時間序列平滑預測法頁

1、第一節(jié) 移動平均法 又稱滑動平均法 一一次移動平均法 假定 yt 隨時間順序t =1,2, ,N發(fā)生變化的數(shù)據(jù). 設為N=20， 那么為y1，y2， ,y20 將其分為假設干段，以5個數(shù)據(jù)作為一段，進行滑動。 第一段： y1，y2 ，y3 ，y4 ，y5: ， = (1/5) yt =M5 由于在此段， y5為數(shù)據(jù)平均值，所有數(shù)據(jù)應在它的上下波動。因此推出，可以用于預測t = 6時的值y6 = y5。 y6 的實際值還按前一組值的變化規(guī)律在 的上下波動。 第二段：滑動舍去初始的y1,新一組為 y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 : y6 = (1/5) yt = M6 有 y7 = y6 =

2、 M6 : : 第十六段： y16 ,y17 ,y18 ,y19 ,y20 : y20 = (1/5) yt = M20可預測 y21 = y20 = M20 平均值 一般地： Mt =yt + yt-1+ + yt-n+1/N =(1/N) yi = 這個公式就稱為一次移動平均公式。 2004/10/18遞推式 Mt(1 =yt + yt-1+ + yt-n+1/N = yt-1+ + yt-n /N + ytyt-N /N = Mt-1(1) + ytyt-N /N = 移動平均法根本上是在平均值的根底上進行預測。一般來講，假設經(jīng)濟變量在某一值上下波動情況及升降緩慢預測效果比較好，反之誤差

3、比較大. 另外，N的選取也起著較大的作用，N小一些,預測跟蹤效果好一些。反映較靈敏。特別地當N=1，那么與實際狀況相同。 N大一些，平滑特性就好一些，但跟蹤能力差。 二、二次移動平均法 1 、 二次移動平均數(shù)公式. 二次移動平均是在一次平均移動的根底上再做一次移動平均。 Mt(2) =Mt(1 + Mt-1(1). Mt-n+1(1)/N 遞推公式 Mt(2) = Mt-1(2)+Mt(1)Mt-N(1)/N Mt(2) 為二次移動平均數(shù) N 分段數(shù)據(jù)個數(shù) Mt(1) 一次移動平均數(shù) 2、線形趨勢條件下的一次移動平均數(shù)Mt(1) 與二次移動平均數(shù) Mt(2)的關系 一次移動平均預測對于數(shù)據(jù)變化

4、小，近似于水平變化的數(shù)據(jù)平滑作用較好。 如果是線形趨勢變化，那么分析線落后于真實數(shù)據(jù)變化，形成滯后偏差 yt Mt(1 線形變化如下： bt = ytyt-1 有： yt-1 = ytbt yt-2 = yt-1bt= yt-2bt yt-N+1 = yt(N1)bt:tt-1yt-1ytbt yt = at+btt 考慮到： Mt(1 = (yt + yt-1 + + yt-N+1)/N =Nyt1+2+(N1)bt/N 1+2+(N1) = N(N1)/2 Mt(1 = Nyt(N/2)(N1)bt/N =yt(N1)bt/2 Mt-1(1) = yt-1(N1)bt/2 = yt(N+1

5、)bt/2 : Mt(1 - Mt-1(1) = yt yt-1 = bt 即； Mt-1(1) = Mt(1 -bt 類推： Mt-2(1) = Mt-1(1) bt = Mt(1 2bt : : : Mt-n+1(1) = Mt(1 (N1)bt Mt(2) = Mt(1 +Mt-1(1)+ +Mt-n+1(1)/N = Mt(1 (N1)bt/2 移項 Mt(1 -Mt(2) = (N1)bt/2 有公式 (N1)bt/2 = yt Mt(1 即得 Mt(1 -Mt(2) = yt Mt(1 = (N1)bt/2. 公式說明： 直接用一次移動平均值模擬：真值與一次平均值存在N1)bt/2

