抗震結構第三章

1、13.3.結構地震反應分析與抗震驗算結構地震反應分析與抗震驗算 本章要點本章要點 掌握：結構地震反應分析；結構抗震設計掌握：結構地震反應分析；結構抗震設計的基本要求；振型分解法；底部剪力法的基本要求；振型分解法；底部剪力法 理解：地震反應分析的基本概念和原理；理解：地震反應分析的基本概念和原理；建筑結構抗震驗算的原理建筑結構抗震驗算的原理 了解：各種方法的適用條件和特點了解：各種方法的適用條件和特點2. .概述概述. .基本概念基本概念（）地震作用：（）地震作用：（）結構的地震作用效應：地震作用在結構中所產(chǎn)生的內(nèi)力變形（）結構的地震作用效應：地震作用在結構中所產(chǎn)生的內(nèi)力變形（）結構的地震反應：

2、地震引起的結構振動（）結構的地震反應：地震引起的結構振動. .地震作用的計算方法地震作用的計算方法地震作用和結構抗震驗算地震作用和結構抗震驗算是建筑抗震設計的重要環(huán)節(jié)，是確定所設計是建筑抗震設計的重要環(huán)節(jié)，是確定所設計的結構滿足最低抗震設防安全要求的關鍵步驟。的結構滿足最低抗震設防安全要求的關鍵步驟。由于地震作用的復雜性和地震作用發(fā)生的強度的不確定性，以及結構由于地震作用的復雜性和地震作用發(fā)生的強度的不確定性，以及結構和體形的差異等，地震作用的計算方法是不同的?？煞譃楹喕椒ê洼^復和體形的差異等，地震作用的計算方法是不同的。可分為簡化方法和較復雜的精細方法。雜的精細方法。（）（）底部剪力法：不

3、超過底部剪力法：不超過40m40m的規(guī)則結構的規(guī)則結構（）（）振型分解反應譜法：振型分解反應譜法：一般的規(guī)則結構，質(zhì)量和剛度分布明顯不對稱一般的規(guī)則結構，質(zhì)量和剛度分布明顯不對稱結構結構（）（）時程分析法時程分析法: :特別不規(guī)則、甲類和超過規(guī)定范圍特別不規(guī)則、甲類和超過規(guī)定范圍的高層建筑3.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析 .計算簡圖計算簡圖 單自由度彈性體系：單自由度彈性體系： 將結構參與振動的全部質(zhì)量集中于一點，用無重量將結構參與振動的全部質(zhì)量集中于一點，用無重量的彈性直桿支承于地面形成單質(zhì)點體系，當該體系只作的彈性直桿支承于地面形成單質(zhì)點體系，當該體系只作單

4、向振動時，就形成了一個單自由度體系。如等高單層單向振動時，就形成了一個單自由度體系。如等高單層廠房、水塔等廠房、水塔等 單質(zhì)點彈性體系計算簡圖單質(zhì)點彈性體系計算簡圖 （a）單層廠房及簡化體系；（）單層廠房及簡化體系；（b）水塔及簡化體系）水塔及簡化體系4.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析 . .運動方程運動方程 根據(jù)根據(jù)達朗貝爾原理達朗貝爾原理，物體在運動中的任一瞬時，作用，物體在運動中的任一瞬時，作用在物體上的在物體上的外力與慣性力相互平衡外力與慣性力相互平衡，故，故 上式還可簡化為上式還可簡化為)()()(txtxtXg質(zhì)點位移質(zhì)點位移質(zhì)點加速度質(zhì)點加速度)()

5、()(txtxtXg 慣性力慣性力)()(gxmxmtI 彈性恢復力彈性恢復力kxtS)(阻尼力阻尼力xctR)(運動方程運動方程gxmkxxcxm )(tx)(txgmm)(gxxm kxxcgxxxx 225.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析 式中式中 體系的圓頻率；體系的圓頻率；體系的阻尼比體系的阻尼比 上式是一個常系數(shù)的上式是一個常系數(shù)的二階非齊次微分方程。二階非齊次微分方程。它的解它的解包含兩部分：一是對應于齊次微分方程的包含兩部分：一是對應于齊次微分方程的通解通解，另一個，另一個是是特解特解。前者表示自由振動，后者表示強迫振動。前者表示自由振動，后者表示

