梁的平面彈性彎曲剛度與強(qiáng)度計(jì)算問題

1、8.1梁的平面彈性彎曲強(qiáng)度與剛度計(jì)算問題8.21 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力2 常用截面二次矩 平行移軸公式3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算4 彎曲切應(yīng)力簡介5 梁的彎曲變形概述 6 用疊加法求梁的變形小結(jié)8.38.1.1 純彎曲試驗(yàn)純彎曲試驗(yàn)8.1 8.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力 一矩形等截面簡支梁一矩形等截面簡支梁AB，其上作用兩個(gè)，其上作用兩個(gè)對稱的集中力對稱的集中力F。 加載前，在加載前，在CD段表面畫些平行于梁軸線的段表面畫些平行于梁軸線的縱向線和垂直于梁軸線的橫向線?？v向線和垂直于梁軸線的橫向線。 加載后，由剪力圖和彎距圖可知加載后，由剪力圖和彎距圖可知AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上同時(shí)

2、有剪力和彎矩，這兩段內(nèi)，各橫截面上同時(shí)有剪力和彎矩，這種彎曲稱為種彎曲稱為橫彎曲（或稱剪切彎曲）橫彎曲（或稱剪切彎曲）。 在中間段在中間段CD段內(nèi)的各橫截面上，只有段內(nèi)的各橫截面上，只有彎矩，沒有剪力，這種彎矩，沒有剪力，這種彎曲稱為純彎曲彎曲稱為純彎曲。8.48.1 8.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力 縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。凸邊的縱向線伸長，凹邊的縱向線縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。凸邊的縱向線伸長，凹邊的縱向線縮短。縮短。 橫向線仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過一個(gè)微小角度，并與縱向線垂直。橫向線仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過一個(gè)微小角度，并與縱向線垂直。 梁的高度不變，而梁的寬度在伸長區(qū)

3、內(nèi)，有所減少，在壓縮區(qū)內(nèi)，有所梁的高度不變，而梁的寬度在伸長區(qū)內(nèi)，有所減少，在壓縮區(qū)內(nèi)，有所增大。增大。8.58.1 8.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設(shè)：根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設(shè)： 平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持為平面，并垂直于變形后梁的軸平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持為平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著截面上某一軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度。線，只是繞著截面上某一軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度。 單向受力假設(shè)：梁是由無數(shù)條縱向纖維組成，各纖維之間互不擠壓（即單向受力假設(shè)：梁是由無數(shù)條縱向纖維組成，各纖維之間互不擠壓（即梁的縱向截面上無正應(yīng)力作用），

4、處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)。梁的縱向截面上無正應(yīng)力作用），處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)。 結(jié)論：由以上假設(shè)可知，因梁變形后的橫截面仍與縱向線垂直，所以切結(jié)論：由以上假設(shè)可知，因梁變形后的橫截面仍與縱向線垂直，所以切應(yīng)變?yōu)榱?，橫截面上應(yīng)變?yōu)榱?，橫截面上無切應(yīng)力，而只有正應(yīng)力無切應(yīng)力，而只有正應(yīng)力。梁純彎曲變形時(shí)，其。梁純彎曲變形時(shí)，其內(nèi)凹內(nèi)凹一側(cè)的纖維層縮短；一側(cè)的纖維層縮短；外凸外凸一側(cè)的纖維層伸長。二者交界處必有一層纖維既一側(cè)的纖維層伸長。二者交界處必有一層纖維既不伸長也不縮短，這一纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中不伸長也不縮短，這一纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。性軸。

