第八章平面應(yīng)力問題的有限單元法

1、船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)第八章 平面應(yīng)力問題的有限元法2022-7-8基本概念：基本概念： 外力、應(yīng)力、形變、位移。外力、應(yīng)力、形變、位移。1. 外力：外力：體力、面力體力、面力(1) 體力體力VF 分布在物體分布在物體體積體積內(nèi)的力內(nèi)的力VVlim0Ff 體力分布集度體力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkxfyfzfkjifzyxfff單位：單位： N/m3kN/m3說明：說明：f 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念p2022-7-8(2) 面力面力 分布在物體表面的力分布在物體表面的力SFSSlim0Ff 面力分布集度（矢量）面力

2、分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzf單位：單位： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)說明：說明：彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念kjifzyxfff是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；fp2022-7-82. 應(yīng)力應(yīng)力(1) 一點(diǎn)應(yīng)力的概念一點(diǎn)應(yīng)力的概念A(yù)F內(nèi)力內(nèi)力(1) 物體內(nèi)部分子或原子間的相互物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮不考慮)PAAlim0Fp截面上截面上P點(diǎn)的應(yīng)力點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量.的極限方向的極限方向F 應(yīng)力分量應(yīng)力分

3、量n(法線法線)應(yīng)力的法向分量應(yīng)力的法向分量 正應(yīng)力正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量應(yīng)力的切向分量 切應(yīng)力切應(yīng)力單位單位:MPa (兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2022-7-8(2) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)通過一點(diǎn)P 的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合 稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：,xyz xxy面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：,yxzyyz面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：,zxy zz彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2022-7-8用矩陣表示：用矩陣表示：zzyzxyzyyxxzxyx 其

4、中，只有其中，只有6個(gè)量獨(dú)立。個(gè)量獨(dú)立。yxxyzyyz切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理xzzx應(yīng)力應(yīng)力正負(fù)號(hào)正負(fù)號(hào)的規(guī)定：的規(guī)定：正應(yīng)力正應(yīng)力 拉為正，壓為負(fù)。拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力切應(yīng)力 坐標(biāo)坐標(biāo)正面正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)坐標(biāo)負(fù)面負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2022-7-83. 形變形變形變形變 物體的形狀改變物體的形狀改變xyzO（1）線段長度的改變）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。）兩線段間夾角的改變。PBCAz

5、xy用線（正）應(yīng)變用線（正）應(yīng)變度量度量切應(yīng)變切應(yīng)變度量度量（切應(yīng)變（切應(yīng)變兩垂直線段夾角兩垂直線段夾角（直角）（直角）的改變量）的改變量）三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)變：zyx,zxyzxy,(1) 一點(diǎn)形變的度量一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變線應(yīng)變： 伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；切應(yīng)變切應(yīng)變： 以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2022-7-8(2) 一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)zzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz應(yīng)變

6、無量綱；應(yīng)變無量綱；4. 位移位移 注：注：一點(diǎn)的位移一點(diǎn)的位移 矢量矢量S應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)xyzOSwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量綱：量綱：m 或 mm彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念 1.平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題t/2t/2Oxyzy圖圖6-1222, 0, 0tzzytzzxtzz 因?yàn)榘迕嫔弦驗(yàn)榘迕嫔?z= t/2 )不受力，所以有應(yīng)力分量不受力，所以有應(yīng)力分量 由于板很薄，故可以認(rèn)為在整個(gè)薄板上所有各點(diǎn)由于板很薄

7、，故可以認(rèn)為在整個(gè)薄板上所有各點(diǎn)上都有：上都有：0, 0, 0zyzxz 根據(jù)剪應(yīng)力互等定律：根據(jù)剪應(yīng)力互等定律：0, 0yzxz 這樣，板中任一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量就只剩下三個(gè)這樣，板中任一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量就只剩下三個(gè)應(yīng)力分量，即應(yīng)力分量，即xyyxxy 因而這種問題稱為平面應(yīng)力問題。同時(shí)，由于板因而這種問題稱為平面應(yīng)力問題。同時(shí)，由于板很薄，所以這三個(gè)應(yīng)力分量，以及分析問題時(shí)須考很薄，所以這三個(gè)應(yīng)力分量，以及分析問題時(shí)須考慮的三個(gè)應(yīng)變分量慮的三個(gè)應(yīng)變分量 x 、 y 、 xy及和兩個(gè)位移分量及和兩個(gè)位移分量u，v，都可以認(rèn)為沿厚度不變化。這就是說，它們只是，都可以認(rèn)為沿厚度不變化。這就是說，它

