離散數(shù)學的代數(shù)理論

1、2022-6-27zhengjin,csu1 第六章第六章 代數(shù)代數(shù) 代數(shù)代數(shù): : 也叫代數(shù)結(jié)構(gòu)，或代數(shù)系統(tǒng)，是指定義有若干運算的集合。如整數(shù)集合，在其上定義了加法、乘法，就成為一個代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)。 抽象代數(shù)：抽象代數(shù)：1. 不關(guān)心代數(shù)系統(tǒng)的具體集合是什么不關(guān)心代數(shù)系統(tǒng)的具體集合是什么2. 2. 不關(guān)心集合上的運算如何定義不關(guān)心集合上的運算如何定義3. 3. 假設這些運算滿足某些規(guī)則假設這些運算滿足某些規(guī)則 (如結(jié)合律，交換律，分配律等)，然后根據(jù)這樣的抽象代數(shù)系統(tǒng)，來討論該系統(tǒng)應具有的性質(zhì)，使所得結(jié)論具有普遍意義。2022-6-27zhengjin,csu2本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1.代

2、數(shù)的基本概念，如代數(shù)的構(gòu)成、代數(shù)的表示、代數(shù)的特異元素；子代數(shù)的概念 (6.1,6.2)2.代數(shù)間的同構(gòu)、同態(tài)概念，同態(tài)象的概念 (6.3)3.一種特殊的等價關(guān)系同余關(guān)系,商代數(shù) (6.4,6.5)4.特殊的代數(shù)：半群，獨異點, 群 (6.6,6.7)5. 特殊的代數(shù)：環(huán)和域 (6.8)2022-6-27zhengjin,csu3代數(shù)的結(jié)構(gòu)代數(shù)的結(jié)構(gòu)代數(shù)由3部分構(gòu)成： 1. 一個集合集合-（代數(shù)的載體） 2. 定義在載體上的運算運算 3. 載體中的特異元素，叫做代數(shù)的常數(shù)代數(shù)的常數(shù) （么元和零元）（么元和零元）代數(shù)通常用載體載體、運算運算和常數(shù)常數(shù)的n重組表示 通俗地說：代數(shù)就是由集合及定義在

3、其上的運算及相關(guān)：代數(shù)就是由集合及定義在其上的運算及相關(guān)常數(shù)組成。常數(shù)組成。 2022-6-27zhengjin,csu4載體與載體上的運算載體與載體上的運算 （）運算的概念具有一定的廣泛性與抽象性，它不僅包括日常用（）運算的概念具有一定的廣泛性與抽象性，它不僅包括日常用的的“+ +”，“- -”， “”，“/ /” 等運算，也包括抽象的運算，如集等運算，也包括抽象的運算，如集合的合的“并并”， “交交”，字符串的，字符串的“并并”等。等。 （）在集合（）在集合S S上的運算可以有多個，如在實數(shù)域上的上的運算可以有多個，如在實數(shù)域上的 “+ +”， “”。運算可以是一元的，也可以是二元的，也可

4、以是多元的。即是從運算可以是一元的，也可以是二元的，也可以是多元的。即是從S Sm m到到S S的函數(shù)。但一般代數(shù)系統(tǒng)在的函數(shù)。但一般代數(shù)系統(tǒng)在S S上的運算最多不超過三個，而且以上的運算最多不超過三個，而且以研究一元、二元為限。研究一元、二元為限。 2022-6-27zhengjin,csu5運算的表示運算的表示naaa21)()()(21naaaia)(ia),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaanaaa 21naaa2175311357ia)(ia753173717535753375317531p例如:

5、A=1,3,5,7 , 定義一種一元運算 和二元運算 * 表示如下:2022-6-27zhengjin,csu6載體上的運算載體上的運算（）運算符的表示：（）運算符的表示：“ ”或或“* *”、“”等。有時等。有時也用也用“+ +”，“”等表示。但此時等表示。但此時“+ +”，“”的含義的含義不一定就是普通算術(shù)運算中的不一定就是普通算術(shù)運算中的“加加”與與“乘乘”的含義，的含義，所有這些運算符的含義可以根據(jù)不同的定義而具有不所有這些運算符的含義可以根據(jù)不同的定義而具有不同的意義。同的意義。 （）運算在載體（）運算在載體S S上還應該是上還應該是封閉的封閉的。( (載體載體S S中的元中的元素經(jīng)

6、某一運算后它的結(jié)果仍在素經(jīng)某一運算后它的結(jié)果仍在S S中，則此稱運算在集中，則此稱運算在集合合S S上是封閉的上是封閉的) ) 2022-6-27zhengjin,csu7代數(shù)舉例代數(shù)舉例例例1 1 整數(shù)集，加法和常數(shù)0可構(gòu)成代數(shù)： 記為： 例例2 2 冪集合(S)，集合的并，交，補運算，常數(shù)， 和S可構(gòu)成代數(shù)。 記為：例例3 3 自然數(shù)集N，乘法和常數(shù)1可構(gòu)成代數(shù)。 記為： 例例4 4 自然數(shù)集N，乘法、加法和常數(shù)0和1可構(gòu)成代數(shù)。 記為：2022-6-27zhengjin,csu8代數(shù)分類代數(shù)分類通常我們不去研究單個的具體的代數(shù)，而是對代數(shù)進行分類研究。分類原則如下：1.1.有相同的構(gòu)成成

7、分。（即如果兩個代數(shù)包含同樣個數(shù)的運算和有相同的構(gòu)成成分。（即如果兩個代數(shù)包含同樣個數(shù)的運算和常數(shù)，且對應運算的元數(shù)相同，則這兩個代數(shù)有相同的構(gòu)成常數(shù)，且對應運算的元數(shù)相同，則這兩個代數(shù)有相同的構(gòu)成成分。）成分。）2.服從相同的公理規(guī)則。服從相同的公理規(guī)則。 如：交換律，結(jié)合律，分配律，吸收律等。如：交換律，結(jié)合律，分配律，吸收律等。 具有相同構(gòu)成成分和服從相同的公理規(guī)則的代數(shù)就稱為是同種類的。對同一種類的代數(shù)，根據(jù)它的公理推出的定理對該種類的一切代數(shù)都成立。2022-6-27zhengjin,csu9(1)如代數(shù)如代數(shù)和和有相同的構(gòu)成成分有相同的構(gòu)成成分. . ( (都只有一個運算都只有一個