6、強迫振動。 .自由振動自由振動 （）自由振動方程（）自由振動方程單自由度體系自由振動曲線單自由度體系自由振動曲線mcmk2,2022xxx 1時時)sincos()(000txxtxetxt216.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析有阻尼單自由度彈性體系的圓頻率有阻尼單自由度彈性體系的圓頻率,阻尼越大，自振頻阻尼越大，自振頻率減小。率減小。 比較上圖中的各條曲線可知，無阻尼體系（比較上圖中的各條曲線可知，無阻尼體系（）自）自由振動時的振幅始終不變，而有阻尼體系自由振動的曲線由振動時的振幅始終不變，而有阻尼體系自由振動的曲線則是一條逐漸衰減的波動曲線，即振幅隨時間的增加

7、而減則是一條逐漸衰減的波動曲線，即振幅隨時間的增加而減小，并且小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。體系的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。 （）（）自振周期與自振頻率自振周期與自振頻率 自振周期：自振周期： 體系的頻率：體系的頻率： 體系的圓頻率：體系的圓頻率： 在實際結構中，阻尼比在實際結構中，阻尼比的數(shù)值一般較小，的數(shù)值一般較小，其值大約在其值大約在0.010.1之間之間。因此有阻尼頻率與無阻尼頻率。因此有阻尼頻率與無阻尼頻率相差不大，相差不大，在實際計算中可近似地取在實際計算中可近似地取 由上式可得單自由度體系自振周期的計算公式為由上式可得單自由度體系自振周期的計算公式為/2TTf/

8、1fT2/2kmT/27.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析由上式可見由上式可見，結構的自結構的自振周期與其質(zhì)量和剛度的大小有振周期與其質(zhì)量和剛度的大小有關。質(zhì)量越大，則其周期就越長，而剛度越大，則其周期關。質(zhì)量越大，則其周期就越長，而剛度越大，則其周期就越短。就越短。 自振周期是結構的一種自振周期是結構的一種固有屬固有屬性，也是結構本身一個性，也是結構本身一個很重要的動力特性。很重要的動力特性。 . .強迫振動強迫振動 （）瞬時沖量及其引起的自由振動（）瞬時沖量及其引起的自由振動 如圖，荷載與作用時間如圖，荷載與作用時間t t 的乘積，即的乘積，即 t t 稱為沖量

9、。當作用時間為瞬時稱為沖量。當作用時間為瞬時dtdt 時，則稱時，則稱PdtPdt為瞬時沖量。為瞬時沖量。 根據(jù)根據(jù)動量定律，沖量等于動量的增量動量定律，沖量等于動量的增量， 故有：故有： 若體系處于靜止狀態(tài)，則初速度為，故若體系處于靜止狀態(tài)，則初速度為，故 體系在瞬時沖量作用下獲得的速度體系在瞬時沖量作用下獲得的速度為為：瞬時沖量及其引起的自由振動0mvmvPdtmPdtv/8.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析又因體系原處于靜止狀態(tài)，故體系的初位移為零。這樣可認為在又因體系原處于靜止狀態(tài)，故體系的初位移為零。這樣可認為在瞬時荷載作用后的瞬間，體系的位移仍為零。也就

10、是說，原來靜止的瞬時荷載作用后的瞬間，體系的位移仍為零。也就是說，原來靜止的體系在體系在瞬時沖量的影響下將以初速度瞬時沖量的影響下將以初速度作自由振動作自由振動。根據(jù)自由。根據(jù)自由振動的方程式的解，并令其中振動的方程式的解，并令其中 ，則可得：，則可得：其位移時程曲線如上圖所示。其位移時程曲線如上圖所示。（）杜哈默積分（）杜哈默積分方程的特解就是質(zhì)點由外荷載引起的強迫振動，它可以從上述瞬時方程的特解就是質(zhì)點由外荷載引起的強迫振動，它可以從上述瞬時沖量的概念出發(fā)來進行推導。沖量的概念出發(fā)來進行推導。可將看作隨時間變化的可將看作隨時間變化的m=1的的“干擾力干擾力”，并認為是由，并認為是由無窮多個

11、連續(xù)作用的微分脈沖無窮多個連續(xù)作用的微分脈沖所組成，所組成，mPdtv/mPdt /mPdtxx/)0(, 0)0(tmPdtetxtsin)(gxxxx 22)(txg 9.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析今以任一微分脈沖作用進行討論，設它今以任一微分脈沖作用進行討論，設它在在t=d時開始作用，作用時間為時開始作用，作用時間為d，則，則沖量沖量大小為大小為動量增量動量增量為為 從動量定理，得從動量定理，得由通解式可求得當由通解式可求得當d時，作用時，作用一個微分脈沖的位移反應為一個微分脈沖的位移反應為地震作用下的質(zhì)點位移分析地震作用下的質(zhì)點位移分析將將所有微分脈沖

