博弈論與信息經濟學混合均衡

1、博弈論與信息經濟學第2章 完全但不完美信息靜態(tài)博弈-2混合戰(zhàn)略納什均衡主要內容 占優(yōu)戰(zhàn)略均衡、重復剔除的占優(yōu)均衡 納什均衡 庫諾特寡頭競爭模型 混合戰(zhàn)略納什均衡 納什均衡的存在性和多重性 聚點均衡和相關均衡純戰(zhàn)略納什均衡 納什均衡定義為一個滿足所有參與人的效用最大化要求的戰(zhàn)略組合，即(s1*，.，si*, .，sn*)是一個納什均衡，當且僅當對于所有的i，si* argmax ui(si，s-i*)。 根據這一定義，有些博弈不存在納什均衡。社會福利博弈 參與人：政府和一個流浪漢 博弈規(guī)則：流浪漢有兩個戰(zhàn)略: 尋找工作或游蕩；政府也有兩個戰(zhàn)略: 救濟或不救濟。政府想幫助流浪漢，但前提是后者必須試

2、圖尋找工作，否則，前者不予幫助；而流浪漢只有在得不到政府救濟時才會尋找工作。政府和流浪漢同時選擇各自的戰(zhàn)略或行動。 表1.12給出了這個博弈的支付矩陣。 既沒有占優(yōu)戰(zhàn)略組合，也沒有純戰(zhàn)略納什戰(zhàn)略組合。純戰(zhàn)略與混合戰(zhàn)略 純戰(zhàn)略(pure strategy)：如果一個戰(zhàn)略規(guī)定參與人在每一個給定的信息情況下只選擇一種特定的行動，我們稱該戰(zhàn)略為純戰(zhàn)略，si: i ai。 混合戰(zhàn)略(mixed strategy)：如果一個戰(zhàn)略規(guī)定參與人在每一個給定信息情況下以某種概率分布隨機地選擇不同的行動，我們稱該戰(zhàn)略為混合戰(zhàn)略，si: i m(ai)，其中m0, Ai m(ai)dai=1。 在博弈的戰(zhàn)略式表述中，

3、混合戰(zhàn)略可以定義為在純戰(zhàn)略空間上的概率分布。在靜態(tài)博弈里，純戰(zhàn)略等價于特定的行動，混合戰(zhàn)略是不同行動之間的隨機選擇(randomization)戰(zhàn)略。 混合戰(zhàn)略 定義: 在n個參與人博弈的戰(zhàn)略式表述G = S1, ., Sn；u1, ., un中，假定參與人i有K個純戰(zhàn)略: Si = si1, ., siK，那么，概率分布i = (i1，., iK)稱為i的一個混合戰(zhàn)略，這里ik =(sik)是i選擇Sik的概率，對于所有的k = 1，., K，0ik 1，1Kik = 1。 純戰(zhàn)略可以理解為混合戰(zhàn)略的特例，比如說，純戰(zhàn)略si1等價于混合戰(zhàn)略i = (1，0，.，0)，即選擇純戰(zhàn)略si1的概率

4、為1，選擇任何其他純戰(zhàn)略的概率為0。 混合戰(zhàn)略空間 i代表i的混合戰(zhàn)略空間(ii), i = 1i，2i，。 = (1，., i, ., n)代表混合戰(zhàn)略組合(mixed strategy profile)，其中i為i的一個混合戰(zhàn)略, = 1ni代表混合戰(zhàn)略組合空間() = 1，2，。笛卡爾積 笛卡爾積(Cartesian product)是一種用給定的集合構造新集合的方法，用n元組的集合來定義。 設A1, A2, , An是n個任意集合， A1, A2, , An的卡氏積定義為所有由第一個元素a1取自A1，第二個元素a2取自A2，第n個元素an取自An的序列n元組(a1, a2, , an)

