高等數(shù)學第四章不定積分（章節(jié)課程）

1、第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分 1教書育人4.1 不定積分的概念與性質(zhì)定義1： 設 F (x)與 f (x) 是定義在某區(qū)間上的函數(shù)， 如果在該區(qū)間上有 或 ，則稱 F (x)是 f (x) 在這個區(qū)間上的一個原函數(shù)。 4.1.1 原函數(shù)2教書育人問題: 1. 在什么條件下, 一個函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函數(shù) .初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3教書育人定理. 原函數(shù)都在函數(shù)族( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .證: 1)又知故即屬于函數(shù)族機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即4教書育人

2、定義 2. 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中 積分號; 被積函數(shù); 被積表達式. 積分變量;若則( C 為任意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù)不可丟 !例如,記作4.1.2不定積分的概念5教書育人4.1.3 不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的積分曲線 . 6教書育人例1. 設曲線通過點( 1 , 2 ) , 且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程.解: 所求曲線過點 ( 1 , 2 ) ,故有因此所求曲線為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7教書育人例2. 質(zhì)點在距地面處以初速力,

3、 求它的運動規(guī)律. 解: 取質(zhì)點運動軌跡為坐標軸, 原點在地面, 指向朝上 ,質(zhì)點拋出時刻為此時質(zhì)點位置為初速為設時刻 t 質(zhì)點所在位置為則(運動速度)(加速度)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 垂直上拋 , 不計阻 先由此求 再由此求8教書育人先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故9教書育人性質(zhì)1 一個函數(shù)積分后導數(shù)或微分等于這個函數(shù)。性質(zhì)2 一個函數(shù)微分后積分，等于這個函數(shù)加上任意常數(shù)。4.1.4 不定積分的簡單性質(zhì)10教書育人性質(zhì)3 積分形式不變性 如果 u為 x 的任何 可微函數(shù)，則有性質(zhì)4 函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和11教書育人性

4、質(zhì)5 常數(shù)因子可從積分號中提出k 是常數(shù)且 k 012教書育人4.2 不定積分的 基本公式( k 為常數(shù))機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13教書育人或或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14教書育人機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15教書育人 例1 16教書育人 例217教書育人例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=18教書育人例5. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19教書育人例6. 求解: 原式 =20教書育人例7. 求解: 原式 =注意方法21教書育人例8. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意方法22教書育人 例1 23教書育

5、人 例224教書育人例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=25教書育人例5. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 26教書育人例6. 求解: 原式 =27教書育人例7. 求解: 原式 =注意方法28教書育人例8. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意方法29教書育人內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表2. 直接積分法:利用恒等變形, 及 基本積分公式進行積分 .常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 30教書育人思考與練習1. 若提示:機動

6、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31教書育人2. 若是的原函數(shù) , 則提示:已知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 32教書育人3. 若的導函數(shù)為則的一個原函數(shù)是 ( ) .提示:已知求即B?或由題意其原函數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 33教書育人4. 求下列積分:提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 34教書育人5. 求不定積分解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 35教書育人6. 已知求 A , B .解: 等式兩邊對 x 求導, 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 36教書育人二、第二類換元法一、第一類換元法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.3 兩種積分法 第四章

7、37教書育人 4.3.1. 換元積分法 復合函數(shù)的微分法大大拓展了求導數(shù)（或求積分）的范圍。同樣，將復合函數(shù)的微分法用于求積分即得復合函數(shù)得積分法換元積分法，按其應用方法得不同可分為兩種換元法。 38教書育人 1 第一換元積分法 如果不定積分 用基本積分法不易求得，但被積表達式可分解為 作變量代換 ，得到 則 而 可以求出，不妨設 39教書育人這一步常稱為“湊積分”，第二步就是求不定積分 。 定理（第一類換元積分法） 設 ，且 在區(qū)間 I 可微，則 用第一換元積分法求不定積分 ，分為兩步完成，第一步從 f (x)中分出一個因子 ，使 與dx湊成u的微分 du，并把被積函數(shù)剩下的部分寫成的u函數(shù)

8、，即例40教書育人第二類換元法第一類換元法基本思路 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設可導,則有41教書育人一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即, 湊微分法)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 42教書育人例1. 求解:原式 =注: 當時機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 43教書育人例2. 求解:想到公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 44教書育人例3. 求想到解:(直接配元)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 45教書育人例4. 求解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似46教書育人例5. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 47教書育人常用的幾種

9、配元形式: 萬能湊冪法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 48教書育人例6. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 49教書育人例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 50教書育人例9. 求解法1解法2 兩法結(jié)果一樣機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 51教書育人例10. 求解法1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 52教書育人解法 2 同樣可證或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 53教書育人例11 答案的另一種形式54教書育人例12. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 55教書育人例13 . 求解:機動 目錄 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 56教書育人例14. 求解:原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 57教書育人例15. 求解: 原式=機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析: 58教書育人例16. 求解: 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 59教書育人小結(jié)常用簡化技巧:(1) 分項積分:(2) 降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元萬能湊冪法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如60教書育人思考與練習1. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 61教書育人2. 求提示:法1法2法3作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回