12、作用后產(chǎn)生的自由振動疊加所有微分脈沖作用后產(chǎn)生的自由振動疊加，得總位移反應，得總位移反應上式為杜哈默積分，它與通解之和就是微分方程的全解。即上式為杜哈默積分，它與通解之和就是微分方程的全解。即dtxg)( )(xmdtxg)( dtxxg)()( dtxg)( dtxedxgt)( sin)()()( ttttexdxtx0)(g0d)( sin)(1)()( 10.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析 由由DuhamelDuhamel積分可得零初始條件下質(zhì)點積分可得零初始條件下質(zhì)點相對于地面的位移相對于地面的位移為為ttttextxxtxetx0)(gd)( sin)

13、(1sin)0()0(cos)0()( tttextx0)(gd)( sin)(1)( max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大位移反應質(zhì)點相對于地面的速度為質(zhì)點相對于地面的速度為ttgttdtextexdtdxtx0)(0)(g)( sin)(d)( cos)()( 質(zhì)點相對于質(zhì)點相對于地面地面的最大速度反應為的最大速度反應為max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 11.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析 質(zhì)點的絕對加速度為質(zhì)點的絕對加速度為xxxxg22 tdtgdttdtextex0)(220d)(g)(sin)(2

14、d)(cos)(2 tttex0d)(gd2d)(sin)( 質(zhì)點相對于地面的最大加速度反應為質(zhì)點相對于地面的最大加速度反應為max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 12.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析 五、地震反應譜五、地震反應譜：主要反映地面運動的特性主要反映地面運動的特性max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大相對位移最大相對速度max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 最大加速度max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大反應之間的關系dvaSSS2在阻尼比、地面運

15、動確定后，最大反應只是結構周期的函數(shù)在阻尼比、地面運動確定后，最大反應只是結構周期的函數(shù)。 單自由度體系在給定的地震作用下某個最大反應與體系自振周期的關系曲線單自由度體系在給定的地震作用下某個最大反應與體系自振周期的關系曲線稱為該反應的地震反應譜。稱為該反應的地震反應譜。地震動的工程特性分析地震動的工程特性分析地震動反應譜地震動反應譜定義：定義：具有同一阻具有同一阻尼比的一系列單自尼比的一系列單自由度體系在同一地由度體系在同一地震動輸入下的反應震動輸入下的反應的絕對最大值與單的絕對最大值與單自由度體系自振周自由度體系自振周期的關系，期的關系，即為這即為這一地震動的反應譜一地震動的反應譜2個參數(shù)

16、：個參數(shù)：周期、阻尼比周期、阻尼比3個譜量：個譜量：加速度、速度、加速度、速度、位移反應譜位移反應譜024681 01 21 41 61 82 0-0 .1 5-0 .1 0-0 .0 50 .0 00 .0 50 .1 00 .1 5024681 01 21 41 61 82 0- 0 .1 5- 0 .1 0- 0 .0 50 .0 00 .0 50 .1 00 .1 50.010.1110110100T (sec)Sa (T)(gal)14.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析位移反應譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(

17、smax0)(gd)(sin)(1ttdtexS 15相對速度反應譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS .單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析16絕對加速度反應譜絕對加速度反應譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS .單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析17相對位移反應譜絕對加速度反應譜相對速度反應譜地震反應譜的特點地震反應譜的特點1.阻尼

18、比對反應譜影響很大阻尼比對反應譜影響很大2.對于加速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值對于加速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值隨周期急劇增大，大于某個值時，快速下降。隨周期急劇增大，大于某個值時，快速下降。3.對于速度反應譜，當結構周期小于某個對于速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值隨周期增大，隨后趨于常數(shù)。值時幅值隨周期增大，隨后趨于常數(shù)。4.對于位移反應譜，幅值隨周期增大。對于位移反應譜，幅值隨周期增大。.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析地震動的工程特性分析地震動的工程特性分析地震動反應譜地震動反應譜 地震動反應譜的重要性地震動反應譜的重要性 反映了地震

19、動的頻譜特性反映了地震動的頻譜特性 直接給出了不同結構的最大反應直接給出了不同結構的最大反應 結構抗震設計規(guī)范中普遍采用的規(guī)定結構抗震設計規(guī)范中普遍采用的規(guī)定地震動的工程特性分析地震動的工程特性分析地震動反應譜地震動反應譜 地震動反應譜與地震動峰值的關系地震動反應譜與地震動峰值的關系 加速度反應譜（極）高頻處的值加速度反應譜（極）高頻處的值趨近趨近地震動峰值地震動峰值加速度加速度 加速度反應譜中頻段的值加速度反應譜中頻段的值與與地震動峰值速度有關地震動峰值速度有關 加速度反應譜低頻段的值加速度反應譜低頻段的值與與地震動峰值位移有關地震動峰值位移有關0.110.1 T(sec)Sa(T)(Gal