8、運算, ,且都是二元運算且都是二元運算, ,和和1 1個常數(shù)個常數(shù)).).(2)代數(shù)代數(shù) 0,1, ,0,1 和和 (S), (S), ，, ,S,S (都有兩個二元運算,兩個常數(shù))2022-6-27zhengjin,csu10公理規(guī)則公理規(guī)則例例3 3：對于自然數(shù)集對于自然數(shù)集N N，及定義其上的加法運算，及定義其上的加法運算+ +，構(gòu)成的代數(shù)：，構(gòu)成的代數(shù)：N0 服從公理規(guī)則：服從公理規(guī)則： a+ba+b= =b+ab+a 交換律交換律 ( (a+b)+ca+b)+c= =a+(b+ca+(b+c) ) 結(jié)合律結(jié)合律 a+0=a 0a+0=a 0是是么元么元（單位元）（單位元） 則：則：I

9、1和和 等是和其同一類的代數(shù)等是和其同一類的代數(shù) ( (因為都只有一個二元運算，都滿足交換律，結(jié)合律，一個常數(shù)因為都只有一個二元運算，都滿足交換律，結(jié)合律，一個常數(shù)是么元是么元) )。 2022-6-27zhengjin,csu11公理規(guī)則公理規(guī)則例例4 4 考慮具有考慮具有 I0,1形式構(gòu)成形式構(gòu)成成分和下述公理的代數(shù)類成分和下述公理的代數(shù)類( + ( + ：加法，：加法， ：乘：乘法運算，法運算，- - ：一元運算，：一元運算，0 0和和1 1 ：常數(shù)：常數(shù)) )(1)(1) a+ba+b= =b+ab+a(2)(2) a.ba.b= =b.ab.a (3)(3) ( (a+b)+ca+b

10、)+c= =a+(b+ca+(b+c) ) (4)(4) ( (a.b).ca.b).c= =a.(b.ca.(b.c) )(5)(5) a.(b+ca.(b+c)=)=a.b+a.ca.b+a.c (6)(6) a+(-a)=0 a+(-a)=0 (7)(7) a+0=a a+0=a (8)(8) a.1=a a.1=a 則則Q0,1，R0,1是與之同一類的代是與之同一類的代數(shù)。數(shù)。2022-6-27zhengjin,csu12么元和零元么元和零元前面已介紹：代數(shù)常數(shù)是關(guān)于某些運算的特異元素，具體地說就前面已介紹：代數(shù)常數(shù)是關(guān)于某些運算的特異元素，具體地說就是下面要介紹的是下面要介紹的么元么

11、元和和零元零元定義定義1 1 設設* *是是S S上的二元運算，上的二元運算，1 1l l 是是S S的元素，如果對的元素，如果對S S中的每個中的每個元素元素x,x,有有 1 1l l * *x=xx=x 則稱則稱1 1l l對運算對運算* *的的左么元左么元。S S中的元素中的元素0 0l,l, , ,如果對如果對S S中的中的每一元素每一元素x,x,都有都有 0 0l l * *x=0 x=0l l 則稱則稱0 0l l是對運算是對運算* *的的左零元左零元。 類似地，有類似地，有右么元右么元和和右零元右零元的定義。的定義。 2022-6-27zhengjin,csu13例例5 5 代數(shù)

12、A的運算*如下表所示 很顯然很顯然: :a a是是* *的左么元的左么元a a也是也是* *的右么元，的右么元，b b是是* *的左零元。的左零元。 沒有右零元。沒有右零元。*a b c abca b c b b b c c b 判斷方法：觀察運算的行和列：觀察運算的行和列：若存在某一行和上邊行相同，則其若存在某一行和上邊行相同，則其左邊左邊的元素就是運算的的元素就是運算的左么元左么元。若存在某一列與左列相同，則其若存在某一列與左列相同，則其上方上方的元素就是運算的的元素就是運算的右么元右么元。2022-6-27zhengjin,csu14么元和零元的定義么元和零元的定義定義定義2 2 設設*

13、 *是是S S上的二元運算，上的二元運算，1 1是是S S的元素，如果對的元素，如果對S S中的中的每一元素每一元素x,x,有有 1 1* *x=xx=x* *1=x1=x 則稱則稱元素元素1 1對運算對運算* *是么元是么元。若。若0 0是是S S中的元素，且對中的元素，且對S S中的中的每一元素每一元素x x，有，有 0 0* *x=xx=x* *0=00=0 則稱則稱元素元素0 0對運算對運算* *是零元是零元。 2022-6-27zhengjin,csu15例例6 6 (1)(1)代數(shù)代數(shù)I1,0， 表示乘法，有一個么元表示乘法，有一個么元1 1和零元和零元0 0 (2) (2)代數(shù)代

14、數(shù)N + 有么元有么元0 0，但無零元。，但無零元。 (3)(3)代數(shù)代數(shù)Nmin有一個零元有一個零元0 0，但無么元。，但無么元。2022-6-27zhengjin,csu16么元和零元的性質(zhì)么元和零元的性質(zhì)定理定理： 設設* *是是S S上的一個二元運算，若同時具有上的一個二元運算，若同時具有左么元左么元a a和和右么右么元元b b，則，則a=a=b,ab,a就是么元就是么元。 證明：由證明：由a a是左么元知：是左么元知：a a* *b=bb=b 由由b b是右么元知：是右么元知：a a* *b=a b=a 所以所以a=b,a=b, 所以所以a a也是右么元。也是右么元。a a就是么元就

15、是么元 ( (這個定理說明：如果這個定理說明：如果同時同時存在存在左么元左么元和和右么元右么元，則二者，則二者相等相等，且就是么元且就是么元，么元若存在，么元若存在，只有一個只有一個) ) 對于零元也有類似結(jié)果。對于零元也有類似結(jié)果。 定理：設定理：設* *是是S S上的一個二元運算，若上的一個二元運算，若同時同時具有具有左零元左零元a a和和右零元右零元b b，則，則a=a=b,ab,a就是零元就是零元。 2022-6-27zhengjin,csu17 逆元逆元 如果在一代數(shù)中存在么元，則可定義逆元。如果在一代數(shù)中存在么元，則可定義逆元。定義定義3 3 設設* *是是S S上的二元運算，上的

