畢業(yè)論文稿用輔助圓解題方法的研究

1、 . PAGE20 / NUMPAGES20用輔助圓解題方法的研究容摘要輔助圓是一種重要的解題工具，巧妙地添加輔助圓這工具能使一些用常規(guī)方法解決的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓的模型，利用圓的定義以與性質(zhì)從而能更快捷的解決問題。所以，本文對(duì)何時(shí)可以應(yīng)用到輔助圓這工具進(jìn)行了總結(jié)，通過具體例題進(jìn)一步的給出了應(yīng)用輔助圓在各種問題中的的不同方法，使問題由難變易，迎刃而解。這種方法不僅能較好的達(dá)到解題目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和思維能力。 關(guān)鍵詞輔助圓 圓的性質(zhì) 最值 取值圍 math problem-solving approach with auxiliary circleSummaryAuxiliary c

2、ircle is an important problem-solving tool, cleverly add the the auxiliary circle tool enables using conventional methods to solve the problems transformed into the circle model, using the definition of a circle, and the nature of which solve the problem faster. So, when this paper can be applied to

3、 the auxiliary circle tool was summarized by the specific examples given application auxiliary circle in a variety of problems in different ways, difficult to change, solved the problem. This approach is not only able to better achieve problem-solving purposes, will also help students analyze proble

4、ms and thinking ability.KeywordAuxiliary circleThe nature of the circleThe most value Range目 錄一、引言（1）二、用輔助圓解題方法的研究（2）（一）在代數(shù)中的研究（3）（二）在平面幾何中的研究（5）（三）在解析幾何中的研究（6）（四）在物理學(xué)中的研究（9）三、總結(jié)（11）致 （11）參考文獻(xiàn)（11）中學(xué)數(shù)學(xué)用輔助圓解題方法的研究學(xué)生：超文 指導(dǎo)老師：寇艷蕾引言圓就是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，是平面幾何的主要研究對(duì)象之一，可又可以巧妙的應(yīng)用在代數(shù)，解析幾何和物理等問題中，使一些看似無法下手的數(shù)學(xué)問題

5、迎刃而解；同時(shí)，通過“以形解數(shù)”、“以形解形”，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，也為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)和學(xué)生解題提供另一種思路與方法，拓寬解題的思維與視角.本文在借鑒前人的研究輔助圓的應(yīng)用的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究和歸納出什么類型的題目可以用到輔助圓，如在代數(shù)的研究中形如的代數(shù)式，且是求最值或取值圍時(shí)，在復(fù)數(shù)問題關(guān)于絕對(duì)值的取值圍題目中，和在平面幾何中當(dāng)發(fā)現(xiàn)有某四邊形中有對(duì)角互補(bǔ)等情況時(shí)都可聯(lián)想到輔助圓這解題工具。本文還重點(diǎn)研究在有關(guān)橢圓與直線的問題中化為單位圓，構(gòu)造一個(gè)單位圓，利用單位圓的特殊性質(zhì)巧妙地解決橢圓問題。 二、中學(xué)數(shù)學(xué)用輔助圓解題方法的研究 形如的代數(shù)式，且是求最值或取值圍時(shí)，普

6、遍可以令其值為，引入輔助圓=，使得兩點(diǎn)間的距離與半徑建立出一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 合理應(yīng)用圓的幾何性質(zhì), 便能達(dá)到巧妙答題的目的。 而由于復(fù)數(shù)容易在坐標(biāo)系中表示，所以我們也可以利用在坐標(biāo)系中建立輔助圓，用直觀的圖來巧妙地解題。比如在復(fù)數(shù)問題中求取值圍且有如絕對(duì)值之類可以有圓相聯(lián)系的問題中，我們也可以利用式子的幾何意義，通過構(gòu)造輔助圓，在頭腦中形成圓的形象，跟問題聯(lián)系起來，從而達(dá)到以形解數(shù)目的。而在三角函數(shù)問題中有時(shí)給出已知三角函數(shù)的值，而返回來求角的值.解答此類問題，可借助輔助圓，而且因?yàn)榻Y(jié)合三角函數(shù)的圖像容易知道該輔助圓就是單位圓，利用直線和單位圓的位置關(guān)系便可獲解6.借助單位圓，將純?nèi)怯?jì)算問題轉(zhuǎn)