20、)20不同場地條件對反應譜的影響不同場地條件對反應譜的影響將多個地震反應譜平均后得平均加速度反應譜將多個地震反應譜平均后得平均加速度反應譜 地震反應譜是現(xiàn)階段計算地震作用的基礎，通過反應譜把隨時程變化的地震反應譜是現(xiàn)階段計算地震作用的基礎，通過反應譜把隨時程變化的地震作用轉化為最大的等效側向力地震作用轉化為最大的等效側向力。gSa/周期（s)巖石堅硬場地厚的無粘性土層軟土層結構的阻尼比和場地條件對反應譜有很大影響。結構的阻尼比和場地條件對反應譜有很大影響。.單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析21.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及

21、其反應譜 3.3.13.3.1水平地震作用的基本公式水平地震作用的基本公式 根據(jù)運動方程，可求得作用于單自由度彈性體系質(zhì)點上的根據(jù)運動方程，可求得作用于單自由度彈性體系質(zhì)點上的慣性力為：慣性力為： 上式中阻尼力相對于彈性恢復力來說是一個可以略去的微量，上式中阻尼力相對于彈性恢復力來說是一個可以略去的微量，故：故： 這樣，在地震作用下，質(zhì)點在任一時刻的這樣，在地震作用下，質(zhì)點在任一時刻的相對位移將與該相對位移將與該時刻的瞬時慣性力成正比。時刻的瞬時慣性力成正比。 因此，可認為這一相對位移是在慣性力的作用下引起的，雖然因此，可認為這一相對位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真實作用于質(zhì)點

22、上的力，但慣性力對結構體系的慣性力并不是真實作用于質(zhì)點上的力，但慣性力對結構體系的作用和地震對結構體系的作用效果相當，所以作用和地震對結構體系的作用效果相當，所以對于單自由度體對于單自由度體系，把系，把慣性力看作反映地震對結構體系影響的等效力，慣性力看作反映地震對結構體系影響的等效力， 用它的用它的最大值對結構進行抗震驗算最大值對結構進行抗震驗算，就可以使抗震設計這一動，就可以使抗震設計這一動力計算問題轉化為相當于靜力荷載作用下的力計算問題轉化為相當于靜力荷載作用下的靜力計算靜力計算問題。問題。)()()(txckxtxtxmg kxtxtxmg)()( 22.單自由度彈性體系的水平地震作用及

23、其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜 結構在地震持續(xù)過程中經(jīng)受的最大地震作用為結構在地震持續(xù)過程中經(jīng)受的最大地震作用為agmStxtxmtFFmaxmax)()()( GkGgtxtxSmgggamaxmax)()( mgG -集中于質(zhì)點處的重力荷載代表值；g-重力加速度gtxkgmax)( -地震系數(shù)max)(txSga -動力系數(shù)k-水平地震影響系數(shù)23.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜 . . .標準反應譜標準反應譜 水平地震作用：水平地震作用： . .地震系數(shù)地震系數(shù)k k：表征地面運動強烈程度：表征地面運動強烈程度 它表示地

24、面運動的它表示地面運動的最大加速度與重力加速度之比最大加速度與重力加速度之比。一般地，。一般地，地面運動加速度愈大，則地震烈度愈高，故地震系數(shù)與地地面運動加速度愈大，則地震烈度愈高，故地震系數(shù)與地震烈度之間存在著一定的對應關系。震烈度之間存在著一定的對應關系。 根據(jù)統(tǒng)計分析，根據(jù)統(tǒng)計分析，烈度每增加一度，地震系數(shù)將增加一倍。烈度每增加一度，地震系數(shù)將增加一倍。 . .動力系數(shù)動力系數(shù)：GkGgtxtxSmgmSFggaamaxmax)()( gtxkgmax)( max)(txSga 24.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜它表示單質(zhì)點最大絕對加速