16、二元運算，1 1是對運算是對運算* *的的么元么元， 如果如果x x* *y=1,y=1,則對運算則對運算* *，x x是是y y的的左逆元左逆元，y y是是x x的的右逆右逆元元， 若若x x* *y=1y=1和和y y* *x=1x=1同時同時成立，則對運算成立，則對運算* *，x x是是y y的的逆元逆元( (當然當然y y也是也是x x的逆元的逆元) )，通常，通常x x的逆元記為的逆元記為: :x x-1-12022-6-27zhengjin,csu18例例 7 （1）代數(shù)代數(shù)A=A= 的運的運算算* *如右表定義：如右表定義： 對于運算對于運算* *： b b是是么元么元。 a a

17、的右逆元是的右逆元是c,cc,c的的左逆元是左逆元是a a， b b的的逆元逆元是是b.b.*a b c abca a b a b c a c c 2022-6-27zhengjin,csu19逆元的性質(zhì)逆元的性質(zhì)（2）代數(shù)代數(shù)有么元有么元0，但只有，但只有0有逆元，有逆元，而其它元素都無逆元。而其它元素都無逆元。 (3)(3)代數(shù)代數(shù)有么元有么元1 1，但只有，但只有0無逆元，無逆元，而其它元素都有逆元。而其它元素都有逆元。其它如例其它如例6(P166)(e,f,g)6(P166)(e,f,g)2022-6-27zhengjin,csu20逆元的唯一性逆元的唯一性定理定理 對于可結(jié)合運算對于

18、可結(jié)合運算* *，如果一個元素，如果一個元素x x有有左逆元左逆元a a 和和右逆元右逆元b b，則，則a=ba=b ( (即即逆元是唯一的逆元是唯一的) ) 證明：設證明：設1 1是運算是運算* *的的么元，則么元，則a a* *x=xx=x* *b=1b=1由由* *的的可結(jié)合性可結(jié)合性，得：，得：a=aa=a* *1=a1=a* *(x(x* *b)=(ab)=(a* *x)x)* *b=1b=1* *b=bb=b2022-6-27zhengjin,csu21定義定義4 4 設設* *是是S S上的二元運算，上的二元運算，a aS S, , 如果對于如果對于 每一每一x x、y yS S

19、都滿足：都滿足： 如果如果 a a* *x=ax=a* *y y或或 x x* *a=ya=y* *a a 則有則有x=y ,x=y ,則稱則稱a a是是可約的可約的或或可消去的可消去的。2022-6-27zhengjin,csu22定理定理：設設* *是是S S上的可結(jié)合運算，如果元素上的可結(jié)合運算，如果元素a a是是可逆的可逆的，則，則a a也是也是可約的可約的. .證明：由于證明：由于a a是可逆的，記是可逆的，記a a的逆元為的逆元為a a-1-1, , 設設a a* *x=ax=a* *y y，于是，于是 a a-1-1* *(a(a* *x)=ax)=a-1-1* *(a(a* *

20、y) y) 而而 a a-1-1* *(a(a* *x)=( ax)=( a-1-1* *a)a)* *x=xx=x a a-1-1* *(a(a* *y)=( ay)=( a-1-1* *a)a)* *y=yy=y所以所以 x=yx=y，即，即a a是可約的。是可約的。2022-6-27zhengjin,csu23但反之卻不一定成立。即是可約的，則不一定是可逆的。但反之卻不一定成立。即是可約的，則不一定是可逆的。如在整數(shù)集如在整數(shù)集I I中，對于乘法，除中，對于乘法，除0 0外的元素都是可約的，但外的元素都是可約的，但除除1 1之外，之外，都不是可逆的都不是可逆的。2022-6-27zhen

21、gjin,csu24本節(jié)要求本節(jié)要求o掌握代數(shù)系統(tǒng)的概念掌握代數(shù)系統(tǒng)的概念,對運算的對運算的封閉性封閉性、么元么元、零元零元、逆元逆元等等相關(guān)結(jié)論有清晰的理解，給定集合和集合上的運算，能夠判相關(guān)結(jié)論有清晰的理解，給定集合和集合上的運算，能夠判斷該集合對運算是否封閉斷該集合對運算是否封閉,能夠通過運算表確定么元、零元、能夠通過運算表確定么元、零元、逆元（如果存在的話）。對交換律、結(jié)合律、分配律等的表逆元（如果存在的話）。對交換律、結(jié)合律、分配律等的表示要十分清楚。給定集合及集合的二元運算表，能夠判斷運示要十分清楚。給定集合及集合的二元運算表，能夠判斷運算是否滿足交換律、是否滿足結(jié)合律。算是否滿足

22、交換律、是否滿足結(jié)合律。o掌握可約性的概念和相關(guān)結(jié)論。掌握可約性的概念和相關(guān)結(jié)論。2022-6-27zhengjin,csu25本節(jié)作業(yè)本節(jié)作業(yè)o 課堂作業(yè)： 1，5，9,4o 6，7，8，10，112022-6-27zhengjin,csu26課堂練習課堂練習o (S)，對運算的單位元（么元）是什么，零元是什么？對運算的單位元（么元）是什么？零元是什么？2(判斷)設*是上的可結(jié)合運算，若aS是可逆的，則a也是可約的反之，也成立2022-6-27zhengjin,csu276.2 6.2 子代數(shù)子代數(shù) 以后常研究的代數(shù)形式：S k 代表二元運算。表示一元運算， k表示常數(shù)。定義定義1 1 設和

23、是集合S上的二元運算和一元運算，S是S的子集。如果a、bS，一定有abS, 則稱S對運算是封閉的。如果aS,一定有aS,那么S對是封閉的。 例如：集合S=1,2,3,4，對加法不封閉，但對max,min,絕對值運算等是封閉的。2022-6-27zhengjin,csu28定義定義2 2 設設 A=A=Sk是一代數(shù)，如果是一代數(shù)，如果 (1)(1) S S S S (2) (2) S S對對S S上的運算上的運算 和封閉。和封閉。 (3)(3) k kSS 那么那么 A A=k是是A A的的子代數(shù)子代數(shù)。子代數(shù)的定義子代數(shù)的定義 例例7 (1) 7 (1) 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)E0是是I0的子代數(shù)。