8、們只是坐標(biāo)坐標(biāo)x和和y的函數(shù)，不隨坐標(biāo)的函數(shù)，不隨坐標(biāo)z的變化而變化。的變化而變化。 xyyx xyyx vu 在平面應(yīng)力問題中，可用如下三個(gè)向量分別表在平面應(yīng)力問題中，可用如下三個(gè)向量分別表板中任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移；板中任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移； 在船體結(jié)構(gòu)中，很多問題可以簡化為平面應(yīng)力問在船體結(jié)構(gòu)中，很多問題可以簡化為平面應(yīng)力問題處理。例如甲板開口、舷側(cè)、橫梁開孔和肘板的題處理。例如甲板開口、舷側(cè)、橫梁開孔和肘板的強(qiáng)度問題等等。強(qiáng)度問題等等。 2.2.基本方程式基本方程式 基本方程式包括平衡微分方程式、幾何方程式和基本方程式包括平衡微分方程式、幾何方程式和物理方程式，此外還有邊界條件方

9、程式。下面依次物理方程式，此外還有邊界條件方程式。下面依次到處平面應(yīng)力問題的這些方程式到處平面應(yīng)力問題的這些方程式 xy xydxxxyxydyyxyxyydyyyydxxxxxCXYxy (1)平衡微分方程式平衡微分方程式 根據(jù)平衡條件導(dǎo)出的各應(yīng)力分量之間的微分關(guān)根據(jù)平衡條件導(dǎo)出的各應(yīng)力分量之間的微分關(guān)系就是平衡微分方程式系就是平衡微分方程式圖圖8-6021212121dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyyyxxyxyxy 首先以通過中心首先以通過中心C，并平行于，并平行于z軸的直線為矩軸，軸的直線為矩軸，列力矩平衡方程列力矩平衡方程 Mc=0。yxxy01111Xdxdydx

10、dxdyydydydxxyxyyyxxxx 其次，以其次，以x軸為投影軸，列出力投影的平衡方程軸為投影軸，列出力投影的平衡方程 Fx=0：0Xyxxyx01111Ydxdydydydxxdxdxdyyxyxyxyyyy 其次，以其次，以y軸為投影軸，列出力投影的平衡方程軸為投影軸，列出力投影的平衡方程 Fy=0：0Yxyyxy 由此，得到平面應(yīng)力問題的平衡方程由此，得到平面應(yīng)力問題的平衡方程：00YyxXyxyyxxyx(8-9)xydyyvvdyyuudxxvvdxxuuPvPAABB (2)幾何方程式幾何方程式 下面從平面應(yīng)力問題的幾何學(xué)方面，導(dǎo)出應(yīng)變分下面從平面應(yīng)力問題的幾何學(xué)方面，導(dǎo)出

11、應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程式。量與位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程式。O以上兩以上兩個(gè)微分方程中包含三個(gè)未知數(shù)個(gè)微分方程中包含三個(gè)未知數(shù) x、 y、 xy = yx：因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定，還必須考慮變因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定，還必須考慮變形情況才能解決問題。形情況才能解決問題。 線段線段PA的正應(yīng)變的正應(yīng)變：xudxudxxuux 線段線段PB的正應(yīng)變的正應(yīng)變：yvdyvdyyvvy(a)(b) 剪應(yīng)變剪應(yīng)變 xy：xy 線段線段PA的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為：xvdxvdxxvv 線段線段PB的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為：yudyudyyuu 剪應(yīng)變剪應(yīng)變 xy：yuxvxy

12、式式(a)、(b)、(c)是應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)是應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，現(xiàn)歸納為系式，現(xiàn)歸納為：yuxvyvxuxyyx稱為平面應(yīng)力問稱為平面應(yīng)力問題的幾何方程式，題的幾何方程式，又稱柯西方程式又稱柯西方程式(c)(8-11) 由式由式（8-11）可見，當(dāng)板內(nèi)各點(diǎn)的位移分量可見，當(dāng)板內(nèi)各點(diǎn)的位移分量u、v為已為已知函數(shù)時(shí)，就可確定各點(diǎn)的應(yīng)變分量知函數(shù)時(shí)，就可確定各點(diǎn)的應(yīng)變分量 x、 y、 xy；反之，；反之，假定三個(gè)應(yīng)變分量函數(shù)，那么按式假定三個(gè)應(yīng)變分量函數(shù)，那么按式（8-11）的前兩個(gè)式的前兩個(gè)式子就可以求出位移函數(shù)子就可以求出位移函數(shù)u、v，若用此兩個(gè)位移分量函數(shù)，若用此兩

