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文檔簡介
1、二十世紀的數(shù)學(xué)概述:1.二十世紀初,數(shù)學(xué)發(fā)生巨大的變化,其高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛應(yīng)用型愈來愈突出地顯示出來;2.的方向發(fā)展,分化出非常多的分支學(xué)科;3.綜合的方向發(fā)展,出現(xiàn)將數(shù)學(xué)各部分統(tǒng)一起來的種種新觀點和新方案;4.各門自然學(xué)科從定性研究過渡到定量研究,愈發(fā)需要利用數(shù)學(xué)這一強大分析工具,數(shù)學(xué)本身的發(fā)展也就有了更充足的動力。1二十世紀的數(shù)學(xué)分為兩大節(jié)第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)2第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)一、涵義 相對于應(yīng)用數(shù)學(xué)而言,純粹數(shù)學(xué)是一門專門研究數(shù)學(xué)本身,不以應(yīng)用為目的的學(xué)問。 純粹數(shù)學(xué)以數(shù)論為其代表。 純粹數(shù)學(xué)研究從客觀世界中抽象出來的數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系,研究數(shù)學(xué)本身的
2、規(guī)律。 它大體上分為三大類, 1、研究空間形式的幾何類(微分幾何、拓撲學(xué)) 2、研究離散系統(tǒng)的代數(shù)類(數(shù)論、近世代數(shù)) 3、研究連續(xù)現(xiàn)象的分析類(微分方程、函數(shù)論、泛函分析)3第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)二、純粹數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域一方面,從更高的抽象上說,發(fā)展了1、實變函數(shù)與泛函分析2、抽象代數(shù)3、拓撲學(xué)4、公理化概率論另一方面,從更高的統(tǒng)一化上說,發(fā)展了1、微分拓撲與代數(shù)拓撲2、整體微分幾何3、其他學(xué)科的融合4第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)三、純粹數(shù)學(xué)發(fā)展研究的序幕希爾伯特問題 1900年8月,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上作了題為數(shù)學(xué)問題的著名演講。希爾伯特整個演說的主體,是根據(jù)19世紀數(shù)學(xué)成果和發(fā)展趨勢而提
3、出的23個數(shù)學(xué)問題,這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域。一個世紀以來,這些問題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣。 希爾伯特問題中近一半已經(jīng)解決或基本解決,有些問題雖未最后解決,但也取得了重要進展。希爾伯特問題的解決與研究,大大推動了數(shù)理邏輯、幾何基礎(chǔ)、李群論、數(shù)學(xué)物理、概率論、數(shù)論、函數(shù)論、代數(shù)幾何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面論、變分法等一系列數(shù)學(xué)分支的發(fā)展,有些問題的研究還促進了現(xiàn)代計算機理論的成長。5第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)四、集合論的發(fā)展史1、集合論概念 所謂集合論,是研究集合(由一堆抽象物件構(gòu)成的整體)的數(shù)學(xué)理論,包含了集合、元素和成員關(guān)系等最基本的數(shù)學(xué)概念。在大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公式化中,
4、集合論提供了要如何描述數(shù)學(xué)物件的語言。6第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)四、集合論的發(fā)展史1、集合論概念 集合論是從一個物件o和集合A之間的二元關(guān)系開始:若o是A的元素,可表示為o A。由于集合也是一個物件,因此上述關(guān)系也可以用在集合和集合的關(guān)系。 另外一種二個集合之間的關(guān)系,稱為包含關(guān)系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素,則稱集合A為B的子集,符號為A B。例如1,2 是1,2,3 的子集,但1,4 就不是1,2,3 的子集。依照定義,任一個集合也是本身的子集。7第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展 德國數(shù)學(xué)家康托爾(1845-1918)創(chuàng)立了集合論,擴充了數(shù)學(xué)概念,成為數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),從自
5、然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。“一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上。 1900年,國際數(shù)學(xué)家大會上,法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱,借助集合論概念,我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈,我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了。 8第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展 隨后的研究中,數(shù)學(xué)家們在集合論中紛紛發(fā)現(xiàn)了邏輯矛盾,集合論是有漏洞的! 1902年英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素在集合論概括原則的基礎(chǔ)上引出了著名的羅素悖論。 問題涉及的只是集合論中最基本的東西。所以,羅素悖論一提出就在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動。嚴重沖擊著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究,導(dǎo)致了“第一次數(shù)學(xué)危機”。