5、中性層中性層是梁內(nèi)受拉區(qū)與受壓區(qū)的分界面、是橫截面上拉應(yīng)力與壓應(yīng)是梁內(nèi)受拉區(qū)與受壓區(qū)的分界面、是橫截面上拉應(yīng)力與壓應(yīng)力的分界線。力的分界線。中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力等于零中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力等于零，梁變形時(shí)各橫截面均繞中性，梁變形時(shí)各橫截面均繞中性軸作相對轉(zhuǎn)動(dòng)。軸作相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 8.6 8.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力選取相距為選取相距為dx的兩相鄰橫截面的兩相鄰橫截面m-m1和和n-n1。8.1.2 8.1.2 梁橫截面上的正應(yīng)力分布梁橫截面上的正應(yīng)力分布設(shè)中性層設(shè)中性層O1O2曲率半徑為曲率半徑為 ，相，相對轉(zhuǎn)動(dòng)后形成的夾角為對轉(zhuǎn)動(dòng)后形成的夾角為 。ddd21 xOO距中性層處的線應(yīng)

6、變?yōu)榫嘀行詫犹幍木€應(yīng)變?yōu)閤xyOOOObaddd)(2121yyddd)(（8.1）8.78.1 8.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.2 梁橫截面上的正應(yīng)力分布梁橫截面上的正應(yīng)力分布當(dāng)正應(yīng)力沒有超過材料的屈服當(dāng)正應(yīng)力沒有超過材料的屈服極限極限 時(shí)，時(shí)，pyEE (8.2)8.88.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.3 8.1.3 梁的正應(yīng)力計(jì)算梁的正應(yīng)力計(jì)算取一微面積取一微面積dA，作用于，作用于dA上的微內(nèi)力上的微內(nèi)力為為 。由于純彎曲時(shí)，橫截面上的。由于純彎曲時(shí)，橫截面上的內(nèi)力分量只有彎矩內(nèi)力分量只有彎矩M而無軸力而無軸力 ，故，故橫截面上所有微內(nèi)力在橫截面上

7、所有微內(nèi)力在x軸上投影的代軸上投影的代數(shù)和應(yīng)等于零。數(shù)和應(yīng)等于零。NFAd0d AFANAyMAd0dzANESAyEF2dzzAEIEMyAMAySAzd0dAySAz0E稱為截面對中性軸稱為截面對中性軸z的截面一次矩。因?yàn)榈慕孛嬉淮尉?。因?yàn)楣视泄视兴运?.9令令 , 稱為橫截面對中性軸稱為橫截面對中性軸 z 的彎曲截面系數(shù)，單位為的彎曲截面系數(shù)，單位為8.1 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力AyIAzd2zEIM1 （8. .3）又稱慣性矩。又稱慣性矩。yIMzz（8.4） maxmaxyIMzzmaxyIWzzzWz3mzWMmax（8.5） 稱為梁截面的稱為梁截面的抗彎剛度抗彎

8、剛度。 整理可得整理可得純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式：純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式：EIz 。8.10 8.2 常用截面二次矩常用截面二次矩 平行移軸公式平行移軸公式 8.2.1 8.2.1 常用截面二次矩常用截面二次矩1矩形截面矩形截面 設(shè)矩形截面的高為設(shè)矩形截面的高為h，寬為，寬為b ，過形，過形心心O作作y 軸和軸和 z 軸。取寬為軸。取寬為b高為高為 的的狹長條為微面積狹長條為微面積 ，（8.6a）ydybAdd12dd32/2/22bhybyAyIhhAz62/12/23maxbhhbhyIWzz123hbIz62hbWz（8.6b）（8.6c）（8.6d）8.118.2 常用截面二次矩常用

9、截面二次矩 平行移軸公式平行移軸公式（8.7b） 2.圓形截面與圓環(huán)形截面圓形截面與圓環(huán)形截面 設(shè)圓形截面的直徑為設(shè)圓形截面的直徑為d，y軸和軸和z軸軸過形心過形心O。取微面積。取微面積 ，其坐標(biāo)，其坐標(biāo)為為y和和z。Ad（8.7a）32d42dAIAPAzyAIAAPd)(d222zyAAIIAzAydd226424dIIIzy323dWWzy對圓環(huán)形截面對圓環(huán)形截面 （8.8a）（8.8b）)1 (6444DIIzy)1 (3243DWWzyDd8.128.28.2常用截面二次矩常用截面二次矩 平行移軸公式平行移軸公式 8.2.2 8.2.2 組合截面二次矩組合截面二次矩 平行移軸公式平行