5、構成的集合，記為A1A2An或Ai，i = 1, 2, , n。 Ren Descartes(1596-1650)是法國數(shù)學家、哲學家、物理學家、生理學家、心理學家、天文學家，解析幾何的創(chuàng)始人。集合與n元組 一些對象組成的全體就是一個集合，這些對象稱為集合的元素。N，Z，R分別表示由自然數(shù)，整數(shù)和實數(shù)組成的集合，表示不含任何元素的空集。當一個對象a是集合A的元素時，記為aA。集合的表示方法是把元素放在花括號中。 集合中的元素是無次序的，而元素間的次序常常是非常重要的。由若干個元素組成的有序結構，稱為n元組，如(a1, a2, , an)是由n個元素a1, a2, , an組成，其中a1是第一個

6、元素， a2是第二個元素，an是第n個元素?；旌蠎?zhàn)略的期望效用混合戰(zhàn)略的期望效用 與混合戰(zhàn)略相伴隨的是支付的不確定性，因為一個參與人并不知道其他參與人的實際戰(zhàn)略選擇。 我們用i() =i(i, -i)表示參與人i的期望效用函數(shù)(其中，-i = (1，., i-1, i+1, ., n)是除i之外所有其他參與人的混合戰(zhàn)略組合)，i可以定義為： n i(i,-i) = (j(sj)ui(s) sS j=1 兩人博弈 假定參與人1有K個純戰(zhàn)略，參與人2有J個純戰(zhàn)略，即S1 = s11, ., s1K，S2 = s21, ., s2J。 如果參與人1相信參與人2的混合戰(zhàn)略為2 = (21，., 2J)

7、，那么，參與人1選擇純戰(zhàn)略s1k的期望效用為： J 1(s1k,2) = 2ju1(s1k, s2j) j=1 兩人博弈 參與人1選擇混合戰(zhàn)略1 = (11，., 1K)的期望效用為 K J 1(1, 2) = 1k 2ju1(s1k,s2j) k=1 j=1 K J = 1k2ju1(s1k,s2j) k=1 j=1 這里，1k2j是參與人1選擇s1k且參與人2選擇s2j的概率，即純戰(zhàn)略組合(s1k, s2j)發(fā)生的聯(lián)合概率。 兩人博弈 如果參與人1選擇1= (11，.,1K)，參與人2選擇2 = (21，.,2J)，參與人2的期望效用為: J K 2(1, 2) = 2j 1ku2(s1k

8、,s2j) j=1 k=1 K J = 1k2ju2(s1k,s2j) k=1 j=1兩人博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡 在兩人博弈里，混合戰(zhàn)略納什均衡是兩個參與人的最優(yōu)混合戰(zhàn)略的組合，這里，最優(yōu)混合戰(zhàn)略是指使期望效用函數(shù)最大化的混合戰(zhàn)略(給定對方的混合戰(zhàn)略)。換言之，如果* = (1*, 2*)是一個納什均衡，它必須滿足: 1(1*, 2*)1(1, 2*)，11 2(1*, 2*)2(1*, 2)，22混合戰(zhàn)略納什均衡 定義: 在n個參與人博弈的戰(zhàn)略式表述G = S1, ., Sn；u1, ., un中，混合戰(zhàn)略組合* = (1*,.,i* .,n*)是一個納什均衡，如果對于所有的i = 1，2，

9、., n, i(i*, -i*)i(i, -i*)， ii 每個參與人的期望效用是自己的混合概率的線性函數(shù) 這一點意味著，如果i = (i1，., iK)是相對于給定-i的一個最優(yōu)混合戰(zhàn)略，那么，對于所有的ik 0，下面的期望效用不等式成立: i(sik,-i)i(sik,-i), sikSi 就是說，如果i = (i1，., iK)是相對于給定-i的一個最優(yōu)混合戰(zhàn)略，并且如果這個混合戰(zhàn)略規(guī)定i以嚴格正的概率選擇純戰(zhàn)略sik，那么，sik本身一定是相對于-i的一個最優(yōu)戰(zhàn)略。 ik 0 ?, 即混合戰(zhàn)略規(guī)定以非嚴格正的概率選擇sik。若ik等于0，則上式嚴格不等式成立，sik不進入混合戰(zhàn)略；若i