25、度與地面最大加速度的比值，表它表示單質(zhì)點最大絕對加速度與地面最大加速度的比值，表示由于動力效應，示由于動力效應，質(zhì)點的最大絕對加速度比地面最大加速度放大質(zhì)點的最大絕對加速度比地面最大加速度放大了多少倍了多少倍。從上式可知，動力系數(shù)與地面運動加速度，結構自振周期以及阻尼比從上式可知，動力系數(shù)與地面運動加速度，結構自振周期以及阻尼比有關。有關。與的關系曲線稱為與的關系曲線稱為譜曲線譜曲線，它實際上就是相對于地面加速度，它實際上就是相對于地面加速度的加速度反應譜，兩者在形狀上完全一樣。的加速度反應譜，兩者在形狀上完全一樣。.地震影響系數(shù)地震影響系數(shù)：當基本烈度確定，地震系數(shù)為常數(shù)，當基本烈度確定，地

26、震系數(shù)為常數(shù)，僅隨僅隨變化變化建筑結構的建筑結構的地震影響系數(shù)地震影響系數(shù)應根據(jù)烈度、場地類別、設計地震分組應根據(jù)烈度、場地類別、設計地震分組和結構自振周期以及阻尼比確定。和結構自振周期以及阻尼比確定。max0)(2gmaxd)(2sin)(12ttTgtTexxT kgSa25.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜. .標準反應譜標準反應譜由于地震的隨機性，即使在同一地點、同一烈度，每次地震的由于地震的隨機性，即使在同一地點、同一烈度，每次地震的地面加速度記錄也很不一致，因此需要地面加速度記錄也很不一致，因此需要根據(jù)大量的強震記錄計算根據(jù)大量的強震

27、記錄計算出對應于每一條強震記錄的反應譜曲線出對應于每一條強震記錄的反應譜曲線，然后統(tǒng)計求出最有代表，然后統(tǒng)計求出最有代表性的平均曲線作為設計依據(jù)，這種曲線稱為性的平均曲線作為設計依據(jù)，這種曲線稱為標準反應譜曲線。標準反應譜曲線。各種因素對反應譜的影響各種因素對反應譜的影響（a a）場地條件對）場地條件對譜曲線的影響；（譜曲線的影響；（b b）同等烈度下震中距對加速度譜曲線的影響）同等烈度下震中距對加速度譜曲線的影響26.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜根據(jù)不同地面運動記錄的統(tǒng)計分析可以看出，根據(jù)不同地面運動記錄的統(tǒng)計分析可以看出，場地土的特性、場

28、地土的特性、震級以及震中距等都對反應譜曲線震級以及震中距等都對反應譜曲線有比較明顯的影響。有比較明顯的影響。結構的自振周期與場地的自振周期接近時，結構的地震反應結構的自振周期與場地的自振周期接近時，結構的地震反應最大。最大。因此，在進行結構的抗震設計時，應使結構的自振周期遠因此，在進行結構的抗震設計時，應使結構的自振周期遠離場地的卓越周期，以避免發(fā)生類共振現(xiàn)象。離場地的卓越周期，以避免發(fā)生類共振現(xiàn)象。一般地，當烈度基本相同時，一般地，當烈度基本相同時，震中距遠時加速度反應譜的峰震中距遠時加速度反應譜的峰點偏于較長的周期，近時則偏于較短的周期點偏于較長的周期，近時則偏于較短的周期。因此，在離大地

29、震。因此，在離大地震震中較遠的地方，震中較遠的地方，高柔結構因其周期較長所受到的地震破壞高柔結構因其周期較長所受到的地震破壞，將，將比同等烈度下較小或中等地震的震中區(qū)所受到的破壞嚴重，比同等烈度下較小或中等地震的震中區(qū)所受到的破壞嚴重，而剛而剛性結構的地震破壞情況則相反性結構的地震破壞情況則相反。. . .設計反應譜設計反應譜為了便于計算，為了便于計算，抗震規(guī)范抗震規(guī)范采用相對于重力加速度的單質(zhì)采用相對于重力加速度的單質(zhì)點絕對最大加速度，即點絕對最大加速度，即與體系自振周期之間的關系作為設計與體系自振周期之間的關系作為設計用反應譜。用反應譜。27.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由

30、度彈性體系的水平地震作用及其反應譜 )(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT -地震影響系數(shù)；max-地震影響系數(shù)最 大值； 地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影響烈度 括號數(shù)字分別對應于設計基本加速度括號數(shù)字分別對應于設計基本加速度0.15g和和0.30g地區(qū)的地震影響系數(shù)地區(qū)的地震影響系數(shù)T-結構周期；28gT-特征周期；)(sT01 . 0gT