10、移軸公式組合截面對軸的截面二次矩等于各組成部分對軸的截面二次矩的代數(shù)和組合截面對軸的截面二次矩等于各組成部分對軸的截面二次矩的代數(shù)和 。niziZII1(8.9)平行移軸公式平行移軸公式 AaIIzzi2(8.10) 圖形對任意軸的截面二次軸矩，等于圖形對于與該軸平行的形心圖形對任意軸的截面二次軸矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的截面二次軸矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由此軸的截面二次軸矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由此可知，對所有平行軸的截面二次矩中，以通過形心軸的截面二次矩為最可知，對所有平行軸的截面二次矩中，以通過形心軸的截面二次矩為最小。此公式的應(yīng)用條件為

11、小。此公式的應(yīng)用條件為（1）兩對軸必須互相平行。兩對軸必須互相平行。 （2）其中）其中x、y軸必須是過形心的軸。軸必須是過形心的軸。 8.138.28.2常用截面二次矩常用截面二次矩 平行移軸公式平行移軸公式 8.2.2 組合截面二次矩組合截面二次矩 平行移軸公式平行移軸公式例例8.1 一形截面，求其對中性軸的截面二次矩。一形截面，求其對中性軸的截面二次矩。解解 將形截面視為由矩形將形截面視為由矩形和矩形和矩形組成。組成。（1）確定形心和中性軸的位置。）確定形心和中性軸的位置。AAyAyAyc260206020506020106020mm30（2）求各組成部分對中性軸的截面二次矩）求各組成部分

12、對中性軸的截面二次矩 IIzIzAaII22IIzIzAaII214423mm10526020)1030(1220604423mm10846020)3050(126020（3）T形截面對中性軸形截面對中性軸的截面二次矩為：的截面二次矩為：44mm10136zzzIII8.148.3 8.3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算 max,ttmax,cc對于脆性材料對于脆性材料（8.12）梁的強(qiáng)度條件可解決三類強(qiáng)度計(jì)算問題：校核梁的強(qiáng)度、梁的強(qiáng)度條件可解決三類強(qiáng)度計(jì)算問題：校核梁的強(qiáng)度、設(shè)計(jì)梁的截面尺寸和確定梁的許用載荷。設(shè)計(jì)梁的截面尺寸和確定梁的許用載荷。maxmaxzWM梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條

13、件為：梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為： （8.11）8.158.3 8.3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例例 8.2 簡支矩形木梁簡支矩形木梁AB ?？缍?。跨度 ，承受均布載荷，承受均布載荷q = 3.6 kN/m , 木材順紋許用應(yīng)木材順紋許用應(yīng)力力 。設(shè)梁橫截面高度之比為。設(shè)梁橫截面高度之比為 ，試選擇梁的截面尺寸。，試選擇梁的截面尺寸。m5lMPa102/bh解解 畫出梁的彎矩圖畫出梁的彎矩圖mkN25.1185106 . 38232maxqlMmaxmaxzWM3363maxm10125.110101025.11MWz326)2(6322bbbbhWzm10125. 13233bm1

14、19. 0210125. 1333bm238. 02 bh120mm240mmbh可選取可選取的矩形截面。的矩形截面。8.168.3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例例8.3 懸臂梁懸臂梁AB，型號(hào)為，型號(hào)為No.18號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼 。已知許用應(yīng)。已知許用應(yīng) 力力 ， , 不計(jì)不計(jì)梁的自重，試計(jì)算自由端集中梁的自重，試計(jì)算自由端集中力力F的最大許可值的最大許可值 。MPa170m2 . 1lF解解 畫出梁的彎矩圖畫出梁的彎矩圖 )mN(2 . 1maxFFlMN2 . 1101701085. 166FkN2 .26N102 .263maxzWM6610170101852 . 1F由強(qiáng)度