11、 結(jié)束 62教書育人 由例子看出，要想熟練運用湊積分法，記為一些常見函數(shù)的微分是很重要的，例如 等等。 例1 求 解 把被積式中l(wèi)n2x看成lnx的函數(shù)，剩下的因式 恰好是lnx的微分dlnx ，令lnxu ，則 ，于是63教書育人 把 u lnx代入上式右端，得到 例2 求 解 把被積式中 看成 的函數(shù)，剩下部分 乘上 可以湊成 的微分 ，令 u ，則 ，于是 把 代入上式右端，得到64教書育人 例3 求 解 解 利用三角函數(shù)積化和差公式，我們有于是 例4 求 65教書育人 例5 求 解66教書育人2 第二類換元法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易

12、求,則得第二類換元積分法 .難求，67教書育人定理2 . 設是單調(diào)可導函數(shù) , 且具有原函數(shù) ,證:令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有換元公式68教書育人 定理（第二換元積分法） 則 設函數(shù) ，在區(qū)間 I 可微且存在反函數(shù) ，如果 69教書育人 例1 求 解 被積函數(shù)中含有根式 ，令 x = t 2 (t 0 )，則 dxd t 22 t d t 于是 70教書育人 例2 求 解 令 u = ex ，或 x = lnu ， ，于是此題也可用“加減項法”。得到的結(jié)果是一樣的。71教書育人 例3 求 解 例4 求 解72教書育人 例5 求 解 例6 求 解73教書育人 例7 求 解74教

13、書育人例8. 求解: 令則 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 75教書育人例9. 求解: 令則 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 76教書育人例10. 求解:令則 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 77教書育人令于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 78教書育人說明:被積函數(shù)含有時, 除采用采用雙曲代換消去根式 ,所得結(jié)果一致 . 或或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角代換外, 還可利用公式79教書育人原式例11. 求解: 令則原式當 x 0 時, 類似可得同樣結(jié)果 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 80教書育人小結(jié):1. 第二類換元法常見類型: 令令令或令或令或

14、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 81教書育人機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用基本積分公式的補充(7) 倒數(shù)代換 令82教書育人機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 83教書育人解: 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例12. 求例13. 求解:84教書育人例14. 求解: 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例15. 求解: 原式85教書育人例16. 求解: 令得原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 86教書育人例17. 求解: 原式令例16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 87教書育人思考與練習1. 下列積分應如何換元才使積分簡便 ?令令令機動 目錄 上頁 下頁

15、 返回 結(jié)束 88教書育人2. 已知求解: 兩邊求導, 得則(代回原變量) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 89教書育人備用題 1. 求下列積分:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 90教書育人2.求不定積分解：利用湊微分法 ,原式 =令得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 91教書育人分子分母同除以3.求不定積分解:令原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 92教書育人第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1) v 容易求得 ;容易計算 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分部積分法 第四章 93教書育人例1. 求解: 令則 原式思考: 如何求提示: 令則原式機動 目錄 上頁 下頁 返

16、回 結(jié)束 94教書育人例2. 求解: 令則原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 95教書育人例3. 求解: 令則 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 96教書育人例4. 求解: 令, 則 原式再令, 則故 原式 =說明: 也可設為三角函數(shù) , 但兩次所設類型必須一致 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 97教書育人例4. 求解: 令, 則 原式再令, 則故 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 98教書育人解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 ,按 “ 反對冪指三” 的順序,前者為 后者為例5. 求解: 令, 則原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反: 反三角函數(shù)對: 對數(shù)

17、函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù)99教書育人例6. 求解: 令, 則原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 100教書育人例7. 求解: 令則原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令101教書育人例8. 求解: 令則 原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 102教書育人例9. 求解: 令則得遞推公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 103教書育人說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 104教書育人例10. 證明遞推公式證:注:或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 105教書育人說明:分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡積分 ;

18、2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )例4 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 106教書育人例11. 已知的一個原函數(shù)是求解:說明: 此題若先求出再求積分反而復雜.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 107教書育人例12. 求解法1 先換元后分部令即則故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 108教書育人解法2 用分部積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 109教書育人內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式1. 使用原則 :易求出,易積分2. 使用經(jīng)驗 :“反對冪指三” , 前 u 后3. 題目類型 :分部化簡 ;循環(huán)解出機動 目

19、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 110教書育人例13. 求解:令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 111教書育人思考與練習1. 下述運算錯在哪里? 應如何改正?得 0 = 1答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 112教書育人2. 求提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 113教書育人2.求不定積分解：方法1(先分部 , 再換元)令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 114教書育人方法2(先換元,再分部)令則故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 115教書育人3.求不定積分解：令則, 故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分母次數(shù)較高,宜使用倒代換.116教書育人4.求不定積分解：原式 =前式令; 后式配元機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 117教書育人習題課一、 求不定積分的基本方法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾種特殊類型的積分不定積分的計算方法 第四章 118教書育人一、 求不定積分的基本方法1.