10、k不等于0，則上式的等式成立，sik進入混合戰(zhàn)略。兩人博弈 在兩人博弈情況下，如果1是相對于2 = (21，.,2J)的最優(yōu)戰(zhàn)略，1k 0，則意味著: J J 2ju1(s1k ,s2j)2ju1(s1k,s2j),s1kS1 j=1 j=1 其中，若1k等于0，則上式嚴格不等式成立，s1k不進入混合戰(zhàn)略；若1k不等于0，則上式的等式成立，s1k進入混合戰(zhàn)略。無差異性 進一步，因為所有以正的概率進入最優(yōu)混合戰(zhàn)略的純戰(zhàn)略都是最優(yōu)戰(zhàn)略，它們的期望效用是相同的，參與人在所有這些純戰(zhàn)略之間一定是無差異的。就是說，如果i1 0, ., iK 0，那么， i(si1,-i)=i(si2,-i)=.=i(s

11、iK,-i) 反過來，若參與人有幾個純戰(zhàn)略是最優(yōu)的，它們的期望效用是相同的，那么，任何以正的概率選擇其中一些或所有這些純戰(zhàn)略的混合戰(zhàn)略也是最優(yōu)的。混合戰(zhàn)略納什均衡 根據上述道理，納什均衡也可以表述如下: 定義: * = (1*,.,i* .,n*)是一個納什均衡，如果對于所有的參與人i， i(i*, -i*)i(sik, -i*)， sikSi 若ik等于0，則上式嚴格不等式成立，sik不進入混合戰(zhàn)略；若ik不等于0，則上式的等式成立，sik進入混合戰(zhàn)略?；旌蠎?zhàn)略嚴格占優(yōu)純戰(zhàn)略如果選擇Defense，行參與人可以保證獲得支付1。但是，如果采取混合戰(zhàn)略（0.5North, 0.5South, 0

12、Defense），如果列參與人以N的概率選擇North，以（1-N）的概率選擇South，行參與人的支付是2。所以，不論列參與人的反應如何，行參與人選擇混合戰(zhàn)略的期望支付大于選擇純戰(zhàn)略Defense的支付。 混合戰(zhàn)略嚴格占優(yōu)純戰(zhàn)略博弈如何判斷哪個純戰(zhàn)略不進入混合戰(zhàn)略？如何判斷哪個純戰(zhàn)略不進入混合戰(zhàn)略？D是是Row的最劣戰(zhàn)略。的最劣戰(zhàn)略。因為參與人1選擇D和參與人2選擇R的概率都是0，所以兩個參與人只在兩種純戰(zhàn)略間進行混合。社會福利博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡 假定政府的混合戰(zhàn)略為G = (，1)，即政府以的概率選擇救濟，以(1)的概率選擇不救濟，流浪漢的混合戰(zhàn)略為L = (,1 -)，即流浪漢以的概

13、率選擇尋找工作，以(1-)的概率選擇游蕩。那么，政府的期望效用函數(shù)為: G(G,L)=3+(-1)(1-) +(1-)-1+ 0(1-) =(4 - 1) - (1 ) =(5 - 1) -支付最大化法 對上述效用函數(shù)求微分，得到政府最優(yōu)化的一階條件為: dG/d = 5 1 = 0 因此， * = 0.2 就是說，在混合戰(zhàn)略均衡下，流浪漢以0.2的概率選擇尋找工作，以0.8的概率選擇游蕩。支付等值法 假定最優(yōu)混合戰(zhàn)略是存在的？給定流浪漢選擇混合戰(zhàn)略(, 1)，政府選擇純戰(zhàn)略救濟(即=1)的期望效用為: G(1,) = 3 + (-1)(1 -) = 4 - 1 選擇純戰(zhàn)略不救濟(即=1)的期

14、望效用為: G(0,) = -1 + 0(1 - ) = - 如果一個混合戰(zhàn)略( 0，1)是政府的最優(yōu)選擇，那一定意味著政府在救濟與不救濟之間是無差異的，即: G(1,) = 4 1 = - =G(0,)支付等值法 上述等式意味著* = 0.2。 就是說，如果 0.2，政府將選擇救濟；只有當= 0.2時，政府才會選擇混合戰(zhàn)略( 0，1)或任何純戰(zhàn)略。 解政府的最優(yōu)化問題，得到流浪漢的均衡混合戰(zhàn)略（0.2，0.8）。支付最大化法 為了找出政府的均衡混合戰(zhàn)略，我們需要求解流浪漢的最優(yōu)化問題。給定G = (，1 ), L = (, 1 -)，流浪漢的期望效用函數(shù)為: L(G,L)=2+1(1-) +

