畢業(yè)論文稿用輔助圓解題方法的研究

1、 . PAGE20 / NUMPAGES20用輔助圓解題方法的研究容摘要輔助圓是一種重要的解題工具，巧妙地添加輔助圓這工具能使一些用常規(guī)方法解決的問題轉(zhuǎn)化為關于圓的模型，利用圓的定義以與性質(zhì)從而能更快捷的解決問題。所以，本文對何時可以應用到輔助圓這工具進行了總結(jié)，通過具體例題進一步的給出了應用輔助圓在各種問題中的的不同方法，使問題由難變易，迎刃而解。這種方法不僅能較好的達到解題目的，還有利于培養(yǎng)學生分析問題和思維能力。 關鍵詞輔助圓 圓的性質(zhì) 最值 取值圍 math problem-solving approach with auxiliary circleSummaryAuxiliary c

2、ircle is an important problem-solving tool, cleverly add the the auxiliary circle tool enables using conventional methods to solve the problems transformed into the circle model, using the definition of a circle, and the nature of which solve the problem faster. So, when this paper can be applied to

3、 the auxiliary circle tool was summarized by the specific examples given application auxiliary circle in a variety of problems in different ways, difficult to change, solved the problem. This approach is not only able to better achieve problem-solving purposes, will also help students analyze proble

4、ms and thinking ability.KeywordAuxiliary circleThe nature of the circleThe most value Range目 錄一、引言（1）二、用輔助圓解題方法的研究（2）（一）在代數(shù)中的研究（3）（二）在平面幾何中的研究（5）（三）在解析幾何中的研究（6）（四）在物理學中的研究（9）三、總結(jié)（11）致 （11）參考文獻（11）中學數(shù)學用輔助圓解題方法的研究學生：超文 指導老師：寇艷蕾引言圓就是到定點的距離等于定長的點的集合，是平面幾何的主要研究對象之一，可又可以巧妙的應用在代數(shù)，解析幾何和物理等問題中，使一些看似無法下手的數(shù)學問題

5、迎刃而解；同時，通過“以形解數(shù)”、“以形解形”，加深對數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法的認識，也為中學數(shù)學教師的解題教學和學生解題提供另一種思路與方法，拓寬解題的思維與視角.本文在借鑒前人的研究輔助圓的應用的基礎上進一步研究和歸納出什么類型的題目可以用到輔助圓，如在代數(shù)的研究中形如的代數(shù)式，且是求最值或取值圍時，在復數(shù)問題關于絕對值的取值圍題目中，和在平面幾何中當發(fā)現(xiàn)有某四邊形中有對角互補等情況時都可聯(lián)想到輔助圓這解題工具。本文還重點研究在有關橢圓與直線的問題中化為單位圓，構(gòu)造一個單位圓，利用單位圓的特殊性質(zhì)巧妙地解決橢圓問題。 二、中學數(shù)學用輔助圓解題方法的研究 形如的代數(shù)式，且是求最值或取值圍時，普

6、遍可以令其值為，引入輔助圓=，使得兩點間的距離與半徑建立出一一對應關系, 合理應用圓的幾何性質(zhì), 便能達到巧妙答題的目的。 而由于復數(shù)容易在坐標系中表示，所以我們也可以利用在坐標系中建立輔助圓，用直觀的圖來巧妙地解題。比如在復數(shù)問題中求取值圍且有如絕對值之類可以有圓相聯(lián)系的問題中，我們也可以利用式子的幾何意義，通過構(gòu)造輔助圓，在頭腦中形成圓的形象，跟問題聯(lián)系起來，從而達到以形解數(shù)目的。而在三角函數(shù)問題中有時給出已知三角函數(shù)的值，而返回來求角的值.解答此類問題，可借助輔助圓，而且因為結(jié)合三角函數(shù)的圖像容易知道該輔助圓就是單位圓，利用直線和單位圓的位置關系便可獲解6.借助單位圓，將純?nèi)怯嬎銌栴}轉(zhuǎn)

7、化為直線與圓的位置關系來解決，直觀、明了，給人耳目一新之感.除此之外輔助圓還會用在三角函數(shù)和某具體實數(shù)的比較，這種情形只要結(jié)合輔助圓和該三角函數(shù)連線的交接的三角形和扇形的比較即可。1.在代數(shù)中的探討 例1.已知實數(shù)a、b滿足，求的最大值和最小值。分析：此題問題滿足利用輔助圓形如的代數(shù)式，且是求最值或取值圍時這個基本條件，所以我們可以考慮引入輔助圓，而是經(jīng)過原點的橢圓，所以顯然的最小值為0。而當且僅當橢圓和該圓相切時，橢圓上的點到原點的距離有最大值，再用與聯(lián)立方程消去未知數(shù)b得，從而要得=。故最大值是，最小值是0。例2.設且方程至少有一個實數(shù)根,試求的最小值.分析:由題要求的最小值我們可以聯(lián)想到