31、gT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三組0.75 0.55 0.400.30第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組 場地類別-曲線下降段的衰減指數(shù)；1-直線下降段的斜率調(diào)整系數(shù)；2-阻尼調(diào)整系數(shù)，小于0.55時，應取0.55。55 . 005. 09 . 08/ )05. 0(02. 017 . 106. 005. 012.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜29解：解：（1）求結構

32、體系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2）求水平地震影響系數(shù)查表確定max16. 0max地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影響烈度例：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8度，設計地震分組為二組，度，設計

33、地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 ,阻尼比為阻尼比為0.05。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5m.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜30查表確定gT3 . 0gT地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三組0.75 0.55 0.400.30第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組 場地類別例：單層單跨框架。

34、屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 ,阻尼比為阻尼比為0.05。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水平地震作用遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5m解：解： （1）求結構體系的自振周期s336. 0T（2）求水平地震影響系數(shù)16. 0maxggTTT5max2)(TTg)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45.

35、 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 9 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜31解：例：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 ,阻尼比為阻尼比為0.05

36、。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1）求結構體系的自振周期kN/m24960Kt4 .71ms336. 0T（2）求水平地震影響系數(shù)16. 0maxh=5m3 . 0gT144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3）計算結構水平地震作用kN8 .100700144. 0GF.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜32.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法 .計算簡圖計算簡圖 多自由度彈性體系多自由度彈性體系：

37、對于多層或高層工業(yè)與民用建筑等，：對于多層或高層工業(yè)與民用建筑等，則應簡化為多質(zhì)點體系來計算，這樣才能比較真實地反映則應簡化為多質(zhì)點體系來計算，這樣才能比較真實地反映其動力性能。其動力性能。 按按質(zhì)量集中法質(zhì)量集中法將將i和和i+1層之間的結構重力荷載和樓面活層之間的結構重力荷載和樓面活荷載集中于樓面標高處，由無重量的彈性直桿支撐于地面荷載集中于樓面標高處，由無重量的彈性直桿支撐于地面上，這樣就將多層或高層結構簡化為了多質(zhì)點彈性體系。上，這樣就將多層或高層結構簡化為了多質(zhì)點彈性體系。 對于一個多質(zhì)點對于一個多質(zhì)點 體系，當體系只有單體系，當體系只有單 向振動時，則有多少向振動時，則有多少 個質(zhì)

38、點就有多少個自個質(zhì)點就有多少個自 由度。由度。ii+1m1m2mimn333.4.2 多自由度彈性體系動力分析回顧多自由度彈性體系動力分析回顧1.自由振動分析自由振動分析 0ykym 運動方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-頻率方程頻率方程-振型方程振型方程.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法34解:

39、例.求圖示體系的頻率、振型. 已知:.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX 618. 111X 618. 012X11.61810.618 1X 2X.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法35按振型振動時的運動規(guī)律按振型振動時的運動規(guī)律m1)(1tym2)

40、(2ty)sin()()sin()(2211iiiiiitXtytXty按按i振型振動時，質(zhì)點的位移為振型振動時，質(zhì)點的位移為質(zhì)點的加速度為)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 質(zhì)點上的慣性力為)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 質(zhì)點上的慣性力與位移同頻同步。11X21X211iiXm222iiXm 振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜荷載所引振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移。起的靜位移。.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的

41、振型分解法362.振型的正交性振型的正交性i振型 NiiiiXXXX21i振型上的慣性力振型上的慣性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121 iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj振型 NiiiiXXXX21i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作的虛功振型上作的虛功jiijiiijXXmXXmW22221121 iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i振型j振型.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法37j振型上的慣性力 jjNiiNiiiiXmXmXmX

42、m222221212.振型的正交性振型的正交性i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作振型上作的虛功的虛功 iTjiijXmXW21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型j振型j振型上的慣性力在振型上的慣性力在i振型上作的虛功振型上作的虛功 jTijjiXmXW2 iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虛功互等定理由虛功互等定理 0)(22iTjijXmX 0iTjXmX.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法381m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型j振型jj

43、Xm121jjXm222NjjNXm2振型對質(zhì)量正交性的物理意義振型對質(zhì)量正交性的物理意義 02iTjiijXmXWi振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作振型上作的虛功等于的虛功等于0振型對剛度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0iTjXkX由虛功互等定理由虛功互等定理 0iTjXmX 0)(22iTjijXmXijjiWW .多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法39振型對質(zhì)量正交性的物理意義振型對質(zhì)量正交性的物理意義 02iTjiijXmXWi振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作振型上作的虛功等于的虛功等于0振