15、(1-)3+0(1-) =(+1)+3(1) = -(2-1)+3 最優(yōu)化的一階條件為 dL/d= -（21）= 0 因此，* = 0.5 支付最大化法 如果0.5，流浪漢的最優(yōu)選擇是游蕩；只有當=0.5時，流浪漢才會選擇混合戰(zhàn)略( 0，1)或任何純戰(zhàn)略。 納什均衡要求每個參與人的混合戰(zhàn)略是給定對方的混合戰(zhàn)略下的最優(yōu)選擇。因此，在社會福利博弈中，*=0.5，*=0.2是唯一的納什均衡。 就是說，在均衡情況下，政府以0.5的概率選擇救濟，以0.5的概率選擇不救濟；流浪漢以0.2的概率選擇尋找工作，以0.8的概率選擇游蕩。 0.2以及 0.5都不構成納什均衡 假定政府認為流浪漢選擇尋找工作的概率嚴

16、格小于0.2，那么，政府的唯一最優(yōu)的選擇是純戰(zhàn)略不救濟；但如果政府以1的概率選擇不救濟，流浪漢的最優(yōu)選擇是尋找工作，這又將導致政府選擇救濟的戰(zhàn)略，因此 0.2也不構成納什均衡。同樣可以驗證 0.5的情形。在支付結果矩陣中，哪種結果更有可能出現(xiàn)？非對稱博弈，均衡結果不對稱反應對應 上述混合戰(zhàn)略均衡也可以用幾何圖形來表示。當參與人可以選擇混合戰(zhàn)略時，他選擇任何一個純戰(zhàn)略的概率在0與l之間是連續(xù)的（因而是無限的），因為這些純戰(zhàn)略的期望效用是相等的。 現(xiàn)在，我們可以使用反應對應(reaction correspondence)的概念來描述一個參與人對應于其他參與人混合戰(zhàn)略的最優(yōu)選擇。社會福利博弈的反應

17、對應及均衡 政府和流浪漢的反應對應分別為， 政府：= 0， if 0.2 流浪漢：= 1， if 0.5 在圖1.5中，我們畫出政府和流浪漢的反應曲線。兩條反應曲線的交叉點就是納什均衡點。=0=1=0=1反應對應與反應函數(shù) 反應對應允許一個參與人有多個（甚至無窮多個）戰(zhàn)略是其他參與人給定戰(zhàn)略的最優(yōu)選擇。 庫諾特寡頭競爭模型 反應函數(shù)(reaction function)表示的是一個參與人只有一個特定的戰(zhàn)略是其他參與人給定戰(zhàn)略的最優(yōu)選擇。映射(mapping) 映射(mapping)是把一個集合中的元素與另一個集合中的元素聯(lián)系起來的一種規(guī)則。 設A和B是任意非空集合，假定有一個從A到B的聯(lián)系f，

18、對A中的每一個元素，B中至多有一個元素與之建立這種聯(lián)系，或者說，對于每個aA，都存在唯一的bB，使得序偶a, bf，這種聯(lián)系規(guī)則稱為一個從A到B的映射，記為 f：AB，元素a與b的聯(lián)系記為f(a)=b。 f的定義域就是A本身，不能是A的真子集；f的值域只要求是B的子集。映射或函數(shù) 就映射或函數(shù)而言，對于A中的每個元素，有且僅有一條射線由此出發(fā)，對應B中唯一的元素（不許一對多）； 而B中的元素，在A中可能沒有元素或可能有多個元素與之對應（允許多對一）。ABfABfABf滿，但不單多對一單，但不滿一對一，B中有元素在A中沒有元素與之對應雙，既單又滿一對一，B中所有元素在A中都有元素與之對應函數(shù)、映

