電子測量第二章2-2

1、第二章 測量誤差與數(shù)據(jù)處理隨機(jī)誤差指對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預(yù)測的方式無規(guī)則變化的誤差。2.4 隨機(jī)誤差分析一、定義R反映了實(shí)際測量的精密度即測量值的分散程度。P P( (x x) ) x x0 0二、隨機(jī)誤差性質(zhì)對稱性對稱性絕對值相等的正誤差與負(fù)絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性單峰性絕對值小的誤差比絕對值絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多；大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性有界性絕對值很大的誤差出現(xiàn)的絕對值很大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會極少，不會超出一定的界限；機(jī)會極少，不會超出一定的界限； 抵償性抵償性當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大，當(dāng)測量次

2、數(shù)趨于無窮大，隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。 服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布，具有以下，具有以下4 4個特性個特性： nxxxx,321由于隨機(jī)誤差的存在，這些測得值也是隨機(jī)變量。定義n個測得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值算術(shù)平均值為niixnx11n)1(lim1niinxxnEAxxiii式中 分別表示絕對誤差和隨機(jī)誤差。iix、AxnAnxnAxnnniininiiniinii11111111)(11n)(nAEx 由于隨機(jī)誤差的抵償性：0)1(lim1niinn 綜合以上所述：AEx即測得值的數(shù)學(xué)期望等于被測量實(shí)際值A(chǔ). 110niixnxEA2211( )()niixxx

3、n 方差方差是用來描述隨機(jī)變量可能值對期望的是用來描述隨機(jī)變量可能值對期望的分散的特征值。分散的特征值。 2211( )()niixxxn數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式： 對于正態(tài)分布的xi ，其概率密度函數(shù)為：222)(21)(xExex22221)(ei 圖 的正態(tài)分布曲線 ixi 圖 的正態(tài)分布曲線x x ( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 2零示法零示法 當(dāng)檢流計當(dāng)檢流計GG中中 I=0I=0 212RRREUUx待測待測標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)U U U Ux xE Ex xR R1 1R2R2G G圖圖 零示法測電壓零示法測電壓 GG只要示零精度高只要示零精度高 sxxssxxxsx由

4、于 ，所以 ，又由于 ，所以sssxssxx條件條件：當(dāng)待測量與標(biāo)準(zhǔn)量接近時：當(dāng)待測量與標(biāo)準(zhǔn)量接近時 BX BABX BA 被測電池電壓被測電池電壓 x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V測量誤差由下式可求得：測量誤差由下式可求得： BAAABBxx=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2% 可見，可見，采用微差法測量，測量誤差主要決定于采用微差法測量，測量誤差主要決定于標(biāo)準(zhǔn)量的誤差，標(biāo)準(zhǔn)量的誤差， 而測試儀表誤差的影響被大大削弱。而測試儀表誤差的影響被大大削弱。待測待測標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)（

5、固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V圖圖 微差法測量微差法測量本例說明本例說明，用誤差為用誤差為5的電壓表進(jìn)行測量，可得的電壓表進(jìn)行測量，可得0.2%的測量精確度。的測量精確度。替代法（置換法）替代法（置換法） 直流電橋平衡條件直流電橋平衡條件當(dāng)當(dāng) R RX XR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 將將 R RS SR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 則則 R RX X=R=RS S 步驟：步驟：1.1.調(diào)調(diào)R R3 3，使，使G=0G=0，R R3 3不動；不動； 2.2.調(diào)調(diào)R RS S，使，使G=0G=0，R RX X=R=

6、RS SR RS S為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)電阻箱電阻箱可調(diào)可讀可調(diào)可讀R Rx xGGR RS SR R3 3R R1 1R R2 2E E 圖圖 替代法測電阻替代法測電阻 標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)可讀電阻可讀電阻231/RRRRx 由于 都有誤差，若利用它們的標(biāo)稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即321RRR、)/()(223311RRRRRRRRxx223311RRRRRRRRxx 為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻s代替R，并在保持 不變的情形下通過調(diào)節(jié)使電橋重新平衡，因而得到 321RRR、)/()(223311RRRRRRRRssssxxRRRR 可見測量誤差可見測量誤差R ，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差，

7、僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差Rs，而與而與 的誤差無關(guān)。的誤差無關(guān)。 321RRR、總結(jié)：總結(jié)： 只要零示器的只要零示器的靈敏度靈敏度足夠高，測量的準(zhǔn)足夠高，測量的準(zhǔn)確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器的準(zhǔn)確度無關(guān)，從而的準(zhǔn)確度無關(guān)，從而可消除由于測量儀器刻度可消除由于測量儀器刻度不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。 2智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除 在智能儀器中，可利用微處理器的計算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。 直流零位校準(zhǔn) 首先測量輸入端短路時的輸入端直流短路時的輸出電壓，將測得的數(shù)據(jù)存貯到校準(zhǔn)數(shù)據(jù)存貯器中，而后進(jìn)行實(shí)