6、9第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展羅素悖論理發(fā)師悖論 某個城市有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人很多,自然都是那些不給自己刮臉的人??墒牵幸惶?,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了,你們看,他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉;而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉。10第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展 理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價的: 如果把每個人看成一個集合,這個集合的元素被定
7、義成這個人刮臉的對象。那么,理發(fā)師宣稱,他的元素,都是城里不屬于自身的那些集合,并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己?這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。 11第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展 羅素悖論公式 設(shè)性質(zhì)P(x)表示“x不屬于x”,現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定了一個類A也就是說“A=x|x不屬于x”。那么問題是:A屬于A是否成立? 首先,若A屬于A,則A是A的元素,那么A具有性質(zhì)P,由性質(zhì)P知A不屬于A; 其次,若A不屬于 A,也就是說A具有性質(zhì)P,而A是由所有具有性質(zhì)P的類組成的,所以A屬于A。12第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展 羅素悖論的爭論三
8、大學(xué)派:第一,羅素、懷特海為代表的邏輯主義學(xué)派第二,以荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維為代表的直覺主義學(xué)派第三,以德國數(shù)學(xué)家希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派 13第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)2、集合論的發(fā)展 羅素悖論的爭論 三大學(xué)派進行了激烈的爭論,分析了悖論產(chǎn)生的根源,人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造,通過對集合定義加以限制來排除悖論,這就需要建立新的原則。 “這些原則必須足夠狹窄,以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊,使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來?!?爭論的結(jié)果是使數(shù)學(xué)獲得新的發(fā)展,提出了公理化集合論。14第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)五、公理化思想的發(fā)展 公理化集合系統(tǒng)的建立,成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖
9、論,從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。但在另一方面,羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前,導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭,形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派,而各派的工作又都促進了數(shù)學(xué)的大發(fā)展。 羅素悖論已被消除,以自身為元素的集合是不存在的。15第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)五、公理化思想的發(fā)展 公理化數(shù)學(xué),是以邏輯為工具,用公理化的方法來試圖包容數(shù)學(xué)中的“所有”知識。 公理化方法,就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題(即公理、公設(shè))出發(fā),按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題
10、,建立起一個演繹系統(tǒng)的方法。 公理集合論 ,用形式化公理化方法研究集合論的一個學(xué)科。數(shù)理邏輯的主要分支之一。16第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)五、公理化思想的發(fā)展 19世紀與20世紀之交,產(chǎn)生了公理化運動,提出以公理系統(tǒng)作為數(shù)學(xué)統(tǒng)一的基礎(chǔ)。 1899年,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特出版幾何基礎(chǔ)一書,把歐幾里德幾何學(xué)整理為從公理出發(fā)的純粹演繹系統(tǒng),并且十分注意公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。他提出了關(guān)于公理系統(tǒng)的三個重要問題,即: 相容性(即公理系中諸公理的無矛盾性)、 獨立性 完備性 17第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)五、公理化思想的發(fā)展 圍繞這些問題,產(chǎn)生了形式化的公理方法,成為數(shù)學(xué)發(fā)展進程中的一個重要里程碑。 一方面,可以通過公理化方法研