44、型對剛度的正交性振型對剛度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0iTjXkX振型對剛度正交性的物理意義振型對剛度正交性的物理意義 iXkP 0iTjTjXkXPX i振型上的彈性力在振型上的彈性力在j振型上作的振型上作的虛功等于虛功等于01m2mjX1NmjX2NjXi振型j振型iX11P2PNPiX2NiX.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法40振型正交性的應用振型正交性的應用1.檢驗求解出的振型的正確性。檢驗求解出的振型的正確性。例例:試驗證振型的正確性試驗證振型的正確性 mmm22.對耦聯(lián)運動微分方程組作解對耦聯(lián)運動微

45、分方程組作解 耦運算等等耦運算等等. 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y 31748718718712lEIk mmmXmXT00031. 01897. 0200123. 221 )/(000154. 01897. 07/487/187/187/12123. 2321lEIXkXT.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法41（1）能量法計算基本周期）能量法計算基本周期3.自振頻率和振型的實用計算方法自振頻率和振型的實用計算方法)sin()(iiitXty1mNm)(1ty)(2ty)(tyN設體系按設體系按i振型作自由振動。振

46、型作自由振動。速度為)cos()(iiiitXty 應用抗震設計反應譜計算地震作用下的結構反應，應用抗震設計反應譜計算地震作用下的結構反應，除砌體結構、底部框架抗震墻磚房和內(nèi)框架房屋采用底部剪力法除砌體結構、底部框架抗震墻磚房和內(nèi)框架房屋采用底部剪力法不需要計算自振不需要計算自振周期外，其余均需計算自振周期。周期外，其余均需計算自振周期。計算方法：矩陣位移法解特征問題、近似公式、經(jīng)驗公式計算方法：矩陣位移法解特征問題、近似公式、經(jīng)驗公式。t時刻的位移為.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法42（1）能量法計算基本周期）能量法計算基本周期)sin()(

47、iiitXty1mNm)(1ty)(2ty)(tyN設體系按i振型作自由振動。速度為)cos()(iiiitXtyt時刻的位移為動能動能為為)(21)(21)(21)(2222211tymtymtymtTNNi)()(21tymtyT)(cos2122iiiiTitXmX勢能為勢能為 )(sin21)(2iiiTiitXkXtU.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法43（1）能量法計算基本周期)sin()(iiitXty1mNm)(1ty)(2ty)(tyN設體系按i振型作自由振動。速度為)cos()(iiiitXtyt時刻的位移為動能為)(cos2

48、1)(22iiiiTiitXmXtT勢能為 )(sin21)(2iiiTiitXkXtU最大動能為最大動能為2max21iiTiiXmXT iTiiXkXU21max最大勢能為最大勢能為由能量守恒，有由能量守恒，有maxmaxiiUT iTiiTiiXmXXkX2 通常將重力作為荷載所引通常將重力作為荷載所引起的位移代入上式求基本頻起的位移代入上式求基本頻率的近似值。率的近似值。.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法441mNm1G1u2GnGnu2uniiiiniiumguGU11max221niiiumT121max)(21maxmaxUTnii

49、niiiiumumg1212111/2T2m/s8.9gniiniiiiuGuGT11212.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法45解解:例例.已知已知：kN/m10720,kN/m14280kN300,kN4002121kkGG求結構的基本周期。2kG21kG11G2G2u1u（1）計算各層層間剪力kNV7003004001kNV3002（2）計算各樓層處的水平位移mkVu049.014280/700/111mkVkVu077.010720/300049.0/22112（3）計算基本周期niiniiiiuGuGT11212s508.0077.03

50、00049.0400077.0300049.0400222.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法46（2）等效質(zhì)量法（折算質(zhì)量法）等效質(zhì)量法（折算質(zhì)量法）1mNm1xnxeqMmx將多質(zhì)點體系用單質(zhì)點體系代替。多質(zhì)點體系的最大動能為niiixmT121max1)(21單質(zhì)點體系的最大動能為21max2)(21meqxMTmax2max1TTmx-體系按第一振型振動時，相應于折算質(zhì)點處的最大位移；體系按第一振型振動時，相應于折算質(zhì)點處的最大位移；212mniieqxxmMieqM11eqMT21-單位水平力作用下頂點位移。.多自由度彈性體系地震反應分析

51、的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法47212mniieqxxmMieqMT21解:例.已知：kN/m10720,kN/m14280kN300,kN4002121kkGG求結構的基本周期。2kG21kG12x1xkNF1eqM2xmkFx5111000.714280/1/10720/11000.7/5212kFkFxmxxm521033.16212mniieqxxmMit11.38)1033.168 .9)1033.16(300)107(400252525（eqMT21s496.01033.1611.3825m51033.16能量法的結果為T1=0.508s.多自由度彈性體系地

