2021版數學（新教材）必修 第一冊人教A版：第五章 5-5-1 第1課時

1、5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第1課時兩角差的余弦公式學習目標 1.了解兩角差的余弦公式的推導過程.2.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進行求值、計算知識點兩角差的余弦公式公式cos()cos cos sin sin 簡記符號C()使用條件，為任意角思考兩角差的余弦公式有無巧記的方法呢？答案公式巧記為：兩角差的余弦等于兩角的同名三角函數值乘積的和，即余余正正1cos(6030)cos 60cos 30.()2，R時，cos()cos cos sin sin .()3對于任意實數，cos()cos cos 都不成立()4cos 30cos 120

2、sin 30sin 1200.()一、給角求值例1計算下列各式的值(1)cos eq f(13,12)；(2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(3)eq f(1,2)cos 105eq f(r(3),2)sin 105.解(1)cos eq f(13,12)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)cos eq f(,12)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,12)f(2,12)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)cos f(,6)si

3、n f(,4)sin f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)f(r(3),2)f(r(2),2)f(1,2)eq f(r(6)r(2),4).(2)原式sin 100 sin 160cos 200cos 280sin 100sin 20cos 20cos 80(cos 80cos 20sin 80sin 20)cos 60eq f(1,2).(3)eq f(1,2)cos 105eq f(r(3),2)sin 105cos 60cos 105sin 60sin 105cos(60105)cos(45)eq f(r(2),2).反思感悟兩角差的余弦公式常見題型及解

4、法(1)兩特殊角之差的余弦值，利用兩角差的余弦公式直接展開求解(2)含有常數的式子，先將系數轉化為特殊角的三角函數值，再利用兩角差的余弦公式求解(3)求非特殊角的三角函數值，把非特殊角轉化為兩個特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解跟蹤訓練1化簡下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解(1)原式cos21(24)cos 45eq f(r(2),2).(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin

5、13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30)eq f(r(3),2).二、給值求值例2已知，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，且sin eq f(4,5)，cos()eq f(16,65)，求cos 的值解因為，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以0，由cos()eq f(16,65)，得sin()eq f(63,65)，又sin eq f(4,5)，所以cos eq f(3,5)，所以cos cos()cos()cos sin()sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(16,65)eq f(3,5)e

6、q f(63,65)eq f(4,5)eq f(204,325).延伸探究若把本例中的“，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)”改為“，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)”，求cos 的值解因為，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，所以2，由cos()eq f(16,65)，得sin()eq f(63,65)，又sin eq f(4,5)，所以cos eq f(3,5)，所以cos cos()cos()cos sin()sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(16,65)eq blc(rc)(avs4alco1(f(

7、3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(63,65)eq f(4,5)eq f(204,325).反思感悟給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，即拆角與湊角(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換常見角的變換有：()；eq f(,2)eq f(,2)；2()()；2()()跟蹤訓練2(1)已知cos eq f(3,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3) .答案eq f(34r

8、(3),10)解析因為cos eq f(3,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，所以sin eq f(4,5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)cos cos eq f(,3)sin sin eq f(,3)eq f(3,5)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq f(r(3),2)eq f(34r(3),10)(2)，為銳角，cos()eq f(12,13)，cos(2)eq f(3,5)，求cos 的值解因為，為銳角，所以0.又因為cos()eq f(12,13)，所以0eq f(,2)，所

9、以02.又因為cos(2)eq f(3,5)，所以02eq f(,2)，所以sin()eq f(5,13)，sin(2)eq f(4,5)，所以cos cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()eq f(3,5)eq f(12,13)eq f(4,5)eq f(5,13)eq f(56,65).三、給值求角例3已知，均為銳角，且cos eq f(2r(5),5)，cos eq f(r(10),10)，求的值解，均為銳角，sin eq f(r(5),5)，sin eq f(3r(10),10).cos()cos cos sin sin eq f(2r(5),5)eq f(r(1