8、圓的方程的標準形式,則可以利用輔助圓來求解.解:作輔助圓 ,設為方程的一個實根,故有,同時滿足，.故關于,的方程組 有解,即是直線與圓有交點，.設，所以只須求的最小值.=，當且僅當，即時，等號成立.代入方程或，解之即可得，此時，的最小值為.例3.數(shù)的圍，使得對任意的實數(shù)和任意的，則恒有.解：由結(jié)論的形式聯(lián)想到圓的方程的標準形式，設，則有表示以為原點，以為半徑的圓的外部（包括邊界），消去得動直線的方程，所以只須動直線與圓恒相切或相離，既有恒成立，所以只要恒成立即可.令，由，有，則化為，恒成立，即，或，恒成立，即或，恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得，或.2.在求復數(shù)問題的最值問題時。例4.設復數(shù)z，

9、且z的絕對值是1，求的最小值解：做一輔助圓如圖，題目所求即是在輔助圓中找一點使它到M（0,-5）和點N（0，1）距離最小值。當所找的點在MN的連線上.則|MN|就是所求的最小值.所以的最小值是 N M例5 已知復數(shù)z,且,求的取值圍。分析 利用復數(shù)在復平面上所對應的坐標與其幾何意義解決此類問題.解 在復平面上對應的圖形為以（3,0）為圓心,以2為半徑的圓周與圓部；表示滿足在復平面圓上z對應的點與-4對應的點間的距離，畫圖出來易知的最大值為7，的最小值為3，故的取值圍是（3,7）。 3 .在求三角函數(shù)時。例6 已知，求B的值.分析 本題若用公式把其展開，則顯得冗繁，不妨考慮用幾何方法.解 將已知

10、條件化為.點在直線以與單位圓上，有，則 ，又因為 ，所以 ，故 ，即 .例7（1996年第12屆全俄數(shù)學競賽題）求證：. 證明 作一單位圓（如圖11），有AOB=，=.因為 AOB，所以 ，即. 本題乍一看，似乎難以下手，可借助單位圓，使問題解決更快捷.（二）在平面幾何中的研究在應用輔助圓前，首先我們要清楚哪些條件是可以讓我們聯(lián)想到輔助圓的，比如有公共端點的等線段時、有兩角互余或互補的時、有高、有相交弦的逆定理、有割線的逆定理，兩數(shù)相乘等積等形式出現(xiàn)時都可以考慮用到輔助圓，以下就列舉了這幾種普遍的情形，而且進一步重點研究四點共圓的情況。當有公共端點的等線段時可聯(lián)想到輔助圓。 例1。如圖，若PA

11、=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，DB=3，則ADDC等于( ) A6 B7 C12 D16到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法，也是最常見的可以用到輔助圓的例子。此題看到有公共端點的p和等線段的PA和PB，可以聯(lián)想到作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應用創(chuàng)設了條件。2.當有兩角互余或互補的時或者有45度角和90度角時可聯(lián)想到輔助圓。EABGDCF例2如圖，在中,是底邊上一點,是線段上一點且.求證：. 證明：延長與的外接圓相交于點,連結(jié)與. 則,即. 故.又,從而.故.作的平分線交于,則.因,故.從而.于是,.故.3

12、.當有兩數(shù)相乘等積時即是可以聯(lián)想到相交弦定理從而引入輔助圓。例3.已知.如圖，中，,的平分線與分別交于.求證.分析:由結(jié)論的符號特征聯(lián)想到圓中的割線定理，而由條件可證，因此想到以點為圓心,為半徑作圓交于,交的延長線于, 則點在圓上.所以，=，所以，.點評：上述解法，通過添加輔助圓，使之形成兩條共端點的割線，這為獲得妙解找到了捷徑. 4.針對高考題中主要考察有輔助圓的問題普遍是四點共圓的問題，故本文在這里重點研究了四點共圓的情形。定義：如果同一平面的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓。 在聯(lián)想和應用到輔助圓的前提必須要清楚這四點共不共圓，而在這里本文總結(jié)了可以證明四點共圓

