算, ,并作出相應(yīng)的判斷并作出相應(yīng)的判斷. .右邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn))(VV 0H原假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1H備擇假設(shè)拒絕域0002() 已已 知知0002() 未未 知知nXU/0 nXtSn0*/ 000 000 uuuuuu/2 ttnttnttn/2(1)(1)(1) 32 1220220220() 未未知知nnS*2220(1) 220220220 )()()()(/1111221222221222 nnnn 或或0)(AP例例1 (1) 在古典概型的隨機(jī)試

5、驗(yàn)中, A( ) (2) 若事件 A, B, C , D 相互獨(dú)立, 則DA與CB也相互獨(dú)立. ( )事件q 若事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立, 將它 們?nèi)我夥殖?k 組, 同一事件不能同時(shí) 屬于兩個(gè)不同的組, 則對(duì)每組事件進(jìn) 行求和、積、差、逆 等運(yùn)算所得到 的 k 個(gè)事件也相互獨(dú)立.(3) 若事件 A 與 B獨(dú)立, B 與 C獨(dú)立, 則事件 A與 C 也相互獨(dú)立. ( )q 事件相互獨(dú)立不具有傳遞性.例例2 2 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位數(shù)數(shù), 故只能隨意撥最后一個(gè)號(hào)故只能隨意撥最后一個(gè)號(hào), 則他撥三次則他撥三次可撥通朋友家的概率為可撥通朋友

6、家的概率為._0.3例例3 3 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位數(shù)數(shù), 他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào)他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào), 他連撥三次，他連撥三次，由乘法公式設(shè)iA3,2, 1i表示“第 i 次撥通”)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP1 . 08198109解求第三次才撥通的概率求第三次才撥通的概率. 例例4 4 10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3 件次品件次品, 從中任取從中任取 2 件件.在所取在所取 2 件中有一件是次品的條件下件中有一件是次品的條件下, 求求另一件也是次品的概率另一件也是次品的概率.解解 A“所取所取 2 件中至少有一件次品

7、件中至少有一件次品” ”B“ 2 件都是次品件都是次品”)()()(APABPABP)()(APBP22310211233710/1.()/8CCCC CC 例例5 5 (1) 是是 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 則則 . ( )(xfX1)(0 xf(2) 若若 , 則則 ( ) ) 1 ( EX. 1, 0, 1,)(21yyyfeYyYX(3)(3) 設(shè)設(shè) 則則 ),(2NXX) 1 , 0(N(4)(4) 設(shè)某產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布設(shè)某產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布,現(xiàn)抽得一現(xiàn)抽得一容量為容量為9的樣本的樣本,測(cè)得樣本均值為測(cè)得樣本均值為1500,樣本標(biāo)樣本標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為14,則總體期望的置信度為則總體期

8、望的置信度為0.99的雙側(cè)的雙側(cè)置信區(qū)間為置信區(qū)間為(1484.42,1515.58)發(fā)生發(fā)生BBY, 0, 1 設(shè)A ,B 為隨機(jī)試驗(yàn) E 的兩個(gè)事件， 0 P (A) 1, 0 P (B) 1, 例例6 6 證明證明: 若若 XY = 0, 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X ,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.證證 由由 XY = 0 )()(APXE)()(BPYE而而發(fā)生發(fā)生AAX, 0, 1令令0),(YXCOV)()()(YEXEXYE不同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生BABAXY, 0, 1事件事件A ,B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()()(BPAPABP)()(ABPXYE事件事件X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立例例7 7 求

9、求 值值YX,ba,獨(dú)立獨(dú)立.使使. 9/ 1, 9/ 2ba解解XY 1 2 3 1 2 1/3 a b 1/6 1/9 1/18 ipjp9/1a ip3/191913131aba解得解得:解解) 1, 0 ( NYXZ由于相互獨(dú)立的正態(tài)變量的線性組合仍是正態(tài)變量，故1)()(0)(2ZEZDZE/2)2/()(22dzezZEz22)()()()(ZEZEZDYXD./21例8 設(shè)隨機(jī)變量 X、Y 相互獨(dú)立, 且都服. 求)(YXD) 2/ 1 , 0(N從解解設(shè)裝設(shè)裝m袋水泥袋水泥,第第i袋的重量為袋的重量為Xi ，則，則 例例9 9 卡車裝運(yùn)水泥卡車裝運(yùn)水泥, 設(shè)每袋重量設(shè)每袋重量(