19、射與對應 映射是通常數(shù)集上函數(shù)的推廣，對于映射來說，A和B中的元素可以不是數(shù)值。 對于函數(shù)來說，集合A和B中的元素（也稱為點）通常都是數(shù)值，在這種情況下，如果f把A中的每一點映射到B中的恰好一點， f稱為函數(shù)。 函數(shù)和映射只把每一點映射到一點，可以一對一或多對一，稱為點-點映射或單值映射。 對應是函數(shù)和映射概念的一般化，把一個集合A中每一點映射到另外一個集合B中的一點或多點（一對多），稱為點-集映射或集值映射。數(shù)值對應 給定集合ARN，對應f：ARK是為每一xA指定一個集合f(x)RK的規(guī)則。 對于每一xA，如果f(x)由恰好一個元素構成，f(.)可看作通常意義上的函數(shù)。 對應的定義允許f(x

20、)=，通常，我們只考慮對于每一xA，f(x)的對應。 對于某種集合YRK，如果對于每一xA，有f(x)Y，用f：AY來表示。數(shù)值對應猜謎博弈的納什均衡 每個參與人的均衡混合戰(zhàn)略是以0.5的概率隨機地選擇任意一個純戰(zhàn)略。 對稱博弈：均衡結果對稱混合戰(zhàn)略嚴格占優(yōu)純戰(zhàn)略博弈如何判斷哪個純戰(zhàn)略不進入混合戰(zhàn)略？如何判斷哪個純戰(zhàn)略不進入混合戰(zhàn)略？D是是Row的最劣戰(zhàn)略。的最劣戰(zhàn)略。混合戰(zhàn)略組合混合戰(zhàn)略組合(1/2N, 1/2S)R, (1/2N, 1/2S)C)是唯一的納什均衡。是唯一的納什均衡。因為參與人1選擇D和參與人2選擇R的概率都是0，所以兩個參與人只在兩種純戰(zhàn)略間進行混合，混合戰(zhàn)略均衡為(3/7

21、U，4/7M)，(3/7L, 4/7M)。判斷混合戰(zhàn)略是否存在的方法 當混合概率計算為大于1或小于0時，可以認為或者建模者犯了計算錯誤，或者博弈沒有混合戰(zhàn)略均衡。 如果不能確定均衡是否是混合的，可以用這種方法證明博弈沒有混合戰(zhàn)略均衡。疑問 在均衡的情況下，一個參與人選擇不同純戰(zhàn)略的概率分布不是由他自己的支付決定的，而是由他的對手的支付決定的。 進一步，每個參與人在所有構成均衡的純戰(zhàn)略之間是無差異的，均衡均衡卻要求每個參與人以特定的概率選擇純戰(zhàn)略。 既然參與人在構成混合戰(zhàn)略的不同純戰(zhàn)略之間是無差異的，他為什么不選擇一個特定的純戰(zhàn)略而要以特定的概率隨機地選擇不同的純戰(zhàn)略呢? 解釋-1-戰(zhàn)略不確定性

22、 如果一個參與人采取混合戰(zhàn)略，他的對手就不能準確地猜出他實際上會選擇的純戰(zhàn)略，盡管在均衡點，每個參與人都知道其他參與人選擇不同戰(zhàn)略的概率分布，參與人選擇混合戰(zhàn)略的目的是給其他參與人造成不確定性。 事實上，正是因為他在幾個(或全部)戰(zhàn)略之間是無差異的，他的行為才難以預測，混合戰(zhàn)略均衡才會存在。如果他嚴格偏好于某個特定的純戰(zhàn)略，他的行為就會被其他參與人準確地猜透，就不會有混合戰(zhàn)略均衡出現(xiàn)。 解釋-2-群體論 流浪漢不是一個，而是一個群體，他們具有相同的趣味和支付函數(shù)，政府必須以相同的方式對待每一個流浪漢。 在混合戰(zhàn)略均衡中，一個流浪漢以20%的概率選擇去工作，以80%概率選擇去流浪。 所以，在流浪