11、究各種可能的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),如20世紀30年代的法國布爾巴基學(xué)派提出了結(jié)構(gòu)概念;在其出版的數(shù)學(xué)原本中,從公理結(jié)構(gòu)出發(fā),用代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)作為全部數(shù)學(xué)的母結(jié)構(gòu),把數(shù)學(xué)統(tǒng)一成為一個整體。 布爾巴基學(xué)派是二十世紀最有影響的學(xué)派之一。18第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)五、公理化思想的發(fā)展 另一方面,公理方法本身成為科學(xué)研究的對象,尤其是數(shù)理邏輯的 一個重要研究內(nèi)容。 希爾伯特創(chuàng)立證明論,經(jīng)奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾等人的研究而得到發(fā)展,成為數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要分支,在電子計算機科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。 公理化思想深刻地影響著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展。19第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)六、抽象代數(shù)的發(fā)展 抽象代數(shù)也稱為近世代數(shù)學(xué),其
12、研究目標集中于更為一般的代數(shù)運算的規(guī)律和性質(zhì)。 研究內(nèi)容為:以群、環(huán)、域、格、向量空間的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),形成各種理論。20第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)六、抽象代數(shù)的發(fā)展 群論的重大發(fā)展主要是體現(xiàn)在群表示論的研究上。 從1901年起,德國數(shù)學(xué)家舒爾發(fā)展了他的老師羅貝尼烏斯創(chuàng)立的群表示法; 1941年德國數(shù)學(xué)家布勞爾創(chuàng)立了模表示論。21第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)六、抽象代數(shù)的發(fā)展 1910年, 德國數(shù)學(xué)家施泰尼茨對域論進行統(tǒng)一的抽象處理,形成了域論的基礎(chǔ)。22第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)六、抽象代數(shù)的發(fā)展 1913年, 法國數(shù)學(xué)家厄-嘉當(dāng)、德國數(shù)學(xué)家魏爾完成了半單純李代數(shù)有限維表示,奠定了李群表示理論的基礎(chǔ)。 1926年, 卓越的德國
13、女?dāng)?shù)學(xué)家埃米-諾特完成了對近世代數(shù)學(xué)有重大影響的理性群論。23第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)六、抽象代數(shù)的發(fā)展 1930-1931年, 荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登出版著名近世代數(shù)學(xué)。 之后,群、域、環(huán)成為抽象代數(shù)學(xué)的中心,構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。24第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)七、拓撲學(xué)的發(fā)展 研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支 二十世紀初,法國數(shù)學(xué)家彭加勒首創(chuàng)了組合拓撲學(xué)。 1910年,布勞維發(fā)現(xiàn)了不動點原理,后來又發(fā)現(xiàn)了維數(shù)定理、單純性逼近方法。 1914年,德國數(shù)學(xué)家豪斯道夫第一次抽象使用了點集的領(lǐng)域概念,正式形成了點集拓撲學(xué)。25第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)七、拓撲學(xué)的發(fā)展 第二次世界大戰(zhàn)后,法國和美國的一批數(shù)學(xué)家共同努力,創(chuàng)立了微分拓撲學(xué)。
14、 1901年,法國數(shù)學(xué)家勒貝格提出勒貝格測度和勒貝格積分,為實變函數(shù)論奠定了基礎(chǔ)。 26第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)七、拓撲學(xué)的發(fā)展 集合論、變分法和積分方程的發(fā)展是二十世紀綜合性最強的數(shù)學(xué)學(xué)科泛函分析產(chǎn)生的背景。 1906年后,開始形成希爾伯特空間理論。 1932年,波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫把希爾伯特空間推廣成巴拿赫空間。 美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮諾伊曼把希爾伯特空間公理化,深刻研究了算子理論。27第一節(jié)、純粹數(shù)學(xué)七、拓撲學(xué)的發(fā)展 泛函分析為現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展(量子力學(xué)、量子場論)提供了強有力的工具,是一門具有很大應(yīng)用價值的數(shù)學(xué)學(xué)科。 概率論得到很快的發(fā)展,在二十、三十年代之后,形成了: 法國數(shù)學(xué)家保爾萊維為首的法國學(xué)派
15、; 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫、辛欽為首蘇聯(lián)學(xué)派; 美國數(shù)學(xué)家杜布、費勒為首的美國學(xué)派。 成為概率論的研究中心。28第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)一、運籌學(xué) 二十世紀四十年代開始形成,主要分支有對策論、規(guī)劃論、排隊論、最優(yōu)化方法和質(zhì)量控制等。1、對策論:在競爭性的活動中如何找出制勝對方的最優(yōu)策略,是一門研究斗爭的數(shù)學(xué)。 由美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮諾伊曼首創(chuàng)。 1944年,他和摩根斯特嗯合著的對策論與經(jīng)濟行為出版,成為對策論的奠基性著作。 在軍事斗爭和生產(chǎn)實踐中得到廣泛應(yīng)用。29第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)一、運籌學(xué)2、規(guī)劃論:主要研究計劃管理工作中有關(guān)安排和估值的問題。 1939年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家特洛維奇出版