24、的子代數(shù)。 (2) (2) 設設E E：偶數(shù)集合偶數(shù)集合 ，M M：奇整數(shù)集合，奇整數(shù)集合， 則則 E0是是I0的子代數(shù)，的子代數(shù)， 但但 M+不是不是I+的子代數(shù)。的子代數(shù)。 M,1是是I,1的子代數(shù)的子代數(shù) 2022-6-27zhengjin,csu29子代數(shù)的有關(guān)說法子代數(shù)的有關(guān)說法v 如果A是A的子代數(shù)，那么A和A有相同的構(gòu)成成分和服從相同的公理。v A的最大子代數(shù)是它自己最大子代數(shù)是它自己。如果A的常數(shù)集合在A的運算下封閉，則它是A的最小子代最小子代數(shù)數(shù)。這兩種子代數(shù)稱為A的平凡子代數(shù)。v 其它子代數(shù)稱為真子代數(shù)。 2022-6-27zhengjin,csu30課堂練習課堂練習o P

25、169 1,22022-6-27zhengjin,csu31兩節(jié)小結(jié)兩節(jié)小結(jié)1.掌握代數(shù)的概念2.代數(shù)的表示 (n重組表示）3.兩個代數(shù)是否是同一種類的條件4.常用到的公理規(guī)則(方程式表示)5.會由運算表求代數(shù)的運算的(左、右)么元，零元，及逆元。)子代數(shù)的概念7.可逆與可約兩個概念的相互關(guān)系. 2022-6-27zhengjin,csu326.3 同構(gòu)與同態(tài)同構(gòu)與同態(tài) 1. 同構(gòu)同構(gòu) 世界上存在著很多的代數(shù)系統(tǒng)，但有些代數(shù)系統(tǒng)，它們之間雖然表面上似乎不相同，但是它們實際上是“相同”的。 如兩個代數(shù)系統(tǒng): 與 僅僅是元素和運算符的表示形式不同，而它們的實質(zhì)是一樣的。 稱它們是同構(gòu)的。 0 1

26、010 1 1 * a b aba b b b 2022-6-27zhengjin,csu33同構(gòu)的定義同構(gòu)的定義同構(gòu)的必要條件： (1) 它們必須有相同的構(gòu)成成分構(gòu)成成分。（2) 它們的載體的元素“個數(shù)個數(shù)”要相同要相同。 (3) 運算和常數(shù)必須遵循相同的規(guī)則相同的規(guī)則。2022-6-27zhengjin,csu34定義定義1 1 代數(shù)代數(shù)A=A=Sk和和A=A=S 是兩個代數(shù)系統(tǒng)。是兩個代數(shù)系統(tǒng)。如果存在一如果存在一雙射函數(shù)雙射函數(shù) h h：S SS S, 對任意對任意S S中元素中元素a,ba,b, ,使得：使得： （1 1）h(ah(a* *b)=b)=h(ah(a) )* *h(bh

27、(b) () (運算運算* *保持保持) ) （2 2）h(h(a a)=)=h(ah(a) () (運算保持運算保持) ) （3 3）h(kh(k)=k ()=k (常數(shù)對應常數(shù)對應) ) 則稱代數(shù)則稱代數(shù)A A和和AA是同構(gòu)的是同構(gòu)的; ; 映射映射h h叫做從叫做從A A到到AA的同構(gòu)的同構(gòu); ; A A叫做叫做A A在在h h下的同構(gòu)象下的同構(gòu)象; ; 如果如果A A和和AA是同構(gòu)的，它們基本上是不同名的相同結(jié)構(gòu)，簡單地是同構(gòu)的，它們基本上是不同名的相同結(jié)構(gòu)，簡單地調(diào)換符號就能從調(diào)換符號就能從A A得到代數(shù)得到代數(shù)AA。2022-6-27zhengjin,csu35例例8 8 代數(shù)系統(tǒng)

28、R1同構(gòu)于R0因為：作映射h: R+R h(x)= log x h顯然是雙射的。且：h(x*y)=log(x*y)=logx+logy=h(x)+h(y) h(1)=log1=0 所以和同構(gòu)。2022-6-27zhengjin,csu36例例9 9 集合A=1，2,3，4，函數(shù)f:AA， f=, 設 F=f0,f1,f2,f3,則代數(shù)與代數(shù)同構(gòu)運算表可分別表示如下表示：作映射作映射h:Fh:FN N4 4 h(fh(fi i)=i ,(i=0,1,2,3)=i ,(i=0,1,2,3) f0 f1 f2 f3 f0 f1f2 f3f0 f1 f2 f3 f1 f2 f3 f0f2 f3 f0

29、f1 f3 f0 f1 f2 +4 0 1 2 30 1 2 30 1 2 31 2 3 02 3 0 13 0 1 22022-6-27zhengjin,csu37不同構(gòu)例不同構(gòu)例例10 代數(shù) 和不同構(gòu).證明:反證法. 假設h是從 到的一個同構(gòu)。I+ 中有無限多的質(zhì)數(shù)，因h是從N到I+ 的一個雙射函數(shù)，故有x N且x=2,和某質(zhì)數(shù)p,使h(x)=p,如果h是從 到的同構(gòu)。則（1）h(x)=h(x+0)=h(x)*h(0) (2) h(x)=h(x-1+1)=h(x-1)*h(1)因p是質(zhì)數(shù)，只有因子p和1，所以據(jù)（1）知：h(x)=1或h(0)=1據(jù)（2）知h(x-1)=1或h(1)=1而0

30、1x-1x因此在映射h下，1至少有兩個原象，因此h不可能是雙射。這與h是同構(gòu)矛盾！2022-6-27zhengjin,csu38同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系定理：定理：設 C 是代數(shù)集合，A、A是C的任意元素，R是關(guān)系，定義：ARAARA當且僅當當且僅當A A和和A A同構(gòu)同構(gòu)。則R是C上的等價關(guān)系。 自反性：任何一個代數(shù)與它自己同構(gòu)。(作恒等變換即可：是 雙射，且運算保持) 對稱性 ：(根據(jù)雙射函數(shù)的逆函數(shù)也是雙射函數(shù)證明之) 傳遞性：(根據(jù)兩個雙射函數(shù)的合成還是雙射證明之) 由于同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系，所以我們設所有的代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成一個集合A，我們可按同構(gòu)關(guān)系R將其分類，得到商集A/R，