23、漢群體中，有20%的流浪漢選擇去工作，80%的流浪漢選擇去流浪，政府只知道這個比例，但不知道每一個流浪漢的實際偏好。實際上，對流浪漢來說，這是一個純戰(zhàn)略均衡。解釋-3 海薩尼(Harsanyi，1973)對混合戰(zhàn)略的解釋是，混合戰(zhàn)略均衡等價于不完全信息下的純戰(zhàn)略均衡。 在前例中，假定有兩類特征的流浪漢，一類選擇尋找工作，另一類選擇游蕩；每個流浪漢都知道自己的特征，但政府并不知道流浪漢的準確特征，只知道一個流浪漢有20%的概率屬于第一類，有80%的概率屬于第二類。 在這種情況下，政府在選擇自己的戰(zhàn)略時似乎面臨的是一位選擇混合戰(zhàn)略的流浪漢。純戰(zhàn)略均衡與混合戰(zhàn)略均衡同時存在 前面我們討論的是不存在純

24、戰(zhàn)略納什均衡但存在混合戰(zhàn)略納什均衡的博弈。 有些博弈既存在純戰(zhàn)略均衡，也存在混合戰(zhàn)略均衡。所謂的“性別戰(zhàn)”就是這樣一個博弈。 性別戰(zhàn)說的是，一男一女約會，或者去看足球比賽，或者看芭蕾舞演出。男的偏好足球賽，女的偏好芭蕾舞，但他們都寧愿在一起而不愿分開。表1.15給出支付矩陣。 對稱博弈：不對稱的純戰(zhàn)略均衡結果，對稱的混合戰(zhàn)略均衡結果純戰(zhàn)略均衡與混合戰(zhàn)略均衡同時存在 這個博弈有兩個純戰(zhàn)略納什均衡：(足球，足球)，(芭蕾，芭蕾)。事實上，這個博弈還有一個混合戰(zhàn)略納什均衡，這就是: 男的以2/3的概率選擇足球賽，以1/3的概率選擇芭蕾舞；女的以1/3的概率選擇足球賽，以2/3的概率選擇芭蕾舞。 類似

25、性別戰(zhàn)這種存在兩個純戰(zhàn)略納什均衡和一個混合戰(zhàn)略納什均衡的博弈的例子還有斗雞博弈等。 房地產開發(fā)博弈在低需求時，也有兩個純戰(zhàn)略納什均衡和一個混合戰(zhàn)略納什均衡。對稱博弈：不對稱的純戰(zhàn)略均衡結果，對稱的混合戰(zhàn)略均衡結果奇數(shù)定理，oddness theorem 威爾遜(Wilson，1971)證明，幾乎所有有限博弈都有有限奇數(shù)個納什均衡。 這一點意味著，一般來說，如果一個博弈有兩個純戰(zhàn)略納什均衡，那么，一定存在第三個混合戰(zhàn)略納什均衡。 0， 0-10， 00， -10-8， -8建模者困境列參與人行參與人抵賴坦白抵賴坦白警察沒有證據，甚至不能拘留小偷。有一個弱占優(yōu)均衡，同時是強納什均衡；有一個弱納什均

26、衡，卻是一個帕累托占優(yōu)均衡；有沒有混合戰(zhàn)略均衡？庫諾特(Cournot)寡頭競爭模型 在庫諾特模型里，有兩個參與人，分別稱為企業(yè)1和企業(yè)2，每個企業(yè)的戰(zhàn)略是選擇產量，支付是利潤，利潤是兩個企業(yè)產量的函數(shù)。 在這個例子中，參與人的戰(zhàn)略是連續(xù)變量，因而是無限博弈。 我們用qi0,)代表第i個企業(yè)的產量，Ci(qi)代表成本函數(shù)，P = P(q1 + q2)代表逆需求函數(shù)(P是價格，Q(P)是原需求函數(shù))。 兩個企業(yè)的利潤函數(shù)為: i(q1, q2) = qiP(q1 + q2) - Ci(qi), i = 1, 2 寡頭競爭模型 (q1*，q2*)是納什均衡產量意味著: q1*argmax1(q1

27、，q2*)=q1P(q1+q2*)C1(q1) q2*argmax2(q1*，q2)=q2P(q1*+q2)C2(q2) 找出納什均衡的一個辦法是對每個企業(yè)的利潤函數(shù)求一階導數(shù)并令其等于零 d1/dq1=P(q1+q2)+q1P(q1+q2)C1(q1)=0 d2/dq2=P(q1+q2)+q2P(q1+q2)C2(q2)=0寡頭競爭模型 上述兩個一階條件分別定義了兩個反應函數(shù)(reaction function) q1 = R1(q2) q2 = R2(q1) 反應函數(shù)意味著每個企業(yè)的最優(yōu)戰(zhàn)略(產量)是另一個企業(yè)產量的函數(shù)。兩個反應函數(shù)的交叉點就是納什均衡q* =(q1*，q2*)，如圖1.

