數學物理方法：第十四章 分離變量法

1、第十四章 分離變量法數學物理方法定解問題最常用的解法分離變量法核心思想：將未知函數按多個單元函數分開偏微分方程若干常微分方程 求解常微分方程： 特解線性無關的特解疊加出通解用定解條件定出疊加系數求解一階線性偏微分方程： 轉化為一階線性常微分方程二階及高階偏微分方程：難以定出待定系數分離變量法： 滿足方程及一部分定解問題的全部特解 用另一部分定解條件定出疊加系數14.1 兩端固定弦的自由振動長為 l 、兩端固定的弦，發(fā)生自由振動的方程及定解條件為方程和邊界條件是齊次的，初始條件為非齊次的。 第一步：分離變量 所希望的特解 代入方程 得 移項，兩端同除以 有 與 x 無關的函數 = 與 t 無關的

2、函數 與 x、t 均無關的常數 可知 一維波動方程 兩個常微分方程 選取相應的齊次定解條件，與其中一個常微分方程構成本征值問題。 將代入邊界條件，得常微分方程含有一個待定常數 定解條件是一對齊次邊界條件 X(x) 的常微分方程的定解問題稱為本征值問題 既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解 X(x) ，稱為本征函數，相應的 值稱為本征值。 即 當 時，方程 為 第二步：求解本征值方程的通解為 由邊界條件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 當 時，常微分方程的通解是 由邊界條件 ， 知 ， 相應的本征函數為 取 第三步：求特解，并進一步疊加出一般解將 代入方程 得 可知滿足偏微分方程和

3、邊界條件的特解為： ，特解有無窮多個，將特解疊加，只要保證級數收斂可得一般解。 一般解既滿足偏微分方程又滿足邊界條件，因而不同于通解。 將一般解代入初始條件，得 第四步：利用本征函數的正交性定出疊加系數本征函數的正交性： 對于 兩端同乘以 ，并積分，得 定義：本征函數的模方 同理，對于 可得兩端同乘以 ，并逐項積分 由以上討論可知該定解問題的解為： 小 結分離變量法求解偏微分方程的基本步驟： 分離變量（齊次條件） 求解本征值 求出所有特解，疊加出一般解 利用本征函數正交性定出疊加系數驗證： 解函數是否滿足偏微分方程級數解的收斂性 （是否可以逐項求偏微商）。 解函數是否滿足邊界條件級數解的和函數

4、是否連續(xù)。 定疊加系數時，逐項積分是否合法。求如下定解問題的一般解 第一步令 ，代入方程 得 移項，兩端同除以 ，有 例題解可知， 將 代入邊界條件，得 即 有本征值問題 第二步 可知 即 因此， 不是本征值。 即 本征函數為 第三步 將 代入方程 得 滿足偏微分方程的特解為 一般解， 第四步按照已推出的系數公式可知 由三角函數正交性知， 時， 或者將一般解直接代入初始條件 各點的振幅分布 .相位因子 a 為角頻率，與初始條件無關， 稱為固有頻率或本征頻率。 波數為1（ x 的系數） 初相位為 ，由初始條件決定。 分離變量法的先決條件： 本征值問題有解 定解問題的解一定可以按照本征函數展開本征

5、函數的全體是完備的 本征函數一定具有正交性對于任一時刻 t，有界弦的總能量是：動能+勢能將一般解代入 E(t)，并利用正交性得顯然與 t 無關，即弦的總能量守恒求如下擴散場的定解問題。（1）分離變量，令方程化為 例題解（2）求本征值問題由邊界條件可知 l=0 不是本征值， ln=n2 是 本征值，本征函數為 Xn(x)=sinnx將 l =n2 代入（3）求一般解滿足擴散方程的特解是因此，一般解為（4）定系數將一般解代入初始條件比較兩邊sinnx及系數，得可知定解問題的一般解為擴散場的濃度是一個隨空間和時間連續(xù)變化的物理量14.2 分離變量法的物理詮釋特解是一個駐波表示弦上各點的振幅分布表示相

6、位因子是駐波的角頻率，與初始條件無關，稱為固有頻率或本征頻率為波數，（單位長度上波的周期數）是初位相，由初始條件決定波節(jié)：的各點上，振幅0共有 n +1 個波節(jié)（含兩個端點）波峰：的各點上，振幅 max共有 n 個波峰這種解法也稱為駐波法基頻：固有頻率中的最小值 決定音調（ ，材料一定，改變張力 T ）倍頻：基頻和倍頻的疊加系數 、 的相對大小頻譜分布聲強齊次的波動方程和熱傳導方程14.3 矩形區(qū)域內的穩(wěn)定問題一維情況：二維情況：三維情況：在穩(wěn)定態(tài)U與t無關拉普拉斯方程二維情況下的穩(wěn)定問題（平面直角坐標） 矩形區(qū)域內的穩(wěn)定問題設有定解問題邊界條件xyba(1) 令 ，代入方程 得即將 代入一對