13、個(gè)位移分量函數(shù)代入第三個(gè)方程式求代入第三個(gè)方程式求 xy，就會(huì)與假定的，就會(huì)與假定的 xy不同。這樣就不同。這樣就出現(xiàn)了矛盾。這一矛盾是因?yàn)榘鍍?nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變分量之出現(xiàn)了矛盾。這一矛盾是因?yàn)榘鍍?nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變分量之間有相互聯(lián)系所造成的，如果在假定各應(yīng)變分量函數(shù)時(shí)間有相互聯(lián)系所造成的，如果在假定各應(yīng)變分量函數(shù)時(shí)不反映出這種聯(lián)系，那就將使變形不連續(xù)，即板變形將不反映出這種聯(lián)系，那就將使變形不連續(xù)，即板變形將發(fā)生空隙或裂縫。從數(shù)學(xué)上講，式發(fā)生空隙或裂縫。從數(shù)學(xué)上講，式（8-11）的應(yīng)變分量的應(yīng)變分量是三個(gè)，而位移分量只有兩個(gè)，因此三個(gè)應(yīng)變分量不能是三個(gè)，而位移分量只有兩個(gè)，因此三個(gè)應(yīng)變分量不能相互獨(dú)立，

14、而必然有一定的聯(lián)系，這個(gè)關(guān)系叫應(yīng)變協(xié)調(diào)相互獨(dú)立，而必然有一定的聯(lián)系，這個(gè)關(guān)系叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或應(yīng)變相容條件。現(xiàn)推導(dǎo)如下：方程或應(yīng)變相容條件?，F(xiàn)推導(dǎo)如下： 應(yīng)變相容方程或叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變相容方程或叫應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：xvyuyxyxvyxuxyyx223232222yxxyxyyx22222 稱為變形連續(xù)方程或圣維南方程稱為變形連續(xù)方程或圣維南方程(8-12) （3）物理方程式）物理方程式 上面建立了二個(gè)平衡微分方程式和三個(gè)幾何方程上面建立了二個(gè)平衡微分方程式和三個(gè)幾何方程式，五個(gè)方程式中共有八個(gè)未知函數(shù)式，五個(gè)方程式中共有八個(gè)未知函數(shù) x、 y 、 xy 、u、v、 x、 y、 xy，尚需補(bǔ)充三個(gè)

15、方程式才可能求，尚需補(bǔ)充三個(gè)方程式才可能求解。這三個(gè)方程式就是應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的解。這三個(gè)方程式就是應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力學(xué)關(guān)系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力學(xué)中廣義虎克定律，平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律中廣義虎克定律，平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律為：為：GEExyxyxyyyxx11xyxyxyyyxxGEE2211 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?8-13)(8-14)xyyxxyyxE2100010112 用矩陣形式表示為：用矩陣形式表示為： 簡記為：簡記為： D 2100010112ED稱為平面應(yīng)力問稱為平面應(yīng)力問題的題的彈性彈性矩陣矩陣(8

16、-16)(8-17) （4）邊界條件）邊界條件 上述式上述式（8-9）、（8-11）、（8-13）或或（ 8-14）一共有八個(gè)基本方程式。這八個(gè)基本方程式中包含一共有八個(gè)基本方程式。這八個(gè)基本方程式中包含八個(gè)未知函數(shù)（坐標(biāo)八個(gè)未知函數(shù)（坐標(biāo)x,y的函數(shù)）；三個(gè)應(yīng)力分量；的函數(shù)）；三個(gè)應(yīng)力分量；三個(gè)應(yīng)變分量；兩個(gè)位移分量。方程的數(shù)目恰好等三個(gè)應(yīng)變分量；兩個(gè)位移分量。方程的數(shù)目恰好等于未知函數(shù)的數(shù)目。因此，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，于未知函數(shù)的數(shù)目。因此，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，由上述方程式求解未知函數(shù)是可能的。由上述方程式求解未知函數(shù)是可能的。 根據(jù)邊界條件的不同，平面應(yīng)力問題分為位移邊根據(jù)邊界條件的不同

17、，平面應(yīng)力問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。 （4）邊界條件）邊界條件 在位移邊界問題中，物體在全部邊界上的位移分在位移邊界問題中，物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是在全部邊界上有：量是已知的，也就是在全部邊界上有：ssvvuu,式中，式中，us和和vs在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。這就是平在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。這就是平面應(yīng)力問題的位移邊界條件。面應(yīng)力問題的位移邊界條件。(6-11) （4）邊界條件）邊界條件 在應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面在應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，也就是說，面力分量力是已知的，

18、也就是說，面力分量X和和Y在全部邊界在全部邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。根據(jù)面力分量與邊界上應(yīng)力上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。根據(jù)面力分量與邊界上應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可以把面力已知條件轉(zhuǎn)換為應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可以把面力已知條件轉(zhuǎn)換為應(yīng)力已知的條件，這就是所謂應(yīng)力邊界條件，推導(dǎo)如下：已知的條件，這就是所謂應(yīng)力邊界條件，推導(dǎo)如下：xABPNXYYXxyyxyyxo 在物體邊界上取直角三角形的微塊在物體邊界上取直角三角形的微塊PAB，它的斜，它的斜面面AB與物體邊界面重合，如圖與物體邊界面重合，如圖6-4所示。用所示。用N表示邊表示邊界面的外法線法向，其方向余弦為：界面的外法線法向，其方向余弦為：xABPNXYY