13、的基本方法：a.定義法，三點在同一圓上，若另外一點也在該圓上，則其四點必共圓；b.若兩個同側(cè)有相等頂角的三角形，則該兩個三角形各頂點四點共圓；c.若四邊形的有一對角互補時可知改四點共圓；d.根據(jù)相交弦的逆定理、割線的逆定理證明。四點共圓的基本幾何性質(zhì)有a.共圓的四點所連成的同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等；b.共圓的四邊形對角互補；c.圓接三角形的某角的外角跟該角的對角相等。在熟練理解和應用四點共圓的證明方法和性質(zhì)前提下，我們可以歸納出一些普遍能應用四點共圓的輔助圓的情況。例4.如圖，已知四邊形ABCD,AB平行CD，其中AB,AC,AD三線其值都為x，BC為y，問BD的長。分析：由AB,AC,

14、AD三線相等并共端點，而且該四邊形的對角互補，種種條件我們很容易的聯(lián)想到引入輔助圓來求解。解:以A為圓心，半徑為AB做圓，則A,B,C,D四點共圓，則由圓的基本性質(zhì)可知,所以例5.如圖，在三角形ABC中，,，求證BC=2ED. 分析：由若兩個同側(cè)有相等頂角的三角形，則該兩個三角形各頂點四點共圓 這證明四點共圓的方法可知E、B、C、D四點共圓故我們可聯(lián)想到引入 輔助圓來解決問題。證明： 在ABC中，BEC=BDC=90，且E、D在BC的同側(cè)，E、B、C、D四點共圓AED=ACB，A=A，AEDACB 即BC=2ED例6，如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135，G為ABC的一點，

15、且GB=GC，BGC3A，連結(jié)HG，求證：HG平分BHF解：由四邊形性質(zhì)容易知道，所以BGC=3A=135,而由同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點四點共圓可知B、G、C、H四點共圓，得BCG=GHB=22.5，又BHF=45，所以GHB=BHF，故HG平分BHF。例7.已知等腰梯形中，,，求證：.（1）分析：看到有四邊形對角互補和幾個線段都相等的情形下，我們還是很容易想到輔助圓。證明:如圖6，以為圓心,長為半徑作圓,交直線,延長交于,連結(jié),則，,又，,又,四邊形為平行四邊形，.,=.到此在中學普遍能利用到四點共圓的情形或類似題目在上文基本闡述，關于圓接四邊形的性質(zhì)，還有一個重要定理現(xiàn)在中學課

16、本一般都不列入，現(xiàn)介紹如下：托勒密定理：圓接四邊形兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和 即，若ABCD四點共圓（ABCD按順序都在同一個圓上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。很多問題換個思路，就會柳暗花明。在解證某些數(shù)學題時，如能巧用托勒密定理，可使解證過程簡潔清新。如下面這道例題：設a，b，x，y是實數(shù)，且，求證：axby1這道題如果用代數(shù)不等式的知識去解過程會很復雜，我們可以從條件得到靈感，構(gòu)造一個直徑AB=1的圓，在AB的兩側(cè)任作RtACB和RtADB，使AC=a，BC=b，BD=x， AD=y(圖1)這時我們就可以運用托勒密定理了。根據(jù)托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD

17、 CD1，axby1上題運用代數(shù)運算轉(zhuǎn)換成圖形的思想，從而讓托勒密定理得以巧妙運用。而在圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)的運算中，托勒密定理也能發(fā)生作用。我們看看這道奧數(shù)題：已知正七邊形A1A2A7， 對于這道競賽題，原證較繁，但通過深挖隱含條件，我們可以知道，正七邊形存在外接圓。從而我們可以利用托勒密定理，改變整個解題局面，使證題步驟簡縮到最少(圖2)如圖2，連 A1A5、A3A5，則A1A5=A1A4、A3A5=A1A3在四邊形A1A3A4A5中，由托勒密定理，得A3A4A1A5A4A5A1A3A1A4A3A5，即A1A2A1A4A1A2A1A3A1A3A1A4，兩邊同除以A1A2A1A3A1A4即得結(jié)論式

18、由上面兩道題目可以看出托勒密定理在數(shù)與形的轉(zhuǎn)換中起到“橋梁”的作用，對于它的其它妙用，這里就不再一一羅列了。 四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運用圓的性質(zhì)為解題服務（三）在解析幾何中的研究在解析幾何中能用到輔助圓的普遍是研究與橢圓有關的問題，這時通過一個特殊的線性變換，可以把橢圓方程轉(zhuǎn)化為輔助圓方程（這時我們一般為方便起見是轉(zhuǎn)化為單位圓）.對于橢圓方程，若作變換 ，則橢圓方程變化為單位圓方程的等命題.從而可以把某些橢圓問題轉(zhuǎn)化到單位圓中來解決，即通過化橢