10、gk) X 服從服從. )5 . 2,50(2N問(wèn)至多裝多少袋水泥問(wèn)至多裝多少袋水泥, 使總使總重量超過(guò)重量超過(guò)2000的概率不大于的概率不大于0.05. 250,2.51,2,iXNim 裝裝m袋水泥的總重量為袋水泥的總重量為Y ，顯然，顯然 1miiYX 250,2.5Nmm(2000)1(2000)P YP Y 0.05 (2000)0.95P Y 502000500.952.52.5YmmPmm 2000501.652.5mm 504.12520000mm 6.376.28m 39.4m 所以至多裝所以至多裝3939袋水泥袋水泥. . 例例1 10 0某大賣場(chǎng)某種商品價(jià)格波動(dòng)為隨機(jī)某大

11、賣場(chǎng)某種商品價(jià)格波動(dòng)為隨機(jī)變量變量.設(shè)第設(shè)第 i 天天(較前一天較前一天)的價(jià)格變化為的價(jià)格變化為iX()0,()0.04.iiE XD X12,nX XX獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布, ,1,2,in01nniiYYX為為(元元/斤斤) 為現(xiàn)在的為現(xiàn)在的020Y 價(jià)格價(jià)格. 用切貝雪夫不等式估計(jì)用切貝雪夫不等式估計(jì)30(1822)PY 再用中心極限定理估計(jì)再用中心極限定理估計(jì)30(1822)PY第第 n 天的價(jià)格，天的價(jià)格，解解303001()( )()20iiE YE YE X303001()()()1.2iiD YD YD X303030(1822)()2)PYP YE Y301()/40.7D

12、 Y 30(1822)PY30 1.826(20)/ 1.21.826)PY2 (1.826) 10.932. 例例11 甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)他們射中甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)他們射中的概率分別為的概率分別為0.4、0.5、0.7 。又設(shè)若一人擊中，飛機(jī)。又設(shè)若一人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為墜毀的概率為0.2；若兩人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為；若兩人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為0.6；若三人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為；若三人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為0.8；無(wú)人擊中，；無(wú)人擊中，飛機(jī)不會(huì)墜毀。求下列事件發(fā)生的概率飛機(jī)不會(huì)墜毀。求下列事件發(fā)生的概率:(1)飛機(jī)墜毀飛機(jī)墜毀;(2)飛機(jī)已墜毀的條件下飛

13、機(jī)已墜毀的條件下,三人都擊中三人都擊中解解B=飛機(jī)墜毀飛機(jī)墜毀設(shè)設(shè) =i擊中飛機(jī)擊中飛機(jī) （i=甲、乙、丙）甲、乙、丙）iA=恰有恰有i人擊中飛機(jī)人擊中飛機(jī) （i=0,1,2,3）iB4 . 0)(甲AP5 . 0)(乙AP7 . 0)(丙AP6 . 0)(甲AP5 . 0)(乙AP3 . 0)(丙AP由已知得：由已知得：丙乙甲AAAB 0 丙乙甲APAPAPBP)(009. 03 . 05 . 06 . 0丙乙甲丙乙甲丙乙甲AAAAAAAAAB17 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0)(1BP36. 0同理同理41. 0)(2BP14. 0

14、)(3BP8 . 0)|(6 . 0)|(2 . 0)|(0)|(3210BBPBBPBBPBBP3210,BBBB而而 是樣空間的一個(gè)劃分是樣空間的一個(gè)劃分30)|()()(kkkBBPBPBP14. 08 . 041. 06 . 036. 02 . 009. 0043. 0（1）26. 043. 08 . 014. 0)()|()()()()|(3333BPBBPBPBPBBPBBP（2）例例12 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從（服從（-2,2）上的均勻分布）上的均勻分布,求求Y的概率密度的概率密度.2XY 解解 X的密度為的密度為1/ 422( )0Xxfx 其其它它2( )()()YFyP Y