19、XxyyxyyxomyNlxN,cos,cos 設(shè)該邊界面設(shè)該邊界面AB 的長度為的長度為ds，則截面，則截面PA和和PB的長的長度分別為度分別為lds和和mds，另設(shè)微塊的厚度為，另設(shè)微塊的厚度為1。由微塊的。由微塊的平衡條件平衡條件 Fx=0，得，得012111ldsmdsXmdsldsdsXyzxdslmXXmlyzx2Xmlsyzsx0ds),cos(),cos(ynmlmYxnlmlXxxysysyxsx 同理由微塊的平衡條件同理由微塊的平衡條件 FY=0，得另外一方程式。，得另外一方程式。這兩個(gè)方程式為：這兩個(gè)方程式為： 式式（8-10）就是平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。如就是平面應(yīng)

20、力問題的應(yīng)力邊界條件。如果考慮第三個(gè)平衡條件果考慮第三個(gè)平衡條件 FM=0，則可以再寫出一個(gè)則可以再寫出一個(gè)方程式，但是在方程式，但是在ds趨近于零時(shí)，設(shè)一方程式將成為趨近于零時(shí)，設(shè)一方程式將成為剪應(yīng)力互等方程式。剪應(yīng)力互等方程式。(8-10)021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE 1.解題方法簡介解題方法簡介 傳統(tǒng)的彈性力學(xué)解題方法有三種：位移法，傳統(tǒng)的彈性力學(xué)解題方法有三種：位移法，應(yīng)力應(yīng)力法法和混合法。和混合法。 當(dāng)平面應(yīng)力問題按位移法求解時(shí)，以位移分量當(dāng)平面應(yīng)力問題按位移法求解時(shí)，以位移分量u、v為基本未知函數(shù)。將幾何為基本未知函數(shù)。將幾何

21、方程式（方程式（8-11）代入）代入物理物理方程式（方程式（8-14），），得應(yīng)力分量與位移分量之間的關(guān)系得應(yīng)力分量與位移分量之間的關(guān)系式，再將所得關(guān)系式代入平衡微分方程式，再將所得關(guān)系式代入平衡微分方程式（式（8-9）和）和應(yīng)力應(yīng)力邊界條件（邊界條件（8-11），），簡化后得到：簡化后得到：YlyuxvmxuyvEXmxvyulyvxuE21121122 和：和：uYlyuxvmxuyvEXmxvyulyvxuE21121122u 當(dāng)平面應(yīng)力問題按應(yīng)力法求解時(shí)，以應(yīng)力分量為當(dāng)平面應(yīng)力問題按應(yīng)力法求解時(shí)，以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)基本未知函數(shù)。用物理方程式（。用物理方程式（8-14）將應(yīng)變連續(xù)方

22、）將應(yīng)變連續(xù)方程式程式（8-12）的應(yīng)變化為應(yīng)力，再加上兩個(gè)靜力平衡）的應(yīng)變化為應(yīng)力，再加上兩個(gè)靜力平衡式（式（8-9）得）得應(yīng)力應(yīng)力分量，進(jìn)而可用物理方程式求應(yīng)變分量，進(jìn)而可用物理方程式求應(yīng)變分量，幾何方程式求位移分量，簡化分量，幾何方程式求位移分量，簡化后得到：后得到：2022-7-8有限元單元法分析步驟（一）n結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化n 將結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點(diǎn)連將結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點(diǎn)連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，關(guān)系到計(jì)算精度和效率，包接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，關(guān)系到計(jì)算精度和效率，包括

23、以下三個(gè)方面：括以下三個(gè)方面：n單元類型的選擇單元類型的選擇。選定單元類型，確定單元形狀、單。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等。元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等。n單元?jiǎng)澐謫卧獎(jiǎng)澐?。網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計(jì)算結(jié)果越精。網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計(jì)算精度確，但計(jì)算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計(jì)算精度提高就不明顯，對(duì)應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)提高就不明顯，對(duì)應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。格。n節(jié)點(diǎn)編碼節(jié)點(diǎn)編碼。 注意：注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同，而是由同樣材

24、料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。用有限元分析計(jì)樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。平面問題有限單元法基本概念平面問題有限單元法基本概念2022-7-8有限單元法簡介41有限單元法的常用術(shù)語：真實(shí)系統(tǒng)真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義定義2022-7-8有限單元法簡介42節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。單元單元:

25、 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣 描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、。單元有線、 面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的有限元模型由一些簡單形狀的單元單元組成，單元之間通組成，單元之間通過過節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定連接，并承受一定載荷載荷。載荷載荷載荷載荷2022-7-8有限單元法簡介432、選擇位移插值函數(shù) 為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析連續(xù)體問題時(shí)，必須對(duì)單元中位移的分布做出一定的假設(shè)，一般假定位移是坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是