15、條件得由強(qiáng)度條件得3cm185zW查手冊得到查手冊得到No.18號(hào)工字鋼彎曲截面系數(shù)號(hào)工字鋼彎曲截面系數(shù)P259 8.178.3 8.3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例例8.5 已知已知T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸，已知鑄鐵抗拉許用應(yīng)形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸，已知鑄鐵抗拉許用應(yīng)力力 ，抗壓許用應(yīng)力，抗壓許用應(yīng)力 。試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。MPa30tMPa160c8.188.3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算kN75. 0AFkN75. 3BF解解 （1）由靜力平衡方程求出支座反力為）由靜力平衡方程求出支座反力為 mkN75. 0cM （2）畫出梁的彎矩圖畫出梁的彎

16、矩圖mkN1BM最大負(fù)彎矩在截面最大負(fù)彎矩在截面B B上上44mm10136zImm301ymm502y （3）T形截面對中性軸的截面的二次矩為形截面對中性軸的截面的二次矩為為為 （4）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核分別作出分別作出B截面和截面和C截面的正應(yīng)力分布圖，因?yàn)榻孛娴恼龖?yīng)力分布圖，因?yàn)?，所以最大壓應(yīng)力發(fā)，所以最大壓應(yīng)力發(fā)生在生在B截面的下邊緣截面的下邊緣BMcMPa1013610501018332max,zBcIyMMPa8 .36Pa108 .366c8.198.3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算分別計(jì)算分別計(jì)算C截面下邊緣和截面下邊緣和B截面上邊緣的截面上邊緣的應(yīng)力，以確定最大拉應(yīng)力

17、所在位置。應(yīng)力，以確定最大拉應(yīng)力所在位置。 MPa1 .22Pa101 .226tPa1013610501075.08332max, zCtIyMMPa6 .27Pa106 .276Pa1013610301018331max,zBtIyM在在B截面上截面上 在在C截面上截面上 因此最大拉應(yīng)力發(fā)生在因此最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣處。截面的下邊緣處。t8.20補(bǔ)充例子：圖補(bǔ)充例子：圖a所示為橫截面如圖所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸該截面對于中性軸z 的慣性矩的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖。已知圖a中，中，b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力

18、。鑄鐵的許用拉應(yīng)力 t=30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c=90 MPa 。試求梁的許可荷載。試求梁的許可荷載F。(a)(b)8.21 解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力t,max達(dá)到t，則下邊緣處最大壓應(yīng)力c,max為 根據(jù) 可知此c,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力c，也就是說，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。tt56. 18613431ct8.22顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。B截面：zzBIFIMm1086m22m108633maxt,C截面：zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力8.23Pa103

19、0m105493m1086m226483F 當(dāng)然，這個(gè)許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會(huì)減少很多。 于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力t的條件來求該梁的許可荷載F：由此得F19200 N，亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力8.248.4 8.4 彎曲切應(yīng)力簡介彎曲切應(yīng)力簡介 梁受橫力彎曲時(shí)，橫截面上不僅有與彎矩有關(guān)的正應(yīng)力，同時(shí)還有由剪力引起梁受橫力彎曲時(shí)，橫截面上不僅有與彎矩有關(guān)的正應(yīng)力，同時(shí)還有由剪力引起的切應(yīng)力。一般情況下，正應(yīng)力是影響梁強(qiáng)度和變形的主要因素，按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)的切應(yīng)力。一般情況下，正應(yīng)力

20、是影響梁強(qiáng)度和變形的主要因素，按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算即可滿足工程要求。度計(jì)算即可滿足工程要求。 以下情況，需要對梁進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算：以下情況，需要對梁進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算：1）跨距較短的梁；）跨距較短的梁；2）載荷較大）載荷較大且靠近支座附近的梁截面；且靠近支座附近的梁截面；3）腹板窄而高的組合梁；）腹板窄而高的組合梁；4）焊接、鉚接、膠合的梁等。）焊接、鉚接、膠合的梁等。 8.25一一、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力 1、公式推導(dǎo)：、公式推導(dǎo)： n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxbAyyx xdxxM+dMMFSFS +d t ty t t t tmn