31、由于同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)具有相同的性質(zhì)，故實際上代數(shù)系統(tǒng)所需要研究的總體不是A，而是A/R.o 2022-6-27zhengjin,csu396.3.2 同態(tài)同態(tài) (1) (1) 如果我們將同構(gòu)的條件放寬一點，如果我們將同構(gòu)的條件放寬一點， 放棄同構(gòu)中放棄同構(gòu)中h: h: S SS S必須是雙射的要求，則我們可以得到比同構(gòu)范圍必須是雙射的要求，則我們可以得到比同構(gòu)范圍更廣的一些關(guān)系。更廣的一些關(guān)系。(2) (2) 我們希望放寬后的關(guān)系，使兩個代數(shù)系統(tǒng)不一定要我們希望放寬后的關(guān)系，使兩個代數(shù)系統(tǒng)不一定要有相同的基數(shù)，但是能在一定意義上保持其性質(zhì)，為此有相同的基數(shù)，但是能在一定意義上保持其性質(zhì)，為此我們

32、引入同態(tài)的概念。我們引入同態(tài)的概念。2022-6-27zhengjin,csu40同態(tài)的定義同態(tài)的定義定義定義2 2 設代數(shù)設代數(shù)A=A=Sk和和 A=A=S 具有相同的構(gòu)成成具有相同的構(gòu)成成分分。 如果存在一函數(shù)一函數(shù) h h：S SS S,對S中任意元素a,b,使得： h(ah(a* *b)=b)=h(ah(a) )* *h(bh(b) ) (運算*保持) h(h(a a)=)=h(ah(a) ) （運算保持) h(kh(k)=k)=k (常數(shù)對應)則稱 h h：從：從A A到到AA的同態(tài)的同態(tài)， 稱為稱為A A在映射在映射h h下的同態(tài)象。下的同態(tài)象。 2022-6-27zhengjin

33、,csu41有關(guān)同態(tài)的定義有關(guān)同態(tài)的定義 若h是單射的，則稱h是單一同態(tài)； 若h是滿射的，則稱h是滿同態(tài)， 只有是滿同態(tài)時，才稱A和A同態(tài)。 (若A=A,稱h是自同態(tài)) 提醒：提醒： h h(S(S) )可能真包含于可能真包含于S S，也可能等于，也可能等于S S2022-6-27zhengjin,csu42同態(tài)的例子同態(tài)的例子例例 映射映射f:II,f(xI,f(x)=)=kx,kkx,k中整數(shù)，中整數(shù)，f f是從，到，的自同態(tài)是從，到，的自同態(tài)因為因為: : (1)f(x+y)=(1)f(x+y)=k(x+yk(x+y)=)=kx+kykx+ky= =f(x)+f(yf(x)+f(y) )

34、 (2)f(0)=0 (2)f(0)=0所以所以f f是從是從，到，的自同態(tài)，到，的自同態(tài)且如果且如果k0,k0,則則f f是單射的，是單射的，f f是單一同態(tài)；是單一同態(tài)；若若k=1k=1或或k=-1,k=-1,則則f f是雙射此時是雙射此時f f是自同構(gòu)是自同構(gòu)v 2022-6-27zhengjin,csu43例設例設 f:R R, f(x)=2x f是從，到，的單一同態(tài)是從，到，的單一同態(tài)因為因為 :(1) f(x+y)=2(x+y)=2x.2y=f(x).f(y)(2) f(0)=20=1(3) f是單射的是單射的2022-6-27zhengjin,csu44例設例設f:NNNk k(

35、k(k0),f(x)=x (mod 0),f(x)=x (mod k),fk),f是從，是從，到到k k,+,+k k,0,0的滿同態(tài)的滿同態(tài)因為：因為： (1) (1) f(x+yf(x+y)=()=(x+y)(modx+y)(mod k)= k)=x(modx(mod k)+k)+k k y(mody(mod k) k) = =f(xf(x) +) +k k f(yf(y) ) (2) f(0)=0 (2) f(0)=0且且f f是滿射是滿射2022-6-27zhengjin,csu45P172v 定理定理6.3-2 設設h h是從代數(shù)是從代數(shù) A=A= Sk和和A=A=S 的的同態(tài)同態(tài),

36、 ,那么：那么：A A的的同態(tài)象同態(tài)象 是是AA的的子代數(shù)子代數(shù)( (根據(jù)子代數(shù)的定義以及根據(jù)子代數(shù)的定義以及h h是是A A到到A A的同態(tài)可容易得出的同態(tài)可容易得出這個結(jié)論這個結(jié)論.).)2022-6-27zhengjin,csu46A與與A的同態(tài)象的關(guān)系的同態(tài)象的關(guān)系A的同態(tài)象是A的縮影：即A中有關(guān)運算和常數(shù)的性質(zhì)在A的同態(tài)象的同態(tài)象中被保持即下面的定理3.2022-6-27zhengjin,csu47 設設h h是從代數(shù)是從代數(shù) A=A=到到A=的的同態(tài)，同態(tài)，*，*，都是二元運算，都是二元運算，A A* *=是是A的同態(tài)象。的同態(tài)象。 （1）如果）如果*是可交換是可交換(結(jié)合結(jié)合)的

37、，則的，則*也是也是可交換可交換( (結(jié)合結(jié)合) )的，的，和和也如此。也如此。 （2 2）對運算）對運算*，有么元，有么元( (零元零元)e)e，則對運算，則對運算*，在代數(shù)，在代數(shù)A A* *中也有中也有么元么元( (零元零元) )h(eh(e).).對于對于， 也有如此結(jié)論。也有如此結(jié)論。定理定理6.3-3 P1732022-6-27zhengjin,csu483）對于運算）對于運算*，如果，如果xS有逆元有逆元x-1存在，則對于存在，則對于*，在代數(shù)，在代數(shù)A*中，中，h(x)有逆元有逆元(h(x) -1。4）如果運算）如果運算*對運算對運算是可分配的，則在是可分配的，則在A*中，中，

38、*對對也是可分配的。也是可分配的。(證明較簡單，只要根據(jù)同態(tài)的含義就可證出，教材證明較簡單，只要根據(jù)同態(tài)的含義就可證出，教材P173有詳細的證明，一定要掌握同構(gòu)，同態(tài)的有詳細的證明，一定要掌握同構(gòu)，同態(tài)的定義及真正含義定義及真正含義 )。 2022-6-27zhengjin,csu49 例1 h:Rh:R R , R ,且且h(xh(x)=e)=ex x, ,則則h h是從代數(shù)是從代數(shù)A=A=到到A=A=的同態(tài)的同態(tài), ,在在h h下下A A的同態(tài)象的同態(tài)象R,.,1是是AA的子代數(shù)的子代數(shù). . ( (因為因為: :h(x+yh(x+y)=)=e e(x+y(x+y) )= =e ex x.