7、化為直線與圓的位置關(guān)系來解決，直觀、明了，給人耳目一新之感.除此之外輔助圓還會(huì)用在三角函數(shù)和某具體實(shí)數(shù)的比較，這種情形只要結(jié)合輔助圓和該三角函數(shù)連線的交接的三角形和扇形的比較即可。1.在代數(shù)中的探討 例1.已知實(shí)數(shù)a、b滿足，求的最大值和最小值。分析：此題問題滿足利用輔助圓形如的代數(shù)式，且是求最值或取值圍時(shí)這個(gè)基本條件，所以我們可以考慮引入輔助圓，而是經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓，所以顯然的最小值為0。而當(dāng)且僅當(dāng)橢圓和該圓相切時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離有最大值，再用與聯(lián)立方程消去未知數(shù)b得，從而要得=。故最大值是，最小值是0。例2.設(shè)且方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,試求的最小值.分析:由題要求的最小值我們可以聯(lián)想到

8、圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,則可以利用輔助圓來求解.解:作輔助圓 ,設(shè)為方程的一個(gè)實(shí)根,故有,同時(shí)滿足，.故關(guān)于,的方程組 有解,即是直線與圓有交點(diǎn)，.設(shè)，所以只須求的最小值.=，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.代入方程或，解之即可得，此時(shí)，的最小值為.例3.數(shù)的圍，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)和任意的，則恒有.解：由結(jié)論的形式聯(lián)想到圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，則有表示以為原點(diǎn)，以為半徑的圓的外部（包括邊界），消去得動(dòng)直線的方程，所以只須動(dòng)直線與圓恒相切或相離，既有恒成立，所以只要恒成立即可.令，由，有，則化為，恒成立，即，或，恒成立，即或，恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得，或.2.在求復(fù)數(shù)問題的最值問題時(shí)。例4.設(shè)復(fù)數(shù)z，

9、且z的絕對(duì)值是1，求的最小值解：做一輔助圓如圖，題目所求即是在輔助圓中找一點(diǎn)使它到M（0,-5）和點(diǎn)N（0，1）距離最小值。當(dāng)所找的點(diǎn)在MN的連線上.則|MN|就是所求的最小值.所以的最小值是 N M例5 已知復(fù)數(shù)z,且,求的取值圍。分析 利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)與其幾何意義解決此類問題.解 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形為以（3,0）為圓心,以2為半徑的圓周與圓部；表示滿足在復(fù)平面圓上z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離，畫圖出來易知的最大值為7，的最小值為3，故的取值圍是（3,7）。 3 .在求三角函數(shù)時(shí)。例6 已知，求B的值.分析 本題若用公式把其展開，則顯得冗繁，不妨考慮用幾何方法.解 將已知

10、條件化為.點(diǎn)在直線以與單位圓上，有，則 ，又因?yàn)?，所以 ，故 ，即 .例7（1996年第12屆全俄數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）求證：. 證明 作一單位圓（如圖11），有AOB=，=.因?yàn)?AOB，所以 ，即. 本題乍一看，似乎難以下手，可借助單位圓，使問題解決更快捷.（二）在平面幾何中的研究在應(yīng)用輔助圓前，首先我們要清楚哪些條件是可以讓我們聯(lián)想到輔助圓的，比如有公共端點(diǎn)的等線段時(shí)、有兩角互余或互補(bǔ)的時(shí)、有高、有相交弦的逆定理、有割線的逆定理，兩數(shù)相乘等積等形式出現(xiàn)時(shí)都可以考慮用到輔助圓，以下就列舉了這幾種普遍的情形，而且進(jìn)一步重點(diǎn)研究四點(diǎn)共圓的情況。當(dāng)有公共端點(diǎn)的等線段時(shí)可聯(lián)想到輔助圓。 例1。如圖，若PA