21、mmdx xt tyt tA8.4 8.4 彎曲切應(yīng)力簡介彎曲切應(yīng)力簡介8.26Fs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+d M(x)Fs(x)dx 1xyz 2 2t tt tbzzAzANIMSAyIMAFdd1zzNISMMF)d(2zzszzbISFbISxMddt由剪應(yīng)力互等由剪應(yīng)力互等zzbIQSy*)(tt)4(2)2(2222yhbyhbyhAySczdxbFFNNt128.4 8.4 彎曲切應(yīng)力簡介彎曲切應(yīng)力簡介8.27tt5 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩tFst t方向：與橫截面上剪力方向相同；方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?/p>

22、，沿高度大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.51.5倍。倍。8.288.4 8.4 彎曲切應(yīng)力簡介彎曲切應(yīng)力簡介圓形截面：圓形截面：AFS34maxt (8.17)圓環(huán)形截面：圓環(huán)形截面：AFS2maxt (8.18)8.4.3 8.4.3 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件max最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的橫截面的中性軸上，梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的橫截面的中性軸上，梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 (8.19)tt 一般在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算，再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般在設(shè)計(jì)梁

23、的截面時(shí)，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算，再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。校核。 8.298.4 8.4 彎曲切應(yīng)力簡介彎曲切應(yīng)力簡介 例例8.8 一簡支梁長一簡支梁長 l ，矩形截面寬為，矩形截面寬為b，其高度為，其高度為h，受均布載荷作用。試求最大，受均布載荷作用。試求最大切應(yīng)力與最大正應(yīng)力之比。切應(yīng)力與最大正應(yīng)力之比。 解解 （1）畫出剪力圖和彎矩圖）畫出剪力圖和彎矩圖2maxqlFS82maxqlM（2）求出最大剪力和最大彎矩，由圖可得）求出最大剪力和最大彎矩，由圖可得8.308.4 8.4 彎曲切應(yīng)力簡介彎曲切應(yīng)力簡介最大切應(yīng)力與正應(yīng)力之比最大切應(yīng)力與正應(yīng)力之比bhqlbhqlAFS43223

24、23maxmaxt2222maxmax4368bhqlbhqlWMzlhbhqlbhql22maxmax4343t最大切應(yīng)力與最大正應(yīng)力之比等于梁的截面高度與跨度之比。最大切應(yīng)力與最大正應(yīng)力之比等于梁的截面高度與跨度之比。 上式表明，在一般細(xì)長非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力之比上式表明，在一般細(xì)長非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力之比的數(shù)量級(jí)約等于梁的跨高比，故在一般細(xì)長梁中，彎曲正應(yīng)力起控制強(qiáng)度的作用。的數(shù)量級(jí)約等于梁的跨高比，故在一般細(xì)長梁中，彎曲正應(yīng)力起控制強(qiáng)度的作用。 8.318.5 8.5 梁的彎曲變形概述梁的彎曲變形概述 單杠和跳板都可視作梁，運(yùn)動(dòng)員借助

25、梁的變形完成動(dòng)作。但對有些梁單杠和跳板都可視作梁，運(yùn)動(dòng)員借助梁的變形完成動(dòng)作。但對有些梁在工作時(shí)是不允許產(chǎn)生過大彎曲變形的。在工作時(shí)是不允許產(chǎn)生過大彎曲變形的。 例如起重機(jī)起吊重物后梁彎曲變例如起重機(jī)起吊重物后梁彎曲變形過大，會(huì)使其起重小車運(yùn)行阻力過大，容易燒壞電動(dòng)機(jī)；搖臂鉆的橫梁形過大，會(huì)使其起重小車運(yùn)行阻力過大，容易燒壞電動(dòng)機(jī)；搖臂鉆的橫梁在鉆孔時(shí)，如發(fā)生過大變形將影響孔的加工質(zhì)量。為保證梁能正常工作，在鉆孔時(shí)，如發(fā)生過大變形將影響孔的加工質(zhì)量。為保證梁能正常工作，應(yīng)使梁同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，并限制梁的彎曲變形量。應(yīng)使梁同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，并限制梁的彎曲變形量。 搖臂鉆床搖臂