15、yP Xy 000414yPyXyyy 0004214yyyy 1044( )0Yyyfy 其其它它 例例1 13 3 設(shè)設(shè) 均服從參數(shù)為均服從參數(shù)為 12,nXXX的泊松分布的泊松分布，則1limniinXnPxn （1）11limniniPXn （2）( )x 111limniniPXn （3）0例例1 14 4 設(shè)總體設(shè)總體 X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為.,0,0,/ )(6)(3其他xxxxf求求 的矩估計(jì)量的矩估計(jì)量 并計(jì)算并計(jì)算. )(D解解 2)(6)()(032dxxxdxxxfXE估計(jì)量估計(jì)量是樣本是樣本的函數(shù)的函數(shù).2XXXE)(令令 .5)(4)(4)2()(2n

16、nXDXDXDD20)()()(222XEXEXD103)(6)()(203322dxxxdxxfxXE例例15 15 設(shè)設(shè) X 服從服從 上的均勻分布上的均勻分布的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量. . ),(21nXXX為為 X X 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本, ,求參數(shù)求參數(shù) 0, 解解似然函數(shù)似然函數(shù)總體的密度函數(shù)為總體的密度函數(shù)為10( )0 xf x 其其它它10( )0inxL 其其它它1110min,max0iini ni nxx 其其它它ln ()lnLn 0n 而而ln ( )Ln 即似然程無(wú)解即似然程無(wú)解1110min,max( )0iini ni nxxL 其其它它為使為使 越

17、大，則越大，則 要越小要越小( )L 所以所以 的極大似然估計(jì)值為：的極大似然估計(jì)值為： 1maxii nx 即即 的極大似然估計(jì)量為：的極大似然估計(jì)量為： 1maxii nX 例例(15) (15) 設(shè)總體設(shè)總體 X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為解解/ ,( ; , )(0)0 ,.xexf xx 的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量. . , ),(21nXXX為為 X X 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本, ,求參數(shù)求參數(shù)nnxnixniiieeL11似然函數(shù)似然函數(shù)ln /0Ln 221ln /0niiLnnx 似然方程組為似然方程組為ln1ln1nnxLnii似然方程組無(wú)解似然方程組無(wú)解( ; ,

18、)0f x 由題設(shè)，若由題設(shè)，若 必須必須x即即121,nnimin XXXiminX0,越大，越大， 越大，故越大，故似然函數(shù)1minniiX1minniiXX的極大的極大似然似然估計(jì)是通過(guò)似然方程求得估計(jì)是通過(guò)似然方程求得. .例例1616 設(shè)某次概率統(tǒng)計(jì)考試考生的成績(jī)?cè)O(shè)某次概率統(tǒng)計(jì)考試考生的成績(jī)X N ( , 2), 從中隨機(jī)地抽取從中隨機(jī)地抽取 36 位考生位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)榈某煽?jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差分，標(biāo)準(zhǔn)差為為15分分. . 問(wèn)在顯著性水平問(wèn)在顯著性水平0.05下，是否可下，是否可以認(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)橐哉J(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)?0分分？并給出檢驗(yàn)過(guò)程并

19、給出檢驗(yàn)過(guò)程 . .解解.70:;70:10HH拒絕域拒絕域:nxttnSn270(1)2.0301/ t66.5701.42.030115/36 落在拒絕域外，接受落在拒絕域外，接受 0H即認(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)榧凑J(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)?070分分.統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量取:nXTt nnSn70(1),36/ 例例1717 用包裝機(jī)包裝洗衣粉用包裝機(jī)包裝洗衣粉. 在正常情況下，在正常情況下，問(wèn)該天包裝機(jī)工作是否正常？問(wèn)該天包裝機(jī)工作是否正常？( ).05. 0每袋重量為每袋重量為1000克，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過(guò)克，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過(guò)15克克.假設(shè)每袋凈重假設(shè)每袋凈重2( ,).XN 某天為檢查機(jī)器某天為