26、有限單元法中的關(guān)鍵。 efN f 單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列矩陣 N 單元形函數(shù)矩陣 單元節(jié)點(diǎn)位移的列矩陣 e3、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，即用等效力來替代所有作用在單元效地移到節(jié)點(diǎn)上去，即用等效力來替代所有作用在單元上的力。上的力。8-4 三角形單元的位移函數(shù)與剛度矩陣三角形單元的位移函數(shù)與剛度矩陣 ymxmyjxjyiximjieFFFFFFFFFF1.節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力(平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題)選擇選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出單元的位移和節(jié)點(diǎn)力向量適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出單

27、元的位移和節(jié)點(diǎn)力向量mjFxiFyiiuv(x,y)oyx三角 形三節(jié)點(diǎn)單元u1v1 mmjjiimjievuvuvu 2.位移函數(shù)位移函數(shù)n可以假定一個(gè)位移模式，來表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù)，即假定：123456,u x yxyv x yxy 首先，我們要確定三角形單元內(nèi)各點(diǎn)的位移變化規(guī)律。即當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移確定時(shí)，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移應(yīng)如何插值？ 設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是該點(diǎn)坐標(biāo)（x,y)的線性函數(shù)。對(duì)于采用三角形單元的平面問題來說，當(dāng)單元取得足夠小時(shí)，取線性位移插值函數(shù)是合理的。（a) 1234561000,0001uxyx

28、yHvxy 式中 1, 2. 6, 是待定常數(shù)，它們可以由單元的邊界條件，即節(jié)點(diǎn)的位移值來確定。為此，只要將節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值代入式（a)，就得到節(jié)點(diǎn)的位移值：123456123456123456iiiiiijjjjjjmmmmmmuxyvxyuxyvxyuxyvxy123456121212121212iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmiijjmmaua ua uAbub ub uAcuc uc uAava va vAbvb vb vAcvc vc vA64321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxyxyxyxyxvu

29、vuvu簡寫為： Ae,ijmmjijmimjjmiimjmijimmijjimijmjiax yx ybyycxxax yx ybyycxxax yx ybyycxx其中，節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值是已知的，令其中，節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值是已知的，令mmjjiiyxyxyxA11121為三角形單元的面積。為三角形單元的面積。并將并將 1、 2、 6代入代入 位移位移模式，經(jīng)整理后得到模式，經(jīng)整理后得到 ： )()()(21)()()(21mmmmjjjjiiiimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAvuycxbauycxbauycxbaAu 解出 eA1mjimjimjimjimjimjic

30、ccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211ycxbaANiiii21若令這樣，位移模式這樣，位移模式 就可以寫為就可以寫為（i , j , m輪換）iijjmmiijjmmN uN uN uudN vN vN vv 簡寫為：簡寫為：edN其中其中()TeTijmiijjmmuvuvuv是單元的是單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣節(jié)點(diǎn)位移列陣。000000ijmijmNNNNNNN是是形態(tài)函數(shù)矩陣形態(tài)函數(shù)矩陣或或形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣。 上式就是單元位移的插值表達(dá)式，它表明只有知道了節(jié)點(diǎn)位移，上式就是單元位移的插值表達(dá)式，它表明只有知道了節(jié)點(diǎn)位移，就可就可通過通過形函數(shù)插值求出

31、單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。形函數(shù)插值求出單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。2022-7-8簡寫為：簡寫為：其中其中應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣B可寫成可寫成分塊形式：分塊形式： 其子矩陣為：其子矩陣為： 3.單元應(yīng)變和應(yīng)力單元應(yīng)變和應(yīng)力n利用幾何方程和物理方程，求出單元中的應(yīng)變和應(yīng)力，用節(jié)點(diǎn)位移表示：利用幾何方程和物理方程，求出單元中的應(yīng)變和應(yīng)力，用節(jié)點(diǎn)位移表示：將位移函數(shù)將位移函數(shù)(8-32)代入幾何方程代入幾何方程(8-11)，得出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變。，得出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變。eB00010002iiijmjijmjiijjmmmmuuvxbbbuvcccvycbcbcbuvuxyvijmBBBB00

32、01 0002bbbmijBcccmijcbcbcbmmiijj=Dvuxyyxxyyx00 eBD SD B Se 求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變矩陣表達(dá)式式代入物理方程 ，便可推導(dǎo)出以結(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力。即令則 D SD BBBSSSijmijm DE11100122對(duì)稱 mjibccbcbEBDSiiiiiiii,2121122其中 S叫做應(yīng)力矩陣，若寫成分塊形式，有對(duì)于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣D為(i)所以，S的子矩陣可記為 Tmmjjiievuvuvu 為了推導(dǎo)單元的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，可應(yīng)用虛功原理對(duì)圖中的單元e進(jìn)行分析。單元e是在等效結(jié)點(diǎn)力的作用下處于平衡的，而這種結(jié)點(diǎn)力可采用列陣