10、0),10)eq f(r(5),5)eq f(3r(10),10)eq f(r(2),2).又sin sin ，0eq f(,2)，eq f(,2)0.故eq f(,4).反思感悟已知三角函數值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍(2)求所求角的某種三角函數值為防止增解最好選取在范圍內單調的三角函數(3)結合三角函數值及角的范圍求角提醒：在根據三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案跟蹤訓練3已知cos eq f(1,7)，cos()eq f(13,14)，且0eq f(,2)，求的值解由cos eq f(1,7)，0eq f(,2)，得sin eq r(1cos

11、2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,7)2)eq f(4r(3),7).由0eq f(,2)，得0eq f(,2).又cos()eq f(13,14)，sin()eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(13,14)2)eq f(3r(3),14).()cos cos()cos cos()sin sin()eq f(1,7)eq f(13,14)eq f(4r(3),7)eq f(3r(3),14)eq f(1,2).0eq f(,2)，eq f(,3).1cos 47cos 137sin 47sin 137的值等于()A0 B1 C1

12、D.eq f(1,2)答案A解析原式cos(47137)cos(90)0.2已知cos eq f(12,13)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值為()A.eq f(5r(2),13) B.eq f(7r(2),13) C.eq f(17r(2),26) D.eq f(7r(2),26)答案D解析因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，所以sin eq f(5,13)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos coseq f(,4)sin sineq

13、 f(,4)eq f(12,13)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,13)eq f(r(2),2)eq f(7r(2),26).3已知銳角，滿足cos eq f(3,5)，cos()eq f(5,13)，則cos(2)的值為()A.eq f(33,65) Beq f(33,65) C.eq f(54,65) Deq f(54,65)答案A解析因為，為銳角，cos eq f(3,5)，cos()eq f(5,13)，所以sin eq f(4,5)，sin()eq f(12,13)，所以cos(2)cos cos()cos()cos sin()sin eq

14、blc(rc)(avs4alco1(f(5,13)eq f(3,5)eq f(12,13)eq f(4,5)eq f(33,65).4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25) .答案eq f(1,2)解析原式cos(35)(25)cos(60)cos 60eq f(1,2).5cos 75cos 15的值等于 答案eq f(r(2),2)解析原式cos(12045)cos(4530)cos 120cos 45sin 120sin 45(cos 45cos 30sin 45sin 30)eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)eq

15、 f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)eq f(1,2)eq f(r(2),2).1知識清單：(1)兩角差的余弦公式的推導(2)給角求值，給值求值，給值求角2方法歸納：角的構造3常見誤區(qū)：求角時忽視角的范圍1cos 165等于()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) Ceq f(r(6)r(2),4) Deq f(r(6)r(2),4)答案C解析cos 165cos(18015)cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin 45sin 30)eq f(r(6)r(2),4).故選C.2滿足cos cos eq f(r(3),2)s

16、in sin 的一組，的值是()Aeq f(13,12)，eq f(3,4) Beq f(,2)，eq f(,3)Ceq f(,2)，eq f(,6) Deq f(,3)，eq f(,4)答案B解析由已知得cos()cos cos sin sin eq f(r(3),2)，故選B.3已知cos eq f(3,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，sin eq f(12,13)，是第三象限角，則cos()的值是()Aeq f(33,65) B.eq f(63,65) C.eq f(56,65) Deq f(16,65)答案A解析cos eq f(3,5)，eq blc(

17、rc)(avs4alco1(f(,2)，)，sin eq f(4,5).又sin eq f(12,13)，是第三象限角，cos eq f(5,13).cos()cos cos sin sin eq f(5,13)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(12,13)eq f(4,5)eq f(33,65).4已知sin sin 1eq f(r(3),2)，cos cos eq f(1,2)，則cos()的值為()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(3),4) D1答案B解析因為sin sin 1eq