39、e.ey y= =h(x).h(yh(x).h(y) ) h(0)=e h(0)=e0 0=1=1同態(tài)象是子代數(shù)的例子同態(tài)象是子代數(shù)的例子2022-6-27zhengjin,csu50o 例3 設S=a,b,c,d, S=0,1,2,3,代數(shù)A=和B=由下表定義:* 0 1 2 30 12 30 1 1 01 1 2 11 2 3 20 1 2 3* a b c d a bc da b c db b d dc d c dd d d dH定義如下定義如下:h:SSS h(ah(a)=)=h(ch(c)=0,h(b)=)=0,h(b)=h(dh(d)=1)=12022-6-27zhengjin,c

40、su51 (1) 顯然h保持運算. (2)由于不考慮常數(shù),所以h是A到B的同態(tài)。 同態(tài)象保持代數(shù)A的可交換性和可結(jié)合性。 (3)但代數(shù)B不可結(jié)合,且代數(shù)A有么元a和零元d,故h(a)=0和h(d)分別是同態(tài)象的么元和零元,但不是代數(shù)B的么元和零元. B中么元是3,零元不存在.2022-6-27zhengjin,csu52本節(jié)要求: 掌握代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)的定義.o 能判斷兩個給定的代數(shù)系統(tǒng)是否是同構(gòu)的,是否是同態(tài)的.2022-6-27zhengjin,csu53本節(jié)作業(yè)o 課堂作業(yè):1,3o 書面作業(yè):4,8,92022-6-27zhengjin,csu546.4 同余關(guān)系同余關(guān)系例例1 1

41、 代數(shù)上的關(guān)系R如下： R=x,yI,且x-y能被3整除顯然這是一個等價關(guān)系，它將I劃分為三類： 0R=,-6,-3,0,3, 1R=,-5,-2,1,4,2R=,-4,-1,2,5, 這個關(guān)系R有一個特點：它能把所劃分的類0R,1R,2R中兩個類的元素相加后所得結(jié)果均在相同的類內(nèi)。 上述關(guān)系上述關(guān)系R R是一個是一個 同余關(guān)系同余關(guān)系，將這種概念推廣，凡滿足此種特性的等價關(guān)系均稱為同余關(guān)系。 2022-6-27zhengjin,csu55同余關(guān)系的定義同余關(guān)系的定義 同余關(guān)系，是一種比等價關(guān)系還要強的關(guān)系。 為了敘述簡單，我們把代數(shù)A=作為討論對象, *是二元運算，是一元運算, 并把a*b

42、寫成 ab定義定義1 1 設 是代數(shù)A=的載體S上的一個等價關(guān)系，a,b,c是S的任意元素：(1) 當a a b b,若有 ac ac bcbc 和和ca ca cbcb,則稱等價關(guān)系 在運算 *下，具有置換性質(zhì)。或者說，等價關(guān)系 在運算 *下，仍能保持。(2) 當a a b,b,若有a a b b，則稱等價關(guān)系 在運算下仍能保持。2022-6-27zhengjin,csu56定義定義2 2 在代數(shù)載體上的等價關(guān)系 ，如果在代數(shù)運算下，仍能保持，那么稱 是關(guān)于運算的同余關(guān)系。2022-6-27zhengjin,csu57例1 給定代數(shù)給定代數(shù)A=，是如下定義的，是如下定義的 一元運算：一元運算

43、： a=a2 設設 是是I上的模上的模k同余關(guān)系。同余關(guān)系。 設設a b，即，即:a-b=nk a-b= a2-b2=(a+b)(a-b)=nk(a+b)所以所以a b ，故，故 是關(guān)于運算的同余關(guān)系。是關(guān)于運算的同余關(guān)系。2022-6-27zhengjin,csu58定義定義3 3 設設 是代數(shù)是代數(shù)A=SA= 的載體的載體S S上的等價關(guān)系，上的等價關(guān)系，如果對一切如果對一切a,b,cSa,b,cS, ,都有：都有：(1)(1) 若若a a b,b,則則ac ac bcbc且且ca ca cbcb ( (對運算對運算* *是同余的是同余的) )(2)(2) 若若a a b b，則，則a a

44、 b (b (對運算是同余的對運算是同余的) ) 則稱則稱為為代數(shù)代數(shù)A A上的同余關(guān)系上的同余關(guān)系。 的等價類叫做關(guān)系的等價類叫做關(guān)系 的的同余類同余類。 (即如果等價關(guān)系對代數(shù)的每一運算都是同余關(guān)系，此等價關(guān)系才是該代數(shù)上的同余關(guān)系)2022-6-27zhengjin,csu59例例2 2 對任一代數(shù)對任一代數(shù)A=SA=1，相等關(guān)系和全域關(guān)系都是，相等關(guān)系和全域關(guān)系都是A A上上的同余關(guān)系。的同余關(guān)系。 證明：設證明：設 是相等關(guān)系。設是相等關(guān)系。設a a b,b,即即a=ba=b 則對則對S S中任意元素中任意元素c,acc,ac= =bcbc且且ca=ca=cbcb 所以所以ac ac

45、 bcbc且且ca ca cbcb. . 所以相等關(guān)系所以相等關(guān)系 是是A A上的同余關(guān)系。上的同余關(guān)系。 對于全域關(guān)系對于全域關(guān)系 ，即對，即對S S中的任何兩元素中的任何兩元素a,ba,b，都有，都有a a b, b, 當當然對任意然對任意c, c, 因為因為ac,bcac,bc屬于屬于S S，所以，所以ac ac bcbc, ,同理同理ca ca cbcb. . 所以全域關(guān)系所以全域關(guān)系是是A A上的同余關(guān)系。上的同余關(guān)系。 2022-6-27zhengjin,csu60同余關(guān)系示意圖同余關(guān)系示意圖定理：定理： 等價關(guān)系 關(guān)于二元運算*是一個同余關(guān)系當且僅當：a b且c d 時，有ac