20、檢查機(jī)器工作是否正常，隨機(jī)抽取工作是否正常，隨機(jī)抽取10袋得其凈重的袋得其凈重的22(30.23) .ns 998X 均值均值 ，方差，方差解解 (1) H0: = 1000 ； H1: 1000 取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量0 (1)/nXTt nSnn=10拒絕域拒絕域 ：0.025(9)2.2622Tt998 10000.2092.262230.23/ 10T落在拒絕域外，接受落在拒絕域外，接受 0H即認(rèn)為即認(rèn)為該天包裝機(jī)的平均重量正常該天包裝機(jī)的平均重量正常.到此本題只做了一半到此本題只做了一半, ,還應(yīng)繼續(xù)做下去還應(yīng)繼續(xù)做下去(2)(2)設(shè)設(shè)2201:225;:225HH取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量2222

21、0(1)(1)nnSn拒絕域拒絕域 ：220.05(9)16.91922029 (30.23)36.55 16.91915落在拒絕域內(nèi)，拒絕落在拒絕域內(nèi)，拒絕 0H綜合綜合(1)(2),(1)(2),雖然平均雖然平均凈重合格凈重合格, 但方差但方差偏大，故包裝機(jī)工作不太正常偏大，故包裝機(jī)工作不太正常.例例18 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布從正態(tài)分布 ，現(xiàn)在測(cè)了，現(xiàn)在測(cè)了5爐鐵水，其爐鐵水，其含碳量為：含碳量為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（1）若方差沒(méi)有變，問(wèn)鐵水的平均含碳量是否有）若方差沒(méi)有變，問(wèn)鐵水的平均含碳量

22、是否有顯著變化顯著變化（2）鐵水的平均含碳量是否有顯著變化（）鐵水的平均含碳量是否有顯著變化（ ） N24.55,10.80.05 解解(1) H0: = 4.55 ； H1: 4.55 取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量0(0,1),5/XUNnn04.55 uu0.02521.96 0/xun10.8 0.039 拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋簎1.96 即認(rèn)為鐵水的平均含碳量沒(méi)有顯著變化即認(rèn)為鐵水的平均含碳量沒(méi)有顯著變化u0.0391.96落在拒絕域外，接受落在拒絕域外，接受 0Hx4.364 (2) H0: = 4.55 ； H1: 4.55 取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量0 (1)/nXTt nSnn=504.55 tt0.

23、0252(4)(4)2.7764 0/nxtsnns0.108 3.85 拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋簍2.7764 即認(rèn)為鐵水的平均含碳量有顯著變化即認(rèn)為鐵水的平均含碳量有顯著變化t3.852.7764 落在拒絕域內(nèi)，拒絕落在拒絕域內(nèi)，拒絕 0Hx4.364 例例19 已知電工器材廠生產(chǎn)的保險(xiǎn)絲熔斷時(shí)間服從已知電工器材廠生產(chǎn)的保險(xiǎn)絲熔斷時(shí)間服從正態(tài)分布正態(tài)分布 ，設(shè)備工作正常時(shí)方差不超過(guò)，設(shè)備工作正常時(shí)方差不超過(guò)64（單位：（單位：毫秒）?，F(xiàn)隨機(jī)抽了毫秒）?，F(xiàn)隨機(jī)抽了10根保險(xiǎn)絲做試驗(yàn)，其含熔斷根保險(xiǎn)絲做試驗(yàn)，其含熔斷時(shí)間為：時(shí)間為： 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55據(jù)此樣本值判斷設(shè)備工作是否正常？（據(jù)此樣本值判斷設(shè)備工作是否正常？（ ）0.05 解：設(shè)解：設(shè)2201:64;:64HH取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量22220(1)(1)nnSnn2064,10 拒絕域拒絕域 ：220.05(9)16