7.5正態(tài)分布課件（共26張PPT）

1、7.5 正態(tài)分布高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線，這就傳達(dá)了一個信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對人類文明影響最大的是正態(tài)分布那么,什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？新課引入 正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機變量最多取可列個不同值，它等于某一特定實數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機變量可能取某個區(qū)間上的任何值，它等于任何一個實數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個區(qū)間的概率。我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量(continuous random

2、variable).離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。新課引入 問題:自動流水線包裝的食鹽,每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g. 由于各種不可控的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多 或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量). 用X表示這種誤差,則X是一個連續(xù)型隨機變量. 檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中, 隨機抽取了100袋食鹽,獲得誤差X (單位:g)的觀測值如下:-0.6-1.4-0.7 3.3-2.9-5.2 1.4 0.1 4.4 0.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5

3、-3.7 2.7 1.1-3.0-2.6-1.9 1.7 2.6 0.4 2.6-2.0-0.2 1.8-0.7-1.3-0.5-1.3 0.2-2.1 2.4 -1.5-0.4 3.8-0.1 1.5 0.3-1.8 0.0 2.5 3.5-4.2-1.0-0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9-0.6-4.4-1.1 3.9-1.0-0.6 1.7 0.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.8 1.7 1.4 4.4 1.2-1.8-3.1-2.1-1.6 2.2 0.3 4.8-0.8-3.5 -2.7 3.8 1.4-3.5-0.9-2.2 -0.7 -1.3 1.5-1.5

4、 -2.2 1.0 1.3 1.7-0.9(1).如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2).如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?新課引入 可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1. 根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.曲線與水平軸之間的面積為1任意抽取一袋鹽，誤差落在-2,-1內(nèi)的概率如何表示?可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.學(xué)習(xí)新知誤差觀測值有正有負(fù),并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大,讓

5、分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。2.正態(tài)密度曲線（簡稱正態(tài)曲線）0YX相應(yīng)的函數(shù)解析式為：稱為正態(tài)密度函數(shù)學(xué)習(xí)新知正態(tài)分布的定義y012-1-2x-33=0=1學(xué)習(xí)新知對任意的xR,f(x)0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normal dis-tribution),記為XN(u,2).特別地,當(dāng)u=0, =1時,稱隨機變量X服

6、從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若XN(u,2),則如上圖所示,X取值不超過x的概率P(X)為圖中區(qū)域A的面積,而P(aXb)為區(qū)域B的面積.正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位,它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實踐之中.在現(xiàn)實生活中,很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布例如,某些物理量的測量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量自動流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等一般都近似服從正態(tài)分布右圖所示的就是一塊高爾頓板示意圖.在一塊木板上釘上若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木

7、塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃讓一個高爾頓板小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)如果把球槽編號，就可以考察到底是落在第幾號球槽中.重復(fù)進(jìn)行高爾頓板試驗,隨著試驗次數(shù)的增加,掉入各個球槽內(nèi)的小球的個數(shù)就越來越多,堆積的高度也會越來越高.各個球槽的堆積高度反映了小球掉入各球槽的個數(shù)多少?例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.B典型例題正態(tài)密度的函數(shù)表示式具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2思考

8、:一個正態(tài)分布由參數(shù)和完全確定,這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2(1)對稱性:曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對稱.(2)最值性:曲線在x=處達(dá)到峰值(最高點)x=mx=mx=m(3)當(dāng) 無限增大時，曲線無限接近 軸.當(dāng)x(,時,為增函數(shù).當(dāng)x,+)時,為減函數(shù).值域為正態(tài)曲線的性質(zhì)參數(shù) 含義及對正態(tài)曲線的形狀的影響 一個正態(tài)分布由參數(shù) 和 完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?學(xué)習(xí)新知312=1= -1=0=1若

9、 固定, 隨 值的 變化而沿x軸平移, 故 稱為位置參數(shù)；xy(1).當(dāng)參數(shù) 取定值時 =0.5 =1=2=0若 固定, 大時, 曲線“矮而胖”； 小時, 曲線“瘦而高”, 故稱 為形狀參數(shù).所以越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散； 越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.xy(2).當(dāng)參數(shù) 取定值時例：李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎自行車,他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布。(1)估計X,Y的分布中的參數(shù);(2)根據(jù)(1)

10、中的估計結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3)如果某天有38min可用,李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由。分析:對于第(1)問,正態(tài)分布由參數(shù)和 完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計.對于第(3)問,這是一個概率決策問題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷解:(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計參數(shù).用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計參數(shù),可以得到XN(30

11、,6),YN(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X38)P(Y 34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車,26303438ty典型例題正態(tài)分布的3原則學(xué)習(xí)新知盡管正態(tài)變量的取值范圍是(,+),但在一次試驗中,的取值幾乎總落在區(qū)間3,+3內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布(,2)的隨機變量只取3,+3中的值,這

12、在統(tǒng)計學(xué)中稱為3原則.例3.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從正態(tài)分布XN(90,100).(1).求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2).若此次考試共有2000名考生,試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?解:(1)依題意,XN(90,100),即考試成績在(80,100)間的概率為0.6827.考試成績在(80,100)間的考生大約有例4.若XN(5,1),求P(6X7).解:因為XN(5,1),故正態(tài)密度曲線關(guān)于直線 x=5 對稱,例2、把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（ ）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線

13、；B.曲線a和曲線b的最高點的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。D典型例題 1).若XN(,2),問X位于區(qū)域(,+)內(nèi)的概率是多少？ 解：由正態(tài)曲線的對稱性可得，鞏固練習(xí)2、已知XN (0,1)，則X在區(qū)間 內(nèi)取值的概率等于（ ）A.0.9545 B.0.0456 C.0.9772 D.0.022753、設(shè)離散型隨機變量XN(0,1),則 = , = .D0.50.95451、已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績XN(100,52) ，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)？（ ）(90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,115A鞏固練習(xí)課堂小結(jié)1.正態(tài)曲線及正態(tài)密度函數(shù)2.正態(tài)分布（1）曲線在