7、齊次邊界條件有構成本征值問題(2) 方程 的通解為由邊界條件 知本征函數(3) 由 可求出定解問題的特解為一般解為(4) 將一般解代入一對非齊次條件定義函數由正交性 可知所以可見，對于穩(wěn)定問題（與 t 無關），采用一對齊次邊界條件構成本征值問題，用另一對齊次邊界條件定系數。 例題解均勻薄板 0 x a ，0 y ，邊界上溫度為 求解般的穩(wěn)定溫度分布。 令 則兩邊同除以 X(x)Y(y)， 由邊界條件 知 X(0) = X(a) = 0 將一般解代入 y 的邊界條件利用正交性知以矩形介質的熱傳導問題為例，假設介質四周絕熱，定解問題為14.4 多于兩個自變量的定解問題邊界條件初始條件令 代入方程得

8、解兩邊同除以 X(x)Y(y)T(t) 得相當于引入常數 m g l = 0 則對邊界條件分離變量可得得到 X(x) 和 Y(y) 的兩個本征值問題本征值：求解 X(x) 和 Y(y) 的兩個本征值問題本征函數：本征值：本征函數： 代入初始條件 的通解為其中一般解：特解：可得：當 n 0 、m 0 時，兩邊同乘以積分后，由正交性可知當 n 0 、m = 0 時，初始條件變?yōu)椋寒?n = 0 、m 0 時，初始條件變?yōu)椋簝蛇呁艘?積分后，由正交性可知兩邊同乘以 積分后，由正交性可知當 n = m = 0 時，由初始條件直接可知：利用 d 函數的性質將以上四種情況合并為：純粹由外力引起的兩端固定

9、弦的受迫振動，弦的初始位移和初速度均為零。定解問題為：14.5 兩端固定弦的受迫振動邊界條件初始條件非齊次方程的分離變量法處理方法本征函數展開法方程齊次化法適用于非齊次項 f(x, t) 的形式簡單，通常為單變量函數 g(x) 或 g(t) 。方程齊次化法：邊界條件保持齊次，而將方程齊次化。先求出非齊次方程的一個特解 v(x, t) ，即設代入原方程有可知，w(x, t) 是相應齊次方程的解：使用分離變量法前提條件：w(0, t) = 0 ，w(l, t) = 0 。即 v(x, t) 同時滿足非齊次方程和齊次邊界條件。對于 w(x, t) 的定解問題：w(x, t) 的一般解為： U(x,

10、t) 的一般解為： 代入初始條件有： 即由正交性定出系數：方程齊次化法的適用范圍： 非齊次方程齊次化時，必須保持原有的邊界條件不變 非齊次項 f(x, t) 的形式較簡單 初始條件可以是非齊次的 例題解求定解問題：非齊次項為 f(x) ，設 U(x, t) = v(x) + w(x, t)邊界條件初始條件v(x) 是方程的特解：且 v(0) = 0 ，v (x) = 0 ，可求出 v(x)而 w(x, t) 則滿足定解問題：按照齊次方程定解問題的分離變量法求解步驟即可求出 w(x, t) 的一般解，最后：關于 U(x, t) 的非齊次方程的定解問題關于 w(x, t) 的齊次方程的定解問題 例

11、題解長為 p ，兩端固定的弦，在單位質量上受力 sinx 的作用下由靜止狀態(tài)從水平位置開始做小振動，求其橫振動的定解問題。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，代入定解問題定解問題為：視 v(x) 為原方程的特解：則 w(x, t) 滿足的定解問題為： v(0) = 0 ， B = 0 v(p) = 0 ， 即 A = 0由分離變量法可得 w (x, t) = X (x)T(t) ，代入 w (x, t) 的定解問題將 w (x, t) 的一般解代入 w (x, t) 的初始條件因而有所以 例題解求解定解問題：其中 a、A0、w 均為已知常數。邊界條件初