11、=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點(diǎn)P，且PB=4，DB=3，則ADDC等于( ) A6 B7 C12 D16到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法，也是最常見的可以用到輔助圓的例子。此題看到有公共端點(diǎn)的p和等線段的PA和PB，可以聯(lián)想到作出以P點(diǎn)為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件。2.當(dāng)有兩角互余或互補(bǔ)的時(shí)或者有45度角和90度角時(shí)可聯(lián)想到輔助圓。EABGDCF例2如圖，在中,是底邊上一點(diǎn),是線段上一點(diǎn)且.求證：. 證明：延長(zhǎng)與的外接圓相交于點(diǎn),連結(jié)與. 則,即. 故.又,從而.故.作的平分線交于,則.因,故.從而.于是,.故.3

12、.當(dāng)有兩數(shù)相乘等積時(shí)即是可以聯(lián)想到相交弦定理從而引入輔助圓。例3.已知.如圖，中，,的平分線與分別交于.求證.分析:由結(jié)論的符號(hào)特征聯(lián)想到圓中的割線定理，而由條件可證，因此想到以點(diǎn)為圓心,為半徑作圓交于,交的延長(zhǎng)線于, 則點(diǎn)在圓上.所以，=，所以，.點(diǎn)評(píng)：上述解法，通過添加輔助圓，使之形成兩條共端點(diǎn)的割線，這為獲得妙解找到了捷徑. 4.針對(duì)高考題中主要考察有輔助圓的問題普遍是四點(diǎn)共圓的問題，故本文在這里重點(diǎn)研究了四點(diǎn)共圓的情形。定義：如果同一平面的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓。 在聯(lián)想和應(yīng)用到輔助圓的前提必須要清楚這四點(diǎn)共不共圓，而在這里本文總結(jié)了可以證明四點(diǎn)共圓

13、的基本方法：a.定義法，三點(diǎn)在同一圓上，若另外一點(diǎn)也在該圓上，則其四點(diǎn)必共圓；b.若兩個(gè)同側(cè)有相等頂角的三角形，則該兩個(gè)三角形各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓；c.若四邊形的有一對(duì)角互補(bǔ)時(shí)可知改四點(diǎn)共圓；d.根據(jù)相交弦的逆定理、割線的逆定理證明。四點(diǎn)共圓的基本幾何性質(zhì)有a.共圓的四點(diǎn)所連成的同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等；b.共圓的四邊形對(duì)角互補(bǔ)；c.圓接三角形的某角的外角跟該角的對(duì)角相等。在熟練理解和應(yīng)用四點(diǎn)共圓的證明方法和性質(zhì)前提下，我們可以歸納出一些普遍能應(yīng)用四點(diǎn)共圓的輔助圓的情況。例4.如圖，已知四邊形ABCD,AB平行CD，其中AB,AC,AD三線其值都為x，BC為y，問BD的長(zhǎng)。分析：由AB,AC,

14、AD三線相等并共端點(diǎn)，而且該四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，種種條件我們很容易的聯(lián)想到引入輔助圓來求解。解:以A為圓心，半徑為AB做圓，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓，則由圓的基本性質(zhì)可知,所以例5.如圖，在三角形ABC中，,，求證BC=2ED. 分析：由若兩個(gè)同側(cè)有相等頂角的三角形，則該兩個(gè)三角形各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓 這證明四點(diǎn)共圓的方法可知E、B、C、D四點(diǎn)共圓故我們可聯(lián)想到引入 輔助圓來解決問題。證明： 在ABC中，BEC=BDC=90，且E、D在BC的同側(cè)，E、B、C、D四點(diǎn)共圓AED=ACB，A=A，AEDACB 即BC=2ED例6，如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135，G為ABC的一點(diǎn)，

15、且GB=GC，BGC3A，連結(jié)HG，求證：HG平分BHF解：由四邊形性質(zhì)容易知道，所以BGC=3A=135,而由同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓可知B、G、C、H四點(diǎn)共圓，得BCG=GHB=22.5，又BHF=45，所以GHB=BHF，故HG平分BHF。例7.已知等腰梯形中，,，求證：.（1）分析：看到有四邊形對(duì)角互補(bǔ)和幾個(gè)線段都相等的情形下，我們還是很容易想到輔助圓。證明:如圖6，以為圓心,長(zhǎng)為半徑作圓,交直線,延長(zhǎng)交于,連結(jié),則，,又，,又,四邊形為平行四邊形，.,=.到此在中學(xué)普遍能利用到四點(diǎn)共圓的情形或類似題目在上文基本闡述，關(guān)于圓接四邊形的性質(zhì)，還有一個(gè)重要定理現(xiàn)在中學(xué)課