28、1所示。寡頭壟斷產量完全競爭產量納什均衡的多重性 我們說，只有納什均衡是一致性預期，任何非納什均衡都不可能成為一致性預期。不過，事實上，許多博弈都存在多個納什均衡，有些博弈甚至有無窮多個納什均衡。 考慮兩個人分一塊蛋糕，每個人獨立地提出自己要求的份額。設x1為第一個人要求的份額，x2為第二個人要求的份額，如果x1+x21，每個人得到自已要求的份額；否則，誰也得不到什么。 在這個博弈中，任何滿足x1+x2=1的(x1，x2)都是納什均衡，因而這個博弈有無窮多個納什均衡，如圖1.9所示(注意，x1+x21不是納什均衡)。預測的困境 博弈分析的目的是預測參與人的合理行為方式。納什均衡是參與人如何博弈

29、的一致性預測: 如果所有參與人預測一個特定的納什均衡將出現(xiàn)，那么，沒有人有積極性選擇非納什均衡的戰(zhàn)略，這個納什均衡就會實際出現(xiàn)。 但當一個博弈有多個納什均衡時，要所有參與人預測同一個納什均衡會出現(xiàn)是非常困難的。在這種情況下，盡管所有參與人都預測納什均衡會出現(xiàn)，但如果不同參與人預測的不是同一個納什均衡，實際出現(xiàn)的就不是納什均衡，而是非納什均衡。 非合作博弈理論的核心問題 說納什均衡是一致性預測并不意味著納什均衡一定是一個好的預測。正如我們已經看到的，一個非常普遍的現(xiàn)象是一個博弈可能有多個納什均衡，如何預測哪一個納什均衡實際上會出現(xiàn)？ 因此，非合作博弈理論的核心問題可表述為：假如一個博弈有若干個均

30、衡，理性的參與者究竟應該 (或愿意)選擇其中的哪一個?聚點均衡 當一個博弈有多個納什均衡時，博弈論并沒有一般的理論證明納什均衡結果一定會出現(xiàn)。 然而，如薩林(Schelling，1960)指出的，在現(xiàn)實生活中，參與人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息來達到一個“聚點”(focal point)均衡。這些信息可能與社會文化習慣、參與人過去博弈的歷史等有關。 Thomas Schelling1960年的The Strategy of Conflict是博弈論的經典著作，他考察了諸如威脅、承諾、人質和代表團等戰(zhàn)略問題。或許，他最為有名的是協(xié)調博弈。協(xié)調博弈-“提名博弈” 在下面的博弈中，如果你選擇的

31、戰(zhàn)略與盡可能多的其他人選擇的戰(zhàn)略相同，你就會贏得一定獎勵。 在以下數(shù)字中選一個: 100, 14, 15, 16, 17, 18. 在以下數(shù)字中選一個: 7, 100, 13, 261, 99, 666. 選擇正面或背面。 選擇背面或正面。 選擇晚上上課的時間。歷史與邊界 上面的各個博弈，雖然有許多納什均衡，但是，在或大或小的程度上，它們也有更為可能的納什均衡。某些戰(zhàn)略組合是聚點: 出于心理上的原因，特別令人心服的納什均衡。 說明什么樣的戰(zhàn)略組合是聚點是很難的，這取決于具體的情景。在重復博弈中，過去的歷史常常可以提供聚點；邊界是一種特別的聚點。歷史與邊界 如果兩人分一塊蛋糕，他們很可能同意50:50；但是，如果上一次的比例是60:40, 那么這一次這就是一個聚點。 如果俄羅斯選擇把軍隊部署在離中國邊界1寸或100公里的地方，中國不會有什么反應；但是，如果俄羅斯選擇把軍隊部署在其邊界1寸或100公里以外的地方，中國就會宣布進入戰(zhàn)爭狀態(tài)。