33、表示為：(a)假設(shè)在單元e中發(fā)生有虛位移，則相應(yīng)的三個(gè)結(jié)點(diǎn)i、j、m 的虛位移為 TmmjjiiTTmTjTieYXYXYXFFFFyx0iuivjujvmY),(mmyxmmX),(iiyxi),(jjyxjiYiXjYjXmumvxFyF Be ( )eee TWF tdxdyVTe單元內(nèi)的虛應(yīng)變 *為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫為(d)(f)而單元內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為(g)根據(jù)虛功原理，彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，外力在虛位移上做的功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功。 tdxdyBDBVeTTee)( tdxdyBDBFeTTeeTe)()( eTetdxdyBDBF這里

34、我們假定單元的厚度t為常量。把（d ）式及上式代入上式，并將提到積分號(hào)的前面，則有根據(jù)虛功原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項(xiàng)應(yīng)該相等，即得 tdxdyBDBkTe eeekF記則有 上式就是表征單元的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的剛度方程，ke 就是單元?jiǎng)偠染仃?。如果單元的材料是均質(zhì)的，那么矩陣D 中的元素就是常量，并且對(duì)于三角形常應(yīng)變單元，B矩陣中的元素也是常量。當(dāng)然單元的厚度也是常量時(shí)，所以上式可以簡化為ke =BT DBt TiiiijimeTjijmjijjjmTmmimjmmBkkkkBDBBBtkkkBkkk 將上式寫成分塊形式

35、，即可得到平面應(yīng)力問題中三角形單元的剛度矩陣 kBD B tEtb bc cb cc bc bb cc cb brsrTsrsrsrsrsrsrsrsrs4 1121212122其中( r = i、j、m；s = i、j、m ) 結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。假定假定i 結(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)中的任一公共結(jié)點(diǎn)，則該結(jié)點(diǎn)平衡結(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)中的任一公共結(jié)點(diǎn)，則該結(jié)點(diǎn)平衡條件為：條件為： iiPF iFi 結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力列向量結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力列向量 eieiiVUFe圍繞圍繞i結(jié)點(diǎn)所有單元的結(jié)點(diǎn)力的向量和結(jié)點(diǎn)所有單元的結(jié)點(diǎn)力的向量和 i結(jié)點(diǎn)的載荷列向量。結(jié)點(diǎn)的載荷列向

36、量。 iP iiiYXP8-5 整體整體剛度矩陣剛度矩陣 每個(gè)結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)平衡方程組成，若結(jié)構(gòu)共有每個(gè)結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)平衡方程組成，若結(jié)構(gòu)共有n個(gè)結(jié)個(gè)結(jié)點(diǎn)，則有點(diǎn)，則有2n個(gè)平衡方程。整個(gè)結(jié)構(gòu)的個(gè)平衡方程。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件上面的平衡條件上面的公式求和公式求和得到，即：得到，即： iniiniPF11i1，2，n T2211T3211nnniniYXYXYXPPPPPP KkFeeneinie11 其中，K為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣； 為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量移列向量。 tdxdyBDBkKneeneT11 T2211T21nnnvuvuvu進(jìn)而可得到進(jìn)而可得到 PK整體剛度矩陣也可

37、按結(jié)點(diǎn)寫成分塊矩陣的形式整體剛度矩陣也可按結(jié)點(diǎn)寫成分塊矩陣的形式： nnnjnninijiinjnjKKKKKKKKKKKKKKKKK2121222221111211 同桿系結(jié)構(gòu)一樣，整體剛度方程經(jīng)過約束處理后，同桿系結(jié)構(gòu)一樣，整體剛度方程經(jīng)過約束處理后，即可求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而求出所希望的應(yīng)力場。即可求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而求出所希望的應(yīng)力場。作用在彈性體上的載荷不外乎是：* 體力（自重、慣性力）* 面力* 集中力三種。 用有限元法解題時(shí)，既然全部問題都?xì)w結(jié)到節(jié)點(diǎn)來處理，那么，當(dāng)單元上作用有外載荷時(shí)，也應(yīng)把它們移置到節(jié)點(diǎn)上來，成為節(jié)點(diǎn)載荷。 這種移置必須按照靜力等效原則進(jìn)行8-6 外荷載處理外荷載處