16、本一般都不列入，現(xiàn)介紹如下：托勒密定理：圓接四邊形兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和 即，若ABCD四點(diǎn)共圓（ABCD按順序都在同一個(gè)圓上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。很多問題換個(gè)思路，就會(huì)柳暗花明。在解證某些數(shù)學(xué)題時(shí)，如能巧用托勒密定理，可使解證過程簡(jiǎn)潔清新。如下面這道例題：設(shè)a，b，x，y是實(shí)數(shù)，且，求證：axby1這道題如果用代數(shù)不等式的知識(shí)去解過程會(huì)很復(fù)雜，我們可以從條件得到靈感，構(gòu)造一個(gè)直徑AB=1的圓，在AB的兩側(cè)任作RtACB和RtADB，使AC=a，BC=b，BD=x， AD=y(圖1)這時(shí)我們就可以運(yùn)用托勒密定理了。根據(jù)托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD

17、 CD1，axby1上題運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換成圖形的思想，從而讓托勒密定理得以巧妙運(yùn)用。而在圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)的運(yùn)算中，托勒密定理也能發(fā)生作用。我們看看這道奧數(shù)題：已知正七邊形A1A2A7， 對(duì)于這道競(jìng)賽題，原證較繁，但通過深挖隱含條件，我們可以知道，正七邊形存在外接圓。從而我們可以利用托勒密定理，改變整個(gè)解題局面，使證題步驟簡(jiǎn)縮到最少(圖2)如圖2，連 A1A5、A3A5，則A1A5=A1A4、A3A5=A1A3在四邊形A1A3A4A5中，由托勒密定理，得A3A4A1A5A4A5A1A3A1A4A3A5，即A1A2A1A4A1A2A1A3A1A3A1A4，兩邊同除以A1A2A1A3A1A4即得結(jié)論式

18、由上面兩道題目可以看出托勒密定理在數(shù)與形的轉(zhuǎn)換中起到“橋梁”的作用，對(duì)于它的其它妙用，這里就不再一一羅列了。 四點(diǎn)共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個(gè)重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因?yàn)?，某四點(diǎn)共圓，不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)（三）在解析幾何中的研究在解析幾何中能用到輔助圓的普遍是研究與橢圓有關(guān)的問題，這時(shí)通過一個(gè)特殊的線性變換，可以把橢圓方程轉(zhuǎn)化為輔助圓方程（這時(shí)我們一般為方便起見是轉(zhuǎn)化為單位圓）.對(duì)于橢圓方程，若作變換 ，則橢圓方程變化為單位圓方程的等命題.從而可以把某些橢圓問題轉(zhuǎn)化到單位圓中來解決，即通過化橢

19、圓問題為單位圓問題，構(gòu)造一個(gè)單位圓，利用圓的特殊性質(zhì)解決橢圓問題，往往能使問題簡(jiǎn)化. 如一些有關(guān)橢圓與直線的問題中，已知含某一待定實(shí)數(shù)的方程的直線與橢圓存在某種關(guān)系時(shí)，要求解滿足這種關(guān)系的實(shí)數(shù)的取值圍.這種問題我們可轉(zhuǎn)化為直線與單位圓問題，利用熟悉的單位圓的有關(guān)性質(zhì)，更便于解決.又如求解與橢圓相交的直線的方程時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求與單位圓相交的此直線的方程問題，利用輔助圓和直線的關(guān)系最后在進(jìn)行逆代換，返回到原問題中.而一般出現(xiàn)在數(shù)學(xué)高考題后三道題中求軌跡方程的題目中，利用單位圓做輔助圓也是用一樣的思路方法把先把橢圓化為單位圓再進(jìn)一步求解。1.數(shù)圍例1. 如果橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求的圍.分析