52、震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法48（3）頂點位移法）頂點位移法對于頂點位移容易估算的建筑結構，可直接由頂點位移估計基本周期。體系按彎曲振動時體系按彎曲振動時抗震墻結構可視為彎曲型桿。EIm無限自由度體系，彎曲振動的運動方程為02244tymxyEI懸臂桿的特解為tTxXtxyiii2sin)(),(振型基本周期為EImlT/78.121qTu重力作為水平荷載所引起的位移為EIqluT8/4gmq TuT6.11TuglEIm48.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法49體系按剪切振動時體系按剪切振動時框架結構可近似視為

53、剪切型桿。無限自由度體系，剪切桿的的運動方程為02222tymxyGA懸臂桿的特解為tTxXtxyiii2sin)(),(振型基本周期為GAmlT/41GAmqTu重力作為水平荷載所引起的位移為GAqluT2/2gmq TuT8.11xlixXi2)12(sin)(GAmilTi/124TuglGAm22.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法50體系按剪彎振動時框架-抗震墻結構可近似視為剪彎型桿。基本周期為TuT7.11.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法51（4）自振周期的經(jīng)驗公式）自振周期的經(jīng)驗公式

54、根據(jù)實測統(tǒng)計，忽略填充墻布置、質(zhì)量分布差異等，初步設計時可按下列公式估算（1）高度低于25m且有較多的填充墻框架辦公樓、旅館的基本周期（2）高度低于50m的鋼筋混凝土框架-抗震墻結構的基本周期31/35.022.0BHTH-房屋總高度；B-所考慮方向房屋總寬度。321/00069.033.0BHT（3）高度低于50m的規(guī)則鋼筋混凝土抗震墻結構的基本周期31/038.004.0BHT（4）高度低于35m的化工煤炭工業(yè)系統(tǒng)鋼筋混凝土框架廠房的基本周期35.21/0015.029.0BHT.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法52 在實測統(tǒng)計基礎上，再忽略

55、房屋寬度和層高的影響等，有下列更粗略的公式（1）鋼筋混凝土框架結構（2）鋼筋混凝土框架-抗震墻或鋼筋混凝土框架-筒體結構NT)10.008.0(1N-結構總層數(shù)。NT)08.006.0(1（3）鋼筋混凝土抗震墻或筒中筒結構NT)05.004.0(1（4）鋼-鋼筋混凝土混合結構NT)08.006.0(1（5）高層鋼結構NT)12.008.0(1.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法53矩陣迭代法（矩陣迭代法（StodolaStodola法）法）（5） 結構振型的計算結構振型的計算有限自由度體系求頻率、振型，屬于矩陣特征值問題。柔度法建立的振型方程 Xm

56、X2令 mD-動力矩陣 XDX 21-標準特征值問題剛度法建立的振型方程 XmXk2-廣義特征值問題迭代式為 nnXmX21.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法54例: 用迭代法計算圖示體系的各階自振頻率和振型.假設第一振型解: 39.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106 1111312110 xxxXmMNk/1952mMNk/2451mMNk/983tm2701tm2702tm1803（1）求柔度矩陣（2）求第一振型第一次迭代近似值000. 1740. 0415. 0104 .7070111

57、18000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216211312111xxx nnXmX21.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法55第一次迭代近似值000. 1740. 0415. 0104 .707011118000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216211312111xxx第二次迭代近似值000. 1682. 0347. 0107 .5781000. 1740. 0415. 018

58、000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216221312111xxx第三次迭代近似值000. 1670. 0336. 0105 .5562000. 1682. 0347. 018000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216231312111xxx第四次迭代近似值000. 1667. 0334. 0100 .5521000. 1670. 0336. 018000027000027039.1918. 908. 418. 918. 9

59、08. 408. 408. 408. 4106216241312111xxx.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法56第四次迭代近似值000. 1667. 0334. 0100 .5521000. 1670. 0336. 018000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216241312111xxx 000. 1667. 0334. 01312111xxxx XmX2000. 1667. 0334. 0100 .5521000. 1667. 0334. 062162110

60、0 .55211rad/s46.13100 .5521161.多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法57例: 用迭代法計算圖示體系的各階自振頻率和振型.解: 39.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106mMNk/1952mMNk/2451mMNk/983tm2701tm2702tm1803（1）求柔度矩陣（2）求第一振型 000. 1667. 0334. 01312111xxxxrad/s46.13100 .5521161（3）求第二振型23222162223222118000027000027039