18、f(r(3),2)，所以sin22sin sin sin2eq f(7,4)eq r(3).又因為cos cos eq f(1,2)，所以cos22cos cos cos2eq f(1,4).所以得2cos()eq r(3)，所以cos()eq f(r(3),2)，故選B.5若cos()eq f(3,5)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(5,13)，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，那么coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值為()A.eq f(r(2),2) B.eq f(1,2) C.eq f(56,65)

19、D.eq f(36,65)答案C解析因為，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以(0，)，eq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,4).又因為cos()eq f(3,5)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(5,13)，所以sin()eq r(1cos2)eq f(4,5)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(1sin2blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(12,13)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc

20、(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos()coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin()sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)eq f(12,13)eq f(4,5)eq f(5,13)eq f(56,65).故選C.6化簡：sin()sin()cos()cos() .答案cos(2)解析原式sin()sin()cos()cos()cos()cos()sin()sin()cos()()cos(2)7在ABC中，sin Aeq f(4,5)，cos Beq f(12,13)，則cos(AB) .答案e

21、q f(16,65)解析因為cos Beq f(12,13)，且0B，所以eq f(,2)B，所以sin Beq r(1cos2B)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(12,13)2)eq f(5,13)，且0Aeq f(,2)，所以cos Aeq r(1sin2A)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)2)eq f(3,5)，所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin Beq f(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(12,13)eq f(4,5)eq f(5,13)eq f(16,65).8在平面直角坐標系xOy中，角與角均

22、以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱若sin eq f(1,3)，則cos() .答案eq f(7,9)解析因為角與角均以Ox為始邊，終邊關于y軸對稱，所以sin sin eq f(1,3)，cos cos ，所以cos()cos cos sin sin cos2sin2(1sin2)sin22sin212eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)21eq f(7,9).9若xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，且sin xeq f(4,5)，求2coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,3)2cos x的值解因為xeq blcrc(avs4alc

23、o1(f(,2)，)，sin xeq f(4,5)，所以cos xeq f(3,5).所以2coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,3)2cos x2eq blc(rc)(avs4alco1(cos xcos f(2,3)sin xsin f(2,3)2cos x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos xf(r(3),2)sin x)2cos xeq r(3)sin xcos xeq f(4r(3),5)eq f(3,5)eq f(4r(3)3,5).10已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)，且eq f(,4

24、)eq f(3,4)，求cos 的值解因為sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)，且eq f(,4)eq f(3,4)，所以eq f(,2)eq f(,4).所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)2)eq f(3,5).所以cos coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos eq f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin

25、 eq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq f(r(2),2)eq f(4,5)eq f(r(2),2)eq f(r(2),10).11已知coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)eq f(r(3),3)，則cos xcoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的值是()Aeq f(2r(3),3) Beq f(2r(3),3) C1 D1答案C解析cos xcoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)cos xeq f(1,2)cos xeq f(r(3),2)sin xeq f(3,2)cos xeq f

26、(r(3),2)sin xeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos xf(1,2)sin x)eq r(3)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)1.12函數f(x)cos 2xcos eq f(,5)sin 2xsin eq f(6,5)的單調遞增區(qū)間是()A.eq blcrc(avs4alco1(kf(,10)，kf(3,5)(kZ)B.eq blcrc(avs4alco1(kf(3,20)，kf(7,20)(kZ)C.eq blcrc(avs4alco1(2kf(,10)，2kf(3,5)(kZ)D.eq blcrc(avs4alco1(kf(2,5)，kf(,10)(kZ)答案D解析f(x)cos 2xcos eq f(,5)sin 2xsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)cos 2xcos eq f(,5)sin 2xsin eq f(,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,5).由2k2xeq f(,5)2k，kZ，得該函數的單調增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(kf(2,5)，kf(,10)(kZ)13滿足eq f(1,2)sin xeq f(r(3),2)cos xeq f(1,2)的角xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x0