38、理 所謂“靜力等效”，系指原載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷，在彈性體的任何虛位移過程中的虛功相等。 當(dāng)插值函數(shù)已經(jīng)確定時(shí)，這種移置的結(jié)果是唯一的。 在取線性位移插值時(shí)，符合剛體靜力等效原則，即：載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任一軸上投影之和相等，對(duì)任一軸的力矩之和也相等，也就是說，原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷將具有相同的主矢和主矩。通常通常，我們總將集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，不需要移置。，我們總將集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，不需要移置。因此因此，下面只討論：，下面只討論： 體力和面力的移置體力和面力的移置(1)體力的移置以重力為例來說明這個(gè)問題。設(shè)有勻質(zhì)、等厚度、編號(hào)為e的三角形單元，三個(gè)節(jié)點(diǎn)為i, j ,m，重力作用在形心c上，如

39、圖右圖所示。由初等幾何知， mbbj13bcbieiYejYemY首先，我們求移置到i節(jié)點(diǎn)上的垂直節(jié)點(diǎn)載荷 。為了便于計(jì)算虛功，假想該單元在節(jié)點(diǎn)i處沿y方向產(chǎn)生一個(gè)單位虛位移，而其它兩點(diǎn)不動(dòng)；這相當(dāng)于在j點(diǎn)及m點(diǎn)安置了鉸支座，在i點(diǎn)安置了水平連桿支座，如右圖。 由于我們?cè)谌切螁卧胁捎玫奈灰撇逯岛瘮?shù)是線性的，所以任一條直線上各點(diǎn)位移都呈線性變化。eiY 現(xiàn)在m點(diǎn)及j點(diǎn)的位移都等于0，所以在 邊上各點(diǎn)位移都等于0； 線上各點(diǎn)的垂直位移也按線性變化，在b點(diǎn)等于0，在i點(diǎn)為1。因此c點(diǎn)的垂直位移將為1/3。 按靜力等效原則，體力載荷W的虛功應(yīng)等于 的虛功，即有： 或 Yei=-W/3負(fù)號(hào)表示Yei

40、的方向與圖上所畫的方向相反。 mjbieiY113eiWY 用同樣的方法可以得到 Yej=-W/3 , Yem=-W/3下面來求移置到節(jié)點(diǎn)i上的水平節(jié)點(diǎn)載荷Xei。與前面一樣，在形心c處有W作用，假設(shè)節(jié)點(diǎn)i只沿x方向產(chǎn)生一個(gè)單位的虛位移，而其它兩點(diǎn)不動(dòng)。由右圖可知，c點(diǎn)的垂直位移等于0，水平位移等于1/3。按靜力等效原則，有： 故: 01eiWX 0eiX 用同樣的方法可以得到： Xej=0 , Xem=0寫成分量形式: TeeeeeeeiijjmmRXYXYXY0101013TW由此可以得出如下結(jié)論： 對(duì)于勻質(zhì)、等厚度的三角形單元，當(dāng)考慮自重時(shí)，只需把1/3的重量移置到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，就完成了重

41、力載荷的移置，而不必再去列出虛功相等的條件。這也完全符合對(duì)剛體的靜力等效原則。 但必須指出：上述結(jié)果是由于我們采用線性位移插值函數(shù)造成的。如果位移插值函數(shù)是非線性的，例如是坐標(biāo)的二次函數(shù)，那就不滿足1/3的關(guān)系，也就不能按簡單的剛體靜力等效原則來處理，而必須用虛功方程來建立普遍的表達(dá)式。(2)面力的移置1）設(shè)等厚度的三角形單元e的三個(gè)節(jié)點(diǎn)為i,j,m其邊界ij上受有垂直均勻分布的面力載荷。載荷集度（單位長度上的力）為q，如右圖所示。2ejqlR 2eiqlR 仍然采用線性位移插值函數(shù)方法。則根據(jù)靜力等效原則，將此均勻分布的面力載荷移置到兩側(cè)節(jié)點(diǎn) i, j 上時(shí)，等效節(jié)點(diǎn)載荷為：式中l(wèi)為 的邊長

42、，Rei, Rej仍與原載荷平行， 22eiejqlRqlRij2eiqlR 2ejqlR 0emR 故此時(shí)單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為：或: 01 1 022TTelqlRqq 0 02TeixiyjxjylRqqqq2)若 i j 邊上受有三角形分布的面力載荷，在 i 點(diǎn)上的載荷集度為 , j 點(diǎn)上為0，則其單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣是：或 iq 202 1 066TTeiiiqllRqq 220 06TeixiyjxjylRqqqq3eiilRq6ejilRqiq3）若 i j 邊上受有垂直的梯形分布的面力載荷，在 i , j 點(diǎn)上載荷集度分別為 和 ，則其等效節(jié)點(diǎn)載荷為：iqjq26eiijlRqq2