20、 利用變換 ，則原命題轉(zhuǎn)換為構(gòu)造一個(gè)等價(jià)命題. 如果單位圓上存在兩點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)在直線上，且滿足，試求的圍.根據(jù)垂徑分弦與圓的中點(diǎn)在圓的特殊性確定的取值圍.解 把分別代入方程和得到 ，單位圓，直線.橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)單位圓上兩點(diǎn) ， 因?yàn)?.則橢圓的弦的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)單位圓的弦的中點(diǎn).又因?yàn)?，所以 , .而，所以直線的方程為.聯(lián)立方程組解得 點(diǎn)在圓，則 .解得的取值圍為 . 2.求直線方程 例2. 是橢圓一點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線方程.解 作變換，則橢圓方程變?yōu)椋?，變?yōu)?，橢圓中心與相應(yīng)地變?yōu)榕c，此時(shí)為的中點(diǎn).根據(jù)圓的性質(zhì)：線段為垂直的弦.因?yàn)?，所以 .

21、又所求直線經(jīng)過，據(jù)點(diǎn)斜式得所在的直線方程為.作逆代換得 .即 .這就是為中點(diǎn)時(shí)的直線方程.3.求軌跡方程 例3. 橢圓上一動(dòng)點(diǎn)的切線分別交軸、軸于點(diǎn)，過，分別作垂直于軸、軸的直線，求此二垂線交點(diǎn)的軌跡方程.解 作變換，則橢圓變換為單位圓.與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的落在圓上，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，并且知過的圓的切線為.此切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是.設(shè)，則從而 又 ，所以 .作逆變換即得點(diǎn)的軌跡方程為 （四）在物理學(xué)中的探討數(shù)學(xué)方法是研究物理學(xué)的一種基本方法，運(yùn)用圓的知識(shí)研究物理問題也是一種常用的數(shù)學(xué)方法之一，若能根據(jù)題目特點(diǎn)引入輔助圓，往往對(duì)解題起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用。而以下兩種題目的特點(diǎn)是

22、可以引入輔助圓的。11 矢量圓求最值時(shí)。ADvuv1圖1L矢量即有大小，又有方向，且運(yùn)算時(shí)滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓 ”就能有效地化繁為簡(jiǎn)，并能加深對(duì)矢量概念的理解。 例1 一條寬為L(zhǎng)的河流，水流速為u，船在靜水中劃行的速度為v ，且vu。要使船到達(dá)對(duì)岸的位移最短，船的航向如何？解析 水流速u、船在靜水中的速度v與船的合速度v1構(gòu)成一矢量三角形，且船在靜水中的速度v 大小不變，方向不定，構(gòu)建如圖1所示的矢量圓。顯然，當(dāng)AD與矢量圓相切時(shí)，船航行的位移最短。由圖可得船的航向與河岸的夾角。2 可以用等勢(shì)圓表示已知兩點(diǎn)機(jī)械能一樣時(shí)。點(diǎn)電荷的等勢(shì)面是以點(diǎn)電荷為圓心的圓面組

23、成，這樣的圓面稱之為“等勢(shì)圓”。借用等勢(shì)圓來解題能化難為易。例2 （2002年等省理綜第30題）如圖6所示，直角三角形的斜邊傾角為30，底邊BC長(zhǎng)為2L，ABCO。D圖6ABCQD圖7處在水平位置，斜邊AC是光滑絕緣的，在底邊中點(diǎn)O處放置一正電荷Q，一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)從斜面頂端A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足D時(shí)速度為v。則：該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到非常挨近斜邊底端C點(diǎn)時(shí)速度vc為多少？沒斜面向下的加速度ac為多少？解析 點(diǎn)電荷沿斜面AC下滑時(shí)，電場(chǎng)力在不斷變化，無法利用動(dòng)能定理與能量守恒關(guān)系直接列式求解，從而使解題陷入困境。圖8N由幾何關(guān)系可引入圖7所示的等勢(shì)圓，由于D、C二點(diǎn)位于同一等勢(shì)圓上，電荷從D運(yùn)動(dòng)到C電場(chǎng)力做功為零，只有重力做功，所以電荷在D點(diǎn)的機(jī)械能與C點(diǎn)的機(jī)械能相等，即：對(duì)電荷在