6、 的滯后偏差。即公式1 在線性趨勢條件下: Mt(1 -Mt(2) = (N1)bt/2 此式說明.假設直接用Mt(2)作預測值,滯后偏差將拉大為N-1bt 三、二次移動平均法預測公式 在線性趨勢條件下，回到思維根底，用線性函數(shù)擬合假定： = at + btT. 其中 t為目前周期數(shù) T為從目前周期 t到需要預測的周期的周期個數(shù)。 yt+T 為第 t+T周期的預測值 bt為斜率， at為截距 假設：令T=0，得yt = at 為初始值 由于當前數(shù)據(jù)為yt ，有yt yt 應選取at yt 由公式 Mt(1 -Mt(2) = yt Mt(1 = (N1)bt/2 代入 at= yt 得 at=

7、2 Mt(1 Mt(2) . bt =2Mt(1 -Mt(2) /(N-1) 公式 ,7)構成二次移動平均法預測公式。 注：1)預測公式是以t時刻為基準的，這個時刻可以隨意選取，中選擇靠近當前時刻，準確度較高 ; 2yt+T Mt(1 = at + btT Mt(1 =2 Mt(1 -Mt(2) Mt(1 + btT = Mt(1 -Mt(2) + btT = (N-1)bt /2 + btT 即與一次移動平均法相比較，滯后偏差(N1)/2已補償。 3 Mt(1 .Mt(2)對應的N 應一致，且二次移動值Mt(2) 不是預測值 4二次移動平均法預測公式僅適合于線性趨勢預測。 5不斷的喪失信息，

8、且N的大小一般由經(jīng)驗及前期趨勢確定。 簡例：某產(chǎn)品銷量統(tǒng)計數(shù)據(jù)以線形趨勢變動，當處在第20期時， Mt(1 = 74,Mt(2) = 68,N= 5,預測在5個周期之后的銷量 解：由： Mt(1 = 74, Mt(2 = 68, N= 5 xt+T = at+ bt T at= 2 Mt(1 Mt(2)= 80 = xt bt =2/(N1)Mt(1)Mt(2) = 3 預測模型： xt+T= 80 + 3T 當T = 5時 x20+5 = 80 + 15 = 95 移動平均法應用舉例-期，股市中的移動平均 線 一、道。瓊斯的理論: 美華爾街日報創(chuàng)辦人 股價運動的三種趨勢 1、原始波動(Pri

9、mary Trends) Bull Market and Bear Market股價波動的長期上升多頭市場和長期下降空頭市場是大市波動的根本趨勢，根本趨勢一旦形成，通常要延續(xù)14年； 2、 次級波動 股價在長期的上升通道中快速下跌，或在長期下降通道中急速上升，次及波動方向與原始波動方向相反，是對原始波動的修正，一般的原始波動均有二至三個次及波動；次及波動時間為3周數(shù)目可不等； 3 、短期波動(Minor Trends) 股價在分時或數(shù)日內(nèi)進行快速波動 4、次級波動的振幅約為原始波動幅度的1/3； 次級波動一般由3個或3個以上短期波動組成； 5、次級波動下跌，假設谷底上次波動谷底，確定為長期上升

10、通道；假設谷底低于上次波動谷底，確定為長期下降通道 一、移動平均線種類 1、M(3),M(5),M(10) 短期移動平均線 以5,10日移動平均線較合理 2、M(20),M(30),M(60) 中期移動平均線、 3、 M(120) 以上為長期移動平均線，對中國股市當前實用意義不大。西方重M(200) 。 二 移動平均線的轉點 指移動平均線由下行轉為上升的最低點或由上升轉為下行的最高點 因為移動平均數(shù)的取得是要扣減 xt-N,即第t-N日的股價或指數(shù)，在一個上升通道中，上升的速度應保持，不能轉緩甚至下降它的轉點為扣減的假設是最低價，就是上升趨勢的轉點，隨時可能由升轉跌；反之，在下降過程中，扣減的

11、是最高值，那么隨時可能反轉由跌轉升。 短期移動平均轉點較多，適合于短線抄手 中,長期線轉點較為重要，這是中期轉勢甚至長期轉勢的信號 三、葛蘭維八大買賣法那么 買進四大法那么 1.MA由轉平并開始抬頭向上,且股價突破MA; 2.股價在MA上方運行,回檔未破MA股價再次; 3.MA呈上升狀態(tài),股價急速下跌破MA線時; 4.MA下降狀態(tài)股價在MA下方運行,突然下跌遠離MA線時; 賣出法那么 5.MA由 轉平并開始向下,且股價突破MA線之下; 6.股價在MA下方運行,上升時遇MA所阻,再次回落; 7.MA呈下降狀態(tài),股價上升突破MA又回落至MA線下方; 8.MA呈上升狀態(tài),股價在MA上方突然暴漲遠離M