46、bd 用圖來表示此定理的合理性。圖中每個小方格代表一個等價類 提醒：要掌握同余關(guān)系的內(nèi)在含義提醒：要掌握同余關(guān)系的內(nèi)在含義 a b cdac bd2022-6-27zhengjin,csu61由一個同態(tài)可以誘導出一個同余關(guān)系由一個同態(tài)可以誘導出一個同余關(guān)系o 從具有載體從具有載體S的代數(shù)的代數(shù)A到具有載體到具有載體S的代數(shù)的代數(shù)A的的任何一個同態(tài)任何一個同態(tài)h可誘導出一個可誘導出一個S上的自然等價關(guān)系上的自然等價關(guān)系.即即 a b 當且僅當當且僅當 h(a)=h(b) 下面的定理證明如果下面的定理證明如果h是一同態(tài)是一同態(tài),那么誘導出的等那么誘導出的等價關(guān)系價關(guān)系 是是A上的同余關(guān)系上的同余關(guān)

47、系.2022-6-27zhengjin,csu62定理6.4-2 P178 設設h h是從代數(shù)是從代數(shù) A= SA= 到到A=SA=的的同態(tài)同態(tài), ,那么那么h h誘導出的誘導出的S S上的等價關(guān)系上的等價關(guān)系 是是代數(shù)代數(shù)A A上的同余關(guān)上的同余關(guān)系系. .證明要點證明要點: （1） 如果如果 a b,那么那么a a b b （2） 如果如果a b， c d, ac bd2022-6-27zhengjin,csu63本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)掌握同余關(guān)系的定義掌握同余關(guān)系的定義掌握同余關(guān)系的特征掌握同余關(guān)系的特征會判斷代數(shù)上的集合中元素的關(guān)系是否會判斷代數(shù)上的集合中元素的關(guān)系是否是同余關(guān)系（看是否對每

48、個運算都滿足置是同余關(guān)系（看是否對每個運算都滿足置換性質(zhì)）換性質(zhì)）2022-6-27zhengjin,csu64本節(jié)作業(yè)本節(jié)作業(yè)P178: 課堂作業(yè)：，課堂作業(yè)：，課后作業(yè)課后作業(yè)；，2022-6-27zhengjin,csu656.5 6.5 商代數(shù)商代數(shù)( (不講）不講） 從已有代數(shù)可以構(gòu)造出新的代數(shù)(如：商代數(shù)和積代數(shù)商代數(shù)和積代數(shù)）研究對象：Sk其中*是代表二元運算，是一元運算，k是常數(shù)。所得結(jié)論適于任意結(jié)構(gòu)的代數(shù)。 2022-6-27zhengjin,csu66商代數(shù)的定義商代數(shù)的定義定義定義1 1 設設 是代數(shù)A= 上的同余關(guān)系，A的關(guān)于 的商代數(shù)，記為：A/ S/ k其中*和分別

49、定義如下：對所有 a,bS/, aa * *b=ab=a* *bb a=a=aa 這樣，就由一個代數(shù)和其上的同余關(guān)系由一個代數(shù)和其上的同余關(guān)系 ，得到一個集合的劃分，得到一個集合的劃分（作為新代數(shù)的載體），再在劃分上定義相關(guān)運算符就得到（作為新代數(shù)的載體），再在劃分上定義相關(guān)運算符就得到一個新的代數(shù)：一個新的代數(shù)：商代數(shù)商代數(shù)。通常，代數(shù)的所有公理性質(zhì)在商代數(shù)中仍能保持，代數(shù)A和商代數(shù)A/ 是同種類的代數(shù)。 2022-6-27zhengjin,csu67商代數(shù)的構(gòu)造商代數(shù)的構(gòu)造-例例例例.1.1 設h是從A=到A=的同態(tài)。 h: SkSm,h(x)=nx Sj=xxI且xj,j,k,m,nN并

50、滿足nkm ，令 表示h誘導的A上的同余關(guān)系，求商代數(shù)A/ 2022-6-27zhengjin,csu68解： 當n=0時，由于nkm，且j,k,m,nN， 所以m=0 所以對Sk中任意元素x，h(x)=0, 所以由h誘導的等價關(guān)系 Sk Sk ，故S Sk k/ / =k=k 商代數(shù)A/ A/ =k= k+k=k 當n0時，x ynx=ny x=y 因此等價關(guān)系是Sk上的相等關(guān)系， Sk/ =xxI且xk 商代數(shù) A/ A/ = x+y=x+y (提醒：必須掌握商代數(shù)的含義，才能構(gòu)造出商代數(shù))2022-6-27zhengjin,csu69商代數(shù)的特性商代數(shù)的特性商代數(shù)的運算和常數(shù)保留原代數(shù)的

51、性質(zhì)：商代數(shù)的運算和常數(shù)保留原代數(shù)的性質(zhì)：(1)如果運算*是可交換的,那么*也是可交換的. a*b=a*b=b*a=b*a(2)如果運算*是可結(jié)合的,那么 *也是可結(jié)合的.(3)若k 是*的么元（零元）,則k是*的么元(零元).等等.代數(shù)A和商代數(shù)A/是同種類的代數(shù).2022-6-27zhengjin,csu70定理6.5-1 (P 180)如果是代數(shù)A=上的同余關(guān)系,那么規(guī)范映射h:SS/ 是從代數(shù)A到商代數(shù) A/ 的同態(tài)， 稱為與相關(guān)的自然同態(tài)此定理說明：由一個同余關(guān)系可誘導出一個同態(tài)由一個同余關(guān)系可誘導出一個同態(tài)2022-6-27zhengjin,csu71證明要點：設h是從S到S/ 的

52、規(guī)范映射。（即 h:SS/ , h(a)=a ）證明要點：根據(jù)同態(tài)的定義，要證明以下幾點：(1) A和A/ 有相同的構(gòu)成成份。(2) h(a*b)=h(a)*h(b) (3) h(a)= h(a) (4) 常數(shù)對應常數(shù)對應：即h(k)=k2022-6-27zhengjin,csu72例5.2: 設代數(shù)A=,(“+”表示普通加法,“-” 代表一元減法),上的同余關(guān)系定義如下： x y 當且僅當 x-y=nk 顯然 是代數(shù)A上的同余關(guān)系, 商代數(shù)A/ = 其中 x+y=x+y -x=-x規(guī)范映射h:III/ / , ,h(xh(x)=x)=x是從代數(shù)A=到A/ = 的一個滿同態(tài).2022-6-27