16、生產(chǎn)組織與計劃中的數(shù)學(xué)方法,開創(chuàng)了這個領(lǐng)域的研究。 1953年,查恩斯、庫伯和漢特遜合著線性規(guī)劃概論,是西方國家最早系統(tǒng)研究規(guī)劃論的著作。 在實踐活動中應(yīng)用廣泛。30第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)一、運籌學(xué)3、最優(yōu)化方法,在20世紀40年代開始形成,逐漸受到重視。 1948年,約翰發(fā)表了以不等式作附加條件的極值問題,開始了這方面的研究。 最優(yōu)化方法的重要部分是統(tǒng)籌法和優(yōu)選法。 統(tǒng)籌法是企業(yè)管理和基本建設(shè)中安排工作進程的一種科學(xué)方法。我國數(shù)學(xué)家華羅庚70年代在國內(nèi)大力推廣統(tǒng)籌法。 優(yōu)選法是采用盡可能少的試驗次數(shù),找到最好方案的方法。美國基弗在1953年提出0.618法,這是比較常用的法。31第二節(jié)
17、、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)二、應(yīng)用數(shù)學(xué)的其他方面發(fā)展 20世紀40年代之后,發(fā)展起控制論、信息論、系統(tǒng)分析、可靠性理論等等。 應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍越來越廣,并創(chuàng)立了計算機科學(xué)。32第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)三、計算機科學(xué)的發(fā)展 電子計算機出現(xiàn)的歷史背景: 1、算法理論,也稱為能行性理論(理論條件) 2、電子技術(shù)的發(fā)展(技術(shù)條件) 3、二戰(zhàn)期間迫切需要快速計算(社會條件)33第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)三、計算機科學(xué)的發(fā)展30年代: 英國數(shù)學(xué)家圖靈和美國數(shù)學(xué)家波斯特幾乎同時提出了理想計算機的概念;40年代: 1944年,美國哈弗大學(xué)的艾肯通過IBM公司的資助,建成了“自動程序控制計算機”MARKI和MA
18、RKII。 1946年2月,在馮諾意曼等人的努力下,世界上第一臺電子計算機誕生。 1949年,英國劍橋大學(xué)制成了第一臺“電子數(shù)據(jù)存儲自動計算機”。34第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)三、計算機科學(xué)的發(fā)展50年代: 1951年,由莫希利和埃克特設(shè)計的電子計算機交付使用,在處理美國全國人口普查資料和總統(tǒng)選舉中表現(xiàn)出色;馮諾意曼主持設(shè)計制造的電子計算機在第一顆氫彈的研制中發(fā)揮了很大的作用; 電子計算機發(fā)展十分迅速,由試驗階段進入工業(yè)階段。 第一代計算機以電子管為主要元件,最快速度是每秒種五、六萬次。 第二代計算機是以晶體管為主要元件,采用快速磁芯為存儲器,運算速度達到每秒種幾百萬次。35第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)
19、與計算機科學(xué)三、計算機科學(xué)的發(fā)展60年代: 第三代是中小規(guī)模集成電路計算機,其特點是集成電路,系列兼容,采用微程序設(shè)計,以后又采用體積小、功耗低、速度快、價格便宜的半導(dǎo)體存儲器,運算速度為每秒種幾千萬次。出現(xiàn)了操作系統(tǒng)、終端和網(wǎng)絡(luò)。70年代: 第四代計算機在體積、重量、耗電量、運算速度、可靠性方面,都進入到一個新的階段。微型計算機已成批生產(chǎn),成為一個新的里程碑,深刻影響社會生活的各個方面。36第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)三、計算機科學(xué)的發(fā)展 第五代計算機主要是朝著巨型機、微型機、計算機網(wǎng)絡(luò)和人工智能機的方向發(fā)展。利用超大規(guī)模集成電路,目前計算機仍然處于這一代。80年代: 1985年,WINDO
20、WS誕生。37第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)三、計算機科學(xué)的發(fā)展 90年代之后至今,計算機已進入平民百姓家,性能優(yōu)越,方便攜帶,功能強大。未來計算機的發(fā)展: 如今已發(fā)展出新的計算機理論與試驗,在理論上的新一代的計算機超導(dǎo)計算機(電流在超導(dǎo)體中流過時,電阻為零,介質(zhì)不發(fā)熱),有四種: DNA計算機、量子計算機 光計算機、納米計算機 2010年前后,日本已制造出這種超導(dǎo)計算機。38第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)超導(dǎo)計算機:DNA計算機 1994年11月,美國南加州大學(xué)的阿德勒曼博士用DNA堿基實現(xiàn)數(shù)據(jù)運算,計算不再只是簡單的物理性質(zhì)的加減操作,而又增添了化學(xué)性質(zhì)的切割、復(fù)制、粘貼、插入和刪除等種種方式。 DNA計算機的最大優(yōu)點在于其驚人的存儲容量和運算速度:1立方厘米的DNA存儲的信息比一萬億張光盤存儲的還多;十幾個小時的DNA計算,就相當(dāng)于所有電腦問世以來的總運算量。 目前的DNA計算機還是躺在試管里的液體。它離開發(fā)、實際應(yīng)用還有相當(dāng)?shù)木嚯x,尚有許多現(xiàn)實的技術(shù)性問題需要去解決。39第二節(jié)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)量子計算機: 量子計算機以處于量子狀態(tài)的原子作為中央處理器和內(nèi)存,利用原子的量子特性進行信息處理。 由于原子具有在同一時間處于兩個不同位置的奇妙特性,即處于量
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