12、A線; 四:黃金交叉與死亡交叉 由移動平均線原理,對股價趨勢變動反響最快的是短期線,其次是中期線,然后是長期線 死叉金叉 30日MA與60日MA是判別中期市場的主要線,假設股價跌破此二線為中期調(diào)整開始,應出脫持股. 97.5.16 深:MA(5) = 5630 MA(10) =5689 MA(30) =5090 MA(60) =4561 滬: MA(5) = 1415MA(10) =1437 MA(30) = 1362 MA(60) =1239 第二節(jié) 指數(shù)平滑法 一、一次指數(shù)平滑法 1、一次指數(shù)平滑公式,由一次平滑公式的遞推公式 Mt(1 = Mt-1(1) + ytyt-1 /N 其中Mt

13、(1 = yt =yt + yt-1 + + yt-N+1/N 假定 yt-N Mt-1即用前一期的移動平均值代替前期的初始值.有 Mt(1 = Mt-1(1) + ytMt-1 /N = (1/N) yt + (11/N) Mt-1 = yt+1 令 = 1/N, (0,1) 及St(1) = Mt(1 那么St(1)= yt+(1) St-1(1) = yt+1 其中稱為平滑系數(shù) 這個公式稱為一次指數(shù)平滑公式. 2、舉例 某日用電器銷售額如表.預測12月份的銷售量: 月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 200 135 195 197.5 310 175 155130

14、220 277 235 - - 銷售額函數(shù)圖 2001003001300 = 0.1 = 0.5 = 0.9t臺選取不同的值:設S0(1)= xt=1(1) = 200, 當= 0.1 有: S1(1) =x1 +(1)S0(1) = 0.1200 + 0.9 200 = 200 S2(1) =x2 +(1)S0(1) = 193.5 : : S11(1) = 205.6 = x12填于表中= 0.1時200 193.5 193.7 194 205.6 202.6 197.8 191 193 202.3 205.6 = 0.5時 200 167.5 181.3 189.4 249.7 212.

15、3 183.7 156.8 188.4 233 234 = 0.9時 200 141.5 189.7 196.9 298.7 187.4 158.2 132.8 211.3 270.9 238.6 可見當 = 0.1時, x12= S11(1) = 205.6 平滑效果好前期數(shù) 據(jù)影響大。 = 0.5時， x12= S11(1) = 234 當 = 0.9時, x12= S11(1) =238.6 平滑效果差，后期數(shù)據(jù)影響大。 可以看到：對于波動變化很大的情形，由一次的指數(shù)平滑曲線來模擬誤差很大而對振動較小的情形，那么比較適宜。 1平滑系數(shù) (0,1) 當 0 St(1) St-1(1) 預測

16、值接近原來估計值 即前期預測數(shù)據(jù)起主導作用。 當 1 St(1) yt 預測值接近上一時刻的估計值。后期實際數(shù)據(jù)起主導作用，前期預測值作用很小。 (2004/10/25) 2指數(shù)平滑 由St(1) =yt + (1a)St-1(1) 遞推St-1(1) =yt-1 + (1)St-2(1) 將St-1(1) 代入St(1) 公式中,且不斷代入 St(1) =yt + (1)yt-1 + (1) St-2(1) = yt + (1) yt-1 + (1) St-2(1) = yt + (1) yt-1 + (1) S0(1) = (1) yt-k + (1) S0(1) 其中 S0(1) 為初始

17、估計值tt2k 討論：a考慮右邊第二項， (1) S0(1) 01 即有01 0，實際數(shù)據(jù)假設 t 50，那么 (1) 0 那么(1-a)tS0 0可略去,也就是初始數(shù)據(jù)的影響可不考慮。 假設 t 50，一般的可選擇最初幾個原始數(shù)據(jù)的平均值代S0(1) ttt b考慮公式右邊第一項 (1)k xt-k 為除S0(1)外其他所有的數(shù)據(jù)的平滑值，即影響大小 權數(shù)為： (1) (1) (1) : (1) 012t-1 這是一個公比為 1( 1)的遞減指數(shù)級數(shù)或幾何級數(shù) 加權系數(shù)變化 規(guī)律曲線 即原始數(shù)據(jù)平滑按照指數(shù)平滑規(guī)律加權構成，數(shù)據(jù)越原始，被平滑的局部也越多。即對預測值影響越小，反之影響越大。