8、際測量，并將測得值與調(diào)出的直流零電壓數(shù)值相減，從而得到測量結(jié)果。這種方法在數(shù)字這種方法在數(shù)字電壓表中得到廣泛應(yīng)用。電壓表中得到廣泛應(yīng)用。xUsU圖5 運(yùn)放的自動校準(zhǔn)原理( )ixxGx3 ( )ixxxixxa( )akx在有限次測量的情況下：在有限次測量的情況下： 1、全部測量值的算術(shù)平均值是最可靠的測量結(jié)果。、全部測量值的算術(shù)平均值是最可靠的測量結(jié)果。 2、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差 3、平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：、平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： 4、數(shù)據(jù)的表述：、數(shù)據(jù)的表述：211()1niixxn( )/xn3 ( )xxxn系統(tǒng)誤差分析1、求平均值無法消除系統(tǒng)誤差2、系統(tǒng)誤差判斷的方法3、消除系統(tǒng)誤差的方法校準(zhǔn)、比對的

9、方法校準(zhǔn)、比對的方法剩余誤差觀察的方法剩余誤差觀察的方法公式判斷的方法公式判斷的方法從產(chǎn)生的根源上消除從產(chǎn)生的根源上消除典型技術(shù)典型技術(shù)智能儀器自校準(zhǔn)智能儀器自校準(zhǔn)零示法零示法微差法微差法替代法替代法ixinixnx11xxii01nii 列出列出 ，按貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)偏差，按貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)偏差(實(shí)際實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)偏差上是標(biāo)準(zhǔn)偏差 的最佳估計值的最佳估計值 )：2ivniin12113i3i( )/xn3 ( )Axx表1Vx30.205i4434. 01112niin3302. 13i335. 1i65.206ix21.205 x重新計算各殘差重新計算各殘差 列于表中。列于表中。重新計算

10、標(biāo)準(zhǔn)差重新計算標(biāo)準(zhǔn)差i27. 014112nii81. 03ii( )/ 150.27/ 150.07xVxxx2 . 02 .2053圖6 的變化情況i1 1 有效數(shù)字有效數(shù)字 定義：有效數(shù)字，是指在測量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字起到含有定義：有效數(shù)字，是指在測量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字起到含有誤差的那位誤差的那位存疑數(shù)存疑數(shù)為止的所有各位數(shù)字。為止的所有各位數(shù)字。 例例1 1 用用10v10v指針式電壓表測得指針式電壓表測得 U= 5. 6 U= 5. 6 4 4 V V 三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字 例例2 0.0039K=3.9 2 0.0039K=3.9 兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字6

11、 6 5 5例例3 0.026m 3 0.026m 兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字 0.0260m 0.0260m 三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字存疑數(shù)還有一種含義，存疑數(shù)還有一種含義，它可能發(fā)生末位的半個單位它可能發(fā)生末位的半個單位( (0.50.5個單位個單位) )變化。變化。例如例如: : 5.645.640.005 0.005 5.6455.645 5.635 5.635 絕對誤差不超過末位單位數(shù)字的一半 有效數(shù)字具有以下特點(diǎn)：有效數(shù)字具有以下特點(diǎn)： （1）位于數(shù)字中間和末位的）位于數(shù)字中間和末位的0都是有效數(shù)字，而位于第一都是有效數(shù)字，而位于第一非零數(shù)字前面的非零數(shù)字前面的0，都不是有效數(shù)字。，

12、都不是有效數(shù)字。 （2）有效數(shù)字的末位數(shù)字是）有效數(shù)字的末位數(shù)字是0時，不能隨意刪除，上例中時，不能隨意刪除，上例中的的1.80 mA和和1.8 mA中的有效數(shù)字是不一樣的，前者是三位，中的有效數(shù)字是不一樣的，前者是三位，后者是兩位，絕對誤差相差后者是兩位，絕對誤差相差10倍。倍。 （3）有效數(shù)字不能因使用的單位變化而改變，上例中）有效數(shù)字不能因使用的單位變化而改變，上例中3.02 V和和3020 mV兩個數(shù)值，前者是三位有效數(shù)字，后者是兩個數(shù)值，前者是三位有效數(shù)字，后者是四位有效數(shù)字。因此要保持有效數(shù)字不變，后者必須寫成四位有效數(shù)字。因此要保持有效數(shù)字不變，后者必須寫成3.02103 mV，

13、這時它的有效數(shù)字是三位。，這時它的有效數(shù)字是三位。 【注意】：需要注意的是，在測量結(jié)果中，最末一位有效【注意】：需要注意的是，在測量結(jié)果中，最末一位有效數(shù)字取到哪一位，是由測量精度來決定的，即最末一位有效數(shù)數(shù)字取到哪一位，是由測量精度來決定的，即最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測量精度是同一量級的。字應(yīng)與測量精度是同一量級的。 2 2 數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則未使尾數(shù)為偶數(shù)，不便于除盡未使尾數(shù)為偶數(shù)，不便于除盡 經(jīng)典的經(jīng)典的“四舍五入四舍五入”的缺點(diǎn)：的缺點(diǎn)： 規(guī)則規(guī)則 小于小于5 5舍舍 大于大于5 5入入 等于等于5 5取偶取偶 5 5后有數(shù)，舍后有數(shù)，舍5 5入入1 1 5 5后