43、6ejjilRqq0emR 2206TTeeeeijmijjilRRRRqqqq TeeeeeeeiijjmmRXYXYXY或?qū)懗煞至啃问剑?2) (2) (2) (2) 0 06Tixjxiyjyjxixjyiylqqqqqqqq 式中 分別是 在 x , y 方向上的分量，其方向與 x , y 軸正向一致為正，反之為負(fù)。,ixiyjxjyqqqq,ijq qiqjq(2)6eiijlRqq(2)6ejjilRqq計(jì)算實(shí)例計(jì)算實(shí)例彈性模量為彈性模量為E， ， 不不計(jì)自重。計(jì)自重。求各角點(diǎn)的位移及應(yīng)力。求各角點(diǎn)的位移及應(yīng)力。13 如圖所示一塊薄板，長如圖所示一塊薄板，長度和寬度分別為度和寬度分

44、別為2米、米、1米，米，厚度為厚度為t，一端固定，一端，一端固定，一端受均布拉力受均布拉力q，t2m1mq (KN/m)1、離散結(jié)構(gòu)物、離散結(jié)構(gòu)物 為了計(jì)算簡單，劃分為為了計(jì)算簡單，劃分為2個(gè)單元，個(gè)單元，單元號(hào)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示。單元號(hào)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示。 對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)時(shí)，應(yīng)使同一對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)時(shí)，應(yīng)使同一單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)間差值最小。單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)間差值最小。 2、選擇單元的位移模式、選擇單元的位移模式因?yàn)椴捎玫氖侨?jié)點(diǎn)的三角形單元，位移模式已確定。因?yàn)椴捎玫氖侨?jié)點(diǎn)的三角形單元，位移模式已確定。123456,u x yxyv x yxyt2mxy1m3124q (KN/m)o(0,0)

45、(2,0)(0,1)(2,1) 3、計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒⒂?jì)算單元?jiǎng)偠染仃?eK TrsrsKBDB tr = i, j, m s = i, j, m21122114 122rsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtc bb cc cb b對(duì)于平面應(yīng)力問題，三角形單元的剛度矩陣對(duì)于平面應(yīng)力問題，三角形單元的剛度矩陣ijmimjbyycxxijmijm其中，其中， 三角形單元的面積，三角形單元的面積，=1/2*2*1=1 t 三角形單元的厚度三角形單元的厚度對(duì)于單元對(duì)于單元1231322312133123211 010220002020 11220byycxxbyycxxbyycx

46、x 單元單元的剛度矩陣的剛度矩陣 表示為表示為1K 11112131212223313233KKKKKKKKKK312(0,0)(2,0)(2,1)所以單元所以單元的剛度矩陣的剛度矩陣111112111322112333744233,4132123232324033,210123232023033,20013232EtEtKKEtEtKKEtEtKK代入上式，可得代入上式，可得111121312122233132337442324132122142400232120122032320230212001KKKEtKKKKKKK單元單元的剛度矩陣的剛度矩陣 表示為表示為2K 22224232424

47、443323433KKKKKKKKKK對(duì)于單元對(duì)于單元2432344324233243421 010000 112021 10022byycxxbyycxxbyycxx 324(0,0)(0,1)(2,1)222224222333224344303233,01213232024033,200123232427433,2124133232EtEtKKEtEtKKEtEtKK可得可得所以單元所以單元的剛度矩陣的剛度矩陣222242324244433234333032020121203274423214132123202424020212012KKKEtKKKKKKK4、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力

48、面積坐標(biāo)對(duì)直角坐標(biāo)的積分面積坐標(biāo)對(duì)直角坐標(biāo)的積分! !1 !ijLL L dsl , ,i j m 表面分布力的等效節(jié)點(diǎn)力表面分布力的等效節(jié)點(diǎn)力 ixixiyiyTejxjxjyjymxmxmymyN qLqN qLqN qL qQNq tdstdstdsN qL qN qL qN qL q 1!0!1,01 0 1 !2ijiLLlL L dsLdsl 1122334420200000 xyxyxyxyqRRRqRRRRRR 所以，各節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)力所以，各節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)力總體剛度矩陣總體剛度矩陣 21eeKK因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)物共有因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)物共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以 4 4K 11121312

49、122233132334 40000000KKKKKKKKKK 22223243233344243444 40000000KKKKKKKKKK分別將分別將K1、K2擴(kuò)展為擴(kuò)展為4 4矩陣矩陣5、組裝整體結(jié)構(gòu)物的剛度矩陣、組裝整體結(jié)構(gòu)物的剛度矩陣 K 所以總體剛度矩陣所以總體剛度矩陣K 11111121311212221222223232411212231323233333422242434400KKKKKKKKKKKKKKKKKKK744232001321221007004321340213704232132127413Et( 對(duì) 稱 )6、形成結(jié)構(gòu)物的求解方程，并解出位移形成結(jié)構(gòu)物的求解方程，并解出位移744232001321221007004321340213704232132127413Et( 對(duì) 稱 )1122334420200000qu