12、始條件令 U (x, t) = v (x, t) + w (x, t) ，代入定解問題視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次項，取特解 v(x, t) 不可以為 v(t) ，必須保證邊界條件的齊次性不改變。將 代入原方程：則特解 v(x, t) 為：而 w(x, t) 滿足的定解問題為：按照齊次方程的分離變量法可求出：由初始條件定出：由正交性知：即 n 為奇數時 Cn 不為零，所以： 例題解長為 p ，兩端固定的弦，在單位質量上受力 sint 的作用下由靜止狀態(tài)從水平位置開始做小振動，求其橫振動的定解問題。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，

13、代入定解問題定解問題為：視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次項，取特解 v(x, t) 不可以為 v(t) ，必須保證邊界條件的齊次性不改變。代入原方程：則特解 v(x, t) 為：而 w(x, t) 滿足的定解問題為：按照齊次方程的分離變量法可求出：由初始條件定出：由正交性知：即 n 為偶數時，Cn 為零， n 為奇數時，本征函數展開法：按相應齊次問題本征函數作展開非齊次方程的分離變量法處理方法本征函數展開法方程齊次化法當方程的非齊次項 f(x, t) 形式復雜，很難求出特解 v(x, t) 時，尋找一組完備的本征函數 Xn(x), n = 1, 2, 3, ，將 U(x, t)

14、 和 f(x, t) 均按本征函數展開只要求出 Tn(t)，就可知 U(x, t) 了求解思路非齊次偏微分方程定解問題非齊次常微分方程定解問題引入本征函數展開的試探解純粹由外力引起的兩端固定弦的受迫振動，弦的初始位移和初速度均為零。定解問題為：邊界條件初始條件其中 a 和 f(x, t) 已知。先求出相應齊次方程定解問題的本征函數 Xn(x), n = 1, 2, 3, 邊界條件初始條件按照本征函數作展開，并代入原方程設由本征函數的展開性可知 f(x, t) 已知的展開系數 gn(t) ：代入原方程，得：又知：則結合正交性可知：將 代入初始條件：非齊次常微分方程定解問題采用積分變換法求解，對方

15、程兩邊同時做 L再求反演，由卷積定理可知：所以：求解非齊次常微分方程定解問題 例題解長為 l ，兩端固定的弦，在單位長度上受橫向力 g(x) sinwx 的作用下做小振動，已知弦的初始位移 和 速度分別為j (x) 和 f (x) ，求其橫振動的規(guī)律。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問題定解問題定解問題為：即定解問題定解問題定解問題的特解為：將 v(x, t) 按本征函數寨開，令將非齊次項按本征函數展開由正交性可知則定解問題的方程化為：由正交性可知相應的初始條件為：定解問題對定解問題的方程兩邊作拉式變換：由卷積定理可知為突出非齊次邊

16、界條件的處理，假定方程和初始條件是齊次的14.6 非齊次邊界條件的齊次化邊界條件初始條件仍以一維波動方程為例處理方法：非齊次邊界條件定解問題齊次邊界條件非齊次偏微分方程定解問題尋找一個特解邊界條件的齊次化 例題解求定解問題：邊界條件初始條件考慮到非齊次邊界條件的具體形式，令 v (x, t) = C1 x + C2 ，由邊界條件知令 ，代入原定解問題邊界條件初始條件則 w (x, t) 滿足的定解問題為：邊界條件初始條件將 w (x, t) 和方程的非齊次項按本征函數展開：將w (x, t) 和非齊次項的展開式代入 w (x, t) 滿足的定解問題，有由正交性可知， w (x, t) 滿足的定

17、解問題化簡為了 Tn(t) 的定解問題：采用積分變換法求解，做拉普拉斯變換，得方程和邊界條件同時齊次化 例題解求定解問題：一端固定另一端作周期運動的弦的振動問題邊界條件初始條件設 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問題視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次項，取邊界條件初始條件將 v(x, t) 代入原方程和邊界條件：可知 w(x, t) 所滿足的定解問題為：邊界條件初始條件 即 當 時，方程 為 方程的通解為 由邊界條件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 當 時，常微分方程的通解是 由邊界條件 ， 知 ， 相應的本征函數為 取 分離變量，將

18、w(x, t) = X(x) T(t) 代入 w(x, t)的方程將 代入方程 得 可知 w(x, t) 的一般解為： 由 w(x, t) 的初始條件知： 例題解有一長為 l ，側面絕熱而初始溫度為零度的均勻細桿，它的一端保持溫度始終為零度，而另一端溫度隨時間直線上升，求桿的溫度分布。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問題設桿長方向為 x 軸，x = l 端保持溫度始終為零度， x = 0 端溫度隨時間直線上升，比例系數為常數 c ，則定解問題為：視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次邊界條件，取將 v(x, t) 代入原定解問題的邊界條件，得可