26、鉆床8.328.5 8.5 梁的彎曲變形概述梁的彎曲變形概述 8.5.1 撓曲線方程撓曲線方程)(xf 為表示撓度和轉(zhuǎn)角隨截面位置不同而變化的規(guī)律。取變形前梁的軸線為表示撓度和轉(zhuǎn)角隨截面位置不同而變化的規(guī)律。取變形前梁的軸線為為x軸，與軸線垂直向上的軸為繞度。則軸，與軸線垂直向上的軸為繞度。則撓曲線方程撓曲線方程可表示為：可表示為：（8.20）lnxmx m1FBACB1C1n18.33 梁承載后主要產(chǎn)生兩種變形：（梁承載后主要產(chǎn)生兩種變形：（1）線位移：橫截面形心在垂直于梁變形前軸）線位移：橫截面形心在垂直于梁變形前軸線方向上的線位移，稱為線方向上的線位移，稱為撓度撓度，用，用 表示。在右圖

27、直角坐標(biāo)系中撓度方向表示。在右圖直角坐標(biāo)系中撓度方向規(guī)定：向上撓度為正；向下?lián)隙葹樨?fù)。規(guī)定：向上撓度為正；向下?lián)隙葹樨?fù)。 （2）角位移：橫截面相對于變形前的位置所轉(zhuǎn)過的角位移。稱為）角位移：橫截面相對于變形前的位置所轉(zhuǎn)過的角位移。稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角，用，用 表示。判定轉(zhuǎn)向正負(fù)：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。橫截表示。判定轉(zhuǎn)向正負(fù)：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。橫截面在彎曲變形后仍垂直于撓曲線面在彎曲變形后仍垂直于撓曲線,任意橫截面的轉(zhuǎn)角任意橫截面的轉(zhuǎn)角 可用撓曲線在該截面處的切可用撓曲線在該截面處的切線與線與x軸的夾角表示。即撓曲線上任意點(diǎn)的切線斜率與轉(zhuǎn)角軸的夾角表示。即

28、撓曲線上任意點(diǎn)的切線斜率與轉(zhuǎn)角 的關(guān)系為：的關(guān)系為： 8.5 梁的彎曲變形概述梁的彎曲變形概述 8.5.2 8.5.2 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角 CCtanxdd在小變形情況下，在小變形情況下， 很小，故很小，故tan ，則上式可改寫為：，則上式可改寫為：xdd(8.21) 8.34zEIxMx)()(18.358.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 8.6.1 8.6.1 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 若忽略剪力對變形的影響，平面彎曲時(shí)梁的軸線的曲率為若忽略剪力對變形的影響，平面彎曲時(shí)梁的軸線的曲率為 zEIxMx)()(1在梁的撓曲線中任取一段在梁的撓曲線中任取一段 ，則

29、有，則有 xdd)(dxs sdd1或或8.368.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 因梁的變形很小，因梁的變形很小， ，則上式可寫成，則上式可寫成xsdd xxdd)(1整理可得整理可得zEIM(x)x22dd對等截面直梁可得對等截面直梁可得2z2EIM(x)xdd(8.23) ( (8. .22) )結(jié)合邊界條件和變形連續(xù)條件應(yīng)用此方程，即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程結(jié)合邊界條件和變形連續(xù)條件應(yīng)用此方程，即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，從而求得梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。和撓曲線方程，從而求得梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。撓曲線近似微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小撓度平面彎曲問題。撓曲線近似微分方程