14、無數(shù)或?yàn)榱銜r后無數(shù)或?yàn)榱銜r5 5前是奇數(shù)，舍前是奇數(shù)，舍5 5入入1 1 5 5前是偶數(shù)，舍前是偶數(shù)，舍5 5不進(jìn)不進(jìn) 17.99518.0017.99518.00 14.985014.9814.985014.983.624563.62456測量中用：測量中用：四舍六入五湊偶法則四舍六入五湊偶法則取取4 4位有效數(shù)字位有效數(shù)字3.6253.62512.4363.740.6925.3217.70123.122.6 測量誤差的合成與分配iniiyxxf1ln（誤差傳遞公式誤差傳遞公式）2.6.1、測量誤差的合成、測量誤差的合成總合誤差分項(xiàng)誤差的傳遞系數(shù)局部誤差2.6 測量誤差的合成與分配1njjj

15、fyxx 絕對誤差傳遞公式絕對誤差傳遞公式1nyjjjylnfxyx 相對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式12(,.)nyf x xxy y與與x x是和、差關(guān)系，則先求絕對誤差是和、差關(guān)系，則先求絕對誤差y y與與x x是積、商、乘方、開方關(guān)系，則先求相對誤差是積、商、乘方、開方關(guān)系，則先求相對誤差1niiifyxx 【例【例2-8】 用間接測量法測電阻消耗的功率。若電阻、電用間接測量法測電阻消耗的功率。若電阻、電壓和電流測量的相對誤差分別為壓和電流測量的相對誤差分別為R/R、U/U、I/I，試求功率的相對誤差為多少？，試求功率的相對誤差為多少？ 解法解法1： 求功率求功率P的絕對誤差的絕對誤差

16、再求再求P的相對誤差的相對誤差 解法解法2：UIIUUUPIIPPUIPUIUIUIIUPPUUUIIIUIxxfPPiniiP)ln(ln)ln(lnln1UIUUII 【例【例2-9】 已知函數(shù)已知函數(shù) 求求y的誤差。的誤差。 解：解：由于由于故故，03321xxxxy iiiyxxfyy31ln321321lnlnlnlnlnxxxxxxf333222111lnlnlnxxxxxxxxxy332211xxxxxx321考慮最大影響，取各項(xiàng)的絕度值計算，則考慮最大影響，取各項(xiàng)的絕度值計算，則y的相對誤差為的相對誤差為)(321y 2誤差的合成誤差的合成 （1）確定性系統(tǒng)誤差的合成）確定性系

17、統(tǒng)誤差的合成 對于誤差的大小及符號均已確定的系統(tǒng)誤差，可以直接對于誤差的大小及符號均已確定的系統(tǒng)誤差，可以直接由誤差傳遞公式進(jìn)行合成。由于由誤差傳遞公式進(jìn)行合成。由于 ，當(dāng)隨機(jī)誤差，當(dāng)隨機(jī)誤差 不計時，不計時， 。則。則iniinnxxfxxfxxfxxfy12211iiixiiixnnxfxfxfy2211jmjjyxf1jmjjyyxfy1ln 【例【例2-10】 有有5個個800 的電阻串聯(lián)，若各電阻的系統(tǒng)誤差的電阻串聯(lián)，若各電阻的系統(tǒng)誤差分別為分別為1 = -4 ，2 = 5 ，3 = -3 ，4 = 6 ，2 = 4 ，求總電阻的相對誤差，求總電阻的相對誤差R。 解：解：543211

18、jmjjRRRR846354總電阻總電阻總電阻的相對誤差總電阻的相對誤差R為為400054321RRRRRR%2 . 0%10040008%100RRR （2）系統(tǒng)不確定度的合成）系統(tǒng)不確定度的合成 系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用y m表示；相對系統(tǒng)不確定度用表示；相對系統(tǒng)不確定度用y m表示。例如測量儀器的基本表示。例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類。誤差、工作誤差等都屬此類。不確定度愈小，測量結(jié)果的質(zhì)量愈高，愈接近真值，可信程度不確定度愈小，測量結(jié)果的質(zhì)量愈高，愈接近真值，可信程度愈高。愈高。系統(tǒng)不確定度可用下面兩種方法計算。系統(tǒng)不確定度可用下面兩種方法計算。 絕對值合成法（代數(shù)合成法）絕對值合成法（代數(shù)合成法）njjjyxf1mmnjjjyxf1mmln一般情況下（積函數(shù)）一般情況下（積函數(shù)）)21mny （ 【例【例2-11】 用用 和和 的電阻串聯(lián)，的電阻串聯(lián)，求總電阻的誤差范圍（系統(tǒng)不確定度）。求總電阻的誤差范圍（系統(tǒng)不確定度）。 解：解： %101001R%54002R10%)10100(m120%)5400(m2得：得：30)(m2m1mmRy 【例【例2-11】 用用HFJ8型超高頻晶體管毫伏表型超高頻晶體管毫伏表3 V量程測量程測一個一個20 MHz的的1.5