18、t-2tt-1 c由公式可知所有原始數(shù)據(jù)均參與預測值的構成。即預測結果包含所有的信息量.這些量的大小取決于平滑系數(shù)的大小。 d指數(shù)平滑的平滑能力修勻能力 設數(shù)據(jù)序列為常數(shù)趨勢序列： yt = a +t 其中 a 為常數(shù),t可視做實際值與 a 的偏差，此為隨機項，應有 Et = 0 且Dt = 對數(shù)據(jù)指數(shù)平滑 St(1) = (1) yt-k + (1) S0(1)2kt 當 t , (1-a)t S0 0 那么 St(1) = (1) yt-k = (1) (a + t-k ) = a(1) + (1) t-k =a/1(1) + (1)t-k 取數(shù)學期望 ESt(1) =a + (1) Et

19、-k = a 即 ESt(1) = Eyt = akkkkkk 考慮均方誤差： DSt(1) = D(1) t-k = (1) Dt-k = (1) = 1/(2) = /(2-)2 2 即是說：指數(shù)平滑使原始數(shù)據(jù)集中程度提高，濾除了一些隨機誤差，使預測值向均值方向集中，對原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生了平滑效果 k2k222k222 e)平滑能力表達取決于 i) DSt(1) 平滑能力增強 這種情況適用于不規(guī)那么起伏，但在某個值上下波動的時間序列，經(jīng)驗選取0.050.2 ii),DSt(1) 平滑能力減弱 iii對于變化不太大的時間序列，取0.10.4 以便于使早期信息充分反映到預測值中。 3).指數(shù)平滑預測

20、不斷修正誤差: yt = St(1) = yt+(1) St-1(1) = St-1(1)+ yt St-1(1) 即 下期預測值=本期預測值+本期預測誤差 系統(tǒng) 為負反響自動控制系統(tǒng),有一定的自適應能力。 2、二次指數(shù)平滑 二次,三次乃至高次指數(shù)平滑是多項式模型中利用指數(shù)平滑進行模擬而得出的。利用臺勞公式和卷積公式定理以求出多項式參數(shù). 證明即定理詳見?預測與決策方法? 1)預測公式:假定數(shù)據(jù)趨向為線性趨勢 yt+T = at +btT 2)預測參數(shù)公式 第一次平滑 St(1) =yt + (1) St-1(1) 第二次平滑 St(2) =St(1) + (1)St-1(2) 且 at =

21、2 St (1) St(2) bt = / (1) St (1) St(2) 預測公式即為 yt+1 = at +btT =2 St(1) St(2)+ / (1) St(1) St(2) T注:公式推導參考(日)春日井博 郭明哲二次指數(shù)平滑僅適用與線性趨勢型. 3.三次指數(shù)平滑:假定數(shù)據(jù)呈二次曲線趨勢 1)預測公式 yt+T = at +btT +ctT2 2)平滑公式 S(1)t=yt + (1) St-1(1) S(2)t =St(1) + (1)St-1(2) 再進行一次平滑 St(3) =St(2) + (1)St-1(3) 3)參數(shù)公式 at =3 St(1)3 St(2)+ St

22、(3) bt =/2(1)2(65) St(1) 2(54) St(2) + (43)St(3) ct = /2(1)23 St(1) 3St(2) + St(3) 4)初始值計算 二次,三次指數(shù)平滑預測均涉及初始值的問題,書上介紹的為 i)數(shù)據(jù)少時,取最初幾個數(shù)據(jù)的均值為初始值 ii)數(shù)據(jù)多時,以第一期原始數(shù)據(jù)為初始值.指數(shù)平滑應用-指數(shù)平滑異同移動平均線MACD (Moving Average Convergence and Divergence) 美 Gerald Apple和W Fredrick Hitsckler與1979年提出. 作用:運用快,慢速移動平均線,加以雙重平滑運算,研判買入和賣出時機,克服移動平均線易出現(xiàn)假信號的缺陷,是研判中期走勢和盤整轉勢的重要指標. 1.平滑系數(shù) (N) = 2/(N + 1) 假設N =12日,即 (12) = 2/13 = 0.