30、僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小撓度平面彎曲問題。梁在簡單載荷下的繞曲線方程，端截面轉(zhuǎn)角和最大繞度已在書上給出。梁在簡單載荷下的繞曲線方程，端截面轉(zhuǎn)角和最大繞度已在書上給出。P1538.378.6 8.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 8.6.2 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 梁的變形滿足線性疊加原理：先求出梁的變形滿足線性疊加原理：先求出各個(gè)載荷單獨(dú)作用各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的撓度下梁的撓度和轉(zhuǎn)角，之后進(jìn)行代數(shù)相加，得到和轉(zhuǎn)角，之后進(jìn)行代數(shù)相加，得到n個(gè)載荷同時(shí)作用時(shí)梁的撓度與轉(zhuǎn)角。個(gè)載荷同時(shí)作用時(shí)梁的撓度與轉(zhuǎn)角。8.6.3 梁的剛度條件梁的剛度條件梁的剛度條件為梁的剛度條件為 梁的許

31、用撓度。梁的許用撓度。 max 梁的許用轉(zhuǎn)角。梁的許用轉(zhuǎn)角。max 大多數(shù)桿件的設(shè)計(jì)過程都是首先進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)或工藝結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，確定截面的形大多數(shù)桿件的設(shè)計(jì)過程都是首先進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)或工藝結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，確定截面的形狀和尺寸，然后再進(jìn)行剛度校核。狀和尺寸，然后再進(jìn)行剛度校核。 8.388.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 例例8.9 行車大梁采用行車大梁采用No.45a工字鋼，跨度工字鋼，跨度 。已知電動(dòng)葫蘆重。已知電動(dòng)葫蘆重5 ，最大起重量為最大起重量為50 ，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力 ，許用撓度，許用撓度=l/500，試校，試校核行車大梁的強(qiáng)度和剛度。核行車大梁的強(qiáng)度和剛度。m.29lkNMPa17

32、0kN分析：將行車大梁簡化為簡支梁，視梁的自重為均布載荷分析：將行車大梁簡化為簡支梁，視梁的自重為均布載荷q，起重量和電葫蘆的，起重量和電葫蘆的自重為集中載荷自重為集中載荷F。當(dāng)電葫蘆帶著載荷移動(dòng)到跨中時(shí)，梁的變形最大。因此首先。當(dāng)電葫蘆帶著載荷移動(dòng)到跨中時(shí)，梁的變形最大。因此首先確定梁的危險(xiǎn)截面，并按正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行梁的強(qiáng)度校核；再進(jìn)行剛度校核。確定梁的危險(xiǎn)截面，并按正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行梁的強(qiáng)度校核；再進(jìn)行剛度校核。 8.398.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 （1）確定載荷并求出跨中最大彎矩值）確定載荷并求出跨中最大彎矩值查附表中的型鋼表得查附表中的型鋼表得 m/Ns/m.m/k

33、g.788894802q， ， ， 432240cmzIGPa200EkN55505載荷電葫蘆FFF由均布載荷引起的跨中彎矩值為由均布載荷引起的跨中彎矩值為31430cmzW。 mN.048337829788822qlM均布由集中載荷引起的跨中彎矩值為由集中載荷引起的跨中彎矩值為mN.126500429105543FlM集中 （2）校核梁的強(qiáng)度）校核梁的強(qiáng)度8.408.6 8.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 MPa3 .94Pa103 .9410143012650004.833766maxmaxzWMmax（3）利用疊加法求變形）利用疊加法求變形P153P153m1038. 1103224010200482 . 9105548289333zCFEIFl44398557889.21.14 10m384384200 1032240 10CqzqlEIm1049. 11014. 11038. 1232maxCqCF8.418.6 8.6 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 （4）校核剛度。梁的許用撓度為）校核剛度。梁的許用撓度為m1084. 15002 . 95002lm1049. 12max,c m1084. 12滿足剛度條件。滿足剛度條件。 8.428.6