53、zhengjin,csu73定理6.5-2 (P 181)設設f 是從是從A=到到A=的的同態(tài)同態(tài),同態(tài)象為同態(tài)象為: 是是A上由上由f誘導的同余關(guān)系誘導的同余關(guān)系,那么那么,從商代數(shù)從商代數(shù)A/ =到到存在同構(gòu)存在同構(gòu).這一定理說明商代數(shù)和同態(tài)象之間的關(guān)系這一定理說明商代數(shù)和同態(tài)象之間的關(guān)系.2022-6-27zhengjin,csu74證明要點：定義h如下: h:S/ f(S),h(xf(S),h(x)=)=f(xf(x) )證明證明h h是一同構(gòu)是一同構(gòu). .證明要點證明要點: : (1) (1) 證明證明h h是良定的是良定的. .即如果即如果x=y,x=y,則則 h(xh(x)=)=

54、h(yh(y) (2) (2) 證明證明h h是雙射函數(shù)是雙射函數(shù) (3) (3) 證明證明h h保持運算保持運算 即即h(xh(x * *”y)=”y)=h(xh(x)* *h(yh(y) 和和h(h(x)=h(x) (4) (4) 證明常數(shù)對應證明常數(shù)對應. . h(kh(k)=k)=k2022-6-27zhengjin,csu75定理結(jié)論定理結(jié)論o 由同態(tài) f 誘導出一個A上的同余關(guān)系o 在關(guān)系下產(chǎn)生商代數(shù)A/ o 從S到S/ 的規(guī)范映射是代數(shù)A和其商代數(shù)A/ 之間的自然同態(tài)o A的商代數(shù)A/ 和A在f下的同態(tài)象之間是同構(gòu)的.2022-6-27zhengjin,csu76 設h 是從A=

55、到A=的一個滿同態(tài), 是由h誘導的S上的等價關(guān)系. x y 當且僅當 h(x)=h(y)證明: A/ 同構(gòu)于A提示:(應用定理6.5-2)課堂練習課堂練習:2022-6-27zhengjin,csu77本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)o 掌握構(gòu)造商代數(shù)的前提o 掌握商代數(shù)的構(gòu)造方法 三個方面: 載體,運算符,常數(shù)o 一個代數(shù)A和其商代數(shù)之間的關(guān)系2022-6-27zhengjin,csu78本節(jié)作業(yè)o P 182: 1,2,32022-6-27zhengjin,csu796.6 6.6 半群，獨異點和群半群，獨異點和群 半群是最簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)，但已有豐富的理論，且在計算機和自動機理論中得到了應用。2022-6

56、-27zhengjin,csu80定義定義1 1 設是一非空集合，設是一非空集合，* *是上的二元運算，如果是上的二元運算，如果* *是可結(jié)合的，則稱是可結(jié)合的，則稱 為為半群半群。即對所有即對所有x x、y y、z z S S x x* *(y(y* *z)=(xz)=(x* *y)y)* *z z定義定義2 2 對于對于S,1,其中其中* *是二元運算是二元運算,1,1是么元是么元, ,并且滿并且滿足結(jié)合律的代數(shù)稱為足結(jié)合律的代數(shù)稱為獨異點獨異點, ,也稱為含也稱為含么半群么半群. (. (有時有時將么元記為將么元記為:e) :e) （即含么半群稱為獨異點即含么半群稱為獨異點） 將子代數(shù)的

57、概念運用于半群和獨異點就得到子半群和將子代數(shù)的概念運用于半群和獨異點就得到子半群和子獨異點的概念。子獨異點的概念。2022-6-27zhengjin,csu81定義定義3 3 如果是半群，T是S的子集且對運算*封閉，那么就稱為的子半群。 顯然：子半群也是半群(因?qū)\算封閉，所以是子代數(shù)，且結(jié)合律繼承)定義4 如果是獨異點，T是S的子集且對運算*封閉，且eT，則是子獨異點。 (顯然，子獨異點是獨異點。因子獨異點是子代數(shù)，對運算*封閉，含么元，結(jié)合律繼承) 2022-6-27zhengjin,csu82例1 (1) 是半群 (Sk=xxI?xk(2)代數(shù)是獨異點,(*表示普通乘法），也是獨異點.(

58、3)代數(shù)和都是獨異點。(4)有理數(shù)集Q中的*定義如下: a*b=a+b-ab 問題:是半群嗎? 其中有單位元嗎?2022-6-27zhengjin,csu83定義定義5 5 在半群(獨異點)中，若運算是可交換的則稱此半群為可交換半群(可交換獨異點)定理 在任何可交換獨異點中,S的等冪元素集合T可構(gòu)成子獨異點. 證明要點: (1) eT (2) 若a,b T,則a*b T , 即(a*b)*(a*b)=a*b 2022-6-27zhengjin,csu84獨異點中元素的冪的定義獨異點中元素的冪的定義獨異點中元素獨異點中元素a a的冪的定義：的冪的定義：(1) a(1) a0 0=e=e(2) a

59、(2) an+1n+1=a=an n* *a a顯然：冪運算滿足如下定律：顯然：冪運算滿足如下定律：(1)(1)a ai i* *a aj j= =a ai+ji+j (2) ( (2) (a ai i) )j j= =a aijij 2022-6-27zhengjin,csu85定義定義6 6 設 是獨異點(或是半群)，如果存在一個元素gS,對于每個元素aS,都有一個相應的hN,a=gh 則稱此獨異點為循環(huán)獨異點(循環(huán)半群)。稱元素g是此循環(huán)獨異點的生成元，或者說此循環(huán)獨異點(循環(huán)半群)是由g生成的。 2022-6-27zhengjin,csu86o 定理 :循環(huán)獨異點都是可交換的.2022

60、-6-27zhengjin,csu87 例例2 代數(shù)代數(shù)，由右表給定，由右表給定(1)請證明此代數(shù)是一個循環(huán)獨異點,并求出生成元. (2)把這個獨異點的每一元素都表示成生成元的冪. (3)列出這個獨異點的所有等冪元素 *a b c d abcd a b c db c d ac d a bd a b c例 是循環(huán)獨異點嗎？請找出其生成元2022-6-27zhengjin,csu88o 例2 (P185-186)2022-6-27zhengjin,csu89半群半群(獨異點獨異點)同態(tài)同態(tài) 將同態(tài)的概念應用于特殊代數(shù)將同態(tài)的概念應用于特殊代數(shù)- -半群和獨異點半群和獨異點( (以以后還有群后還有群