19、圓問題為單位圓問題，構(gòu)造一個單位圓，利用圓的特殊性質(zhì)解決橢圓問題，往往能使問題簡化. 如一些有關橢圓與直線的問題中，已知含某一待定實數(shù)的方程的直線與橢圓存在某種關系時，要求解滿足這種關系的實數(shù)的取值圍.這種問題我們可轉(zhuǎn)化為直線與單位圓問題，利用熟悉的單位圓的有關性質(zhì)，更便于解決.又如求解與橢圓相交的直線的方程時，可轉(zhuǎn)化為求與單位圓相交的此直線的方程問題，利用輔助圓和直線的關系最后在進行逆代換，返回到原問題中.而一般出現(xiàn)在數(shù)學高考題后三道題中求軌跡方程的題目中，利用單位圓做輔助圓也是用一樣的思路方法把先把橢圓化為單位圓再進一步求解。1.數(shù)圍例1. 如果橢圓上存在關于直線對稱的兩點，試求的圍.分析

20、 利用變換 ，則原命題轉(zhuǎn)換為構(gòu)造一個等價命題. 如果單位圓上存在兩點，使線段的中點在直線上，且滿足，試求的圍.根據(jù)垂徑分弦與圓的中點在圓的特殊性確定的取值圍.解 把分別代入方程和得到 ，單位圓，直線.橢圓上關于直線對稱的兩點，分別對應單位圓上兩點 ， 因為 .則橢圓的弦的中點對應單位圓的弦的中點.又因為 ，所以 , .而，所以直線的方程為.聯(lián)立方程組解得 點在圓，則 .解得的取值圍為 . 2.求直線方程 例2. 是橢圓一點，過作直線交橢圓于兩點，當為線段的中點時，求直線方程.解 作變換，則橢圓方程變?yōu)椋?，變?yōu)?，橢圓中心與相應地變?yōu)榕c，此時為的中點.根據(jù)圓的性質(zhì)：線段為垂直的弦.因為 ，所以 .

21、又所求直線經(jīng)過，據(jù)點斜式得所在的直線方程為.作逆代換得 .即 .這就是為中點時的直線方程.3.求軌跡方程 例3. 橢圓上一動點的切線分別交軸、軸于點，過，分別作垂直于軸、軸的直線，求此二垂線交點的軌跡方程.解 作變換，則橢圓變換為單位圓.與點對應的落在圓上，設其坐標為，則有，并且知過的圓的切線為.此切線與軸的交點的橫坐標是，與軸交點的縱坐標是.設，則從而 又 ，所以 .作逆變換即得點的軌跡方程為 （四）在物理學中的探討數(shù)學方法是研究物理學的一種基本方法，運用圓的知識研究物理問題也是一種常用的數(shù)學方法之一，若能根據(jù)題目特點引入輔助圓，往往對解題起到化繁為簡，化難為易的作用。而以下兩種題目的特點是

22、可以引入輔助圓的。11 矢量圓求最值時。ADvuv1圖1L矢量即有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓 ”就能有效地化繁為簡，并能加深對矢量概念的理解。 例1 一條寬為L的河流，水流速為u，船在靜水中劃行的速度為v ，且vu。要使船到達對岸的位移最短，船的航向如何？解析 水流速u、船在靜水中的速度v與船的合速度v1構(gòu)成一矢量三角形，且船在靜水中的速度v 大小不變，方向不定，構(gòu)建如圖1所示的矢量圓。顯然，當AD與矢量圓相切時，船航行的位移最短。由圖可得船的航向與河岸的夾角。2 可以用等勢圓表示已知兩點機械能一樣時。點電荷的等勢面是以點電荷為圓心的圓面組

23、成，這樣的圓面稱之為“等勢圓”。借用等勢圓來解題能化難為易。例2 （2002年等省理綜第30題）如圖6所示，直角三角形的斜邊傾角為30，底邊BC長為2L，ABCO。D圖6ABCQD圖7處在水平位置，斜邊AC是光滑絕緣的，在底邊中點O處放置一正電荷Q，一個質(zhì)量為m，電量為q的帶負電的質(zhì)點從斜面頂端A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足D時速度為v。則：該質(zhì)點運動到非常挨近斜邊底端C點時速度vc為多少？沒斜面向下的加速度ac為多少？解析 點電荷沿斜面AC下滑時，電場力在不斷變化，無法利用動能定理與能量守恒關系直接列式求解，從而使解題陷入困境。圖8N由幾何關系可引入圖7所示的等勢圓，由于D、C二點位于同一等勢圓上，電荷從D運動到C電場力做功為零，只有重力做功，所以電荷在D點的機械能與C點的機械能相等，即：對電荷在